数值分析之幂法及反幂法C语言程序实例

1、算法设计方案：

①求1、501和s的值：

s：s表示矩阵的按模最小特征值，为求得s直接对待求矩阵A应用反幂法即可。

1、501：已知矩阵A的特征值满足关系 1Ln，要求1、及501时，可

按如下方法求解：

a． 对矩阵A用幂法，求得按模最大的特征值m1。 b． 按平移量m1对矩阵A进行原点平移得矩阵B求得B的按模最小特征值m2。 c． m3Am1I，对矩阵B用反幂法

m2m1

则：1min(m1,m3)，nmax(m1,m3)即为所求。

②求和A的与数k1k501140最接近的特征值

ik（k=0，1，…39）：

求矩阵A的特征值中与k最接近的特征值的大小，采用原点平移的方法：

先求矩阵 B=A-kI 对应的按模最小特征值k，则k+k即为矩阵A与k最接近的特征值。

重复以上过程39次即可求得

③求A的（谱范数）条件数cond(A)2和行列式detA：

在（1）中用反幂法求矩阵A的按模最小特征值时，要用到Doolittle分解方法，在

Doolittle分解完成后得到的两个矩阵分别为L和U，则A的行列式可由U阵求出，即：det(A)=det(U)。

求得det(A)不为0，因此A为非奇异的实对称矩阵，则：

ik（k=0，1，…39）的值。

cond(A)2max，max和s分别为模最大特征值与模最小特征值。 s

2、程序源代码：

#include<> #include<> #include<>

#define N 501 3e\\n\ } }

void main() {

float cond;

double value_det;

printf(\"Contact me\\n\");

Init_matrix_A(); 3e\\n\ printf(\"λ501=%.13e\\n\

value_det=Det_matrix(); 3e\\n\ cond=Get_cond_A(); 3e\\n\

printf(\"value_det=%.13e\\n\ }

3、程序运行结果：

4、迭代初始向量的选取对计算结果的影响：

本次计算实习求矩阵A的具有某些特征的特征值，主要用到的方法是幂法和反幂法，这两种方法从原理上看都是迭代法，因此迭代初始向量的选择对计算结果会产生一定影响，主要表现在收敛速度上。

通过实际调试发现，对某些特殊的迭代初始值，确实对收敛结果及收敛速度产生影响，具体如下所列：

以下结论建立在float数据类型基础之上；

1.迭代初始值u[i]=c(i=1,2,…,501)且c的绝对值值极大（例如以上），收敛结果可以稳定但收敛速度减慢，其原因为c的数量级与矩阵A中元素数量级差距过大，导致迭代次数以及运算量增大；

2.迭代初始值u[i]=c(i=1,2,…,501)且c的绝对值值极小（例如以下），收敛结果并不稳定，且收敛速度减慢，其原因是计算机舍入误差将会影响计算结果；

3.迭代初始值u[i] (i=1,2,…,501)之间数量级偏差很大（例如倍以上），收敛结果亦不稳定，且收敛速度减慢，其原因是人为使迭代过程中的权重发生较大区别，使迭代复杂化。

结论，对于迭代初始值的选取应尽量与矩阵A中元素数量级保持相近，且应保证相近的数量级。

PS: Further details please Contact me: 2011-11-15