解答排列组合问题的策略

解答排列组合问题的策略

排列组合作为高中数学的一个独立分支，因为极具抽象性而成为“教”与“学”难点。有相当一部分题目教师很难用比较清晰简洁的语言讲给学生听，有的即使教师觉得讲清楚了，但是由于学生的认知水平，思维能力在一定程度上受到限制，还不太适应。从而导致学生对题目一知半解，甚至觉得“云天雾地”。针对这一现象，在日常教学过程中总结出一些个人的想法。

学生“怕”学排列组合，主要还是因为排列组合的抽象性，那么解决问题的关键就是将抽象问题具体化，我们不妨将原题进行一下转换，让学生走进题目当中，成为“演员”，成为解决问题的决策者。这样做不仅激发了学生的学习兴趣，活跃了课堂气氛，还充分发挥学生的主体意识和主观能动性，能让学生从具体问题的分析过程中得到启发，逐步适应排列组合题的解题规律，从而做到以不变应万变。当然，在具体的教学过程中一定要注意题目转换的等价性，可操作性。

下面将就教学过程中的两个难点通过两个特例作进一步的说明：1、 占位子问题例1：将编号为1、2、3、4、5的5个小球放进编号为1、2、3、4、5的5个盒子中，要求只有两个小球与其所在的盒子编号相同，问有多少种不同的方法？

① 仔细审题：在转换题目之前先让学生仔细审题，从特殊字眼小球和盒子都已“编号”着手，清楚这是一个“排列问题”，然后对题目进行等价转换。

② 转换题目：在审题的基础上，为了激发学生兴趣进入角色，我将题目转换为：让学号为1、2、3、4、5的学生坐到编号为1、2、3、4、5的五张凳子上（已准备好放在讲台前），要求只有两个学生与其所坐的凳子编号相同，问有多少种不同的坐法？

③ 解决问题：这时我在选另一名学生来安排这5位学生坐位子（学生争着上台，积极性已经得到了极大的提高），班上其他同学也都积极思考（充分发挥了学生的主体地位和主观能动性），努力地“出谋划策”，不到两分钟的时间，同学们有了统一的看法：先选定符合题目特殊条件“两个学生与其所坐的凳子编号相同”的两位同学，有C 种方法，让他们坐到与自己编号相同的凳子上，然后剩下的三位同学不坐编号相同的凳子有2种排法，最后根据乘法原理得到结果为2×C =20（种）。这样原题也就得到了解决。

④ 学生小结：接着我让学生之间互相讨论，根据自己的分析方法对这一类问题提出一个好的解决方案。（课堂气氛又一次活跃起来）

⑤ 老师总结：对于这一类占位子问题，关键是抓住题目中的特殊条件，先从特殊对象或者特殊位子入手，再考虑一般对象，从而最终解决问题。

2.分组问题例2：从1、3、5、7、9和2、4、6、8两组数中分别选出3个和2个数组成五位数，问这样的五位数有几个？

（本题我是先让学生计算，有很多同学得出的结论是P ×P ）

① 仔细审题：先由学生审题，明确组成五位数是一个排列问题，但是由于这五个数来自两个不同的组，因此是一个“分组排列问题”，然后对题目进行等价转换。

② 转换题目：在学生充分审题后，我让学生自己对题目进行等价转换，有一位同学A将题目转换如下：从班级的第一组（12人）和第二组（10人）中分别选3位和2位同学分别去参加苏州市举办的语文、数学、英语、物理、化学竞赛，问有多少种不同的选法？

③ 解决问题：接着我就让同学A来提出选人的方案同学A说：先从第一组的12个人中选出3人参加其中的3科竞赛，有P ×P 种选法；再从第二组的10人中选出2人参加其中2科竞赛有P ×P 种选法；最后由乘法原理得出结论为（P ×P ）×（P ×P ）（种）。（这时同学B表示反对）

同学B说：如果第一组的3个人先选了3门科目，那么第二组的2人就没有选择的余地。所以第二步应该是P ×P。（同学们都表示同意，但是同学C说太蘩）

同学C说：可以先分别从两组中把5个人选出来，然后将这5个人在5门学科中排列，他列出的计算式是C ×C ×P （种）。（再次通过互相讨论，都表示赞赏）

这样原题的解答结果就“浮现”出来C ×C ×P （种）。

④ 老师总结：针对这样的“分组排列”题，我们多采用“先选后排”的方法：先将需要排列的对象选定，再对它们进行排列。

以上是我一节课两个例题的分析过程，旨在通过这种方法的尝试，进一步活跃课堂气氛，更全面地调动学生的学习积极性，发挥教师的主导作用和学生的主体作用，让学生在互相讨论的过程中学会自己分析转换问题，解决问题。