第十三课 三角函数的性质

第十三课时 三角函数的性质

教学目标：

理解正、余弦函数的定义域、值域、最值、周期性、奇偶性的意义，会求简单函数的定义域、值域、最小正周期和单调区间；渗透数形结合思想，培养辩证唯物主义观点. 教学重点：

正、余弦函数的性质 教学难点：

正、余弦函数性质的理解与应用 教学过程： Ⅰ.课题导入

上节课，我们研究了正、余弦函数的图象，今天，我们借助它们的图象来研究它们有哪些性质.

(1)定义域：

正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R［或(－∞，＋∞)］，分别记作： y＝sinx，x∈R y＝cosx，x∈R (2)值域

因为正弦线、余弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度，所以｜sinx｜≤1，｜cosx｜≤1，即

－1≤sinx≤1，－1≤cosx≤1 也就是说，正弦函数、余弦函数的值域都是［－1，1］. 其中正弦函数y=sinx，x∈R π①当且仅当x＝ ＋2kπ，k∈Z时，取得最大值1. 2π②当且仅当x＝－ ＋2kπ，k∈Z时，取得最小值－1. 2而余弦函数y＝cosx，x∈R ①当且仅当x＝2kπ，k∈Z时，取得最大值1. ②当且仅当x＝(2k＋1)π，k∈Z时，取得最小值－1. (3)周期性 由sin(x2k)sinxcos(x2k)cosx (k∈Z)

知：正弦函数值、余弦函数值是按照一定规律不断重复地取得的.

一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.

由此可知，2π，4π，…，－2π，－4π，…2kπ(k∈Z且k≠0)都是这两个函数的周期.

黄牛课件 www.kejian123.com

对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.

根据上述定义，可知：

正弦函数、余弦函数都是周期函数,2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π. (4)奇偶性

正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数. (5)单调性

π3π

从y＝sinx，x∈［－ ， ］的图象上可看出：

22

ππ

当x∈［－ ， ］时，曲线逐渐上升，sinx的值由－1增大到1.

22π3π当x∈［ ， ］时，曲线逐渐下降，sinx的值由1减小到－1. 22结合上述周期性可知： ππ正弦函数在每一个闭区间［－ ＋2kπ， ＋2kπ］(k∈Z)上都是增函数，其值从－1增

22π3π大到1；在每一个闭区间［ ＋2kπ， ＋2kπ］(k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到

22－1.

余弦函数在每一个闭区间［(2k－1)π，2kπ］(k∈Z)上都是增函数，其值从－1增加到1；在每一个闭区间［2kπ，(2k＋1)π］(k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1.

［例1］求使下列函数取得最大值的自变量x的集合，并说出最大值是什么.

(1)y＝cosx＋1，x∈R； (2)y＝sin2x，x∈R. 解：(1)使函数y＝cosx＋1，x∈R取得最大值的x的集合，就是使函数y＝cosx，x∈R取得最大值的x的集合｛x｜x＝2kπ，k∈Z｝. 函数y＝cosx＋1，x∈R的最大值是1＋1＝2. (2)令Z＝2x，那么x∈R必须并且只需Z∈R，且使函数y＝sinZ，Z∈R取得最大值的Zπ的集合是｛Z｜Z＝ ＋2kπ，k∈Z｝

2ππ

由2x＝Z＝ ＋2kπ，得x＝ ＋kπ

24

π

即：使函数y＝sin2x，x∈R取得最大值的x的集合是｛x｜x＝ ＋kπ，k∈Z｝.

4函数y＝sin2x，x∈R的最大值是1. ［例2］求下列函数的定义域： (1)y＝1＋

1

(2)y＝cosx sinx

黄牛课件 www.kejian123.com

解：(1)由1＋sinx≠0，得sinx≠－1 即x≠

3π

＋2kπ(k∈Z) 2

3π

＋2kπ，k∈Z｝ 2

∴原函数的定义域为｛x｜x≠(2)由cosx≥0

ππ

得－ ＋2kπ≤x≤ ＋2kπ(k∈Z)

22

ππ

∴原函数的定义域为［－ ＋2kπ， ＋2kπ］(k∈Z)

22［例3］求下列函数的单调递增区间： ππx①y＝cos(2x＋ )；②y＝3sin( － ) 632π解：①设u＝2x＋ ，则y＝cosu 6当2kπ－π≤u≤2kπ时y＝cosu随u的增大而增大 π

又∵u＝2x＋ 随x∈R增大而增大 6

ππ∴y＝cos(2x＋ )当2kπ－π≤2x＋ ≤2kπ(k∈Z) 667ππ即kπ－ ≤x≤kπ－ 时，y随x增大而增大 1212π

∴y＝cos(2x＋ )的单调递增区间为： 67ππ［kπ－ π，kπ－ ］(k∈Z) 1212πx②设u＝ － ，则y＝3sinu

32π3π

当2kπ＋ ≤u≤2kπ＋ 时，y＝3sinu随x增大在减小，

22πx又∵u＝ － 随x∈R增大在减小

32πxππx3π

∴y＝3sin( － )当2kπ＋ ≤ － ≤2kπ＋

3223227ππ

即－4kπ－ ≤x≤－4kπ－ 时，y随x增大而增大

33

黄牛课件 www.kejian123.com

πx7ππ

∴y＝3sin( － )的单调递增区间为 ［4kπ－ ，4kπ－ ］(k∈Z)

3233Ⅲ.课堂练习

课本P33 1～7 Ⅳ.课时小结

通过本节学习，要初步掌握正、余弦函数的性质以及性质的简单应用，解决一些相关问题.

Ⅴ.课后作业

课本P46 习题 2、3、4

课后练习：

1．给出下列命题： ①y＝sinx在第一象限是增函数； π②α是锐角，则y＝sin(α＋ )的值域是［－1，1］； 4③y＝sin｜x｜的周期是2π； ④y＝sinx－cosx的最小值是－1； 其中正确的命题的序号是_____. 分析:①y＝sinx是周期函数，自变量x的取值可周期性出现，如反例： ππ令x1＝ ，x2＝ ＋2π，此时x1＜x2 36ππ而sin ＞sin( ＋2π) 36∴①错误； ππππ②当α为锐角时， ＜α＋ ＜ ＋ 4424由图象可知∴②错误； ③∵y＝sin｜x｜(x∈R)是偶函数. 其图象是关于y轴对称，可看出它不是周期函数. ∴③错误； ④y＝sinx－cosx＝－cos2x，最小值为－1 ∴④正确. 答案：④

评述：函数的单调性是函数的局部选择，是针对区间而言的；我们不能说某函数在某象限内是增函数还是减函数，而只能说某函数在某区间上是增函数还是减函数.

黄牛课件 www.kejian123.com

22222π＜sin(α＋ )≤1 24

2．求下列函数的定义域和值域：

3) (2)y＝22cos3x－1 2

分析：根据函数有意义列不等式，求x的范围即为定义域.求值域时要注意正弦函数和余弦函数的值域.

(1)y＝lg(sinx－解：(1)要使lg(sinx－33)有意义，必须且只须sinx＞， 22

π2π

解之得：2kπ＋ ＜x＜2kπ＋ ，k∈Z

33又∵0＜sinx－∴lg(sinx－33≤1－ 22

33)≤lg(1－) 22π2π∴定义域为(2kπ＋ ，2kπ＋ )，(k∈Z) 33值域为(－∞，lg(1－3)］. 21

(2)要使22cos3x－1 有意义，必须且只须2cos3x－1≥0，即cos3x≥ ，

2ππ解之得2kπ－ ≤3x≤2kπ＋ 33即

2kππ2kππ － ≤x≤ ＋ ，k∈Z. 3939又0≤2cos3x－1≤1 故0≤22cos3x－1 ≤2 2kππ2kππ∴定义域为［ － ， ＋ ］，k∈Z 3939值域为［0，2］

评述：求由正弦函数和余弦函数组成复合函数的定义域、值域问题，要充分考虑基本的正弦函数和余弦函数的单调性和值域.

4.比较下列各组数的大小：

(1)sin195°与cos170°; 317(2)cos ，sin ，－cos

2104(3)sin(sin

3π3π

)，sin( ). 88

分析：化为同名函数，进而利用单调性来比较函数值的大小.

黄牛课件 www.kejian123.com

解：(1)sin195°＝sin(180°＋15°)＝－sin15° cos170°＝cos(180°－10°)＝－cos10°＝－sin80° ∵0°＜15°＜80°＜90°

又∵y＝sinx在［0°，90°］上是递增函数，

∴sin15°＜sin80° ∴－sin15°＞－sin80° ∴sin195°＞cos170°. (2)∵sin

1π1

＝cos( － ) 10210

77

－cos ＝cos(π－ )

44π13又∵ － ＝1.47＜1.5＝ 21027π13π－ ＝1.39＜1.4＜ － ＜ 42102而y＝cosx在［0，π］上是减函数， 7π13由π－ ＜ － ＜ ＜π 421023π17得cos ＜cos( － )＜cos(π－ ) 22104317即cos ＜sin ＜－cos . 21043ππ(3)∵cos ＝sin 883π3π∴0＜cos ＜sin ＜1 88而y＝sinx在［0，1］内递增 3π3π∴sin(cos )＜sin(sin ).

88

黄牛课件 www.kejian123.com