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高数证明题技巧总结

来源:独旅网

中值定理

1.要证明一个不等式,有常数a和b,且出现了g(b)-g(a)和b-a,则一般使用拉格朗日中值定理,将g(b)-g(a)化为g'(ξ)(b-a),证明g'(ξ)大于或小于原式中(b-a)的系数

例如,证明:当e<a<b<e^2时

解:令g(x)=ln^2(x),证明g(x)在x属于(e,e^2)时大于4/e^2即可

但也有例外,例如证明:当0<a<b时,

就不能用朗格朗日,而是设

然后证明φ(a)=0,当x>0时φ‘(x)<0

2.若出现了f''(x)大于0或小于0,要证明一个不等式,则对f(x)做带有拉格朗日余项的泰勒展开式,展开到最后一项为

3.求数列极限时,若出现

最后不断递推,得到

零点问题

1.求f'(x)零点,一般是证明f(x)连续,且极大(xiao)值存在,或者最大(小)值不在两端。

如果想用f'(a)f'(b)<0,则一定要证明f'(x)在[a,b]上连续,而f(x)可导无法证明这一点

2.求f(x)零点,除了证明f(x)连续且f(a)f(b)<0,和根据单调区间求零点个数,还可以利用罗尔定理

例如证明f(x)零点存在,可以构造一个函数g(x),令g'(x)=f(x),然后证明g(a)=g(b),则g'(ξ)=f(ξ)=0,f(x)零点存在

对于简单的式子,构造方法就是求积分,对于复杂的式子,就看f(x)能否写成ψ'(x)φ(x)+ψ(x)φ‘(x)的形式,则g(x)=ψ(x)φ(x)+C

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