人教版初三上册数学(一元二次方程根与系数关系)专题教案

利用韦达定理的逆定理，可以比较简捷地检验解一元二次方程所得结果是否正确． ➢ 韦达定理的两个重要推论： 推论1：如果方程x2pxq0的两个根是x1,x2，那么x1x2p，x1x2q． 推论2：以两个数x1,x2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x2(x1x2)xx1x20． ➢ 一元二次方程的根与系数的关系的应用： (1)验根，不解方程，利用韦达定理可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根． (2)由已知方程的一个根，求出另一个根及未知系数． (3)不解方程，可以利用韦达定理求关于x1,x2的对称式的值，如 x1x2,22xx1111,x12x2x1x22,x1x2,21,等等．说明：如果把含x1,x2的代x1x2x1x2x1x2数式中x1,x2互换，代数式不变，那么，我们就称这类代数式为关于x1,x2的对称式． (4)已知方程的两根，求作这个一元二次方程． (5)已知两数的和与积，求这两个数． (6)已知方程两个根满足某种关系，确定方程中字母系数的值． (7)证明方程系数之间的特殊关系． (8)解决其它问题，如讨论根的范围，判定三角形的形状等． 根的符号的讨论： 利用韦达定理，还可进一步讨论根的符号，设一元二次方程ax2bxc0(a0)的两根为x1,x2，则： (1)当0,且x1x20时，两根同号． ①当0,且x1x20,x1x20时，两根同为正数； ②当0,且x1x20,x1x20时，两根同为负数． (2)当0,且x1x20时，两根异号． ①当0,且x1x20,x1x20时，两根异号且正根的绝对值较大； ②当0,且x1x20,x1x20时，两根异号且负根的绝对值较大． 【例题精讲】 题型一：由已知方程的一个根，求出另一个根及未知系数． 1、已知方程5x2+kx-6=0 有一个根为2，求另一个根和k的值 第2页/共10页

变式训练 1．已知方程3x2(k1)x20的一个根是1，则另一个根是 ，k 。 2、方程x2kx60的两个根都是整数，则k的值是多少？ 题型二：不解方程，可以利用韦达定理求关于x1,x2的对称式的值 1、若方程x2+x-1=0的两根为x1，x2，用韦达定理计算 (1)x21+x22； (2) 变式训练 1：设x1和x2是方程2x24x30，的两个根，利用根与系数关系求下列各式的值： （1）x1x2 （2）(x11)(x21) （3） 第3页/共10页

2211+； (3) (x1-1)(x2-1) x1x211 （4）(x1x2)2 x1x2 题型三：根的符号的讨论 1、已知关于x的方程3x210xk0有实数根，求满足下列条件的k值： （1）有两个实数根。 （2）有两个正实数根。 （3）有一个正数根和一个负数根。 变式训练 1、已知关于x的方程x22axa0。 （1）求证：方程必有两个不相等的实数根。 （2）a取何值时，方程有两个正根。 （3）a取何值时，方程有两异号根，且负根绝对值较大。 （4）a取何值时，方程至少有一根为零？ 题型四：已知方程两个根满足某种关系，确定方程中字母系数的值． 1、已知关于x的方程x22(m2)xm250有两个实数根，并且这两个根的平方和比两个根的积大16，求m的值。 第4页/共10页

变式训练 1、已知关于x的方程x22(m1)xm230 （1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根？ （2）设x1、x2是方程的两根，且(x1x2)2(x1x2)120，求m的值。 题型五：综合运用 1、方程x2-6x-k=1与x2-kx-7=0有相同的根，求k值及相同的根． 2、已知、是方程x22x50的两个实数根，则22的值为___ 3、求作一个一元二次方程使它的两根分别是1－5 和1+5 。 5．已知两个数的和等于８，积等于7，求这两个数． 变式训练 第5页/共10页

1．求一个一元二次方程使它的两个根是1、5． 2．已知，则2370，2370，试求 11的值． 课堂达标检测 一. 填空题 1. 如果x1、x2是方程x27x20的两个根，那么x1x2____________。 2. 已知一元二次方程x23x50的两根分别为x1、x2，那么x1x2的值是_________。 8 3. 若方程x22xk0的两根的倒数和是，则k____________。 3二. 选择题 1. 下列方程中，两实数根之和等于2的方程是（ ） A. x22x30 B. x22x30 C. 2x22x30 D. 3x26x10 2. 如果一元二次方程x23x20的两个根为x1、x2，那么x1x2与x1x2的值分别为（ ） A. 3，2 B. 3，2 C. 3，2 D. 3，2 3. 如果方程2x26x30的两个实数根分别为x1、x2，那么x1x2的值是（ ） 33 A. 3 B. 3 C.  D. 2211 4. 如果x1、x2是方程x23x10的两个根，那么的值等于（ ） x1x211 A. 3 B. 3 C. D.  33 5. 已知关于x的方程x2(k2)x6k0有两个相等的正实数根，则k的值是（ ） 第6页/共10页

22 A. 2 B. 10 C. 2或10 D. 25 6. 若方程x28xm0两实数根的平方差为16，则m的值等于（ ） A. 3 B. 5 C. 15 D. 15 22 7. 如果x1、x2是两个不相等的实数，且满足x12x11，x22x21，那么x1x2等于（ ） A. 2 B. 2 C. 1 D. 1 8. 对于任意实数m，关于x的方程(m21)x22mx(m24)0一定（ ） A. 有两个正的实数根 B. 有两个负的实数根 C. 有一个正实数根、一个负实数根 D. 没有实数根 三. 解答题 1. 已知关于x的方程x2(k1)xk10的两上实数根的平方和等于4，求实数k的值。 2. 已知一元二次方程x22xm10 （1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根？ 2（2）设x1、x2是方程的两个实数根，且满足x1x1x21，求m的值。 12k10 4 （1）k取什么值时，方程有两个实数根？ （2）如果方程的两个实数根x1、x2满足|x1|x2，求k的值。 3. 已知关于x的方程x2(k1)x第7页/共10页

4. 已知关于x的一元二次方程ax2xa0(a0) （1）求证：对于任意非零实数a，该方程恒有两个异号的实数根； （2）设x1、x2是方程的两个实数根，若|x1||x2|4，求a的值。 课后作业 一、选择题（每题2分，共20分） 1．一元二次方程3x2=5x的二次项系数和一次项系数分别是（ ）． A．3，5 B．3，-5 C．3，0 D．5，0 2．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ）． 11 A．3（x+1）2=2（x+1） B．2-2=0 xx C．ax2+bx+c=0 D．x2+2x=x2-1 3．下列方程中，两根是-2和-3的方程是（ ）． A．x2-5x+6=0 B．x2-5x-6=0 C．x2+5x-6=0 D．x2+5x+6=0 第8页/共10页

x294．若分式的值为零，则x的值为（ ）． 2x6 A．3 B．3或-3 C．0 D．-3 5．若a+b+c=0，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有一根是（ ）． A．1 B．-1 C．0 D．无法判断 6．方程2x（x-1）=x-1的解是（ ）． 1111 A．x1=，x2=1 B．x1=-，x2=1 C．x1=-，x2=1 D．x1=，x2=-1 22227．一元二次方程x2-x+2=0的根的情况是（ ）． A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 8．某商店将一批夏装降价处理，经过两次降价后，由每件100元降至81元，求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率为x，可列方程（ ）． A．100（1-x）2=81 B．81（1+x）2=100 C．100（1+x）=81×2 D．2×100（1-x）=8 9．已知一个三角形的两边长是方程x2-8x+15=0的两根，则第三边y的取值范围是（ ）． A．y<8 B．313．已知a，b是方程x2+x-1=0的两根，求a2+2a+的值． b 第10页/共10页