排列组合题型及解答策略

排列组合题型及解答策略

解排列、组合问题，首先必须认真审题，明确问题是否是排列、组合问题；其次是抓住问题的本质特征，灵活运用基本原理和公式进行分析解答；同时，还要注意讲究一些基本策略和方法技巧，使一些看似复杂的问题迎刃而解。本文归纳了排列组合常见题型及解题策略，供参考。

（一）特殊元素“优先安排法”

对于特殊元素的排列组合问题，一般先考虑特殊元素，再考虑其他元素。

例1. 用0，1，2，3，4这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有个。

分析：由于三位数都是偶数，故末尾数字必须是偶数，又因为0不能排首位，故0就是其中的“特殊”元素，应优先安排。 解：按0排在末尾和0不排在末尾分为两类：①0排末尾时，有a，②0不排末尾时，有aaa由分类加法计数原理：a＋aaa＝30个。 （二）总体淘汰法

对于含有否定词语的问题，还可以从总体中把不符合要求的除去，此时注意既不能多减去也不能少减。

例2. 四面体的顶点与各棱中点共有10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有种。

分析：10点中取4点，有c，每个面上6个点中取4点有4c，每条棱中点共6个，其中共面3个；每条棱上3点，与对棱中点共

面，共有6个面。 解：c-4c-3-6＝141 （三）合理分类与准确分步

解含有约束条件的排列组合问题，应按素的性质，进行分类，事情发生的连续过程分步，做到分类标准明确，分步层次清楚，不重不漏。

例3. 五人从左至右站成一排，其中甲不站排头，乙不站第二个位置，则不同的站法有 种。

分析：由题意可先安排甲，并按其进行分类讨论：①若甲在第二个位置上，则剩下的四人可自由安排，有a种方法 ；②若甲在第三或第四个位置上，则由分步计数原理，不同站法有a aa种。 解：由分类计数原理，不同站法共有：a＋aaa＝78种 （四）相邻问题用“捆绑”法

对于某几个元素要求相邻的排列问题，可先将相邻的元素“捆绑”起来，看作一个元素，与其他元素排列，然后再对相邻元素内部进行排列。

例4.7个人站成一排照相，要求甲、乙、丙三人相邻，分别有多少种不同的排法？

分析：先把甲、乙、丙三人“捆绑”起来看作一个元素，与其余4人共5个元素作全排列。

解：由分步计数原理：共有aa种不同排法。 （五）不相邻问题用“插空法”

对于某几个元素，不相邻的排列问题，可先将其他元素排好，然后再将不相邻元素在已排好元素间及两端的空隙间插入即可。 例5.要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不能相邻，有多少种排法？

分析：先排6个歌唱节目，有a种，间隙中的7个位置，排4个舞蹈节目有a种。

解：由分步计数原理：共有aa种。 （六）定序问题消序法

对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几个元素与其他元素一同进行排列，然后用总的排列数除以这几个元素的全排列数。

例6.有3名男生，4名女生，全体排成一行，其中甲、乙、丙按自左至右的顺序保持不变，则不同排列种数是多少？ 分析：甲、乙、丙三人，顺序一定，用消序法 解：n=a/a＝840种

（七）分排问题用“直排法”

把几个元素排成若干排的问题，若没有其他特殊要求，可用统一排成一排的方法来处理

例7.7人坐两排座位，第一排坐3人，第二排坐4人，有种排法。

分析：7个人，可以在前后两排随意就坐，再无其他条件，故两排可看作一排来处理。

解：不同坐法有a种。 （八）住店法

解决“允许重复排列问题”要注意区分两类元素，一类元素可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”能重复的元素看作“店”，再用乘法原理直接求解的方法称“住店法” 例8.7名学生争夺5项冠军，获得冠军的可能种数有种。 分析：因同一学生可同时夺得几项冠军，故学生可重复排列，将7名学生看作七家“店”，5项冠军看作5名“客”，每个“客”有7种住宿法。

解：由乘法原理：n＝75种。 （九）有序分配逐分法

有序分配问题是指把元素按要求分成若干组，常采用逐步下量分组法求解。

例9.有甲、乙、丙三项任务，甲需由2人承担，乙、丙各需由1人承担，从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选法共有;种。

解：用逐步下量分组法：ccc＝2520种或ccc或ccc 以上介绍了排列组合应用题的几种常见求解策略，这些策略不是彼此孤立的，而是相依存，有时解决某一问题时要综合运用几种求解策略。