借助“隐圆”巧解一类中考最值问题

２０１５年第１期（下）　中学数学研究　３ｌ　借助“隐圆’’巧解一类中考最值问题　江苏省常州市常州外国语学校（２１３０１７）郑小娇　最值问题是数学中比较常见的问题，是在变化中寻求不　变，是数与形之间的完美结合．对于一类求一定点和一动点　等，可得厶４曰Ｅ＝Ｚ＿ＤＣＦ，Ｚ＿ＤＣＦ＝Ｚ．ＤＡＧ，则Ａ．ＡＢＥ＝Ｚ＿ＤＡＧ，　・．．ＺＡＢＨ＋／＿ＧＡＢ＝９０。，即厶４船＝９０。　．日是在以ＡＢ为直　这两点间距离的最小值，可以先找到动点的运动轨迹，再利　径圆上运动，如图（１），则ＤＨ长度可以转化为以以ＡＢ为直　用一些最值模型解决问题．如当动点在定直线上时，可以利　用垂线段最短解决问题；当动点在定圆上运动时，可以利用　圆外一点与圆上一点距离的最值模型解决，（如图１，Ｐ为ｏ　０外一点，Ｑ为ｏ０上的动点，当Ｑ运动至线段ＰＯ上时，如　图１（１），线段Ｐｐ长最短；当Ｑ运动至线段ＰＯ延长线上时，　如图１（２），线段Ｐ９长最长．Ｐ为ｏ０内一点时，类似可得　Ｐ９最值）．因此解决这类问题，关键是找到动点的运动轨　迹，使得问题虽无圆（或直线）胜有圆（或直线）．本文以一些　中考题为例，赏析隐形圆在这类问题的妙用！　图１　图１（１）　图１（２）　问题探究一：（２０１３年浙江）如图２，Ｅ，Ｆ是正方形ＡＢＣＤ　的边ＡＤ上两个动点，满足ＡＥ＝ＤＦ．连接ＣＦ交ＢＤ于点　Ｇ，连接ＢＥ交ＡＧ于点　．若正方形的边长为２，则线段　ＤＨ长度的最小值是．　——图２　图２（１）　图２（２）　图２（３）　分析：Ｄ为定点，日为动点，如何寻找日轨迹？可以在　变换中寻找与　相关的不变量．由正方形的对称性以及全　径的圆上的一点日与圆外一点Ｄ之间的最小距离√．当日　在线段ＤＯ上时，有最小值　一１，如图２（２）．　问题再探究：该问题即为“如图２（３），Ｅ，Ｆ分别是正方形　ＡＢＣＤ的边ＡＤ，ＣＤ上的两个动点，满足ＡＥ＝ＤＦ．连结　ＢＥ，ＡＦ，交于点　，则线段ＤＨ长度的最小值是　．”　问题探究二：（２０１１安徽）在△ＡＢＣ中，　／＿ＡＣＢ＝９Ｏ。，Ａ．ＡＢＣ＝３０。，将△ＡＢＣ绕顶点Ｃ顺时针旋转，旋　转角为０（０。＜０＜１８０。），得到△Ａ　Ｂ．Ｃ．　（１）（２）略　（３）如图３，设ＡＣ的中点Ｅ，Ａ．Ｂ　的中点Ｐ，ＡＣ＝ｎ，连　接　，当０＝。时，ＥＰ的长度最大，最大值为——．　图３　图３（１）　图３（２）　分析：△ＡＩＢ　Ｃ旋转中，Ｐｃ：　：导是定值，点Ｐ的　运动轨迹为以Ｃ为圆心，　为半径的圆上，如图３（１），则问　二　题转化为圆Ｃ上一点与圆Ｃ外～定点　构成的线段的最大　值，则当点Ｃ在线段　上时　最大，最大值为　，如图３　二　（２）．　问题探究三：（２０１２济南）如图，Ｚ＿ＭＯＮ＝９０。，矩形　ＡＢＣＤ的顶点　、曰分别在边ＯＭ，ＯＮ上，当曰在边ＯＮ上运　动时，Ａ随之在边ＯＭ上运动，矩形ＡＢＣＤ的形状保持不变，　其中ＡＢ＝２，ＢＣ＝１，运动过程中，点Ｄ到点Ｏ的最大距离为　（　）　Ａ．√　＋１　Ｂ．　ｃ．　５　Ｄ．　５　图４　图４（１）　图４（２）　分析：０为定点，Ｄ为动点，若直接寻找点Ｄ的运动轨　（下转第３３页）　２０１５年第１期（下）　中学数学研究　ｎ行共有　，最后一个数是　个数；　３３　，第　与前两种类型相比，“，ｌ“’型较为复杂，是中考考查学生　的难点．该类型的数列后一个数与前一个数的差不再是一　个定值，而是一个新的数列——等差数列．　（３）求第ｎ行各数之和．　分析：（１）从所给的数中得出每行最后一个数组成的数　如：数列５，８，ｌ３，２０，２９，……；数列后一个数与前一个数　的差分别是：３、５、７、９…这个新数列是等差数列．通过摸索　与实践，这种类型的数列，都可用“，ｚ“’型来解决．上例可看　作：５＝１　＋４，８＝２　＋４，１３＝３　＋４，２０＝４　＋４，……因此它的的　通项可表示为：ｎ　＋４　列：１，４，９，１６……，符合“ｎ　’型，即可求出第８行的最后一个　数，再根据每行数的个数为１，３，５，…的奇数列，即可求出第８　行共有的个数；　（２）从给的数中得出每行第一个数组成的数列：１，２，５，　例７一个叫巴尔末的中学教师成功地从光谱数据　，　）　１Ｏ，１７，…・・・符合“ｎ　”型，ｌ＝０　＋１，２＝１　＋ｌ，５＝２　＋ｌ，１０＝　３　＋１，１７＝４　＋１，……得出第ｎ行第一个数为　一１）　＋１，容易　３６，　，．　，……中得到巴尔末公式，从而打开了光谱奥　得最后一数为Ｔ／，　．　（３）通过（２）得出的第ｎ行的第一个数和最后一个数以及　秘的大门，请你按照这种规律，写出第ｎ（ｎ≥１）个数据是　第，ｌ行共有的个数，列出算式，进行计算即可．　分析：分子、分母后一个数与前一个数的差都分别是：７、　９、ｌ１……（是等差数列）．分子９＝３　，１６－－４　，２５＝５　，３６＝　６　，…分母５＝１　十４，１２＝２。＋８，２１＝３　＋１２，３２＝４　＋１６，　……．　点评：本题对学生归纳总结能力，发散性思维进行考查，　综合能力较强．但如果对“ｎ“’模型能熟练掌握并运用，问题　迎刃而解．　分母是“ａｎ”型和“ｎ　’型的组合，因此答案为：　＋２１　一４　数学建模（Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ　Ｍｏｄｅｌｌｉｎｇ）是运用数学化的手段　从实际问题中提炼、抽象出一个数学模型，求出模型的解，检　堕堕式　±　＋４ｎ　验模型的合理性，从而使这一实际问题得以解决的过程．它　是数学学习的一种新的方式，为学生提供了自主学习的空　间，有助于学生体验数学在解决实际问题中的价值和作用，　能拉近学生与日常生活中喜闻乐见的实际问题的距离，有助　于激发学生学习数学的兴趣．　点评：本题看起为不易解决，特别是分母，能看出它是两　种类型的组合，问题就解决了．　例８（１１年广东）如下数表是由从１开始的连续自然数　组成，观察规律并完成各题的解答．　１　２　３　４　５　６　７　８　９　１Ｏ　１１　ｌ２　ｌ３　１４　１５　１６　１７　ｌ８　１９　２Ｏ　２１　２２　２３　２４　２５　通过建模思想，使中考规律探究性试题有规可循，以不　变应万变．实践证明，课堂中学生乐学，课堂教学效果变化　明显，也使今后学生学习高中数学作了自然的铺垫．　参考文献：　２６　２７　２８　２９　３０　３１　３２　３３　３４　３５　３６　［１】刘兼，孙晓天．数学课程标准解读册（实验稿）．北京师范大学出版　社．２００２—５．　（１）表中第８行的最后一个数是—然数——的平方，第８行共有———，它是自　个数；　［２】付军，朱宏．王宪昌．在数学建模教学中培养学生创新能力的实践　与思考．数学教育学报．２００７年０４期．　（２）用含，ｌ的代数式表示：第Ｙ／．行的第一个数是　（上接第３ｌ页）　迹，有点困难，由于ＺＭＯＮ和矩形运动是相对的，所以可以　将矩形看成不动的，Ｚ．ＭＯＮ看成是运动的，则问题转化为新　大距离　的定点Ｄ与新的动点０之间的距离最大值．因为ＡＢ值不　变，且／－ＭＯＮ＝９０。，则点０在以ＡＢ为直径的圆上，ＡＢ中点　为圆心，如图４（１），则点Ｄ到点０距离最大时，点Ｅ在线　段ＯＤ上，此时的最大值为√　＋１，如图４（２），所以选Ａ．　问题再探究：该问题可将背景中的矩形改为等边三角　形、直角三角形、正方形等．如图：　当点０，ＡＢ中点Ｅ，点Ｄ三点共线时，点Ｄ到点０有最　因此，在我们解决问题中，用运动的眼光看问题，找到此　类动点的运动轨迹（圆），将问题转化为圆中的最值模型，使　问题迎刃而解．