导数用于单调性和极值问题

实用文案

专题十四、导数用于单调性和极值问题 题型一 利用导数判断函数的单调性

sin x n

1.证明：函数f(x)= 在区间 7，n上单调递减.

x 2

题型二利用导数求函数的单调区间

2•求下列函数的单调区间.

(1) f(x)= x3 — x； (2)y = ex — x+ 1.

3. 求函数y = x2 — In x2的单调区间.

题型三已知函数单调性求参数的取值范围

a _

4. 已知函数f(x) = x2 + (x丸,常数a€ R).若函数f(x)在 x€ ［2 , +8)上是单调递增的,

x

的取值范围.

5. (1)已知函数f(x)=x3+ bx2+ cx + d的单调减区间为［—1,2］，求b, c的值.

(2)设f(x)= ax3 + x恰好有三个单调区间，求实数

a的取值范围.

题型四用单调性与导数关系证不等式

1

6. 当x >0时，证明不等式ln(x+ 1) > x —；x2.

n

7. 当0—sin x

1

标准

实用文案

题型五、函数的极值问题

标准

实用文案

8.

下列函数存在极值的是( )

B.

C. y= 3x— 1 y = x2

2

9 .设函数 f(x)= '+ Inx,则(

x

)

1

x = 2为f(x)的极大值点 1

x =；为f(x)的极小值点

x = 2为f(x)的极大值点 x = 2为f(x)的极小值点

10 •若函数y = f(x)是定义在R上的可导函数，则

f '(xo)= 0是xo为函数y = f(x)的极值点的

A .充分不必要条件 B •必要不充分条件 C•充要条件

D.既不充分也不必要条件 11 .函数y = x ex的最小值为

12 .若函数f(x)= -^(a>0)在［1 ,+R ］上的最大值为」，则a的值为

x2 + a 3

题型六、利用极值求参数范围

n 3 n

— x)是(

13.已知函数f(x)= asinx— bcosx在x = 一时取得极值，则函数 y = f(

4 4

A •偶函数且图象关于点(n, 0)对称 3 n

B .偶函数且图象关于点(丁, 0)对称

)

标准

实用文案

3 n

C •奇函数且图象关于点 q-, 0)对称 D .奇函数且图象关于点(n, 0)对称

14 .已知函数f(x)= x3+ ax2 + bx + c, f(x)在x = 0处取得极值，并且在区间［0,2］和［4,5］上具 有相反的单调性.

(1) 求实数b的值； (2) 求实数a的取值范围.

题型七、导数用于解决实际问题

15 .用边长为48cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，

在铁皮的四角各截去一个面积相等

的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒.所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方 形的边长为(

A. 6 C. 10

16 .一工厂生产某型号车床，年产量为

)

B. 8 D . 12

N台，分批进行生产，每批生产量相同，每批生产的

准备费为C2元，产品生产后暂存库房，然后均匀投放市场

(指库存量至多等于每批的生产

每批生产该车床 _________

量).设每年每台的库存费为 C1元，求在不考虑生产能力的条件下， 台，一年中库存费和生产准备费之和最小.

题型八、图像问题

17.

f '(x)的图象是如图所示的一条直线， =f(x)的图象的顶点在(

二次函数y= f(x)的图象过原点且它的导函数 y=

y

)

标准

实用文案

A •第i象限 C .第川象限

18.

B.第n象限 D .第W象限

设函数f(x)在定义域内可导，y = f(x)的图象如下图所示， 则导函数y= f '(x)的图象可能是

( )

巩固练习：

1

19.

定义域为R的函数f（x）满足f

（1）

= 1，且f（x）的导函数f '（x）>2，则满足2f

（x）A . {x|- 11}

B. {x|x<1} D . {x|x>1}

1

20 .函数 f（x）= sinx+ 2xf'（3）, f '（x）为 f（x）的导函数，令 a = — ；, b = log 32，则下列关系正

3 2

n

标准

实用文案

确的是( )

B. f(a)A . f(a)>f(b) C. f(a) = f(b)

21. 若关于x的方程x3 — 3x+ m = 0在[0,2]上有根，则实数 m的取值范围是(

A . [ — 2,2] C. [ — 2,0]

1

1

B. [0,2] D . (— s,—

2) U (2 ,+^ )

)

22. 已知函数f(x) = ax3 + ax2 — 2ax + 2a +1的图象经过四个象限，则实数

3 2

a的取值范围是

23. 已知函数f(x)= x3 — 3x，若过点 A(1 , m)(m工一2)可作曲线y = f(x)的三条切线，则实数

m的取值范围为 _________

三、解答题

24 .求证：x>0 时，1 + 2xx — 1

25.设函数f(x)= alnx +

，其中a为常数.

x +1

(1)若a = 0,求曲线y= f(x)在点(1 , f(1))处的切线方程; ⑵讨论函数f(x)的单调性.

26 .已知矩形的两个顶点位于 x轴上，另两个顶点位于抛物线 y= 4 — x2在x轴上方的曲线

标准

实用文案

上，求矩形的面积最大时的边长.

标准

实用文案

3

27.已知函数f(x) = 4 + - — lnx —-，其中a€ R，且曲线y = f(x)在点(1 , f(i))处的切线垂直于 4 X

2 1

y=\"X.

(1) 求a的值；

(2) 求函数f(x)的单调区间与极值.

x a

28 .设函数 f(x)= ex— ax — 2.

(1) 求f(x)的单调区间；

(2) 若a = 1 , k为整数，且当x>0时，(x — k)f '(x) + x + 1>0，求k的最大值.

专题十四、导数用于单调性和极值问题参考答案

1.

证明

xcos x — sin x n

f'(x)= : ，又 x € 一，冗， x2 2

贝U cos x<0 ,「.xcos x— sin x<0 ,

n

•f(X)<0 ,「.f(x)在；,n上是减函数.

2. 解 (1)f'(x) = 3x2 — 1 = (一 3x+ 1)( ；3x— 1),

令 f '(x)>0 ,则 x € 一 oo,

3

3

，

令 f '(x)<0，贝U x € — , .

3 3

• f(x) = x3 — x的单调增区间为—o.

-

单调减区间为

标准

实用文案

(2)y '毛x — i，令 y>o，即 ex— 1>0 ,

则 x€ (0 ,+^ )；令 y '<0，即 ex —1<0，贝U x€ ( — g, 0), .•.y = ex— x + 1的单调增区间(0，+g)，单调减区间为(一g, 0).

2

3.解 •••函数 y = f(x)= x2— In x2 的定义域为(—g,

0) U (0，+g )，又 f '(x) = 2x — _ =

x

2 x2 — 1 2 x— 1 x+ 1

x= x ，

• ••f'(x), f(x)的取值变化情况如下表: x f '(x) (—g,— 1) 一 —1 0 (—1,0) + (0,1) 一 1 0 (1 ,+g) + / / 1 1 由上表可知，函数 f(x) = x2 — In x2在区间(一1,0) , (1 ,+g )上单调递增；在区间(一g, — 1), (0,1)上单调递减.

f(x) a 2x3 — a

4.

x2 x2

解 f'(x)= 2x — 7 = 2—

要使f(x)在［2 ,+g )上是单调递增的，则

f '(x)» 在x € [2 ,+g )时恒成立,

2x3— a

>0 在 x € [2 , + g)时恒成立. 2

x

•/x2>0 , .2x3— a>0 , •aW2x3在x € [2 ,+g)上恒成立.

.•.aW(2 X3)min .

•••X € [2 ,+g), y = 2x3是单调递增的， .•.(2X3)min = 16 ,「.aW16.

2x3— 16

当 a= 16 时，f'(x) = ------- 2— >0(x€ [2 ,+g))有且只有 f'(2) = 0 ,.a 的取值范围是(一

x2

g, 16].

5. 解 (1) ••函数f(x)的导函数f'(x) = 3x2 + 2bx + c,由题设知—1< x<2是不等式3x2 + 2bx + c<0的解集.

• —1,2是方程3x2 + 2bx + c= 0的两个实根，

2

•1 2=3b,(一1)2=3,

-+

-x

c

3

即 b = — _, c= — 6.

2

(2) vf'(x) = 3ax2+ 1，且f(x)有三个单调区间, •方程f '(x) = 3ax2 + 1 = 0有两个不等的实根, ••

A= 02 — 4 x1 x3a>0 ，―a<0.

标准

实用文案

•••a的取值范围为(一3 0).

1

6. 审题指导利用导数证明不等式，首先要构造函数f(x) = ln(x + 1) -x+2x2，证明f(x)在(0, + 3)上单调增，由f(x)> f(0) = 0证得.

1

［规范解答］令 f(x) = ln(x + 1) — x + 2x2, (4 分) 1 x2

贝U f '(x) = 一 1 + x = .(6 分)

1 + x 1 + x 当 x€ (0 ,+3 )时,f'(x) >0 , •••f(x)在(0，+3)上是增函数.(8分) 于是当 x > 0 时，f(x) > f(0) = 0 ,

1

•••当 x>0 时，不等式 In(x+ 1) >x— ［x2成立.(12 分) 1 n

7. 证明 设 g(x) = x — sin x—-x3, x € 0, 一，

6 2

1 x

g (x) = 1 — cos x—_x2= 2 sin2_— 2 2

2

•/x € 0 , —,二0 v sin x v x,

x x

「•sin2；< 2 2，：g '(x) v 0,

n

n

•••g(x)在0, 2上单调递减,

1 /.g (x)v g(0) = 0 ,.「x — sin x v 一x3.

6 8. ［答案］D

［解析］画出图像即可知 y= x2存在极值f(0) = 0. 9. ［答案］D

［解析］本节考查了利用导数工具来探索其极值点问题.

f '(x)=—爲 + =一(1 — _) = 0 可得 x = 2. x2 x x x

当 02 时

f '(x)>0 , /f(x)单调递增.所以x= 2为极小值点.

对于含有对数形式的函数在求导时，不要忽视定义域.

标准

实用文案

10.［答案］

［解析］ 如y = x3, y ' =3x2, y '|x= o = 0，但x = 0不是函数y = x3的极值点.

11.［答案］

x

［解析］ y'#x + l)e= 0, x=— 1.

当 x< — 1 时，y '<0，当 x> — 1 时 y >0 1

「•ymin = f (— 1)=——

e

12.［答案］,：3 — 1

x2 + a — 2x2

［解析］f'(x) =

;

; =

a — x2

2

厂

.当 x>- a时 f'(x)<0 ,

f(x)在(-.a,+^ )上是递

x2 + a 2 x2 + a 2

上是递增的.当 x = a时，fC a)

减的，当一\"a0 , f(x)在(一\"a，“ a) 讨=F，a = ^<1,不合题意.

•••Kg = f⑴=土 =寸，解得 a= 3一 1.

13. ［答案］D

n

［解析］■•f(x)的图象关于x = 一对称,

4

n

• .f(0) =f(2)，••- b = a,

/•f(x) = asi n x — b cos x = as in x + acos x= 2asi n( x+ ；),

3 n

3 n n 一

— x)= 2asin( ： — x+；) =

一

2asinx.

2asin( n—x) =

3 n 显然f( — x)是奇函数且关于点(n, 0)对称，故选D.

4 14.

+ 2ax+ b ,

［解析］ ⑴由导数公式表和求导法则得， f'(x) = 3x2

标准

实用文案

因为f(x)在x = 0处取得极值，所以f'(0) = 0 ,即得b = 0.

2 2

⑵令f'(x)= 0,即卩3x2+ 2ax= 0，解得x = 0或x = -；a.依题意有一；a>0.

3 3 因为函数在单调区间［0,2］和［4,5］上具有相反的单调性，

2

所以应有 2 一产4，

解得一615. ［答案］B

［解析］设截去的小正方形的边长为

xcm，铁盒的容积为 Vcm3,由题意，得 V= x(48

—2x)2(0< x<24) , V '^2(24 — x)(8 — x).令 V '=0,则在(0,24)内有 x = 8，故当 x = 8 时，V 有最大值.

C2N

16.［答

案 ］

Ci

N

［解析］ 设每批生产x台，则一年生产二批.一年中库存费和生产准备费之和 y = Cix +

C2N x

(0< xC2N

y '毛i-=.由 y' =0 及 0x2

C2N

(台).根据问题的实际意义， y的

最小值是存在的，且 y'=0有唯一解.故x =

百台是使费用最小的每批生产台数.

17. ［答案］A

y ［解析］设 f(x) = ax2 + bx + C,'••二次函数 = f(x)的图象过原点，二 c = 0，-f '(x) = 2ax

b

+ b，由 y = f '(x)的图象可知，2a<0 , b>0 ,「.a<0 , b>0,「.一—>0 ,

2 a 故选A. 18. ［答案］A

4ac — b2 4a

b2

—

47°，

［解析］f(x)在(—g, 0)上为增函数，在(0,+^ )上变化规律是减T增T减，因此 的图象在( — , 0)上，f (x)>0，在(0，+g )上f '(x)的符号变化规律是负T正T负，故选

m

f '(x)

标准

实用文案

A.

19. ［答案］B

1

［解析］令 g(x) = 2f(x) — x— 1 ,・.・f '(X)>2，

•••g'(x)= 2f (x)—1>0 ,「.g(x)为单调增函数，

•••f(l) = 1 ,「.g(l) = 2f(l) — 1 — 1 = 0,

•••当 x<1 时，g (x)<0，即 2f(x)n

［解析］'-f '(x)= cosx + 2f '( 一),

3

n n n

•••f '(3)= cos 3 +2f ‘(3),

/•f(x) = si n x — x.

又 f (x) = cosx— 1 <0, 故f(x)在R上递减.

1

又'一Fog 32 ,

2

标准

实用文案

f 1 <0,

•••f(x) = 0 在［0,2］上有解，•••

f 2 >0 ,

m — 2

<0,

• —2 m

6

［

］(-

3

22. 答案5，石)

-

［解析］f '(x)= ax2+ ax — 2a = a(x — 1)(x + 2), 由f(x)的图象经过四个象限知，若

a>0，贝U

f — 2 >0 , f 1

<0 ,

<0 ,

此时无解；若a<0，则

f 1 >0 ,

f — 2

6 3

——,•56 3 < a< — . 5 16

［解析］f '(x)= 3x2— 3，设切点为 P(X0, y°)，则切线方程为 y — (x3— 3x°)= (3x6 — 3)(x —

X0),T切线经过点 A(1 , m),：m — (x0 — 3x°) = (3x0 — 3)(1 — X0),；m = — 2x3+ 3x0 — 3 , m z

=-6x0 + 6x0, •当0< X0<1时，此函数单调递增，当X0<0或X0>1时，此函数单调递减， 当X0 = 0

时，m = — 3，当X0 = 1时，m = — 2，•当一3< m< — 2时，直线 y = m 与函数y =—2x3+ 3x0 — 3的图象有三个不同交点，从而

三条不同切线，• m的取值范围是(一3, — 2).

24. ［分析］禾U用函数的单调性证明不等式是常用的方法之一，而函数的单调性，可利用其导 函数的符号确定.

［解析］设 f(x) = 1 + 2x — e2x, 则 f'(x) = 2 — 2e2x= 2(1 — e2x).

当 x>0 时，e2x>1 , f'(x) = 2(1 — e2x)<0 ,

X0有三个不同实数根，故过点 A(1 , m)可作

标准

实用文案

所以函数f(x) = 1 + 2x — e2x在(0,+^ )上是减函数.

标准

实用文案

当 x>0 时，f(x)即当 x>0 时，1 + 2x— e2x<0，即 1 + 2xa x +1

— x — 1 a 2 f '(x) = _+

\" 2 = - + - 2

x x+1 1 2 3

x x+ 1 2

2 1

•••a= 0,「.f '(x) = ―，根据导数的几何意义，所求切线的斜率I

而 f(1) = 0.

1

•••所求切线方程为y = [(x — 1), 即 x— 2y — 1 = 0.

a x + 1

2

+ 2x ax2+ 2 a+ 1 x + a (2) f '(x)

=-

x x + 1 2

2

1 ° 当a = 0 时，f '(x)=

;>0 ,

x + 1

•••f(x)在(0,+s)递增.

令 g(x) = ax2 + 2(a+ 1)x+ a

A= 4( a + 1)2 — 4a2 = 8a+ 4

- 2 ° 当 a>0 时，A>0 ,此时 g(x) = 0 的两根 X1 =

—a + 1 +\" 2a + 1

a

■/a>0 ,「.X1<0 , X2<0.

/•g(x)>0 ,：x€ (0,—g ),「.f'(x)>0 故f(x)在(0,+s )递增.

1

3

°当锐时，A

= 8a + 4

® 即时，g(x)切，/

f 3°.

标准

k = f '(1)=-,

a + 1

—2 a + 1

：

a

, X2 =

实用文案

1

当 A>0，即- 2—a+1

+ -• 2a+ 1

>0

X1 =

—a+1

—2a+ 1

>0

X2 =

•••令 f'(X)>0 , X € (X1 , X2),

f'(x)<0 , X € (0 , X1) U (X2,+^)

• ••f(X)在(X1 , X2)递增，在(0, X1)和(X2 ,+8 )上递减. 综上所述：当a>0时，f(x)在(0,+^ )递增. 1

当一2< a<0 时，f(x)在(X1, X2)递增,

— a+ 1

m

+M 2a+ 1 — a + 1

：

—yl 2a + 1

在(0 ,X1)禾廿(X2, +)递减(其中 X1 =

a

a

,X2=

:

).

1

m

当 aw—2时，f(x)在(0，+ )递减.

26. ［分析］如图，设出AD的长，进而求出|AB|表示出面积S,然后利用导数求最值.

［解析］设矩形边长为 AD = 2x，则|AB| = y = 4 — x2，则矩形面积 S= 2x(4 — x2)(0< x<2), 即 S= 8x — 2x3 ,「.S'= — 6x2,

标准

实用文案

2 — 2

令S'=0，解得X1 =—尸，X2=—尸（舍去）

寸3 寸3

S取得最大值，此时,

8

3时，矩形的面积最大.

即矩形的边长分别为

［点评］本题的关键是利用抛物线方程，求出矩形的另一边长.

27.［解析］ ⑴函数f（x）的定义域为（0,+^ ）,

1 a 1

f'（x）= 一一二一一，由导数的几何意义，且切线1 y= x垂直. 与

2

1 得「⑴蔦—a - 1 一 2，心=；•

令f '(x) = 0解得x=— 1或5, — 1不在定义域之内故舍去.

•••当 x€ (0,5) , f'(x)<0 ,「.f(x)在(0,5)递减. 当 x€ (5 , +s ), f'(x)>0 ,「.f(x)在(5 , +s)递增. 5 1 3

•••f(x)在 x = 5 时取极小值 f(5) = 一+ 一- ln5 —_=— ln5.

1 x2 — 4x- 5

•f(x)蔦-

4x2

x 4x2

4 4

2

28.［分析］［解析］(1)f(x)的定义域为(— °°，+

^° ),

f '(x)= ex— a.

若aw0,则f (x)>0，所以f(x)在(— s,+s )单调递增. 若 a>0，则当 x€ (— g, In a)时，f '(x)<0 ; 当 x€ (Ina,+g)时，f '(x)>0 ,

x 5 3 ⑵由⑴知 f（x）=4+

4；-lnx-2，

标准

5

实用文案

所以f(x)在( — g, Ina)单调递减，在(Ina,+^ )单调递增.

⑵由于 a = 1，所以(x— k)f '(x)+ x + 1 = (x — k)(ex— 1)+ x+ 1.

故当 x>0 时，(x— k)f '(x)+ x + 1>0 等价于

x + 1

k

(x>0).

—xex— 1

，

则 g(x)=+ 1 =-

ex

ex— x —

2 ex— 1 2

由(1)知，函数 h(x) = ex— x —

2 在(0，+g )单调递增.而 h(1)<0 , h (2)>0，所以 h(x) 在(0 , +g)存在唯一的零点.故g '(X)在(0 ,

+g)存在唯一的零点.设此零点为a,则a€ (1,2).

当 x€ (0, a 时，g((x)0.

所以g(x)在(0，+g )的最小值为g( a). 又由 g ( a)= 0，可得 e = a+ 2 , 所以 g ( a)= a+ 1 € (2,3).

由于①式等价于 k•••f(-；)>f(log 32), 即 f(a)> f(b). 21. ［答案］A

［解析］ 令 f(x) = x3 — 3x+ m，则 f '(x)= 3x1 2— 3 = 3(x + 1)(x — 1)，显然当 x< — 1 或

a

x>1 时，f '(x)>0 , f(x)单调递增，当一1< x<1 时，f '(x)<0 , f(x)单调递减，•在 x =— 1 时，f(x) 取

极大值f( — 1) = m + 2，在x= 1时，f(x)取极小值f(1) = m — 2.

故f(x)在(0,+s )递减.

标准