排列组合练习试题和答案解析

一、排列与组合

1.从9人中选派2人参加某一活动，有多少种不同选法

2.从9人中选派2人参加文艺活动，1人下乡演出，1人在本地演出，有多少种不同选派方法 3. 现从男、女8名学生干部中选出2名男同学和1名女同学分别参加全校“资源”、“生态”和“环保”三个夏令营活动，已知共有90种不同的方案，那么男、女同学的人数是 A.男同学2人，女同学6人 B.男同学3人，女同学5人 C. 男同学5人，女同学3人 D. 男同学6人，女同学2人

4.一条铁路原有m个车站，为了适应客运需要新增加n个车站（n>1），则客运车票增加了58种（从甲站到乙站与乙站到甲站需要两种不同车票），那么原有的车站有 个 个 个 个 5．用0，1，2，3，4，5这六个数字， （1）可以组成多少个数字不重复的三位数 （2）可以组成多少个数字允许重复的三位数

（3）可以组成多少个数字不允许重复的三位数的奇数 （4）可以组成多少个数字不重复的小于1000的自然数

（5）可以组成多少个大于3000，小于5421的数字不重复的四位数 二、注意附加条件

人排成一列 （1）甲乙必须站两端，有多少种不同排法 （2）甲乙必须站两端，丙站中间，有多少种不同排法

2.由1、2、3、4、5、6六个数字可组成多少个无重复数字且是6的倍数的五位数

3.由数字1，2，3，4，5，6，7所组成的没有重复数字的四位数，按从小到大的顺序排列起来，第379个数是

4. 设有编号为1、2、3、4、5的五个茶杯和编号为1、2、3、4、5的五个杯盖，将五个杯盖盖在五个茶杯上，至少有两个杯盖和茶杯的编号相同的盖法有 种 种 种 种

5.从编号为1，2，…，10,11的11个球中取5个，使这5个球中既有编号为偶数的球又有编号为奇数的球，且它们的编号之和为奇数，其取法总数是 种 种 种 种

6.从6双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好有1双同色的取法有 种 种 种 种

7. 用0，1，2，3，4，5这六个数组成没有重复数字的四位偶数，将这些四位数从小到大排列起来，第71个数是 。 三、间接与直接

1.有4名女同学，6名男同学，现选3名同学参加某一比赛，至少有1名女同学，由多少种不同选法

2. 6名男生4名女生排成一行，女生不全相邻的排法有多少种

3.已知集合A和B各12个元素，AIB含有4个元素，试求同时满足下列两个条件的集合C的个数：（1）C(AUB)且C中含有三个元素；（2）CIA,表示空集。

4. 从5门不同的文科学科和4门不同的理科学科中任选4门，组成一个综合高考科目组，若要求这组科目中文理科都有，则不同的选法的种数 种 种 种 种

5.四面体的顶点和各棱中点共有10个点，在其中取4个不共面的点不同取法有多少种 6. 以正方体的8个顶点为顶点的四棱锥有多少个

7. 对正方体的8个顶点两两连线，其中能成异面直线的有多少对 四、分类与分步

1.求下列集合的元素个数．

（1）M{(x,y)|x,yN,xy6}； （2）H{(x,y)|x,yN,1x4,1y5}．

2.一个文艺团队有9名成员，有7人会唱歌，5人会跳舞，现派2人参加演出，其中1名会唱歌，1名会跳舞，有多少种不同选派方法 3.已知直线

l2l1//l2lll，在1上取3个点，在2上取4个点，每两个点连成直线，那么这些直线在1和

ll之间的交点（不包括1、2上的点）最多有

A. 18个 个 个 个

4. 9名翻译人员中，6人懂英语，4人懂日语，从中选拔5人参加外事活动，要求其中3人担任英语翻译，2人担任日语翻译，选拔的方法有 种（用数字作答）。

5.某博物馆要在20天内接待8所学校的学生参观，每天只安排一所学校，其中一所人数较多的学校要连续参观3天，其余学校只参观1天，则在这20天内不同的安排方法为 A.

7C320A17种 B.

A820种 C.

7C118A17种 D.

A1818

种

6. 从10种不同的作物种子选出6种放入6个不同的瓶子展出，如果甲乙两种种子不许放第一

号瓶内，那么不同的放法共有 A.

24C10A8种 B.

5C19A9种 C.

5C18A9种 D.

5C19A8种

7. 在画廊要展出1幅水彩画、4幅油画、5幅国画，要求排成一排，并且同一种的画摆放在一

起，还要求水彩画不能摆两端，那么不同的陈列方式有 A.

5A14A5种 B.

25A3A44A5种 C.

45A14A4A5种 D.

45A22A4A5种

8. 把一个圆周24等分，过其中任意3个分点，可以连成圆的内接三角形，其中直角三角形的

个数是

9. 有三张纸片，正、反面分别写着数字1、2、3和4、5、6 ，将这三张纸片上的数字排成三位数，共能组不同三位数的个数是

A. 24

10.在1～20共20个整数中取两个数相加,使其和为偶数的不同取法共有多少种 11. 如下图,共有多少个不同的三角形 解:所有不同的三角形可分为三类：

第一类:其中有两条边是原五边形的边,这样的三角形共有5个

第二类:其中有且只有一条边是原五边形的边,这样的三角形共有5×4=20个 第三类:没有一条边是原五边形的边,即由五条对角线围成的三角形,共有5+5=10个 由分类计数原理得,不同的三角形共有5+20+10=35个.

12.从5部不同的影片中选出4部，在3个影院放映，每个影院至少放映一部，每部影片只放映一场，共有 种不同的放映方法（用数字作答）。 五、元素与位置——位置分析 人争夺5项冠军，结果有多少种情况 2. 75600有多少个正约数有多少个奇约数

解:75600的约数就是能整除75600的整数,所以本题就是分别求能整除75600的整数和奇约数的个数.

由于 75600=24×33×52×7

ljkl(1) 75600的每个约数都可以写成2357的形式,其中0i4,0j3,0k2,0l1

于是,要确定75600的一个约数,可分四步完成,即i,j,k,l分别在各自的范围内任取一个值,这样i有5种取法,j有4种取法,k有3种取法,l有2种取法,根据分步计数原理得约数的个数为5×4×3×2=120个.

jkl(2)奇约数中步不含有2的因数,因此75600的每个奇约数都可以写成357的形式,同上奇约

数的个数为4×3×2=24个.

3. 2名医生和4名护士被分配到两所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，不同分配方法有多少种

4．有四位同学参加三项不同的比赛，

（1）每位同学必须参加一项竞赛，有多少种不同的结果 （2）每项竞赛只许一位学生参加，有多少种不同的结果

解：（1）每位学生有三种选择，四位学生共有参赛方法：333381种；

（2）每项竞赛被选择的方法有四种，三项竞赛共有参赛方法：44464种. 六、染色问题

1.如图一,要给①,②,③,④四块区域分别涂上五种颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同颜色,则不同涂色方法种数为() A. 180 B. 160 C. 96 D. 60 ② ① ③ 图一

④ ① ③ ② 图二

④ ② ① ③ ④ 图三

若变为图二,图三呢(240种,5×4×4×4=320种) 2. 某班宣传小组一期国庆专刊，现有红、 黄、白、绿、蓝五种颜色的粉笔供选用， 要求在黑板中A、B、C、D（如图）每一

ABC部分只写一种颜色，相邻两块颜色不同，

则不同颜色粉笔书写的方法共有 种（用具体数字作答）。 七、消序

D1. 有4名男生，3名女生。现将他们排成一行，要求从左到右女生从矮到高排列，有多少种排法

2. 书架上有6本书，现再放入3本书，要求不改变原来6本书前后的相对顺序，有多少种不同排法 八、分组分配

1.某校高中一年级有6个班，分派3名教师任教，每名教师任教二个班，不同的安排方法有多少种

2. 高三级8个班，分派4名数学老师任教，每位教师任教2个班，则不同安排方法有多少种 3. 6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人一本、二本、三本的不同分法有多少种 项工程，甲承包三项，乙承包一项，丙、丁各承包二项，不同的承包方案有 种

5..六人住A、B、C三间房，每房最多住三人， （1）每间住两人，有 种不同的住法，

（2）一间住三人，一间住二人，一间住一人，有 种不同的住宿方案。 6. 8人住ABC三个房间，每间最多住3人，有多少种不同住宿方案

7.有4个不同小球放入四个不同盒子，其中有且只有一个盒子留空，有多少种不同放法 7. 把标有a，b，c，d，…的8件不同纪念品平均赠给甲、乙两位同学，其中a、b不赠给同一个人，则不同的赠送方法有 种（用数字作答）。 九、捆绑

1. A、B、C、D、E五个人并排站成一列，若A、B必相邻，则有多少种不同排法

2. 有8本不同的书， 其中科技书3本，文艺书2本，其它书3本，将这些书竖排在书架上，则科技书连在一起，文艺书也连在一起的不同排法种数与这8本书的不同排法之比为 :14 :28 :140 :336 十、插空

1.要排一个有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目都不相邻，有多少种不同排法

2、4名男生和4名女生站成一排，若要求男女相间，则不同的排法数有（ ）

3. 要排一个有5个歌唱节目和3个舞蹈节目的演出节目单，如果舞蹈节目不相邻，则有多少种不同排法

4. 5人排成一排，要求甲、乙之间至少有1人，共有多少种不同排法

5..把5本不同的书排列在书架的同一层上，其中某3本书要排在中间位置，有多少种不同排法 到7七个自然数组成一个没有重复数字的七位数，其中偶数不相邻的个数有 个. 7.排成一排的8个空位上，坐3人，使每人两边都有空位，有多少种不同坐法 张椅子放成一排，4人就坐，恰有连续三个空位的坐法有多少种

9. 排成一排的9个空位上，坐3人，使三处有连续二个空位，有多少种不同坐法

10. 排成一排的9个空位上，坐3人，使三处空位中有一处一个空位、有一处连续二个空位、有一处连续三个空位，有多少种不同坐法

11. 某城市修建的一条道路上有12只路灯，为了节省用电而又不影响正常的照明，可以熄灭其中三只灯，但不能熄灭两端的灯，也不能熄灭相邻的两只灯，那么熄灯的方法共有 种 A.

3C8 B.

3A8 C.

C39 D.

A39

12. 在一次文艺演出中，需给舞台上方安装一排彩灯共15只，以不同的点灯方式增加舞台效果，

要求设计者按照每次点亮时，必需有6只灯是关的，且相邻的灯不能同时被关掉，两端的灯必需点亮的要求进行设计，那么不同的点亮方式是 种 种 种 种

13. 一排长椅上共有10个座位，现有4人就座，恰有五个连续空位的坐法种数为 。（用数字作答） 十一、隔板法 1. 不定方程

x1x2x3x47的正整数解的组数是 ，非负整数解的组数是 。

2.某运输公司有7个车队，每个车队的车多于4辆，现从这7个车队中抽出10辆车，且每个车队至少抽一辆组成运输队，则不同的抽法有 种 种 种 种

3. 要从7所学校选出10人参加素质教育研讨班，每所学校至少参加1人，则这10个名额共有 种分配方法。

4.有编号为1、2、3的3个盒子和10个相同的小球，现把10个小球全部装入3个盒子中，使得每个盒子所装球数不小于盒子的编号数，这种装法共有 种 种 种 种

5.将7只相同的小球全部放入4个不同盒子，每盒至少1球的方法有多少种

6.某中学从高中7个班中选出12名学生组成校代表队，参加市中学数学应用题竞赛活动，使代表中每班至少有1人参加的选法有多少种 十二、对应的思想

1.在100名选手之间进行单循环淘汰赛（即一场比赛失败要退出比赛），最后产生一名冠军，问要举行几场 十三、找规律

1.在1～20共20个整数中取两个数相加,使其和大于20的不同取法共有多少种

解:分类标准一,固定小加数.小加数为1时,大加数只有20这1种取法;小加数为2时,大加数有19或20两种取法;小加数为3时,大加数为18,19或20共3种取法…小加数为10时,大加数为11,12,…,20共10种取法;小加数为11时,大加数有9种取法…小加数取19时,大加数有1种取法.由分类计数原理,得不同取法共有1+2+…+9+10+9+…+2+1=100种.

分类标准二:固定和的值.有和为21,22,…,39这几类,依次有取法10,9,9,8,8, …,2,2,1,1种.由分类计数原理得不同取法共有10+9+9+…+2+2+1+1=100种.

2.从1到100的自然数中，每次取出不同的两个数，使它们的和大于一百，则不同的取法有 种 种 种 种 十四、实验——写出所有的排列或组合

1.将数字1,2,3,4填入标号1,2,3,4的四个方格中，每个格填一个，则每一个方格的标号与所填的数字均不同的填法有 种.

解:列表排出所有的分配方案,共有3+3+3=9种,或33119种． 未归类几道题

1.从数字0，1，3，5，7中取出不同的三位数作系数，可以组成多少个不同的一元二次方程ax+bx+c=0其中有实根的方程有多少个

变式：若直线Ax+By+C=0的系数A、B可以从0，1，2，3，6，7这六个数字中取不同的数值，则这些方程所表示的直线条数是（ A）

2.在100件产品中,有98件合格品,2件不合格品.从这100件产品中任意抽出3件 (1)一共有多少种不同的抽法

(2)抽出的3件中恰好有一件是不合格品的抽法有多少种 (3)抽出的3件中至少有一件是不合格品的抽法有多少种

双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任意抽取4只，试求各有多少种情况出现如下结果 (1)4只鞋子没有成双；(2) 4只鞋子恰好成双； (3) 4只鞋子有2只成双，另2只不成双

是集合M={a,b,c,d}到N{0,1,2}的映射，且f(a)+f(b)+f(c)+f(d)=4,则不同的映射有多少个

解：根据a,b,c,d对应的象为2的个数分类，可分为三类：

第一类，没有一个元素的象为2，其和又为4，则集合M所有元素的象都为1，这样的映射只有1个

第二类，有一个元素的象为2，其和又为4，则其余3个元素的象为0，1，1，这样的映射有C41C3 1C22个

第三类，有两个元素的象为2，其和又为4，则其余2个元素的象必为0，这样的映射有C42C22个

根据加法原理共有 1+ C41C3 1C22 +C42 C22=19个

5.四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，则恰有一个空盒的方法共有多少种 6.由12个人组成的课外文娱小组，其中5个人只会跳舞，5个人只会唱歌，2个人既会跳舞又会唱歌，若从中选出4个会跳舞和4个会唱歌的人去排演节目，共有多少种不同选法

排列、组合练习题参考答案: 1.

C9236 2.

A9272

3.解析：设男生有n人，则女生有（8-n）人，由题意得

213CnC8nA3nn1(8n)690nn1(8n)302 即

用选支验证选（B）

4.分类：①恰有两个杯盖和茶杯的编号相同的盖法有

3C510C52220种；

②恰有三个杯盖和茶杯的编号相同的盖法有种；

③无恰有四个杯盖和茶杯的编号相同的盖法，只有五个杯盖和茶杯的编号完全相同的盖法1种。 故选（B）31种。 5 .分类：①1奇4偶：

14C6C530 ②3奇2偶：

32C6C5200 选（A）

6.分步：

1C6C5222240选（A）

7.间接法：

33C10C6

B

A

或分类：

2213C14C6+C4C6+C4

8. 间接法：

AAA101044778

4

8

9. 间接法：

3C20C83

l1l22C32C41810.对应：一交点对应、上各两点：

个选（A）

11. 分类：①英语翻译从单会英语中选派：

32C5C460

②英语翻译选派中一人既会英语又会日语：填90

C52C3230

懂日语

懂英语

12. 分步：选（D）

AAA224455

5

1

6

13.元素与位置：以冠军为位置，选人：777777

43214.756002357①5432120；②43224

515. 分步：5433180 填180

9A97896A93A789616.消序：=504 或分步插空：=504 或

222C6C4C23A32223C6C4C2A317.先分组后分配： 或位置分析：

18. 先分组后分配：

3213C6C3C1A3

19. 位置分析：

122C83C5C4C2

3213C6C3C1A320.（1）仿17题；（2）先分组后分配：

32C83C5C23A3221. 先分组后分配：A2

或分类，先确定住两人的房间——位置分析：

C42A331233C3C8C6C3

211C4C2C1重复题目: 先分组后分配：

或分类——位置分析：3

532A5A3A218A28 选（B） 822.捆绑：

23. 插空:

A44A53 24. 插空:

C833A4 25. 插空:

A44A52 26. 插空:

3A33C4

27. 插空:

33A3A4 28.(A)

29. 隔板法：

o3C96C998784321 选（A）

30.1先在编号为2、3的2个盒子分别放入1个小球、2个小球；

C62152对余下7个小球用隔板法

o。选（C）

31.对应的思想：100名选手之间进行单循环淘汰赛，最后产生一名冠军，要环淘99名选手，

每淘汰1名选手，对应一场比赛。故要举行99场比赛。

32.[ 解法一]:找规律：固定小加数.小加数为1时,大加数只有20这1种取法;小加数为2时,大加数有19或20两种取法;小加数为3时,大加数为18,19或20共3种取法…小加数为10时,大加数为11,12,…,20共10种取法;小加数为11时,大加数有9种取法…小加数取19时,大加数有1种取法.由分类计数原理,得不同取法共有1+2+…+9+10+9+…+2+1=100种.

[法二]:固定和的值.有和为21,22,…,39这几类,依次有取法10,9,9,8,8, …,2,2,1,1种.由分类计数原理得不同取法共有10+9+9+…+2+2+1+1=100种. 以上两种方法是两种不同的分类。

33. 解:列表排出所有的分配方案,共有3+3+3=9种,或33119种．

4C10242C101C10C922234.(1) (2) (3)

35. 解：根据a,b,c,d对应的象为2的个数分类，可分为三类：

第一类，没有一个元素的象为2，其和又为4，则集合M所有元素的象都为1，这样的映射只

有1个

第二类，有一个元素的象为2，其和又为4，则其余3个元素的象为0，1，1，这样的映射有

112C4C3C2=12个

C42C22第三类，有两个元素的象为2，其和又为4，则其余2个元素的象必为0，这样的映射有个

112C4C3C2C42C22根据加法原理共有 1+ + =1+12+6=19个

=6