极坐标的概念

确定平面内的点的位置有各种方法，用一对实数确定平面内的点位置的方法称为直角坐标方法，因其方法简捷且应用广泛（如地球的经纬线和剧场中座位号）而成为解析几何中最主要的内容；用方向（角）和距离来确定平面内的点的位置是极坐标的基本思想。极坐标在工程中和军事上也有广泛应用。 1.1极坐标系定义

在平面上选一定点O，由O出发的一条射线OX，规定一个长度单位和角的正方向（通常以反时针旋转为正方向）合称一个极坐标系。其中O为极点，射线OX为极轴，由极径和极角两个量构成点的极坐标，一般记作（ρ，θ）。 1.2平面内的点与极坐标系的关系

平面内有一点P，|OP|用ρ表示，ρ称为P点的极径；OX到OP的角θ叫极角，P（ρ，θ）为极坐标。

(1)有一组极坐标（ρ，θ）能在极坐标系中找唯一的点与其对应； (2)在极坐标系中有一个点P，则有无数组极坐标与其对应。

①P点固定后，极角不固定。（ρ，θ）与（ρ，2kπ+θ）（k∈z）表示同一点坐标；

②P点固定后，ρ的值可正、可负。ρ＞0时，极角的始边为OX轴，终边为

线；ρ＜0，极轴始边为OX轴，终边为

的反向延长线；规

定：ρ=0时，极角为任意角，如（ρ，θ）与（ρ，2kπ+θ)及（-ρ，2kπ+π+θ)(k∈z)表示同一点。

∴极坐标与极坐标平面内的点不一一对应。

例1.在极坐标系中，点P（ρ，θ）与Q（-ρ，2π-θ）的位置是（ ） A.关于极轴所在直线对称 B.关于极点对称 C.重合 D.关于直线

（ρ∈R）对称

分析：Q（-ρ，2π-θ）与（ρ,π-θ）表示同一点，它与点P（ρ，θ）关于直线

（ρ∈R）（过极点而垂直于极轴的直线）对称。 故选D。

例2.在极坐标系中，如果等边三角形的两个顶点是

，那么C的坐标可能是（ ）

A. C.

B.

D.（3，π）

，

分析：∵,极径相同，极角相差π，A、B以极点对称，又

，或

，C对应极角为 故选B 。

.

|AB|=4，△ABC为等边△， ∴

例3.A、B两点的极坐标分别为A(ρ1，θ1)，B(ρ2，θ2)，则 |AB|=______________________________。 分析：用余弦定理可得公式。

此结论可作为

1.3极坐标与直角坐标的互化

取极点为直角坐标系的原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，在极坐标系中P(ρ，θ)，设在直角坐标系中P(x,y)

则ρ2=x2+y2、、(注意角所在象限)

此三组式子，即为极坐标与直角坐标的互化公式。 例1.将下列各极坐标方程化为直角坐标方程。 (1)

(2)

(3) 解：(1)

(4)ρ2=2cos2θ 得y=-x；

(2)ρsinθ=2cosθ+2,ρsinθ=2ρcosθ+2ρ,

,(y2-2x)2=4(x2+y2)得y2=4(x+1)；

(3)4ρ2+5ρ2cos2θ=36,4(x2+y2)+5x2=36,得x2+4y2=36； (4)ρ4=2ρ2(cos2θ-sin2θ),(x2+y2)=2x2-2y2 例2.椭圆的方程为（ ） A.

B.

C.

在以原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中

222

D.

分析：,得 故选C 。

（二）极坐标方程的确定

2.1几种直线的极坐标方程

(1)从极点O发出的一条射线（如图1），其极坐标方程为：θ=θ1（ρ＞0）；

(2)过极点O的一条直线（），其极坐标方程为θ=θ1（ρ∈R）； (3)如图3 过点（a,o）且垂直于极轴的直线的极坐标方程为：ρcosθ=a；

(4)如图4 过点（a,π)且垂直于极轴的直线的极坐标方程为：ρcosθ= -a；

如图1

如图4

如图2

如图3

(5)如图5 平行于极轴在极轴上方a个单位的直线的极坐标方程为：ρsinθ=a；

(6)如图6 平行于极轴且在极轴下方a个单位的直线的极坐标方程为：ρsinθ=-a；

(7)如图7 过点M（a,θ1）,且与极径OM垂直的直线的极坐标方程为：ρcos(θ-θ1)=a.

如图5 如图6

如图7

例1.过点 A.

且与极轴平行的直线的极坐标方程是（ ） B.ρ=1 C.

D.

分析：极点到直线距离d=1.根据直线极坐标方程(5)得ρsinθ=1，故选C。

例2.已知点P的坐标为（1,π），那么通过P点且垂直于极轴的直线的极坐标方程为（ ）（上海 94年高考题）

A.ρ=1 B.ρ=cosθ C.ρcosθ= -1 D.ρcosθ=1

分析：根据直线极坐标方程(4)得ρcosθ=-1 故选C。

例3.已知直线ι1的参数方程为：的极坐标方程为

ι1与ι2的夹角是（ ） A.

B.

C.

（t为参数），直线ι2

（极点与原点重合，极轴与x轴正半轴重合）。则

D.

分析：直线

化为普通方程

化为普通方程为x-2y+3=0,其斜率

，即

；直线

，其斜率k2=1，两直

线夹角若为α，则

，，故选C 。

2.2几种圆的极坐标方程

(1)圆心为极点，半径为r的圆的极坐标方程为：ρ=r(θ∈R)； (2)圆心O′（r,0），半径为r的圆的极坐标方程为：ρ=2rcosθ； (3)圆心O′（r,π），半径为r的圆的极坐标方程为：ρ=-2rcosθ；

(4)圆心O′，半径为r的圆的极坐标方程为：

；

(5)圆心O′，半径为r的圆的极坐标方程为：

；

(6)一般圆的极坐标方程：圆心O′（ρ0，θ0），半径为r的极坐标方程。设动点（ρ，θ），依据余弦定理得ρ2+ρ20 -2ρρ0 cos（θ-θ0）=r2 即ρ2-[2ρ0 cos(θ-θ0)]ρ+ρ02-r2=0.

以上方程的推导方程有两种：一是基本方法，也就是轨迹法。轨迹法就是设曲线动点为（ρ，θ），然后找出可解三角形，在可解三角形中建立等量关系；二是直极转化法，也就是写出直角坐标方法，然后再化为极坐标方程。 例1. 极坐标方程

所表示的曲线是（ ）

A.双曲线 B.椭圆 C.抛物线 D.圆 分析：

故选D。

例2.极坐标方程ρ2-(1+2cosθ)ρ+2cosθ=0所表示的曲线是（ ） A.抛物线 B.一直线和一个圆 C.两条直线 D.两相交圆 分析：

是两相交

的圆 故选D。

例3.极坐标方程分别是ρ= -cosθ和ρ= -sinθ的两个圆的圆心距是（ ）

A.2 B.

C.1 D.

解法一：圆ρ=-cosθ 圆心

根据两个点间距离

；圆ρ=-sinθ，圆心

，应选D；

解法二：两个圆的圆心分别在极轴反向延长线和过极点垂直于极轴直线上，且两圆都过极点，半径都为根据两个点间距离

，应选D；

解法三：两个圆的圆心分别在极轴反向延长线和过极点垂直于极轴直线上，且两圆都过极点，半径都为，根据勾股定理， 解法四：

；

.圆心距

；

.

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2.3焦点为极点的椭圆、双曲线和抛物线标准统一的极坐标方程： (1)圆锥曲线统一定义：在同一平面内到一定点和一定直线的距离之比为常数e的动点轨迹，就叫圆锥曲线。其中定点叫圆锥曲线的焦点，定直线叫准线。 (2)圆锥曲线的标准统一极坐标方程：如果以定点O为极点，以过定点所作定直线L的垂线的反向延长线为极轴正方向建立极坐标系为标准坐标系。那么在此标准极坐标系下圆锥曲线的标准统一方程

,其中p是焦点到相

应准线的距离。在椭圆和双曲线中p就是相应直角坐标系中的,.

(3)将化为直角坐标方程(1-e2)x2+y2-2e2px-e2p2=0,其中0＜

e＜1时两方程表示椭圆（极点和原点是椭圆的左焦点）；e＞1时两方程表示双

曲线（极点和原点是双曲线的右焦点）；e=1时两方程表示抛物线（极点和原点是抛物线焦点）。

例1.设椭圆 (0＜e＜1).求：a、b、c及另一个

焦点的极坐标，两条准线的极坐标方程。

解：令θ=0得A点极径 ①

θ=π得A′点极径 ②

由①+②得 ①-②得

F1为极点

左准线 ρcosθ=-p，右准线 例2.求双曲线 解：令θ=0 θ=π

.

(e＞1)的a、b、c，焦点的坐标和准线的方程。

(e＞1) ① ②

由①、②得

焦点F2(0，θ)为极点，F1 (2c,π)即

右准线 ρcosθ=-p 左准线

例3.求圆锥曲线过焦点的弦AB之长

解：

当e=1时，抛物线过焦点弦长

解评：圆锥曲线极坐标方程只有一个，比较容易记忆，注意圆锥曲线统一标准极坐标方程的极点是其一个焦点。也正因为此，遇到圆锥曲线有关焦点弦问题，用极坐标方程来解题，运算要简捷。

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（三）极坐标方程的应用

3.1由极坐标方程讨论曲线及性质 例1.椭圆

的焦距是（ ）

A. B.2 C. D.1 分析：极坐标方程化为标准式

应选B.

例2. 若圆锥曲线

的一条准线方程是ρcosθ=1，则另一条

准线的极坐标方程是____________________。

分析：化标准式

∴另一条准线为

例3.双曲线

分析：化标准线

，两条准线间距离

的渐近线方程是_____________.

设双曲线渐近线上一动点M（ρ,θ）。 令

夹角。在△MO′F中 (如图)根据正弦定理

此时ρ不存在，θ1为渐近线与极轴

∴双曲线的两条渐近线的方程

为：和 .

解评：用圆锥曲线统一标准极坐标方程讨论曲线性质。主要记住椭圆和双曲线

,

及直线的极坐标方程；例3求双曲线渐近线的极坐标方程

高考大纲不作要求，有同学愿用极坐标求动点轨迹研究可作参考。

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3.2圆锥曲线过焦点弦问题在极坐标中应用

因为圆锥曲线的统一标准极坐标方程的极点是其一个焦点，且过极点弦

长可直接得ρ1+ρ2之值。因此遇到有关过焦点弦问题用极坐标方程解决，可简化做题过程。 例1.过椭圆

的左焦点作一条倾角为

的直线ι，则它被曲

线截得的弦长是______________。 解：设直线ι与曲线交点为

、

它被曲线截得

的弦长

例2.已知椭圆长轴AA′=6，焦距，过椭圆焦点F1

作直线交椭圆于M、N两点，若∠F2F1M=α,(0≤α＜π).当α取什么值时，|MN|等于椭圆短轴的长。

解：（此题MN是过焦点弦问题，用极坐标解题较好）以F1为极点，F1F2所在射线为极轴建立极坐标系。

∵a=3，，,,

椭圆的极坐标方程为

∴

令：

例3.过抛物线y2=2px的焦点F作两条互相垂直的直线ι1和ι2,分别与抛物线交于A、B点和C、D点 (1)求证：最小值。

解：(1)以焦点F为极点，x轴正方向为极轴正向建立极坐标系，则y2=2px

为定值；(2)求|AB|+|CD|的

的极坐标方程为

,

设A(ρ1，θ)则B(ρ2，θ+π),

∴（为定值）

(2)

当sin22θ=1

时，等号成立，∴最小值为8p

解评：抛物线直角坐标方程中p与极坐标方程中p相同，因此抛物线直角坐标方程（原点为抛物线顶点）与极坐标方程（极点为抛物线焦点）互换极为容易，过焦点弦问题用极坐标方程解决较好。

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[同步检测]

1.曲线的极坐标方程ρ=4sinθ化为直角坐标方程为（ ）（98年全国高考题） A.x2+(y+2)2=4 B.x2+(y-2)2=4 C.(x-2)2+y2=4 D.(x+2)2+y2=4

2.已知点P的坐标为（1，π），那么过点P且垂直于极轴的直线的极坐标方程为（ ）（94年上海高考题）

A.ρ=1 B.ρ=cosθ C.ρcosθ= -1 D.ρcosθ=1 3. A.

的半径和圆心的极坐标分别为（ ）

B.

C.4.双曲线

D.的顶点坐标是（ ）

A.（8，0），（2，π） B.（-8，0），（2，π） C.（-8，0），（-2，π） D.（8，0），（-2，π） 5.椭圆

的长轴长_____________，短轴长____________，短轴上顶点

的坐标_______，焦点坐标_____________，准线方程_________________。

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[强化练习]

1.设椭圆(a＞b＞0)，A、B为椭圆上任意两点，且（其

中O为坐标轴原点），求证：为定值。

2.设有一彗星，围绕地球沿一抛物线轨迹运行，地球恰好位于这轨迹的焦点处。当此彗星离地球为d万公里时，经过地球和彗星的直线与抛物线的轴的夹角为，求这彗星运行中与地球的最短距离。

3.F是定点，ι是定直线，点F到直线ι的距离为p（p＞0）,点M在直线ι上滑动，动点N在MF的延长

线上，且满足。(1)求动点N的轨迹。(2)

求|MN|的最小值。（1989年上海高考题）

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同步检测答案：

1.B 2.C 3.C 4.B 提示：

1.ρ2=4ρcosθ x2+y2-4x=0 x2+(y-2)2=4 故选B； 2.把ρ=1，θ=π代入方程，只有C成立； 3.化为直角坐标方程

,.故选C 。

半径r=1，圆心

得

化为极坐标

4. a=3,b=4,c=5顶点A(c-a,π) A′（-(a+c),0）

5. ∴2a=10,

,焦点（0，θ），（4，0），

短轴上顶点坐标为准线

或

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强化练习解答： 1.解

化为极坐标方程x=ρcosθ,y=ρsinθ,得

b2ρ2cos2θ+a2ρ2sin2θ=a2b2,即

2.解：以地球所在位置为极点，抛物线对称轴为极轴建立极坐标系，设抛物线方程为

∵在抛物线上，故；

又∵也可能在抛物线上 故

∵抛物线上各点中顶点离焦点最近，∴慧星与地球最短距离为

（万公里）或

（万公里）。

3.解：以F为极点，过F而垂直于ι，方向向右为正建立极坐标系。 (1)设N（ρ，θ），设|FK|=p，

,(其中|FN|=ρ)，

,过F作FK⊥ι于K，

∵p）。

即（0＜cosθ＜

①若,即0＜p＜1时，N的轨迹为双曲线右

支的一部分（如右图）。

②若（如右图）。

,即p=1时，N的轨迹为抛物线一部分

③若即p＞1时，N为椭圆的一部分。

(2)

①若0＜p≤2时，则时，|MN|min=4

②若p＞2时，则cosθ=1时，

极坐标·型例题分析

发布时间：2005年7月24日 14时58分

例1 点M(1，π)是否在曲线C∶ρ(3-4cosθ)=1上，为什么？ 分析 点M(1，π)的极坐标可以有无数种表示形式，点M是否在曲线C上，只要点M有其中一个极坐标满足方程．

解 由1·(3-4cosπ)≠1 不能判断点M不在曲线C上， ∵点M(1，π)，即是M(-1，2π) 且-1·(3-4cos2π)=1

∴点M(1，π)在曲线C∶ρ(3-4cosθ)=1上．

说明 解此题要注意“点和极坐标”的“一多对应”特性，适合曲线的极坐标方程的每一对有序实数(ρ，θ)所确定的点一定在此曲线上，但此曲线上点的坐标不一定全适合此方程．

例2 化下列极坐标方程为直角坐标方程．

分析 要利用ρcosθ=x；ρsinθ=y；ρ=x+y进行转化

222

ρsinθ=-6cosθ

当ρ≠0时，两边乘以ρ∶ρsinθ=-6ρcosθ 即：y=-6x(x≠0)

当ρ=0时，原方程有解，曲线过原点． ∴所得直角坐标方程为：y=-6x．

2

2

2

2

2

说明 化极坐标方程为直角坐标方程时，要注意变形的等价性，特别要检查极点是否在曲线上．这是因为在变形过程中，通常要用ρ去乘

不过极点，在得到2ρcosθ=ρ后，如不限制ρ＞0，则原点在曲线

22

直线的距离是______．

分析 由极坐标的定义，ρ(ρ＞0时)或|p|(ρ＜0时)为曲线上点到极点的距离，因此可求|p|的最小值，另一种方法是化直线的极坐标方程为普通方程，再利用点到直线的距离公式求解．

∴ρsinθ+ρcosθ=1．

∴直线的直角坐标方程是x+y-1=0

说明 解法一需要对极坐标的概念有较深刻的理解；解法二的关键一步是化极坐标方程为直角坐标方程，这是解决极坐标问题的常用方法．

分析 如图3-3，|OA|，|OB|是从原点出发的两条线段的长度，启发我们把椭圆方程化为极坐标方程后，利用极径的意义求解．

解 以原点为极点，ox为极轴建立极坐标系，则椭圆的极坐标方程

说明 对有心圆锥曲线，若涉及曲线上的点与中心连线的问题，则通常以中心为极点，对称轴为极轴建立极坐标系；若涉及抛物线顶点弦的问题，则通常以顶点为极点，对称轴为极轴建立极坐标系．

极坐标·例题

发布时间：2005年7月24日 14时46分

(2)把点N的直角坐标(-3，4)化成极坐标；

(3)化曲线E的极坐标方程：kρcosθ+3ρsinθ-6cosθ=0为直角 坐标方程，并说明曲线的形状． 解 (1)设M的直角坐标为(x，y)，则

2

2

(3)在方程kρcosθ+3ρsinθ-6cosθ=0两边同乘以ρ得 kρcosθ+3ρsinθ-6ρcosθ=0 用x=ρcosθ，y=ρsinθ代入得

2

2

2

2

22

kx+3y-6x=0

因极点在曲线上，则原点也满足方程． 当k=0时，曲线为抛物线y=2x；

2

22

注 (i)点的极坐标与直角坐标互化时，如无特别说明，一般认为两

的值，再由(x，y)所在象限确定θ为第几象限角，得出θ的值． (ii)化极坐标方程为直角坐标方程时，通常在方程两边乘以ρ， 使方程中出现ρ，ρcosθ，ρsinθ．以便直接代入公式转化． 但应考查ρ＝0时的点是否在曲线上．

例13-2-2 已知锐角∠AOB=2α内一动点P，过P向角的两边OA，OB

作垂线，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N．当四边形PMON面积为定值

2

a时，求P点的轨迹．

解 如右图，以O为极点，∠AOB的平分线为极轴建立极坐标系．设P点坐标为(ρ，θ)(-α＜θ＜α，ρ＞0)．则∠MOP=α-θ，∠PON=α+θ．所以

2

OM=ρcos(α-θ)，PM=ρsin(α-θ) ON=ρcos(α+θ)，PN=ρsin(α+θ) 于是 SPMON=S△POM+S△PON

由题设知

故P点轨迹为以O为中心，∠AOB的平分线所在直线为对称轴，

注 与到定点距离与角有关的轨迹问题，建立极坐标系用直接法求轨迹方程较方便．在判定曲线形状时，则化为直角坐标方程较容易．

例13-2-3 已知椭圆(x-2)+4y=4．P为椭圆上一动点，O为原点， 以OP为直角边，P为直角顶点向上作等腰直角△OPQ．求Q点 轨迹方程．

2

2

解 以O为极点，Ox为极轴建立极坐标系． 化椭圆方程(x-2)+4y=4为 x+4y-4x=0

用x=ρcosθ，y=ρsinθ代入得椭圆的极坐标方程 ρcosθ+4ρsinθ-4ρcosθ=0

2

2

2

2

2

2

2

2

设Q，P两点的极坐标分别为(ρ，θ)，(ρ'，θ')．

因点P在椭圆上，故

用x=ρcosθ，y=ρsinθ代入上式得

这就是点Q的轨迹方程．

注 因Q点的运动随P点的运动而运动，所以用代入法求轨迹方程．又P点的位置与长度和角有关，则用极坐标较方便．

焦距．

解 [法一]设长轴两端点为A1，A2，其极坐标为(ρ1，0)，(ρ2，π)，则

为右焦点；∠MF1F2=α．若|MN|等于椭圆短轴长，求α(0≤α＜π)．

以左焦点F1为极点，射线F1F2为极轴，建立极坐标系，则椭圆的极

设M点的极坐标为(ρ1，α)则N点极坐标为(ρ2，π+α)．于是

注 对与焦半径、焦点弦有关的圆锥曲线的问题，常以焦点为极点，建立极坐标系，利用圆锥曲线统一的极坐标方程求解

极坐标·例题

发布时间：2005年7月24日 14时46分

(2)把点N的直角坐标(-3，4)化成极坐标；

(3)化曲线E的极坐标方程：kρcosθ+3ρsinθ-6cosθ=0为直角 坐标方程，并说明曲线的形状． 解 (1)设M的直角坐标为(x，y)，则

2

2

(3)在方程kρcosθ+3ρsinθ-6cosθ=0两边同乘以ρ得 kρcosθ+3ρsinθ-6ρcosθ=0 用x=ρcosθ，y=ρsinθ代入得

2

2

2

2

22

kx+3y-6x=0

因极点在曲线上，则原点也满足方程． 当k=0时，曲线为抛物线y=2x；

2

22

注 (i)点的极坐标与直角坐标互化时，如无特别说明，一般认为两

的值，再由(x，y)所在象限确定θ为第几象限角，得出θ的值． (ii)化极坐标方程为直角坐标方程时，通常在方程两边乘以ρ， 使方程中出现ρ，ρcosθ，ρsinθ．以便直接代入公式转化． 但应考查ρ＝0时的点是否在曲线上．

例13-2-2 已知锐角∠AOB=2α内一动点P，过P向角的两边OA，OB

作垂线，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N．当四边形PMON面积为定值

2

a时，求P点的轨迹．

解 如右图，以O为极点，∠AOB的平分线为极轴建立极坐标系．设P点坐标为(ρ，θ)(-α＜θ＜α，ρ＞0)．则∠MOP=α-θ，∠PON=α+θ．所以

2

OM=ρcos(α-θ)，PM=ρsin(α-θ) ON=ρcos(α+θ)，PN=ρsin(α+θ) 于是 SPMON=S△POM+S△PON

由题设知

故P点轨迹为以O为中心，∠AOB的平分线所在直线为对称轴，

注 与到定点距离与角有关的轨迹问题，建立极坐标系用直接法求轨迹方程较方便．在判定曲线形状时，则化为直角坐标方程较容易．

例13-2-3 已知椭圆(x-2)+4y=4．P为椭圆上一动点，O为原点， 以OP为直角边，P为直角顶点向上作等腰直角△OPQ．求Q点 轨迹方程．

2

2

解 以O为极点，Ox为极轴建立极坐标系． 化椭圆方程(x-2)+4y=4为 x+4y-4x=0

用x=ρcosθ，y=ρsinθ代入得椭圆的极坐标方程 ρcosθ+4ρsinθ-4ρcosθ=0

2

2

2

2

2

2

2

2

设Q，P两点的极坐标分别为(ρ，θ)，(ρ'，θ')．

因点P在椭圆上，故

用x=ρcosθ，y=ρsinθ代入上式得

这就是点Q的轨迹方程．

注 因Q点的运动随P点的运动而运动，所以用代入法求轨迹方程．又P点的位置与长度和角有关，则用极坐标较方便．

焦距．

解 [法一]设长轴两端点为A1，A2，其极坐标为(ρ1，0)，(ρ2，π)，则

为右焦点；∠MF1F2=α．若|MN|等于椭圆短轴长，求α(0≤α＜π)．

以左焦点F1为极点，射线F1F2为极轴，建立极坐标系，则椭圆的极

设M点的极坐标为(ρ1，α)则N点极坐标为(ρ2，π+α)．于是

注 对与焦半径、焦点弦有关的圆锥曲线的问题，常以焦点为极点，建立极坐标系，利用圆锥曲线统一的极坐标方程求解

极坐标·例题

发布时间：2005年7月24日 14时46分

(2)把点N的直角坐标(-3，4)化成极坐标；

(3)化曲线E的极坐标方程：kρcosθ+3ρsinθ-6cosθ=0为直角 坐标方程，并说明曲线的形状． 解 (1)设M的直角坐标为(x，y)，则

2

2

(3)在方程kρcosθ+3ρsinθ-6cosθ=0两边同乘以ρ得 kρcosθ+3ρsinθ-6ρcosθ=0 用x=ρcosθ，y=ρsinθ代入得

2

2

2

2

22

kx+3y-6x=0

因极点在曲线上，则原点也满足方程． 当k=0时，曲线为抛物线y=2x；

2

22

注 (i)点的极坐标与直角坐标互化时，如无特别说明，一般认为两

的值，再由(x，y)所在象限确定θ为第几象限角，得出θ的值． (ii)化极坐标方程为直角坐标方程时，通常在方程两边乘以ρ， 使方程中出现ρ，ρcosθ，ρsinθ．以便直接代入公式转化． 但应考查ρ＝0时的点是否在曲线上．

例13-2-2 已知锐角∠AOB=2α内一动点P，过P向角的两边OA，OB

作垂线，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N．当四边形PMON面积为定值

2

a时，求P点的轨迹．

解 如右图，以O为极点，∠AOB的平分线为极轴建立极坐标系．设P点坐标为(ρ，θ)(-α＜θ＜α，ρ＞0)．则∠MOP=α-θ，∠PON=α+θ．所以

2

OM=ρcos(α-θ)，PM=ρsin(α-θ) ON=ρcos(α+θ)，PN=ρsin(α+θ) 于是 SPMON=S△POM+S△PON

由题设知

故P点轨迹为以O为中心，∠AOB的平分线所在直线为对称轴，

注 与到定点距离与角有关的轨迹问题，建立极坐标系用直接法求轨迹方程较方便．在判定曲线形状时，则化为直角坐标方程较容易．

例13-2-3 已知椭圆(x-2)+4y=4．P为椭圆上一动点，O为原点， 以OP为直角边，P为直角顶点向上作等腰直角△OPQ．求Q点 轨迹方程．

2

2

解 以O为极点，Ox为极轴建立极坐标系． 化椭圆方程(x-2)+4y=4为 x+4y-4x=0

用x=ρcosθ，y=ρsinθ代入得椭圆的极坐标方程 ρcosθ+4ρsinθ-4ρcosθ=0

2

2

2

2

2

2

2

2

设Q，P两点的极坐标分别为(ρ，θ)，(ρ'，θ')．

因点P在椭圆上，故

用x=ρcosθ，y=ρsinθ代入上式得

这就是点Q的轨迹方程．

注 因Q点的运动随P点的运动而运动，所以用代入法求轨迹方程．又P点的位置与长度和角有关，则用极坐标较方便．

焦距．

解 [法一]设长轴两端点为A1，A2，其极坐标为(ρ1，0)，(ρ2，π)，则

为右焦点；∠MF1F2=α．若|MN|等于椭圆短轴长，求α(0≤α＜π)．

以左焦点F1为极点，射线F1F2为极轴，建立极坐标系，则椭圆的极

设M点的极坐标为(ρ1，α)则N点极坐标为(ρ2，π+α)．于是

注 对与焦半径、焦点弦有关的圆锥曲线的问题，常以焦点为极点，建立极坐标系，利用圆锥曲线统一的极坐标方程求解

极坐标·例题

发布时间：2005年7月24日 14时46分

(2)把点N的直角坐标(-3，4)化成极坐标；

(3)化曲线E的极坐标方程：kρcosθ+3ρsinθ-6cosθ=0为直角 坐标方程，并说明曲线的形状． 解 (1)设M的直角坐标为(x，y)，则

2

2

(3)在方程kρcosθ+3ρsinθ-6cosθ=0两边同乘以ρ得 kρcosθ+3ρsinθ-6ρcosθ=0 用x=ρcosθ，y=ρsinθ代入得

2

2

2

2

22

kx+3y-6x=0

因极点在曲线上，则原点也满足方程． 当k=0时，曲线为抛物线y=2x；

2

22

注 (i)点的极坐标与直角坐标互化时，如无特别说明，一般认为两

的值，再由(x，y)所在象限确定θ为第几象限角，得出θ的值． (ii)化极坐标方程为直角坐标方程时，通常在方程两边乘以ρ， 使方程中出现ρ，ρcosθ，ρsinθ．以便直接代入公式转化． 但应考查ρ＝0时的点是否在曲线上．

例13-2-2 已知锐角∠AOB=2α内一动点P，过P向角的两边OA，OB

作垂线，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N．当四边形PMON面积为定值

2

a时，求P点的轨迹．

解 如右图，以O为极点，∠AOB的平分线为极轴建立极坐标系．设P点坐标为(ρ，θ)(-α＜θ＜α，ρ＞0)．则∠MOP=α-θ，∠PON=α+θ．所以

2

OM=ρcos(α-θ)，PM=ρsin(α-θ) ON=ρcos(α+θ)，PN=ρsin(α+θ) 于是 SPMON=S△POM+S△PON

由题设知

故P点轨迹为以O为中心，∠AOB的平分线所在直线为对称轴，

注 与到定点距离与角有关的轨迹问题，建立极坐标系用直接法求轨迹方程较方便．在判定曲线形状时，则化为直角坐标方程较容易．

例13-2-3 已知椭圆(x-2)+4y=4．P为椭圆上一动点，O为原点， 以OP为直角边，P为直角顶点向上作等腰直角△OPQ．求Q点 轨迹方程．

2

2

解 以O为极点，Ox为极轴建立极坐标系． 化椭圆方程(x-2)+4y=4为 x+4y-4x=0

用x=ρcosθ，y=ρsinθ代入得椭圆的极坐标方程 ρcosθ+4ρsinθ-4ρcosθ=0

2

2

2

2

2

2

2

2

设Q，P两点的极坐标分别为(ρ，θ)，(ρ'，θ')．

因点P在椭圆上，故

用x=ρcosθ，y=ρsinθ代入上式得

这就是点Q的轨迹方程．

注 因Q点的运动随P点的运动而运动，所以用代入法求轨迹方程．又P点的位置与长度和角有关，则用极坐标较方便．

焦距．

解 [法一]设长轴两端点为A1，A2，其极坐标为(ρ1，0)，(ρ2，π)，则

为右焦点；∠MF1F2=α．若|MN|等于椭圆短轴长，求α(0≤α＜π)．

以左焦点F1为极点，射线F1F2为极轴，建立极坐标系，则椭圆的极

设M点的极坐标为(ρ1，α)则N点极坐标为(ρ2，π+α)．于是

注 对与焦半径、焦点弦有关的圆锥曲线的问题，常以焦点为极点，建立极坐标系，利用圆锥曲线统一的极坐标方程求解

第十三章参数方程和极坐标专项训练

【例题精选】：

2x3t2例1：曲线的参数方程为0t5，则曲线是： 2yt1A．线段

答案：A。

B．双曲线一支 C．圆弧 D．射线

222分析 由yt1解得ty1，将其代入x3t2得，x3y12，整理

得：x3y50。

0t5，得0t2252x77，1y24

故该曲线是直线x3y50上的一条线段，故选A。

xcossin22例2：参数方程02表示：

y11sin2A．双曲线一支，这支过点1，

12

B．抛物线一部分，这部分过点1，

12

C．双曲线一支，这支过点1，

12

D．抛物线一部分，这部分过点1， 答案：B。 分析 因为xcos122sin2sin

242又02424540sin1，即0x224

11又y1sinsincos

2222sin2241yx20x222112x的一部分，这部分过点1，，故选B。

22

因此，参数方程表示抛物线y

例3：等腰直角三角形ABC，三顶点A、B、C按顺时针方向排列，A是直角，腰长为a，顶点A、B分别在x轴y轴上滑动，求顶点C的轨迹方程（要求把结果写成直角坐标系的普通方程）

分析 设点C的坐标为x、y，不易直接建立x、y之间的关系，所以可考虑建立x、y之间的间接关系式，即参数方程。

CAX完全确定了顶点C的位置，即顶点C的位置是CAX的函数，所以可选CAX为参数。 解：如图所示，设CAX，则

xOAADasinacosasincosyDCasinC点的参数方程为：

xasincos为参数 yasin消去参数，得普通方程为：x2xyya 小结：与旋转有关的轨迹问题，常选角为参数。

222

例4：已知线段BB=4，直线l垂直平分BB于点O，在属于l并且以O为起点的同一

射线上取两点P、P，使OP·OP9。求直线BP与直线BP的交点M的轨迹方程。

分析 以O为原点，l为x轴，BB为y轴建

立一直角坐标系xoy，如右图所示，则

B0，2，B0，2。

如图可知，当P点的位置一定时，P点的位置完全确定，从而完全确定了M点的位置，所以可选P点的坐标为参数。

解：设Pa，0，a0，则由OP·OP9，得P

9，0。 a

xy1 a2xy直线BP的方程为：1

92a直线BP的方程为：两直线方程化简为：

2xay2a02ax9y180①②

解①和②组成的方程组。可得直线BP与BP的交点坐标为：

18ax9a22182ay9a2③

④

22消去参数a，得：4x9y36x0

所求点M的轨迹是长轴长为6，短轴长为4的椭圆，但不包含点B和B。 本题也可将直线BP和BP的方程变形为：

yx1a2ax1y29⑤

⑥

x2y21⑤、⑥两式相乘，得 94 小结：本题第二种解法，即交轨法。它是求两条曲线系交点轨迹的常用方法，这种方法

不解方程组，而是直接由方程组消去参数而得交点的轨迹方程。

例5：直线xtcosx42cos为参数相切，t为参数a与圆2ytsiny2sin则直线的倾角为：

A．

5或 66B．

3或 44C．

2或 33D．5或 662答案：A

分析 将参数方程化为普通方程，直线为yxtga，圆为x4y24。它们相

切的充要条件是：圆心到直线的距离dr，即：4·tg01+tg22。

解得tg3 3

0，，

22

5或，选A 66x1t例6：已知直线方程t为参数与xy230，则两直线的交点与

y53t

。

点P(1，－5)间的距离是

答案：43

分析1 将已知直线的方程化为普通方程：y3x35，再与直线

xy230联立，解得两直线交点Q123，1，所以

PQ12311543。

22分析2 将已知直线方程代入xy230，解得t23，则两直线交点

Q123，1，所以

PQ12311543。

22x2y21上的点到直线3x4y640的最大、最小距离。 例7：求椭圆

2581

解：椭圆上任意一点的坐标可设为P5cos，9sin，则点P到直线3x4y640的距离为：

d

35cos49cos6451361539sin64，其中cos,sin53939

103dmax，此时sin1.5dmin5，此时sin1. 小结：圆锥曲线的参数方程，，多用于设圆锥曲线上点的坐标为参数形式，以使曲线上点的坐标所含变量个数减少。

例8：已知直线l经过P3,3点，倾斜角为arccos，且与圆x1y29相

245交于A、B两点，则|AB|= 。 答案：6。 分析 易知直线l的参数方程为：

4x3tcosarccos5 4y3tsinarccos54x3t5即 t为参数………………（*）

3y3t5把直线l的参数方程（*）代入圆的方程x1y29中，整理得t10t160。

2

2t1t2t1t24t1t222

1041636

t1t262

根据参数t的几何意义知，|AB|=6

例9：在极坐标系中，点

，与点，的关系是：

A．关于极点成中心对称 B．表示同一个点 C．关于极轴成轴对称

D．关于过极点与极轴垂直的直线成轴对称 答案：D。

分析 在极坐标系中，作出点

，与点

，，如图所示，所以选D。

例10：在极坐标系中，已知等边三角形ABC的两个顶

点是A2，能是：

5，B2，，那么顶点C的一个坐标可44A．4，3 4B．23，D．3，

3 4

C．23， 答案：B。



分析 在极坐标系中，以AB为边作等边三角形，可得ABC、ABC如图所示，其

中点C23，

3，故选B。 4例11：极坐标方程sin2cos所表示的曲线是：

A．直线 B．圆 C．双曲线 D．抛物线 答案：B。

分析 将极坐标方程化为直角坐标方程即可判断曲线的形状，因为给定的不恒等于

2零，用同乘方程的两边得：sin2cos

15化直角坐标方程为：xyy2x，即x1y，这是以点

24222251的圆，故选B。 1，为圆心，半径为

22

例12：极坐标方程分析 22cos所对应的直角坐标方程为

sin2，即 。

21cos1cos222，去分母得，2cos，

1cosx2y22x

y24(x1)

小结：极坐标方程化为直角坐标方程是重点，在解这类题时，除正确使用互化公式外，还要注意与恒等变换等知识相结合。

例13：极坐标方程cossin2表示的曲线是： A．一个圆 C．两条直线 答案：D

B．一射线及一个圆 D．一条直线及一个圆

分析 方程cos2sincos，可分解为cos0或2sin，

cos0，则3或02，表示一条直线。2sin表示一个圆，22故选D。

小结：判断极坐标方程所表示的曲线，有两条途径：一是化为直角坐标方程；二是通过对方程的化简、分析，转化为熟知的极坐标方程（如直线、圆、圆锥曲线）

例14：在极坐标系中，与圆4sin相切的一条直线方程是： A．sin2 C．cos4

B．cos2 D．cos4

答案：B 分析 该题既可以化为直角坐标方程求解，也可以直接利用极坐标方程求解。

用极坐标方程求解。在极坐标系中作出圆4sin（如图所示），它是以C2,

为圆心，r2为半径的圆，2在给出的四个选择支中只有cos2是它的切线，故选B。