矩形膜受迫振动问题的数学模型

维普资讯 http://www.cqvip.com 第１３卷第３期　２００２年６月　江苏广播电视大学学报　ＪＯＵＲＮＡＬ　ＯＦ　ＪＩＡＮＧＳＵ　ＲＡＤＩＯ＆ＴＥＬＥＶＩＳＩＯＮ　ＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ　ＶｏＩｌ　１３　Ｎｏ　３　Ｊｕｎ．２００２　矩形膜受迫振动问题的数学模型　张　晶　（苏州市广播电视大学，江苏苏州２１５００４）　摘要：对于长为ａ，宽为ｂ的矩形膜的受迫振动的问题，建立关于该问题的数学模型。利用分离　变量法和二重傅里叶级数的方法，得到了矩形膜的受迫振动初边值问题的解。　关键词：矩形膜；受迫振动问题；分离变量法；二重傅里叶级数　中图分类号：Ｏ１４１．４１　文献标识码：Ａ　文章编号：１００８—４２０７（２００２）０３—００５６—０２　对于长为ａ，宽为ｂ的矩形膜的受迫振动问　题，其数学模型是位移Ｕ（ｚ，．ｙ，ｔ）的初边值问题，　具体如下：　丁（ｔ）＝Ａｃｏｓａｃｔ＋Ｂｓｉｎａｃｔ　设Ｕ（ｚ，．ｙ）＝Ｘ（ｚ）Ｙ（ｙ），代人方程（１１）得　Ｘ　ｙ＋Ｘｙ　＋２ＸＹ＝０　ｆ　一ｃ　ｚ３ｕ＝Ｆ（ｚ，．ｙ，￡），Ｏ＜ｘ＜ａ，０＜ｙ＜ｂ，ｔ＞０（１）　即　＝　＝一　ｌ“（ｚ，．ｙ，０）＝ｆ（ｚ，．ｙ）　Ｉ“　（ｚ，．ｙ，０）＝ｇ（ｚ，．ｙ）　“（０，．ｙ，ｔ）＝０　（２）　（３）　（４）　得Ｘ　一　＝０　（１２）　（１３）　＋（　＋　）Ｙ＝０　令　＝一　，从方程（１２）与（１３），得　ｌ“（以，．ｙ，ｔ）＝０　ｌ“（ｚ，０，ｔ）＝０　ｌＵ（ｚ，ｂ，ｔ）＝０　其中，Ｆ（ｚ，．ｙ，ｔ）是矩形膜所受到的外力。　（５）　（６）　（７）　Ｘ（ｚ）＝Ｃｃｏｓｆｌｒ＋Ｄｓｉｎ／？ａ：　Ｙ（．ｙ）＝Ｅｃｏｓ　＋Ｄｓｉｎｙｙ　其中），　＝　＋／１＝０ｔ２一　。　由边界条件（４）和（５），可得Ｘ（０）　Ｘ（ａ）＝　０，于是有Ｃ＝０及Ｄｓｉｎ／？ａ＝０。由Ｘ（ｚ）≠０，所　以Ｄ≠０，得　＝　；由边界条件（６）和（７），．－ｊ－￣　对于问题（１）～（７）的求解，我们首先考虑不　受外力的情况，用分离变量法，求得满足齐次边界　条件（４）～（７）的解，再求解问题（１）～（７）。即　Ｕ　＝Ｃ２△“　用分离变量法，假设式（８）解的形式为　Ｕ（ｚ，．ｙ，ｔ）＝【，厂（ｚ，．ｙ）Ｔ（ｔ）　将式（９）代人式（８），有　即　＝　一　（８）　（９）　Ｙ（０）＝Ｙ（ｂ）＝０，于是有Ｅ＝０及Ｆｓｉｎｙ６＝０。　由ｙ（．ｙ）≠０，所以Ｆ≠０，得），＝　，ｍ与　都是　整数。　＝Ｃ　ＴＡＵ　所以方程（８）满足边界条件（４）～（７）的解是　得　＋Ｃ２２Ｔ：０　ＡＵ＋２Ｕ＝０　其中一　是分离系数，△【，厂＝　令　＝ａ　，从方程（１０）解得　（１０）　（１１）　＋【，厂　。　Ｕ（ｚ，．ｙ，ｔ）＝　（ａｍｎ∞ｓａ　ｎＣｔ　ｓｉｎ　，以　、ｂｍ．都是常　Ｄ一　＋ｂｍ．ｓｉｎａｍｎＣｔ）ｓｉｎ　其中ａ２　＝盟　ａ　。　＋　收稿Ｅｌ期：２００２—０１—１０　作者简介：张晶（１９７５一），男，江苏苏州人，苏州市广播电视大学电子工程系助教。　维普资讯 http://www.cqvip.com 第３期　张晶：矩形膜受迫振动问题的数学模型　・５７・　数，　ｚ，　＝１，２，３，…。　再求解方程（１）～（７）。于是，假设问题（１）～　是“ｘ，　，￡）　Ｕｍｎ（￡）ｓｉｎ　ｓｉｎ　ｍ　ｌ　。ｌ　“　Ｕ　（７）的解为　其中，“ｍ　（ｔ）＝Ａ　ＣＯＳＧ　ｃｔ＋Ｂ　ｓｉｎｇ　ｃｔ　“ｘ，　，　）　Ｕｍｎ（　）ｓｉｎ　ｓｉｎ　＋　ｊ’　（ｒ）ｓｉｎａｍｎＣ（　—ｒ）ｄｒ，Ｆ　）、Ａ　、　。而把函数Ｆ（ｘ，　，ｔ）展开为　Ｂ　分别为式（１４）、（１８）和（２０），这里假定“的级　Ｆ（ｘ，　，￡）＝　ｏｏ　ｏｏＦ　（ｓｉｎ　数与它的一阶及二阶导数都一致收敛。　ｌ　。　）ｓｉｎ　ｌ　“　Ｕ　下面，我们举一个具体的例子来加以说明。　这里Ｆ　（ｔ）为　例　求下列矩形膜的受迫振动方程的解：　）＝４ｆ：ｄｚ　（ｘ，ｙ，ｔ）Ｓｉｎ　ｆ“　一ｆ　△“＝ｅ。丁　Ｙｃｏｓｃｏｔ，０＜ｚ＜ｎ，０＜　＜ｂ，ｔ＞０　ｓｉ’ｎ　ｄｙ　（１４）　Ｉ“（ｚ，　，０）＝０　ｌ“　（ｚ，　，０）＝０　现在假设“对ｚ、　和ｔ都是逐项二次可微　“（０，　，ｔ）＝０　的，把“（ｚ，　，ｔ）和Ｆ（ｚ，　，ｔ）的展开式代入方　Ｉ“（ｎ，　，ｔ）＝０　程（１），得到　ｌ“（ｚ，０，ｔ）＝０　“　十　ａ搠　“　＝　＋ｃ２ａ２Ｃ　　“　＝Ｆ（１５）上３　　ｌ“（ｚ，ｂ，ｔ）＝０　其中ａ２　＋　。于是常微分方程　解　在本问题中，Ｆ（ｘ，　，ｔ）＝ｅ　ｃｏｓｗｔ，　（１５）的解具有下列形式：　ｆ（ｘ，　）＝ｇ（ｘ，　）＝０，那么　“　（ｔ）＝Ａ　ＣＯＳＧ　ｃｔ＋Ｂ　ｓｉｎｇ　ｃｔ　㈩　丽．［１＋　＋　（ｒ）ｓｉｎＧｍｎＣ（￡一ｒ）ｄｒ（１６）　（一１　ｍ　ｅ。］［１＋（一１）　ｅ　］ｃｏｓｃｏｔ　＝Ｃ　ｃｏｓｗｔ　由初始条件（２）可得　Ａ　＝Ｂ　＝０。　“（ｚ，　，０）＝ｆ（ｚ，　）　因此，我们有　＝ｍ量　Ａ舢ｓ＝１　＝１　ｉｎ　ｓ“　ｉｎ　０　（１７）　假设函数ｆ（．７ｇ，　）对．７ｇ和　是连续的，那么　㈩＝　ｊ’　ｃｏｓｃｏｖｓｉｎａｍｎＣ（　＿ｒ）ｄｒ　上面这个二重傅里叶级数的系数Ａ　为　ｒ　＝了　一　’Ｇ－ｍｎＣ　’　一叫　’＼（ｃｏｓｗｔ—Ｃ　ＯＳＧ　ｃｔ）／　＝三ｊ’　：厂（ｚ，　）ｓｉｎ　血　这里假定ｃＵ≠ＧｍｎＣ，于是所求的解可写成下　（１８）　列形式：　ｏｏ同样，由初始条件（３），我们有　“（ｚ，　，　）＝　ｏｏ。　。　（ｃｏｓ叫　一　“ｆ（．７ｇ，　，ｔ）＝ｇ（ｘ，　）　：兰兰Ｂ　ａ（１９）ＣＯＳＧｍｎＣｔ）　ｎ　ｍＴ．　ｌ＇ｘ　‘．　ｎ　丌Ｖ　。　Ｂｍ　，　ｆｓｉ１ｎ旦　ｓｓ‘・ｉ　ｎ旦　ｍ　＝１　＝１　“　０　因此对连续的ｇ（ｘ，　），得到　参考文献：　Ｂ，ｎｎ＝４ｚ　（　ｎ　｛１　ｌ　Ｍ．Ｌ．Ｂｏａｓ．Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ　Ｍｅｔｈｏｄｓ　ｉｎ　ｔｈｅ　Ｐｈｙｓｉｃａｌ　ｏｂｎｃ；：ｄＳｃｉｅｎｃｅｓ．Ｎｅｗ　Ｙｏｒｋ：Ｗｉｌｅｙ，１９９６．１０６—１２０．　ｓｉｎ　ｎ６ｎｙｄｙ　（２０）　｛２　ｌ　Ｉ．Ｓ．Ｓｏｋｏｌｎｉｋｏｆｆ　ａｎｄ　Ｒ．Ｍ．Ｒｅｄｈｅｆｆｅｒ．Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ　ｏｆ　利用式（１６）～（２０），所以其初边界问题的解　Ｐｈｙｓｉｃｓ　ａｎｄＭｏｄｅｒｎ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ．５６—７８．　（下转第８０页）