北师大版九年级数学上册第一章《特殊平行四边形》培优试题与简答

2019—2020学年北师大版九年级数学上册第一章《特殊平行四边

形》培优试题与简答

一．选择题（共10小题，每小题3分共30分） 1．矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是( ) A．对角相等 C．对角线相等

B．对边相等 D．对角线互相平分

2．如图，平行四边形ABCD的对角线AC的中点为O，过O作OFAC交AD于点F，交BC于点

E，则四边形AECF定是( )

A．平行四边形

B．菱形

C．矩形

D．般四边形

第2题图

第3题图

3．如图，在矩形ABCD中，DEAC于E，EDC:EDA1:3，且AC10，则DE的长度是(

) A．3

B．5

C．52 D．

52 24．如图，两条笔直的公路l1、l2相交于点O，村庄C的村民在公路的旁边建三个加工厂A、B、D，已知ABBCCDDA5千米，村庄C到公路l1的距离为4千米，则C到公路l2的距离是(

) A．6千米

B．5千米 第4题图

C．4千米

D．3千米

第5题图

5．如图，菱形ABCD的周长是20，对角线AC，BD相交于点O，若BD6，则菱形ABCD的面积是( ) A．6

B．12

C．24

D．48

6．菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是( ) A．对边分别平行 C．对角线互相平分

B．对角线垂直 D．对边分别相等

7．如图，正方形ABCD中，DAF25，AF交对角线BD于点E，那么BEC等 于( ) A．45 第7题图

第8题图

第10题图

B．60

C．70

D．75

8．如图，在RtABC中，C90，AC6，BC8，点F在边AC上，并且CF2，点E为边

BC上的动点，将CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB的距离的最小值是(

) A．

4 3B．1 C．

5 6D．

6 59．下列识别图形不正确的是( )

A．有一个角是直角的平行四边形是矩形 B．有三个角是直角的四边形是矩形 C．对角线相等的四边形是矩形 D．对角线互相平分且相等的四边形是矩形

10．如图所示，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A、B的坐标分别是

(0,0)，(2,0)，60，则顶点C在第一象限的坐标是( )

A．(2,2) B．(3,3) C．(3,2) D．(31，3)

二．填空题（共6小题，每小题3分共18分）

11．等腰三角形纸片ABC中，ABAC5，BC6，AD是BC边上的高，若将ABC沿AD剪成两个三角形，用这两个三角形拼成平行四边形，则其周长为 ． 12．如下图，E为正方形ABCD的边BC延长线上的点，且CEAC，连接AE，则

E 度．

第12题图

第13题图

13．如图，在菱形ABCD中，ADC72，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为E，连接CP，则CPB 度．

14．如图，等边ABC与正方形DEFG重叠，其中D、E两点分别在AB、BC上，且BDBE．若AB6，DE2，则EFC的面积为 ．

第15题图

第14题图

15．将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF．若AB3，则BC的长为 ．

16．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC8，BD6，过点O作OHAB，垂足为H，则点0到边AB的距离OH ．

三．解答题（共8小题，满分72分，其中17、18每小题7分，19、20每小题8分,21、22每小题10分，23、24每小题11分）

17．如图，在矩形ABCD中，AC与BD相交于一点O，AE平分BAD，若EAO15，求BOE的度数．

18．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且AC16cm，BD12cm，求菱形ABCD的

高DH和AB的长．

19．如图，ABC的两条高分别为BE、CF，M为BC的中点．求证：MEMF．

20．如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且A点M，N分别在BD、ACCBD．上，且AOONNC，BMMOOD． 求证：BC2DN．

21．如图，在ABCD中，BC2AB，E，F分别是BC，AD的中点，AE，BF交于点O，连接

EF，OC．

（1）求证：四边形ABEF是菱形；

（2）若BC8，ABC60，求OC的长．

22．如图，平行四边形ABCD中，G是CD的中点，E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连接CE，DF． （1）求证：四边形CEDF是平行四边形；

（2）若AB3cm，BC5cm，B60，当AE cm时，四边形CEDF是菱形． （直接写出答案，不需要说明理由）

23．如图，以锐角ABC的边AC、AB为边向外作正方形ACDE和正方形ABGF，连接BE、CF． （1）试探索BE和CF的关系？并说明理由．

（2）你能找到哪两个图形可以通过旋转而相互得到，并指出旋转中心和旋转角．

24．如图，在ABC中，点O是AC边上的中点，过点O的直线MN//BC，且MN交ACB的平分线于点E，交ACB的外角平分线于点F，点P是BC延长线上一点．求证：四边形AECF是矩形．

2019—2020学年北师大版九年级数学上册第一章《特殊平行四边形》培优试题参考简答

一．选择题（共10小题）

1．C． 2．B． 3．D． 4．C． 5．C． 6．B． 7．C． 8．D． 9．C． 10．B． 二．填空题（共6小题）

11． 14或16或18 ． 12． 22.5 ． 13． 72 ． 14． 2 ． 15． 3 ． 16． 12 ． 5三．解答题（共8小题）

17．如图，在矩形ABCD中，AC与BD相交于一点O，AE平分BAD，若EAO15，求BOE的度数．

【解】：

ABCD为矩形，

BAD90

ABCD相交于O点， AOCOBODO

AE平分BAD交BC于E点，

BAEEAD45

EAC15， BA060， AOBO， ABO60，

BAOABOAOB180， AOB60

AOB为等边三角形，即ABOABO，

又ABC90，EAB45，

BEA45，

ABE为等腰直角三角形，

BEBA，

BEBA而BABO，

BEBO

即OBE为等腰三角形 ABC90ABO60 OBE30

BOEBEO(18030)275．

故BOE的度数75．

18．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且AC16cm，BD12cm，求菱形ABCD的高DH和AB的长．

【解】：菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且AC16cm，BD12cm， AOCO8cm，DOBO6cm，AOB90，

在RtAOB中

ABAO2BO210(cm)，

菱形面积为：

1ACBDDHAB， 21则161210DH， 2解得：DH48(cm)， 548cm，AB的长为10cm． 5答：菱形ABCD的高DH为

19．如图，ABC的两条高分别为BE、CF，M为BC的中点．求证：MEMF．

【证明】BE是ABC的高，M为BC的中点， ME1BC， 2CF是ABC的高，M为BC的中点， MF1BC， 2MEMF．

20．如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且A点M，N分别在BD、ACCBD．上，且AOONNC，BMMOOD． 求证：BC2DN．

【证明】

AOON，ODOM，

四边形AMND是平行四边形，

ACBD，

平行四边形AMND是菱形，

MNDN，

ONNC，BMMO， MN1BC， 2BC2DN．

21．如图，在ABCD中，BC2AB，E，F分别是BC，AD的中点，AE，BF交于点O，连接

EF，OC．

（1）求证：四边形ABEF是菱形；

（2）若BC8，ABC60，求OC的长．

【解】：（1）证明：四边形ABCD是平行四边形， BC//AD，BCAD．

E，F分别是BC，AD的中点，

BE11BC,AFAD． 22BEAF．

四边形ABEF是平行四边形．

BC2AB，

ABBE．

平行四边形ABEF是菱形．

（2）解：过点O作OGBC于点G．

E是BC的中点，BC8，

BECE4．

四边形ABEF是菱形，ABC60， OBE30，BOE90． OE2，OEB60． GE1，OG3．

GC5． OC27．

22．如图，平行四边形ABCD中，G是CD的中点，E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连接CE，DF． （1）求证：四边形CEDF是平行四边形；

（2）若AB3cm，BC5cm，B60，当AE 2 cm时，四边形CEDF是菱形． （直接写出答案，不需要说明理由）

【解】：（1）证明：四边形ABCD是平行四边形， CF//ED， FCDGCD， G是CD的中点，

CGDG，

在FCG和EDG中， FCGEDG， CGDGCGFDGECFGEDG(ASA)， FGEG，

四边形CEDF是平行四边形；

（2）解：四边形ABCD是平行四边形，

ADBC5cm，CDAB3cm，ADCB60，

当DECE时，四边形CEDF是菱形，

当CED是等边三角形时，四边形CEDF是菱形，

DECD3cm， AEADDE2cm，

即当AE2cm时，四边形CEDF是菱形． 故答案为：2．

23．如图，以锐角ABC的边AC、AB为边向外作正方形ACDE和正方形ABGF，连接BE、CF． （1）试探索BE和CF的关系？并说明理由．

（2）你能找到哪两个图形可以通过旋转而相互得到，并指出旋转中心和旋转角．

【解】：（1）BE和CF垂直且相等．

理由：先AB和CF的交点为O，如下图所示： 在正方形ABGF，

AFAB，

FAB90，

又在正方形ACDE， AEAC， EAC90，

FABEAC90， FACFABBAC， EABEACBAC， FACEAB， FACEAB，

BECF，且AFCABE，

又AOFBOH，

故在AFO和BHO中，有FAOBHO90，

BE又垂直于CF；

（2）由（1）知，FACBAE，

故FAC和BAE可以通过旋转而得到彼此， 其旋转中心为点A，旋转角为直角．

24．如图，在ABC中，点O是AC边上的中点，过点O的直线MN//BC，且MN交ACB的平分线于点E，交ACB的外角平分线于点F，点P是BC延长线上一点．求证：四边形AECF是矩形．

【证明】：CE平分ACB， ACEBCE， MN//BC， OECECB， OECOCE， OEOC，

同理，OCOF， OEOF．

AOCO，EOFO，

四边形AECF为平行四边形，

CE平分ACB， 1ACEACB，

21同理，ACFACP，

211ECFACEACF(ACBACP)18090，

22四边形AECF是矩形．