Ⅰ卷理数第20题的说题设计探究
周秋斓
【期刊名称】《中学数学月刊》 【年(卷),期】2018(000)008 【总页数】5页(P49-53) 【作 者】周秋斓
【作者单位】浙江省湖州市双林中学 313012 【正文语种】中 文
2017年高考新课标全国Ⅰ卷理科数学的设计遵循了《普通高中数学课程标准》和《高考说明》的要求和阐述，紧密联系高中数学教学现状，关注数学本质，渗透数学学科核心素养，其中第20题(解析几何题)也是高考热点问题——圆锥曲线定点问题.该类题型运算能力要求高、综合性强，是学生比较惧怕的问题之一.本文将对该题进行说题设计的探究.
题目 已知椭圆四点中恰有三点在椭圆C上． (1)求C的方程；
(2)设直线l不经过点P2且与C相交于A,B两点，若直线P2A与直线P2B的斜率的和为-1，证明：直线l过定点． 1 议审题扬帆起航
1.1 题目背景
这是一道典型的圆锥曲线定点问题，其考查的知识涉及解析几何的重点内容，通常借助方程的思想进行分析、解答，利用解方程或根与系数的关系求解，同时通过灵活利用图形的几何特征及代数表达式的特征逐步优化.这类试题的综合性和灵活性较强,主要考查学生解析几何的综合能力，难度中等，要求学生根据题目给出的条件发现知识点之间的联系，综合运用平面几何和解析几何的知识，运用数形结合的思想进行准确运算求解． 1.2 条件分析
第(1)问的分析：题目条件给了4个点， 其中恰有三点在椭圆上， 这时不能盲目地把这四个点都代入方程中.根据椭圆对称性，发现必过点P3,P4，又P4横坐标为1，椭圆必不过点P1，所以过P2,P3,P4三点，从而得到椭圆方程.在计算之前，需要学生选择合适的点，这其实是考查了考生的推理论证能力.
第(2)问的分析：可以从两个方向入手，分别由线切入及由点切入，寻找几何关系.由线切入的时候，可以先设直线P2A，P2B的方程，求出直线AB的方程；也可以直接设直线AB，寻找参数k和b的关系；还可以利用曲线的线性代换，得到kP2A,kP2B的参数关系.由点切入的时候，可以由定点入手，回扣条件，建立等式；也可以从点A，B入手，利用代数式特征进行优化.值得注意的是在用点斜式或斜截式设直线方程的时候，必须先分类讨论，考虑斜率的存在性.接下来就是解析几何常见的套路——联立、代入消元、用韦达定理和判别式.往下则对考生根据 “运算目的” (算到哪里去？) 选择运算对象 (要算什么？)和方法(怎么算？)提高了要求. 图1
根据题目中的条件，我们可以引导学生借助思维导图(如图1)进行大胆的联想，并进行初步分析，把相关的知识点联系起来，看看能得到什么结论．有时候直接从条件出发去寻求最终结论的过程中会遇到困难，止步不前，这时我们不妨换个方向思
考，把结论当作条件，大胆地联想，逐步分析获得相关结论．从题干条件出发得到的结论将会与从结论出发得到的相关结论交汇，从而有理有据地获得解决问题的思路，而不是凭感觉去尝试各种可能．引导学生在分析题目的时候利用思维导图进行充分联想，并进行双向思考与分析，既可以提高学生解决问题的能力，又可以培养学生的正向思考和逆向思考能力，促进学生思维的发展. 2 觅方法多维解析
第(1)问中由椭圆的对称性，可知点P2,P3,P4在椭圆上，易得椭圆方程为 下面来探究第(2)问的思路.
思路1 当直线l的斜率不存在时，设l的方程为x=m,A(m,yA),B(m,-yA).由得m=2,此时直线l过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足题设条件. 图2
当直线的斜率存在时(如图2)，设l的方程为y=kx+b(b≠1).联立整理得(1+4k2)x2+8kbx+4b2-4=0,其中Δ=16(4k2-b2+1)>0. 设A(x1,y1),B(x2,y2),则 于是
又b≠1,所以b=-2k-1,此时Δ=-64k>0.
所以直线l的方程为y=kx-2k-1,即y=k(x-2)-1,所以直线l过定点(2,-1).
注意到点P2的坐标为(0,1)，故从直线P2A,P2B的方程切入，求出点A,B的坐标，再通过两点求出直线方程，从而确定定点.解题过程中利用k1+k2=-1，把式中括号部分均转换为只含参数k1，目的是把方程转化为点斜式形式，给化简指明方向． 思路2 分别设直线P2A,P2B的斜率为k1,k2，则k1≠k2且k1+k2=-1. 于是P2A:y=k1x+1,P2B:y=k2x+1.由得到解得从而 同理可得
因为k1≠k2,所以且k1+k2=-1,所以4k1k2-1≠0.)
所以直线AB的方程为 于是所以直线l过定点(2,-1).
这种思路也很自然，不需要讨论直线AB的斜率，但是对运算要求较高，原因是直线P2A,P2B的方程中含有常数项．如果进行坐标平移，便可以把定点P2变换到原点，并且不改变直线的斜率.
思路3 将坐标系向上平移一个单位，将原点移至P2点,则椭圆方程化为即 设平移后直线l对应的直线l′为mx′+ny′=1.将平移后的椭圆C′方程齐次化后，得整理得即结合k1+k2=-1,得即2m=2n+1.
因此，直线l′:(2n+1)x′+2ny′=2,l′恒过点M′(2,-2),从而在原坐标中直线l过定点M(2,-1).
思路4 设直线P2A:y=k1x+1,P2B:y=k2x+1,则k1+k2=-1.联立方程组得从而同理得
假设直线l过定点M(a,b)，由A,B,M共线，从而恒成立.又因为k1+k2=-1,所以因为上式恒成立，所以展开后等号两边对应的的系数以及常数项相等，可得a=2,b=-1,因此直线l过定点(2,-1).
考虑到思路1利用点A，B的坐标求出直线AB的方程，所得直线方程形式复杂，不易得到定点，于是通过点A，B，M共线这种几何关系来优化，从而得到恒等式.再利用对应部分系数相等，得到定点坐标.
思路5 设直线l过定点M(m,n)，此点不为点(0,1)，当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=m，不妨记为根据题意，得解得m=2，此时A(2,0),B(2,0)，不合题意．
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为 y-n=k(x-m)，其中n-km≠1,A(x1,y1),B(x2,y2)，由得(1+4k2)x2+8k(n-km)x+4[(n-km)2-1]=0.由Δ>0可得4k2-(n-km)2+1>0,从而又直线P2A与直线P2B的斜率之和为-1，得即亦即
(2k+1)x1x2+(n-km-1)(x1+x2)=0,从而化简得(n-km-1)[(2-m)k+1+n]=0. 因为n-km≠1，所以(2-m)k+1+n=0.又m,n是定值，k是变量，得2-m=0,1+n=0,解得m=2,n=-1，故直线l过定点(2,-1).
从结论中的定点切入，通过定点在直线上，反设直线l的方程及点A,B的坐标，再利用直线P2A与直线P2B的斜率之和为-1，建立等式，求出定点坐标． 3 品思维赏析试题 3.1 题目价值
解析几何的解答题一直以来都是各地数学高考试题中占有很大分量的题目，不仅涉及的综合内容多、运算量大，而且承载着方程、转化与化归、数形结合等思想方法的考查任务．在解决本题后，将促进学生掌握相关知识，提高学生对平面几何知识和解析几何知识的认识和两者之间相互转化的能力．经历问题的解决过程，发展学生运用思维导图分析问题、挖掘信息、寻求解题策略的能力．同时通过对题目进行变式与拓展，挖掘问题的本质，总结规律，使学生能够“解一道，会一片”，改善学生解题的质量，提高学生对求解解析几何解答题的自信心和能力。 图3
另外，我们还可以深挖该题的背景性质，由计算的结果发现， 这个定点恰好是如图3的椭圆的平行于坐标轴的“外切矩形”的一个顶点．椭圆的“外切矩形”的外接圆是大名鼎鼎的“蒙日圆”.在椭圆中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆中心，半径等于长半轴、短半轴平方和的算数平方根，这个圆叫蒙日圆.它也曾出现在高考题中，如2014年高考广东卷20题：已知椭圆的一个焦点为离心率为求椭圆的标准方程；(2)若动点P(x0,y0)为椭圆外一点，且点P到椭圆C的两条切线互相垂直，求点P的轨迹方程. 3.2 高考链接
纵观历年的高考题，圆锥曲线综合题往往具有“雷同”现象，比如，定点、定值问
题是常考常新，常新常考.在2017年全国各地的高考题中，定点、定值问题也是考得最多的,即使有些问题看似毫不相干，但通过转化也会发现它们属于同一类问题.这就要求教师在教学中要有意识地引导学生关注“形异实同”的问题，可以将那些相近、相似的问题设计成题组，运用类比思想系统地加以研究，进而揭示其本质，然后“集中火力逐一攻克”；也可以引导学生深入探究，通过改变条件和结论思考题目背后的一般结论，再练习变式，由掌握一道题到掌握一类题. 4 谈变式引申拓展
数学家波利亚曾形象地指出：“好问题同某种蘑菇有些相像，它们在成堆地生长，找到一个以后，你就应当在周围找一找，很可能附近就有好几个.”我们在解决了一道题目后，应该想想它背后隐藏的一般规律.我们可以先进行互动探究，再层层深入，由特殊到一般，得出推广的性质与结论. 4.1 题目的探究引申
探究1 题中命题的逆命题是否成立呢?即直线l过定点(2,-1)，证明：直线P2A与直线P2B的斜率之和为-1.
这样便得到：过椭圆上的一点P(0,1)作两条直线分别与椭圆交于A,B两点，则kPA+kPB=-1的充要条件是直线AB过定点(2,-1).
探究2 此结论对一般的椭圆是否成立？即过点P(0,b)作两条直线分别与椭圆交于A,B两点，若kPA+kPB=m(定值)，直线AB是否过定点?它的逆命题是否成立呢？ 这样便得到：过椭圆上的一点P(0,b)作两条直线分别与椭圆交于A,B两点，则kPA+kPB=m(m≠0)的充要条件是直线AB过定点
探究3 此结论对一般的椭圆上任意定点P(x0,y0)是否成立？即过上的定点P(x0,y0)作两条直线分别与椭圆交于A,B两点，若kPA+kPB=m(定值)，直线AB是否过定点?它的逆命题是否成立呢？
这样便得到：过椭圆上的定点P(x0,y0)作两条直线分别与椭圆交于A,B两点，则
kPA+kPB=m(m≠0)的充要条件是直线AB过定点
探究4 把椭圆中的b2换成-b2，是否可以类似地得到双曲线的相应结论呢？另外，抛物线是否也有类似结论呢?
这样便可以得到：过双曲线上的定点P(x0,y0)作两条直线分别与双曲线交于A,B两点，则kPA+kPB=m(m≠0)的充要条件是直线AB过定点
过抛物线y2=2px(p>0)上的定点P(x0,y0)作两条直线分别与抛物线交于A,B两点，则kPA+kPB=m(m≠0)的充要条件是直线AB过定点
探究5 过上的定点P(x0,y0)作两条直线分别与椭圆交于A,B两点，若kPA·kPB=m(定值)，直线AB是否过定点?它的逆命题是否成立呢？
这样便得到：过椭圆上的定点P(x0,y0)作两条直线分别与椭圆交于A,B两点，则的充要条件是直线AB过定点
探究6 探究5中的结论对双曲线和抛物线y2=2px(p>0)是否也成立呢？
这样便得到：过双曲线上的定点P(x0,y0)作两条直线分别与双曲线交于A,B两点，则的充要条件是直线AB过定点
过抛物线y2=2px(p>0)上的定点P(x0,y0)作两条直线分别与抛物线交于A,B两点，则的充要条件是直线AB过定点
当然，在解题教学中，我们不能直接把性质抛给学生，让学生套用性质解题，而是先要让学生尝试解题，然后通过类比发现性质，最后再利用性质训练解决其他类似的问题.这样就实现了“解一题，会一法，通一类”的目的. 4.2 题目的变式拓展
通过对上述结论的探究，我们进一步认识到椭圆、双曲线、抛物线等曲线，除了自身存在一定的规律性外，圆锥曲线之间也存在一定的规律性.所以说，解题重在解、贵在思.解答题目本身是表象，推广、变式和提升才能真正体现命题人的意图，发掘其真正的内含，探索出新的规律性结论并用于教学中，才可以真正深化思维，优
化解法，提升解题效率．下面给出几个变式：
变式1 已知椭圆的离心率左、右焦点分别为F1,F2，抛物线的焦点F恰好是该椭圆的一个焦点. (1)求椭圆E的方程.
(2) 过圆O上动点Q作椭圆的两切线，斜率分别为k1,k2，问：是否存在点Q，使k1+2k2=0?若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
变式2 已知椭圆圆O:x2+y2=a2,过原点的射线与椭圆C和圆O分别交于M,N两点，且MN的最大值是1． (1)求a的值.
(2) 过圆O上动点Q作椭圆的两切线，斜率分别为k1,k2，问：是否存在点Q，使k1+2k2=0?若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 图4
变式3 (2005年江西省高考题)如图4，M是抛物线y2=x上的一点，动弦ME,MF分别交x轴于A,B两点，且MA=MB. (1)若M为定点，证明直线EF的斜率为定值；
(2)若M为动点，且∠EMF=90°，求△EMF的重心G的轨迹方程. 图5
变式4 (2011年全国高中数学联赛试题)作斜率为的直线l与椭圆交于A,B两点(如图5所示)，且在直线l的左上方.
(1)证明△PAB的内切圆的圆心在一条定直线上； (2)若∠APB=60°，求△PAB的面积. 5 论启示服务教学
5.1 发展精致思维，注重导图构建
数学教学理论离不开解题教学，解题教学的目的不是训练学生的刷题能力，不是教
会学生如何做题，而是教会学生如何分析题意，如何在众多的题目信息中筛选出有用信息并有效利用这些信息解决实际问题，从而提升学生的思维能力. 5.2 渗透数学思想，培养学科素养
在平时的教学中，我们应该以培养数学学科核心素养为前提，渗透基本数学思想，提高学生学习数学的兴趣，增强学好数学的自信心，培养良好的数学学习习惯，引导学生认识数学的科学、应用和人文价值.逐步学会用数学的眼光去观察世界，发展数学抽象、直观想象素养，用数学的思维分析世界，发展逻辑推理、数学运算素养，用数学的语言表达世界，发展数学建模、数据分析素养，增强创新意识和数学应用能力.
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