函数极值与导数【学案】

1.3.2 函数的极值与导数

(一)复习旧知

（二）观察思考，引入新课

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观察如图所示函数图像，我们不难得到如下结论：

① 在x0处的函数值f0比在它附近所有点的函数值都要大，此时我们称

f0为函数fx的一个；

② 在x2处的函数值f2比在它附近所有点的函数值都要小，此时我们称

f2为函数fx的一个。 【新知1】函数极值的概念

一般地,设函数yfx在x0及其附近有定义，如果对于x0附近的所有的点，都有：

(1) ，则称f(x0)为函数fx的一个极大值,记为或者 称x0为函数fx的.

(2) ，则称f(x0)为函数fx的一个极小值,记为或者 称x0为函数fx的.

极大值与极小值统称为，极大值点和极小值点统称为. 注意：

(1)极值点不是，而是一个（的值）

（2）极值是一个.由定义,极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最

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高中数学选修1-1 第三章函数的极值与导数

大或最小.并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.也就是说极值与最值是两个不同的概念.

(3)函数的极值.即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个.(4)极大值与极小值之间无确定的大小关系.即一个函数的极大值未必大于极小值；

(5)函数的极值点一定出现在区间的,区间的端点不能成为极值点.而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部,也可能在区间的端点. 【新知2】函数极值与导函数的关系

（1）观察下列函数图像，思考：在极大值点左、右两侧的导数值的符号是如何变化的？

x f(x) f(x) x0左侧 x0 x0右侧

（2）观察下列函数图像，思考：在极小值点左、右两侧的导数值的符号是如何变化的？

x f(x) f(x) x0左侧 x0 x0右侧

【总结】 设函数yfx在x0处可导，且f(x0)0,若fx的导函数fx在x0的附近：

1. ，则fx在x0处取得极小值；

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高中数学选修1-1 第三章函数的极值与导数

2.左正右负，则fx在x0处取得极值； 3.不变号（0或0恒成立），则fx在x0处. 【两个思考】

思考1： 若f(x0)0，那么f(x)在x0处一定取得极值吗？

思考2：若函数f(x)在x0处取得极值，一定有f(x0)0吗？

【两个结论】

结论1：函数f(x)在x0处取得极值，则有或. 结论2：若函数f(x)在x0处可导，且取得极值，则有. 填一填：

设函数f(x)在x0处可导，则“f(x)在x0处取得极值”是条件

【新知3】求函数极值的步骤 ① ； ② ； ③ ；

④ ; ⑤ . 【注意】 解题方法：列表格

f(x0)0”的 3

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（三）例题分析，加深理解

1例1 求函数fxx34x4的极值

3教师分析:①求fx,解出fx=0,找函数极点； ②由函数单调性确定在极点x0附近fx的符号,从而确定哪一点是极大值点,哪一点为极小值点,从而求出函数的极值. 学生动手做,教师引导

1解:∵fxx34x4∴f'xx2x2，令f'x=0,解得x2或x2

3当x变化时,fx,fx的变化情况如下表:

x fx fx ,2 2 2,2 2 2, 因此,当x=时,fx有极大值,且极大值为f2=;

当x=时,fx有极小值,且极小值为f2= .

1函数fxx34x4的图象如:

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（四）课堂练习，加强巩固 1、求函数fx3xx3的极值

2、已知函数fxx33bx3b在0,1内有极小值，求实数b的范围； 3、已知fxx3ax2(a6)x1有极大值和极小值，求实数a的取值范围。 4、fxax3bx22x在x2,x1处取得极小值，求函数fx的解析式及单 调区间

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