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实对称矩阵的相似对角化

来源:独旅网

每个元素都为实数的对角矩阵称为实对称矩阵,实对称矩阵必定相似于一个对角矩阵(对角线以外的元素全为0的矩阵),即存在可逆矩阵P,使得

实对称矩阵化为对角矩阵的步骤

1.找出全部特征值

2.找出每个特征值对应的方程组,

3.如果2中,存在某个特征值对应的多个特征向量不正交,那么就要正交化那k个向量,具体做法一般为施密特正交化(不同特征值的向量之间必定正交,而且这一条只对实对称矩阵成立)将

4.将所有正交的特征向量单位化

5.将n个特征向量合并为正交矩阵,记为

最终

注,对角矩阵里元素的顺序与Q对应,例如Q中,前三个向量对应的特征值分别为1,1,2,那么对角线上前三个元素也必定为1,1,2

 

且对于其他n阶矩阵,如果有n个不同的特征值,或是k重特征值的k个对应的k个特征向量线性无关,则也可以相似对角化,方法与上文类似,即求出特征值,特征向量(不需要单位化,只需要内部的数没有过公约数了即可)。特征向量拼在一起组成P,

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