高中数学 第5章 三角函数 5.4 三角函数的图象与性质 5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象教学案

5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象

(教师独具内容)

课程标准：1.了解利用单位圆画正弦曲线的方法.2.掌握“五点法”画正弦曲线和余弦曲线的步骤和方法，能用“五点法”作出简单的正弦、余弦曲线.3.理解正弦曲线与余弦曲线之间的联系．

教学重点：正弦函数、余弦函数图象的作法．

教学难点：1.利用单位圆画正弦曲线.2.正弦曲线与余弦曲线之间的联系.

【知识导学】

知识点一 正弦函数的图象 (1)正弦曲线

正弦函数y＝sinx，x∈R的图象叫做□01正弦曲线．

(2)正弦函数图象的画法 ①几何法

(ⅰ)利用□02单位圆画出y＝sinx，x∈[0,2π]的图象； (ⅱ)将图象不断□03向左、向右平移(每次移动2π个单位长度)． ②五点法

(ⅰ)画出正弦曲线在[0,2π]上的图象的五个关键点□04(0,0)，π2，1

，(π，3π2，－1

，(2π，0)，用光滑的曲线连接；

(ⅱ)将所得图象□05向左、向右平行移动(每次移动2π个单位长度)． 知识点二 余弦函数的图象 (1)余弦曲线

余弦函数y＝cosx，x∈R的图象叫做□01余弦曲线． - 1 - / 9

0)，

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(2)余弦函数图象的画法

02π个单位长度即可，这是①要得到y＝cosx的图象，只需把y＝sinx的图象向左平移□2

π由于cosx＝sinx＋.

2

03②用“五点法”画余弦曲线y＝cosx在[0,2π]上的图象时，所取的五个关键点分别为□

π3π，0，(2π，1)，再用光滑的曲线连接．将所得图象不断□04(0,1)，，0，(π，－1)，

22

向左、向右平移(每次移动2π个单位长度)．

【新知拓展】

正弦曲线和余弦曲线是向左右两边无限延伸的，正弦曲线与余弦曲线形状相同，但在同一坐标系下的位置不同．

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)y＝sinx，x∈[0,2π]的图象关于点P(π，0)成中心对称．( ) π

(2)y＝cosx，x∈[0,2π]的图象关于直线x＝成轴对称．( )

2

(3)正弦函数、余弦函数的图象不超过直线y＝1和y＝－1所夹的X围．( ) (4)正弦曲线与余弦曲线形状相同，只是位置不同．( ) 答案 (1)√ (2)× (3)√ (4)√ 2．做一做

(1)下列各点中，不在y＝sinx图象上的是( )

πA．(0,0) B.，1 2

C.

3π，－1 

2

D．(π，1)

1

(2)从函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象来看，对应于sinx＝的x有( )

2A．1个值 C．3个值

B．2个值 D．4个值

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(3)对于余弦函数y＝cosx的图象，有以下描述： ①将[0,2π]内的图象向左向右无限伸展；

②与y＝sinx的图象形状完全一样，只是位置不同； ③与y轴有无数个交点； ④关于y轴对称． 其中正确的描述有( ) A．1项 C．3项

答案 (1)D (2)B (3)C

题型一五点法作图

例1 用“五点法”作出下列函数的简图： (1)y＝sinx－1，x∈[0,2π]； (2)y＝2＋cosx，x∈[0,2π]． [解] (1)列表：

B．2项 D．4项

描点、连线，如图：

(2)列表：

描点、连线，如图：

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金版点睛

描点法画正弦函数图象(y＝sinx)的关键

(1)列表时，自变量x的数值要适当选取

①在函数定义域内取值；②由小到大的顺序取值；③取的个数应分布均匀；④应注意图形中的特殊点(如：端点，交点，顶点)；⑤尽量取特殊角．

(2)描点连线时应注意

①两坐标轴上的单位长度尽可能一致，以免改变图象的真实形状； ②变量x，y数值相差悬殊时，也允许采用不同长度单位； ③连线时一定要用光滑的曲线连接，防止画成折线．

[跟踪训练1] 作出下列函数的图象： (1)y＝－sinx(0≤x≤2π)； (2)y＝1＋cosx(0≤x≤2π)． 解 (1)列表：

描点连线，如下图：

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(2)列表：

描点连线，如下图：

题型二用图象变换作函数图象

例2 作出函数y＝1－cosx的图象． [解]y＝1－cosx＝|sinx|，

sinx2kπ≤x≤2kπ＋π，即y＝

－sinx2kπ＋π2

2

(k∈Z)．

其图象如下图：

金版点睛

用图象变换作函数图象

对于某些函数的图象，如y＝－sinx，y＝|sinx|，y＝sin|x|等可通过图象变换，如平移变换、对称变换等作图．

(1)把y＝sinx图象在x轴上方的保留，x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方，就可得

y＝|sinx|的图象．

(2)把y＝sinx图象在y轴右侧的保留，去掉y轴左侧的图象，再把y轴右侧的图象沿y轴翻折到y轴左侧，就可得y＝sin|x|的图象．

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[跟踪训练2] 作出函数y＝－sin|x|的图象．

－sinxx≥0，

解 y＝－sin|x|＝

sinxx<0.

其图象如图所示：

题型三正弦函数、余弦函数图象的简单应用

例3 利用正弦函数和余弦函数的图象，求满足下列条件的x的集合． 11

(1)sinx≥；(2)cosx≤.

22

[解] (1)作出正弦函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象，如图所示，由图象可以得到满足5ππ条件的x的集合为＋2kπ，＋2kπ，k∈Z.

66

(2)作出余弦函数y＝cosx，x∈[0,2π]的图象，如图所示，由图象可以得到满足条件的

x的集合为＋2kπ，

π

35π

＋2kπ，k∈Z. 3

金版点睛

用三角函数图象解不等式的步骤

正弦函数、余弦函数图象的主要作用是解简单的三角不等式，用三角函数图象解不等式的步骤是：

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(1)作出相应的正弦函数或余弦函数在[0,2π]上的图象； (2)写出所求不等式在区间[0,2π]上的解集； (3)根据诱导公式一写出定义域内的解集．

13

[跟踪训练3] 利用正弦曲线，求满足22解 首先作出y＝sinx在[0,2π]上的图象．如图所示，

1

作直线y＝，根据特殊角的正弦值，可知该直线与y＝sinx，x∈[0,2π]的交点横坐标

2π5π3π2π

为和；作直线y＝，该直线与y＝sinx，x∈[0,2π]的交点横坐标为和.观察图66233ππ2π5π13

象可知，在[0,2π]上，当633622

13ππ2π5π

所以226336

1．用“五点法”作y＝sin2x的图象时，首先描出的五个点的横坐标是( ) π3πππ3π

A．0，，π，，2π B．0，，，，π

22424πππ2π

C．0，π，2π，3π，4π D．0，，，， 6323答案 B

π3πππ3π

解析 根据“五点法”，可令2x＝0，，π，，2π，解得x＝0，，，，π，

22424故选B.

2．以下对正弦函数y＝sinx的图象描述不正确的是( )

A．在x∈[2kπ，2kπ＋2π](k∈Z)上的图象形状相同，只是位置不同

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B．介于直线y＝1与直线y＝－1之间 C．关于x轴对称 D．与y轴仅有一个交点 答案 C

解析 由正弦函数图象可知，A正确；由正弦函数的图象可知B正确；由正弦函数的图象，知正弦函数的图象不关于x轴对称，关于原点对称，故C错误；由正弦函数图象，知D正确．故选C.

3．要得到正弦曲线，只要将余弦曲线( ) π

A．向右平移个单位长度

2π

B．向左平移个单位长度

23π

C．向右平移个单位长度

2D．向左平移π个单位长度 答案 A

ππx－解析 由于cos＝sinx，所以只需将y＝cosx的图象向右平移个单位长度即可． 224．满足cosx>0，x∈[0,2π]的x的取值X围是________．

π3π，2π

答案 0，∪22

解析 画出函数y＝cosx，x∈[0,2π]的图象如图所示．

π3π0，由图象可知满足cosx>0，x∈[0,2π]的x的取值X围为∪，2π. 225．用“五点法”作出函数y＝1＋2sinx，x∈[0,2π]的图象． 解 列表：

x sinx 1＋2sinx 0 0 1 π 21 3 π 0 1 3π 2－1 －1 2π 0 1 - 8 - / 9

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π3π，－1，(2π，1)，然后用光

在直角坐标系中描出五点(0,1)，，3，(π，1)，

22

滑曲线顺次连接起来，就得到y＝1＋2sinx，x∈[0,2π]的图象．

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