2012高三一轮复习逻辑A知识点(3)

即使跌倒一百次，也要一百次地站起来。—— 张海迪

北大附属实验学校 高二 年级 数学 教学案（3）

课题： 逻辑 主备： 郭帅 审定： 时间：

【要点精讲】

1．常用逻辑用语

（1）命题：可以判断 的语句叫命题； 逻辑联结词：“ ”“ ”“ ”这些词就叫做逻辑联结词；简单命题： 逻辑联结词的命题。复合命题：由 与 构成的命题。

常用小写的拉丁字母p，q，r，s，„„表示命题，故复合命题有三种形式（用符号表示）： ； ； 。

（2）复合命题的真值

“非p”形式复合命题的真假可以用下表表示： p 真 假 p 真 真 假 假 p 真 真 假 假 q 真 假 真 假 q 真 假 真 假 非p p且q P或q 注：1°像上面表示命题真假的表叫真值表；2°由真值表得：“非p”形式复合命题的真假与p的真假 ；“p且q”形式复合命题当p与q同为真时为 ，其他情况为 ；“p或q”形式复合命题当p与q同为假时为 ，其他情况为 ；3°真值表是根据简单命题的真假，判断由这些简单命题构成的复合命题的真假，而不涉及简单命题的具体内容。 “p且q”形式复合命题的真假可以用下表表示： “p且q”形式复合命题的真假可以用下表表示：

（3）四种命题 如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互为 ；

如果一个命题的条件和结论分别是原命题的条件和结论的否定，那么这两个命题叫做 ，这个命题叫做原命题的 ；

如果一个命题的条件和结论分别是原命题的结论和条件的否定，那么这两个命题叫做互为 ，这个命题叫做原命题的 。

两个互为逆否命题的真假是 的，即两个互为逆否命题是 命题.若判断一个命题的真假较困难时，可转化为判断其逆否命题的真假。

（4）条件

一般地，如果已知pq，那么就说：p是q的 ；q是p的 。 可分为四类：（1）充分不必要条件，即 ,而 ；(2)必要不充分条件，即 ,而 ；(3)既充分又必要条件，即 ，又有 ；(4)既不充分也不必要条件，即 ，又有 。

一般地，如果既有pq，又有qp，就记作： .“ ”叫做等价符号。pq表示pq且qp。

这时p既是q的充分条件，又是q的必要条件，则p是q的充分必要条件，简称充要条件。 （5）全称命题与特称命题

这里，短语“所有”在陈述中表示所述事物的全体，逻辑中通常叫做 ，并用符号 表示。含有全称量词的命题，叫做 。

短语“有一个”或“有些”或“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分，逻辑中通常叫做 ，并用符号 表示，含有 的命题，叫做 。

2．推理与证明 （1）合情推理

根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理，叫做归纳推理（简称归纳）。归纳是从 到 的过程，它属于 ；

根据两类不同事物之间具有某些类似（或一致）性，推测其中一类事物具有与另一类事物类似（或相同）的性质的推理，叫做 （简称类比）。

类比推理的一般步骤：

（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）；（3）一般地，事物之间的各个性质之间并不是孤立存在的，而是相互制约的。如果两个事物在某些性质上相同或类似，那么它们在另一些性质上也可能相同或类似，类比的结论可能是真的；（4）在一般情况下，如果类比的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，那么类比得出的命题就越可靠。

（2）演绎推理

分析上述推理过程，可以看出，推理的灭每一个步骤都是根据一般性命题（如“全等三角形”）推出特殊性命题的过程，这类根据一般性的真命题（或逻辑规则）导出特殊性命题为真的推理，叫做演绎推理。演绎推理的特征是：当前提为真时，结论必然为真。

（3）证明

反证法：要证明某一结论A是正确的，但不直接证明，而是先去证明A的反面（非A）是错误的，从而断定A是正确的即反证法就是通过否定命题的结论而导出矛盾来达到肯定命题的结论，完成命题的论证的一种数学证明方法。

反证法的步骤：1)假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；2)从这个假设出发，通过推理论证，得出矛盾；3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。

注意：可能出现矛盾四种情况：①与题设矛盾；②与反设矛盾；③与公理、定理矛盾④在证明过程中，推出自相矛盾的结论。

分析法：证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的条件，把证明不等式转化为判定这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立，这种方法通常叫做分析法。

用分析法证明不等式的逻辑关系是： 分析法的思维特点是：执果索因；

分析法的书写格式： 要证明命题B为真，只需要证明命题为真， 从而有„„，这只需要证明命题为真，从而又有„„

这只需要证明命题A为真，而已知A为真，故命题B必为真

综合法：利用某些已经证明过的不等式（例如算术平均数与几何平均数定理）和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法通常叫做综合法，

用综合法证明不等式的逻辑关系是：

综合法的思维特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法。

3．数系的扩充与复数的引入

形如 (a,bR)的数，我们把它们叫做复数，全体复数所形成的集合叫做 ，一般用字母C表示，其中a叫做复数的 ，b叫做复数的 。 复数的加法法则：（a+bi）+(c+di)=( )+( )i；复数的减法法则：（a+bi）－(c+di)=( )+( )i；复数的乘法法则：（a+bi）（c+di）=( )+( )i；复数的除法法则：(a+bi)(c+di)=

abi(abi)(cdi)(acbd)(bcad)iacbdbcadi； == =+222222cdi(cdi)(cdi)cdcdcd