19OOURNALOFVIBRATIONANDSHOCKVoe.38 No.19 2019考虑载荷不确定性的多材料结构稳健拓扑优化赵清海T,张洪信2，蒋荣超2,华青松W，袁 林2(1.青岛大学电动汽车智能化动力集成技术国家地方联合工程研究中心，山东青岛266071；2.青岛大学机电工程学院，山东青岛266071)扌商要：传统的拓扑优化设计通常基于单材料与确定性条件，往往难以兼顾结构性能的稳健性。针对实际工程中
载荷不确定性问题,研究多材料结构稳健拓扑优化设计方法。基于有序各向同性微结构材料惩罚模型法(OrdeadToWd
Isotropic Microstructures with Penalization, Ordered-SIMP)，进行多材料插值模型表征。构建载荷概率分布条件下结构柔度
均值与标准差的加权目标函数，辅以体积约束。针对载荷满足随机场分布时，采用Karhunen响Wve展开将载荷随机场变
换为有限个不相关的载荷随机变量加权和，并借助稀疏网格数值积分方法，将多材料结构稳健拓扑优化转化为求解一组
多工况加权多目标确定性拓扑优化设计问题。通过数值算例验证所提方法的有效性与优化结果的稳健性。结果表明:针
对不同材料组合方案，均能有效获得良好的多材料拓扑构型;与确定性设计相比较,稳健设计具有不同的材料布局方案, 且结构性能更加稳定％关键词多材料；拓扑优化；稳健设计;稀疏网格;载荷不确定性：中图分类号TH122
：文献标志码A
：DOI10. 13465/j. .nki. jvs. 2019.19.028： Robust topology optimization design of a multi-material structure considering load uncertaintyZT£40 [ing3a '1 '2 , ZTJ4NG ；ong> '2 , JIANG 9ongc3ao2 ,
[ngsong1,2 , YUAN Lin2( 1 .Naioonaeand LocaeUnoon EngoneeeongReseaech CenieeooEeecieocVehoceeInieeogeniPoweeIniegeaioon
Technolo/, Qin/ao University, Qingdao 266071, China；2. CoPeye of Mechanical and ElecWical EngineePng, Qingdao University, Qingdao 266071, China)Abstract: The traditional WpoWye optimization design is yenerally based on single-matePal and detePninistic condoioons, oiosdooocueiioconsodeeiheeobusinesoosieuciueaepeeooemance.Heee, aomongaiiheeoad unceeiaoniyon practical eyinePng, the robust topology optimization design met/odwas studied. The multi-matePal inteeolation model
was charactePzed based on the ordered-solid isotropic micastecturas with pentization ( Ordered-SIMP) - The weighted objective function fort/x mean and standard deviation of stectural Cexibility under the load probability distribution was
constectedand asisted by volume constraints. When load satisfied the random field distribution, the load random field was transfoPned into a weighted sum of finite uncowelated load random vaPablas using Karhunen-Loeveexpansion, and the
sparse gPP numePcal inteyration method was employed to convert the robust topology optimization of multi-material stecturo into solving a set of multi-condition weighted multi-objective detePninistic topology optimization design problems.
The ePectivenas of the proposed method and the abustnas of optimization esuWswao vePPed with numePcal examples. The results demonstrated that good topological snfiguetionscan be Pfectively achieved for combination schemes of diWaet matePals ； compared with detePnPWtic designs, robust designs can have diWaet matePal layout schemas and
more stable stectural pePormanco.Key words: muld-matePal； WpoWgy optimization ； robust design ； sparse gPd method ； WaduncePainty基金项目：国家自然科学基金资助项目(51705268 )；山东省自然科学基
金资助项目(ZR2016EEB20)'中国博士后科学基金面上资助项目 (2017M612191)以拓扑优化技术为代表的先进结构设计方法在结
构优化领域起到关键的引领作用％相较于尺寸优化与 形状优化，拓扑优化应用于概念设计阶段，层次更高且
收稿日期：2018 -03 -21修改稿收到日期：2018 -06 -19第一作者 赵清海男，博士，讲师,1985年生更为复杂,其优化结果为后续详细设计提供参考,对结 构的性能以及成本等均起着决定性的影响[1] %通信作者 张洪信男，博士，教授,1969年生19赵清海等考虑载荷不确定性的多材料结构稳健拓扑优化：183传统的拓扑优化是 性 下进行卑(Ordead-Solid Isotropic Micestectuas with计，然
性
于 、材料非 等 导 料属Penalization，Ordered-SIMP)表征多材料插值模型％考
性； 于制造、 等致使虑载 性 为 机变量 机场 布， 针机场分布时，通过K响展 载
几何尺
性
性;且于 下， 性
现
变性、运行性。味载
化为
机场环境多变性等引起载
至发生破 * 2无+。 考虑 扑优化设计方法 重要的 价值。机变量加权和，进而采用稀疏网格料稳健拓波动，甚数值积分方法进行稳健设计矩估计，
性 的拓扑优化转化为求
扑 化 计 %加 目标 性 料拓性拓扑优化设计通常分为 ：可靠性拓扑优化设计*5无+稳健拓扑优化设计*7阻+ % 靠性拓扑优化侧重安全性,获 概率下的最计方案;稳健拓扑优化侧重稳定性,降低性能对不
1多材料结构拓扑优化问题描述在给定位移、载荷边界条件和体积或质量约束条 件下，以获 值 化
佳性能(如： 刚度 化、特征性 的 度。目，稳健拓扑优化设计已成
为 学
数学
的热点之一。依据
为
利
性变量的度 小化) 为目 标 数， 求计空间的最佳材料分布，稳健拓扑优化设计
性对应力
类:非概率料的用量、空洞构型以及
型与概率型*9混0+。Thoa等*11+采
法，研究柔度最小化法 【分
方案,即为多材料拓扑优化设计*24+ % 过 计区域
非概率型载 下
进行网格划分， 料拓扑优化转化为获取网格单元， 料设计区域示意的 ％ Zhao等*12+
利
填充何种材料或空洞设计
法，进 载 法与稀疏网格 健拓扑优化
布载 性的稳健拓扑计算方机场分布
化设计。MaPna响ews等*⑶结合GPU
进 载
的稳。付志方等*⑷提 了载
性条下周期性 稳健拓扑优化数学模型。Holwbero等*15+等提 纳 衡博弈理论进行椭圆概率分布载 性的稳健拓扑优化设计。上述文献
计， 料
都基于单材料进行稳健拓扑优化涉及。然，随着3D 印图1表征3种材料及空洞的设计区域Fig. 1 The design domain with three materials and holos的出现， 料 加工制造成为 * 16无8+。目料拓扑优化设计方法分为以下几类:均匀化/变 密度法；相场法；水平集法以及组合优化法等。
Sigmund等*⑼
基于变密度法的 料拓扑优化数2基于混IMP方法的多材料结构插
学模型，
HniWon-Osbip
料插值模型较为复杂％ Wang等*20+建料拓扑优化转为求解值常用的变密度法材料插值模型有SIMP法与
RAMP法*25无6+% SIMP方法引入0T区间连续变化的单
水平集数学模型，
方程组， 化果往往 于料水
“余相”的 生，通Cahn-Hilliard型
初始设置。 基 上,Wig等*21 +提
平集拓扑优化模型， 提出相场模型，
元设计变量， 料属性(如:弹性模量、导 系数)过提 的收敛性 降低初值依赖性。Zhou等*22+
基于
与设计变量之间的非线性函数关系，通过控制设计变 量取值决定单元取舍，实现材料最佳布局。SIMP法具 形式简单，易于 现敏度推导等优点。对于单材料
：分
方程的 料拓扑优化数学模型，计 料拓扑优化
受到替相 ；算考验。Tavvkoli等*23+合变密度法 法，
量 %基于此，本文针
计 ，表 为为 相拓扑优化子问型计算E为插值
E( >) 7 ( >) (E > ' * 0，1 + ( 1 )型， 进 各材料设计变量耦合，导
式中:亿为单元相对密度，即设计变量;P为惩罚因子;
料弹性模量;E为 体材料的弹性模量％计，首
料 稳健拓扑优化方法于 料 值， 为各材料的弹性模量、进 ， 料插值模型，并考虑载 的不密度进行归一化处理，使 料属性转化为无量纲的相
性％采 各 性 料惩罚模型法184振动与冲击2019 38{ [En 7 E /E# 1 ma ( = 1,2,•••,?)
0# 7 P/Pma(2)分别为设计区域总体积与体积比;#为单元总数;>mox
与>mo分别为设计变量的上下限;0( # , % )与\"(# , %)
分别为结构柔度c(#,%)的均值和标准差，分别表示
式中E与e分别为材料i的归一化弹性模量与实体
弹性模量;P与P分别为材料'的归一化密度与实体
如下0(#,%) 7 E* c(#,%)] 7 ,C(%)P(%) d% (5)密度；Ema与Pax分别为全部材料中弹性模量与密度的 最大值;？为材料总数。引入比例系数\"e与平移系数Ordeod-SIMP的多材料插值模型为ET &建立基于
e\"(#,%) 7 JE0[ c(# ,%) -0(#,%) ]2 2 7(>) 7 \"e>)P + e > ' *P# &P#1 ](T{,* c(%) -0(#,%)]P(%) d%}
2(6)式中,P ))为％联合概率密度函数。结构柔度的均值 E# - E#+1九=(P- (pPJ卩Be 7 E# -Ae(p#)p
( 3 )式中:E为多材料插值后的弹性模量；E#+1与p# 1分别
表示材料i +1归一化处理后的弹性模量与密度。基于
Ordeod-SIMP法的多材料插值模型，如图2所示。(?图2 基于O/sedAIMP的多材料插值模型Fig. 2 Multi-mate/cl interpoWtion model based on Ordeod-SIMP3多材料结构稳健拓扑优化模型对于稳健拓扑优化设计，所涉及变量一般分为确 定性变量与不确定性变量。其中，确定性变量 >，即为 多材料结构拓扑优化设计变量;不确定性变量)为载 荷工况，考虑服从一定的概率分布。基于概率论与数 理统计理论,典型的度量结构性能稳健性的指标有:均
值与标准差。因此，建立多材料结构稳健拓扑优化数
学模型如下一 Ond # 7 0 > ,>2，…，>2 T ' 7
mJ CO( #,%) + (1 一 c) \"(#,%)V S•/ Z #) 7 $
%
( 4 )N 7 1K( #,%)；( # ,%) 7 F( ^)I
0 < >mu % > % >mox % 1式中:C为权重因子,C ' *0,1 ]；K、；与*分别为结构 刚度矩阵、位移矢量与结构载荷;\\为单元体积;Z与/
和标准差相对于设计变量> 的敏度分别表示为-0九(# ，%)7 E[陆[ -c(#,%) 」]
(」7)#,%)=九 -\"e{ * c( #,%) -0( #)] [
--0->，%) ]} (8)4载荷工况随机场离散化载荷工况的不确定性可采用随机变量或随机场来
表征。对于存在空间关联性的分布载荷满足高斯随机 场模型时，可通过KD变换将随机场转化为有限个不
相关的随机变量在相应权重下的累加和*27] %定义连续空间域2的二维载荷随机场为)(&,/),
其中，&为空间坐标,定义为&=( 1,1 )；尢标记为随机 坐标;则随机场的KD展开可描述为00)(&，x) 7 e(&) + $ /槡(&) &(/)
7(9)1式中,e( &)为均值;'与兀(&)分别为第i阶特征值和
正交特征向量，满足Fredholm积分方程,C( I ,12)@( 11) d11 7 1) ( 10)式中,C( 11 ,12 )为随机场的协方差％ & 为互不相关
的 机变量, 如下E* & (尢)]7 0; (/) ,u](/) \\ 7 * (11)式中,*为Konecker-delta函数，满足i二/时* = 1 ,其
它为0 %独立正交随机变量& 定义为&i (/) 7 ^槡,)(&，X)-e(&)1@( &) d& (12)
当KD展开应用于随机场)(&,尢)离散时，定义Y 维随机向量)(1),其元素映射于)(&,尢)中d个观测
值% 载 机场的 K-L 展
为d%(尢)7 0 + $ 槡5&i (尢)
(13 )71式中,0为d个观测点处随机场均值;'与兀分别为相
关矩阵C的第i阶特征值和正交特征函数，可由下式
求解*28]19赵清海等考虑载荷不确定性的多材料结构稳健拓扑优化：185\"1 = '11式中，相关矩阵C定义为C =(14)+ 1 $ ( % | 3 %+d- 1 )+d- | F (++1-| 3|)(7 …7 [)(c)
|(18)-C( 11,11)C( 11,1)…C( 11,1d)-C( 1,1d)c (1,1)-式中：7代表张量积运算符；|3|为多维指标之和
C( 12,11)-C( 1d ,11)c( 1,1)…C( 1d ,1)…(15)(|3|
+，…，+|)。对应的稀疏网格配置点集合Z+1% I 3 %Z+d
为U =+ , 8 + ” (U1 7 U| 7 …7 U|) (19)
1
在实际问题中，通常用从最大特征值依次降低的
2 d式中，Ud表示第d维的配置点，通过NevWn-Cota、Causs-Lhebyshav等积分法则计算得到*&5「珂%前几阶特征值相对应的随机变量来近似反映随机过程
的主要概率特征，取前4项，设置4 «d,采用降维的
K-L展开表征随机场的判定依据为4
依据Smolyak准则，2d中相应的第'个配置点)
dS 7 $ '/$ '
n = 1
n = 1(16)()，•••，))相对应的权值叫确定为C =式中，当S足够接近于1时，随机场可有效的通过降维 K-L展开来表征[29-30] %(—1 ) +d- I 3 I(d —xl +d -!!稀疏网格 置点的数目为)呎'，•…，C 13 | /
1 '1 '|(20)5稀疏网格数值积分方法以Smolyak准贝I]为基础的稀疏网格方法，其基本思
想是利用一维配置点的特殊张量积操作进行线性组合 来构建多维求积公式[31-34] %其优势体现在：配置点数
目被限制在一定的范围之内，自动去除对计算精度贡
精度% 基于 Newion-Coies 积 法 ， CeenshawCues型稀疏网格；et -1，1]，定义一维配置点为T(21)1|
=+1%8 %+d (?17 7 碣通过调整水平精度2值，可有效提高稀疏网格积分nd …&；=-cos, ------\\ ? - 1 0献较小的节点。将稀疏网格应用于稳健设计进行统计
矩估计，基于嵌套分层原理，定义一维层间差分格式为 )(c)=( )丿 for - = 1
if ?if ? = 1〉1(22)([-[一)(c)， with [(c) = 0
10对含有d维载荷随机变量的性能函数c构建具有 .水平/)1精度的稀疏网格数值积分格式为
[d((c) =
| 3 %Z+d$ (7 …7 )d)(c)=1)，(17)置点 为m.=1 if F = 1121 + 1 if I > 1(23)相应的 值计 为for - = 1，?|，if ?| > 1?’ - 2)C;占(1ss,1 - 1; )?(?- 2)(-2 $
台 42 - 12(?；-3) /2-21——-1))•ss^B?; -1-for - = 2 ,•••,?； - 1W ?； > 1, (24)if ?； = 1采 稀疏网格数值积 方法进 料 如下化 计的目 标 数 值和标 求 计 表， 稳健拓扑^c -c(&) 兀($ C帀厂X+ i(27)/cr、0 =E\"c *c] = [c(%)%)d%( $ CC()) (25)= \\ [ c( #，%) - 0( #,%)]2 =丄{Cc(%) -0] %)d%}2 (”d即\"-$CP(*c)-c]誉)[-判(28):2 6多材料结构设计变量更新目前结构拓扑优化设计的数值求解算法分为优 化准则法Optimality CPtePaOC 数学规划算法
2({ $ C*c()) -0]2}2
!!目 标 数 值 标 相 于 计变量的
1=1”y 丄(26)度, ) $( MaihemaiocaePeogeammong， MP)
(化 法其% 中,OC算法具有收敛速度快,计算规模与设计变量的
计为数目无关等优点[38-39] %本文选取OC算法进行多材料拓扑 化 计变量求 %186振动与冲击2019 38OC算法依据库恩-塔克(Kuhn-Tucker, K-T)条件作 料拓扑优化设计变量迭代格式
W( B(k))
% >mo为优化设计准则*40+，引入拉格朗日乘积因子，建立多材> 1(k+)1rnax(xmu/
，(兀)
Fe
(F)、)mgve (bN1)PU mox,>
( k)
( k))W >mo <
( B(k)
< >mox( 29)W( B(e k) k))>max
式中:k为迭代次数;7为阻尼系数,取值为0.5 ；mov⑴ 为正的
值，
步骤5输出多材料结构拓扑构型。为move\"k) 7 max(&(k) move0 , ?mip )
( 30 )8数值算例借助
与2
数值
式中:move0设定为0. 15 '比例因子&取值为0. 96 '最 验证所提方法的
％性， 1小
值？mo设为0. 001 % BNk) 为B(ek) 7
考虑载荷为随机变量 机场分布时，对多-占 +(1 -c)-V［驴］料拓扑优化结果的
丄 (31 )1如图3所示L型平板结构,设计区域几何
尺寸为L二60,顶端固定,右上端点位置处受垂直向下
的
载荷U , 如下：① ，其
性载荷工值与相位为式中,'1为拉格 子,通过半分法计 ％化迭代过 ，收敛 据设计变量相对变化
况，值为1 '② 性载
独立的随机变量％相 1
判定，为II#k+1 一#k % 1 %
产 % 1%
( )( 3c )32 布区间为［-3,/4, - ,/4 ］；幅值
和标
匀分布，分布，均值为1和0. 30% 体积分数 为7多材料稳健拓扑优化设计算法综上所述,采用O/sedAIMP方法进行多材料拓
扑优化设计变量表征， 借助KT： 载 机
场进
化，通过稀疏网格数值积分方法进行稳健料稳健拓扑优化转化为求解设计矩估计，进 一组 料
加权多目标确定性拓扑优化设计。图3 L型平板设计区域Fig. 3 Design domain of L-shape structure计算过 ，采 OC算法进 计变量更新，为了
获 的优化结果，采 传统的 度过滤方法，抑制数值不稳定性 ％ 料 稳健拓扑优化设计， 体
1
如下:料设计变量#与相
2采用kA表1三种材料参数设置：
置 化％Tab. 1 Implementation of three materials parameters载 机场)(1) 化序号1材料孔洞密度归一 化值P#00.4弹性量归 一化值E#00.20.5颜色白色蓝色为 机变量&( 1)(21,2，…，d)。3
于载 机变量&( 1),借助稀疏网格
2数值积分方法，在d 载 机变量空间生成配置点 集2,进而根据式(13 )计算,获得)d个载荷工况
34料A料B料C0.6红色1.01.0黑*())及相应权值C(心1,2，…，)d)。4优化循环 (loop = 1)①求
1,2，…,).)；②计 载
设计区域离散为6 400(80 x80)个平面四边形单
元，于稳健设计目标柔度的均值与标 系数分平衡方程=F((i二置为0.5% 载 值与相位以及相应的权值通下 柔度c( i(24)求过Clenshaw-Aurtis型稀疏网格进行计算，配置点与权
值 如图4所示％设置
1,2，…，碍)；③合权值，通过(23)
料组合方案,(1)方案柔度的均值与标 相对于
制数值不稳
；④计算目标函数与体积约束I：材料A、材料B、材料C 洞；(2)方 I：材料A、
料设计变量的敏度;⑤进 度过滤,抑计变量更材料C 洞；(3 )方 I：材料B、材料C 洞;；⑥采用OC算法进
(4)方案IV：材料C与孔洞。确定性设计与稳健设计拓扑材料分布方案如图5所示％计
新，并进 化收敛判断。 敛， 化迭代 ；环继续直至满足截 。果可知,针 料组合方案,所提方19赵清海等：考虑载荷不确定性的多材料结构稳健拓扑优化187(e)配置点分布(b)权值分布图4稀疏网格配置点与权值信息(d二2 ； + 4 ； No二65)Fig. 4 Sparse grid points and weights information ( d 二 2 ； +4 ； No 二 65 )第5步 第10步 第20步 第40步 第123步第5步 第10步 第20步 第40步 第123步( a) 性 计
(1)方案X材料A、材料B、材料C与孔洞( b) 稳健 计第5步 第10步 第20步 第40步 第123步第5步 第10步 第20步 第40步 第123步(C)确定性设计(2)方案IX材料A、材料C与孔洞(b)稳健设计第5步 第10步 第20步 第40步 第123步 第5步 第10步 第20步 第40步 第123步( a) 性 计(3)方案XV材料B、材料C与孔洞1 L吐缶ki?缶( b) 稳健 计第5步 第10步 第20步 第40步 第123步第5步 第10步 第20步 第40步 第123步( a) 性 计(4)方案IV：材料C与孔洞( b) 稳健 计图5
料稳健拓扑优化设计结果Fog.5Results of abust topology optimization for multi-materials法 获 料 分布构型，表 所提方法的
性设计与稳健设计材料，在弹性变形
Void
小设计区域，
料a、b、C性。 性 计相进 充， 受 料体积约束的，稳健设计获
设计所考虑载
拓扑构型， 是 左上承受水制。区域，出现 料填充增添载荷传递路径，这是 于稳健的相 力 ％
生变化，
料
提
拓扑优化设计目标函数均值与标准差迭代曲线如图6所示(以Case I为例)。 果表明，所
平方向的载
性
，针载料组合
性拓扑 化 计 稳健拓扑 化 计方法的收敛性，且敛速度
，稳健设计所
于 料 ，
果 更加 的稳定性。下各材料分料的组合数目
， 性计
，这是由于算法的收敛设置。 的结
布方案具有差异性，这是由于各材料的E#与值不 目标柔度的均值与标 于稳健设计所获 ：导致％以Case I为例， 料拓扑优化设计过程柔度的均值与标 ，所提 料 稳健设计方188振动与冲击2019 38法 的 性。充证明了所提方法的有1.0图6柔度均值与标准差随迭代次数的变化曲线(Case I)Fig. 6 The iterative histo/ of the mean and standard deviation ofcompliance( Case I)算例2如图7所示简支梁结构，设计空间为120 x40的平面
形区域， 进 ，顶端施加均布载荷，针以下 载 进 ：①载
性 ，幅值为1;②载性 ，服从 机场分布,均值为1,标准差为0. 3 %
机场的协方差满足关系C 7 exp ( -Mt^) ( 32 )dl 1 -111为两节点空间欧氏距离；d为相关长
度，设为60 %图7简支梁设计空间Fig. 7 Design domain of simple supported beam将设计空间离散为4 800(120 x40)个平面四边形
单元，材料的体积
为0.3 %
置 的三料组合方式，密度与弹性模量的归一化关系曲线如
图8所示。对于稳健设计目标函数均值与标准差的权重系数
置为0.5，于载 机场，采 K响展开化为
机变量，表示为3F(x) 7 0 + $ 槡?XS)
(33)式中，TO为载荷均值％借助稀疏网格数值积分方法，获
机变量
置点空间分布，如图9所示%性拓扑优化设计与稳健拓扑优化设计结果如图10
所示。由于结构的设计区域、
以及载荷工0.9
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0设计变量图8三种多材料组合方案Fig. 8 Three combinahons of dWfeont materials图9配置点空间(d = 3 ；/=4 ；No = 177)Fig. 9 DisWibuhon points space (d = 3 ； / = 4 ； No = 177)第5步 第10步 第20步 第40步 第123步(o)确定性设计第5步 第10步 第20步 第40步 第123步(b)稳健设计(1) 方 I第5步 第10步 第20步 第40步 第123步( a) 性 计第5步
第10步 第20步 第40步 第123步( b) 稳健 计(2) 方 I第5步 第10步 第20步 第40步 第123步( a) 性 计第5步第10步第20步 第40步 第123步( b) 稳健 计(3)方案III图10多材料稳健拓扑优化设计结果Fig. 10 Results of obust topology optimizahon for multi-materials况均具有左右对称特征，因此确定性设计与稳健设计
19赵清海等：考虑载荷不确定性的多材料结构稳健拓扑优化189拓扑构型具有对称性。但随机场载荷条件下的材料分
布较确定性载荷条件发生明显的变化,主要集中在结 构中间下部填充杆状材料，这是由于稳健设计时不同
(2) 针对载荷工况满足随机场分布，采用Kt：
换将载荷随机场离散化为有限个独立正交随机变量的
加权和,进而借助稀疏网格数值积分方法，将稳健拓扑 优化设计转化为求解一组多工况加权确定性拓扑优化
幅值情况下多载荷工况影响相互叠加造成的。当载荷
发生变动时，结构整体承载更加稳健，表明稳健设计的 必要性。同时可得到所提出的多材料拓扑优化设计方
法能有效获得多材料分布构型。针对不同的材料组合
设计问题。(3) 应用两个典型算例，验证算法的有效性和稳 定性，结果表明:算法设置简便,且拓扑构型边界清晰,
方案，该模型均具有良好的适用性。多材料结构拓扑优化过程均值与标准差迭代曲线
易于实现多材料结构设计,且能够快速收敛到稳定解。(4) 相较于确定性设计，稳健设计多材料结构构
型发生明显的变化,材料分布合理，结构具有良好的稳
如图11所示。针对载荷工况确定性与不确定性条件, 所提方法均能快速收敛到稳定解,表明多材料结构拓
扑优化方法的有效性。同时可以看出,当考虑目标函
数稳健性时，结构柔度的均值与标准差一般低于确定
性载荷条件下计算获得的结构柔度均值与标准差,充
分证明所提方法的稳健性。0 20 40 60 80 100 120迭代次数(b)标准差图11均值与标准差随迭代次数的变化曲线Fig. 11 The iterative histoa d the mean and standard deviationof compliance9结论针对多材料结构、载荷不确定性条件下的稳健拓
扑优化设计问题进行研究。主要结论描述如下：(1)基于变密度理论的有序各向同性微结构材料
惩罚模型法OPeadTIMP,给出多材料结构设计变量模
型描述。基于此，搭建考虑目标函数均值与标准差的 多材料稳健拓扑优化数学模型％健性。所提方法为实现多材料结构稳健拓扑优化设计
提供一种新的思路,具有良好的工程应用价值。参考文献* 1 + ESCHENAUER H A, OLHOFF N. Topology optimization dcontinuum structures: e review * J + - Applied Mechanics Reviews, 2001, 54(4) ：331-390.* 2 + LEE J O, YANG Y S, RUY W S. A comparative study onaliabihty-indea and taeet-pePoeiancebased pababilistic structure- design optimization * J + - Computers & Structures,
2002, 80(3/4) : 257-269.* 3 + KHARMANDA G, OLHOFF N, MOHAMED A, cl at.Reliability-based topology optimization * J + - Structure- and
Multidisciplinaa Optimization, 2004, 26 (5 ) : 295-307.* 4 + ZHAO Q H, CHEN X K, MA Z D, P al. A comparison ddeterministic, reliability-based topology optimization under
uncePainties * J + - Acte Mechanics Solide Sinico, 2016 , 29 (1) : 31-45.* 5:宋宗凤,陈建军•随机参数平面连续体结构的频率拓扑优化设计* J] •振动与冲击，2009, 28(12) ：30T4.SONG Zongfeng, CHEN Jianjun. Frequency topology optimization design of random parameters continuum structure
* J] - Journel of Vibration and Shock, 2009 , 28 ( 12) ：30-34.* 6 +尤芳，陈建军，曹鸿钧，等.稳态热传导结构非概率可靠性拓扑优化设计* J] •振动与冲击，2015, 34 ( 3 )：
118-122.YOU Fang, CHEN Jianjun, CAO Hon/un, ct at. Topology
optimization design of steady-state heet conduction structures
considering non-pababilistic aFabihty * J + - Journel of
Vibration and Shock, 2015 , 34(3) : 118-122.* 7 + ZHAO Q H, CHEN X K, MA Z D, ct 1 Robust topWogyoptimization based on Oochastic coPocotion methods under Wading uncertainties * J + - MathemaCcel Problems in
EngineePng, 2015 ,205 : 580980(1-14)-* 8 + AMIR O, SIGMUND O, LAZAROV B S, ct at. Efficientaanalysis techniques for abust topology optimization * J + -
CompuieeMeihodson Appeoed Mechanocsand Engoneeeong,
2012, 245 : 217-231.* 9 + PARK S H. Robust design and analysis for qualityengineeOng* M] - London: Chapman and Hall, 1996.* 10 + PARK G, LEE T, LEE K H, ct at. Robust optimization: anoverview * J ] - AIVA Journal, 2006 , 44 (1) : 181-191 -* 11 ] THOREC J, HOLMBERG E, KLARBRING A.A geneeaframework for abust topology optimization under Wad-
uncePainty including stress constraints * J + - Computer
190振动与冲击2019 38Methods in Applied Mechanics and Engineering, 2017, 319 : using ordered SIMP interpolahon * J +. Structural and Multidisciplinary Optimization& 2017, 55(2) : 477D91.*25] BENDS0E M P, SIGMUND O. Mhe/ai interpoWhons in
1-18.*12] ZHAO J P, WANG C J. Robust topology op/uiza/on of
sWuctures under loading uncertainty * J +. AIAA Journal, topology optimization * J ]. Archive of Applied Mechanics & 1999, 69(9/10) : 635-654.*26] STOLPE M, SVANBERG K. An alternative interpoWhon
2014, 52(2) : 398D07.*13] MARTIAEZ-ARUTOS J, HERREROAEREZ D. Largevcolo
robust topology optimization using multi-GPU systems * J +. scheme for minimum compliance topology optimization * J ].
Computer Methods in Applied Mechanics and Enyinee/ny,Swucturai and MuUidiscipUnao Ophuizahon & 2001, 22(2): 116-124.*27] GHANEM R G, SPANOS P D. Stochastic finite elements: a
2016, 311: 393-414.*14]付志方，王春洁.载荷不确定的周期性结构稳健拓扑优
化* J].北京航空航天大学学报，2017, 43(4) : 747-753.
spectral approach* M]. New York: Sprmger, 1991.*28 ] KANG Z, LU P. ReliabHity-based topVogy ophuizahon
FU Zhifany, WANG Chunjie. Robust topology optimization of periodic structures under uncertain loading * J +. Journal of
Beijing University of Aeronauhcs and Astonautics, 2017, 43(4) :747-753.* 15] HOLMBERG E, THORE C J, KLARBRIAG A. Game theo/
approach to robust topology ophuizahon with uncertain loading * J +. Swucturai and MuUidiscipUnao Ophuizahon,2017, 55(4) : 1383-1397.*16]李涤尘，贺健康，田小永，等.增材制造:实现宏微结构一
体化制造机械工程学报，2013, 49(6) : 129-135.LI DPhen, HE Jiankany, TIAN Xiaoyony, et al. Additive
manufactu/ny: inteyrated fabrication of macro/ micosWuctuos * J +. Journal of Mechanical Enyinee/ny,2013, 49(6) ：129V35.*17]林鑫,黄卫东.高性能金属构件的激光增材制造* J].中
国科学:信息科学，2015, 45(9) :1111-1126.LIN Xin, HUANG Weidony. Laser additive manufacturing of high -performance metal components * J +. Scientia Sinica Ipformahons, 2015, 45(9) : 1111-1126.*18]王华明.高性能大型金属构件激光增材制造:若干材料基
*J]. 航空学报, 2014, 35(10): 2690-2698.WANG Huaminy. Materials ' fundamental issues of laser additive manufactu/ny for high-psformance large metahic components * J +. Acta Aeronautica et AsWonautica Sinica,2014, 35(10): 2690-2698.*19] SIGMUND O, TORQUATO S. Design V materials with
extreme thermal expansion using a three-phase topology optimization method * J +. Journal of the Mechanics and
Physics of Solids, 1997, 45(6) : 1037-1067.*20] WANG M Y, WANG X. “ Color\" level sets: a multi-phase
method forsWucturai topology ophuizahon with multiple materials * J +. Computer Methods in Applied Mechanics and
Enginee/ng & 2004, 193(6/7/8) : 469-496.*21 ] WANG Y,LUO Z&KANG Z, et al. A muUi-mhe/P level set
based topVogy and shape ophuizahon method * J +. ComputeMethods in Applied Mechanics & Enginee/ng & 2015, 283 :
1570-1586.*22] ZHOU S W, WANG M Y. MulUmateriol +/ctuol topology
optimization with a generalized Cahn-HJia/ model of
multiphase tonsidon * J +. Swucturai and Mulhdisciplinao Optimization& 2007, 33(2) : 89-111.*23] TAVAKOLI R, MOHSENI S M. Alternahng acVve-phase
alyo/thm for mulUmate/ai topology optimization problems: a 115 Ane MATLAB implementation * J +. Swucturai and
Mulhdisciplinao Ophuizahon& 2014, 49(4) : 621-642.*24] ZUO W, SAITOU K. Multi-mate/ai topology optimizahon
against geomeWicimperfections with random threshold model
* J ]. Internhionai Journal for Numerical Methods in
Enginee/ng& 2018 & 115 :99-116.*29] HALDAR A, MAHADEVAN S. Rdiaility assessment using
stochastic finite element analysis * M ]. New York:
Wdey, 2000.*30] GHANEM R G, DOOSTAN A. On the consWuction and
analysis of stochastic models: characte/zahon and popagahon of the erors associated with limited data * J ]. Journal of Compuyhonai Physics& 2006, 217( 1) : 63-81.* 31 ] SMOLYAK S A. Quadrature and inte/olation formulas fortensor products of certain classes of functions * J ]. Soviet Mathematics, 1963, 4 :240-243.*32] NOVAK E, RITTER K. Simple cubature formulas with high
polynomiai exactness * J ]. Journal of ConstructiveApproximation, 1999, 15(4):499-522.*33] BARTHELMANN V, NOVAK E, RITTER K. Hogh
dimensional pVynomiai inte/olahon on sparse grids * J ].
Journal of Advances in Compuyhonai Mathematics, 2000, 12
(4) :273-288.*34] KLIMKE A, WOHLMUTH B. Piecewise mul/dnear
hierarchical sparse g/U interpolation in MATLAB * J ]. ACM Transactions on MatUemahcai Software & 2005, 31 ( 4 ):
561-579.* 35 ] GERSTNER T, GRITBEL M. Numerical inmara/on usingsparse g/Us * J ]. Number Algorithms & 1998 & 18 ( 3/4 ): 209-232.*36] KLIMKE A, WOHLMUTH B.
Compuhng expensivemulUva/ate functions of fuzzy numbers using sparse grids * J ].
Journal of Fuzzy Sets and Systems& 2005, 154(3) ：432响53.* 37 ] XU D, HESTHAVEN J. High order collocation method fordiWeon/ai equations with random inputs * J ]. Society for Industrial and Applied Mathematics & 2005 & 27 ( 3 ):1118-1139.* 38 ] BEHROOZ H, ERNEST H. Homogenizahon and sWucturaltopology ophuizahon* M]. London: Sp/nger-VerWa Limited,
1999.*39]张志飞，倪新帅，徐中明，等.基于优化准则法的自由阻
料拓扑 化. , 2013, 32(14): 98-102.ZHANG Zhifep NI Xinshuap XU Zhongming & et al. Topologic optimization of a free damping material based on optimal c/te/a method * J ]. Journal of ViUrahon and Shock &
2013, 32(14): 98-102.*40] BENDS0E M P, SIGMUND O. TopVogy op/uiza/on theoo&
methods and application* M]. Berlin: Sp/nger& 2003.
因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容