有理数单元教案（共十八课时）
第一课时 正数和负数
教学目标 1．知识与技能
①了解正数与负数是实际生活的需要． ②会判断一个数是正数还是负数． ③会用正负数表示互为相反意义的量． 2．过程与方法
通过正负数的学习，培养学生应用数学知识的意识、训练学生运用新知识解决实际问题的能力．
3．情感、态度与价值观
①通过教师、学生双边的教学活动，激发学生学习的兴趣，让学生体验到数学知识来源于生活并为生活服务．
②通过正负数的学习，渗透对立、统一的辩证思想． 教学重点难点
重点：会判断正数、负数，运用正负数表示相反意义的量，理解0•表示量的意义． 难点：负数的引入． 教与学互动设计 一、创设情境，导入新课
课件展示 珠穆朗玛峰和吐鲁番盆地，由同学感受高于水平面和低于水平面的不同情况． 二、合作交流，解读探究
1．举出一些生活中常遇到的具有相反意义的量，如温度是零上7℃和零下5℃，买进90张课桌与卖出80张课桌，汽车向东50米和向西120米，等．
想一想 以上都是一些具有相反意义的量，你能用小学算术中的数来表示出每一对量吗？你能再举一些日常生活中具有相反意义的量吗？该如何表示它们呢？
2．为了用数表示具有相反意义的量，我们把其中一种意义的量，如零上温度，前进、收入、上升、高出等规定为正的，而把与它相反的量，如零下温度、后退、支出、下降、低于等规定为负的，正的量用算述里学过的数表示，负的量用学过的数前面加上“－”（读作
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负）号来表示（零除外）．
活动 每组同学之间相互合作交流，一同学任说有关相反的两个量，由其他同学用正负数表示．
讨论 什么样的数是负数？什么样的数是正数？0是正数还是负数？•自己列举正数、负数．
【总结】正数是大于0的数，负数是在正数前面加“－”号的数，0既不是正数，也不是负数，是正数与负数的分界． 三、应用迁移，巩固提高
例1 举出几对具有相反意义的量，并分别用正、负数表示．
【提示】 相反意义的量有“上升”与“下降”，“前”与“后”、“高于”与“低于”、“得到”与“失去”、“收入”与“支出”等．
【点评】 这是一道开放性试题，旨在考查用正负数与相反意义量的表示能力． 例2 在某次乒乓球检测中，一只乒乓球超过标准质量0.02克记作＋0.02克，•那么－0.03克表示什么？
【答案】 表示比标准质量低0.03克．
例3 2001年美国的商品进出口总额比上年减少6.4%可记为 -6.4% ，中国增长7.5%可记为 ＋7.5% ． 备选例题
（2004·山东淄博）某项科学研究以45分钟为1个时间单位，•并记为每天上午10时为0，10时以前记为负，10时以后记为正．例如，9:15记为-1，10:45记为1等等．依此 类推，上升7:45应记为 （ ）
A.3 B.-3 C.-2.5 D.-7.45
【点拨】 读懂题意是解决本题的关键．7:45与10相差135分钟． 【答案】 B 四、总结反思，拓展升华
为了表示现实生活中具有相反意义的量引进了负数．正数就是我们过去学过（除零外）的数，在正数前加上“－”号就是负数，不能说“有正号的数是正数，有负号的数是负数”．另外，0既不是正数也不是负数．
1．填空-1，2，-3，4，-5， 6 ， -7 ， -8 „第81个数是 –81 ，第2005个数是 –2005 ． 【提示】通过观察可见，数字的排列是按正常的大小顺序，符号是负正相间，第奇数个
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为负，第偶数个为正．
【点评】 本节是对探究问题的训练．
2．表1-1-1是小张同学一周中简记储蓄罐中钱的进出情况表（存入记为“＋”）： 表1-1-1
星期 （元）
日 ＋16
一 +5.0
二 -1.2
三 -2.1
四 -0.9
五 +10
六 -2.6
（1）本周小张一共用掉了多少钱？存进了多少钱？ 【答案】 6.8元，31元．
（2）储蓄罐中的钱与原来多了还是少了？ 【答案】 多了．
（3）如果不用正、负数的方法记账，你还可以怎样记账？比较各种记账的优劣． 【答案】 用文字说明，但前者更简洁． 五、课堂跟踪反馈 1．填空题
（1）如果节约用水30吨记为+30吨，那么浪费20吨记为 －20 吨． （2）如果4年后记作＋4，那么8年前记作 -8 ．
（3）如果运出货物7吨记作－7吨，那么＋100吨表示 运进货物100吨 ．
（4）一年内，小亮体重增加了3kg，记作＋3，小阳体重减少了2 kg，则小阳增长了 2kg ． 2．中午12时，水位低于标准水位0.5米，记作－0.5米，下午1时，•水位上涨了1米，下午5时，水位又上涨了0.5米．
（1）用正数或负数记录下午1时和下午5时的水位； （2）下午5时的水位比中午12时水位高多少？
【答案】 （1）下午1时，水位0.5米；下午5时，水位－1米 （2）0.5+1=1.5（米） 3．粮食每袋标准重量是50公斤，现测得甲、乙、丙三袋粮食重量如下：52公斤，49公斤，49.8公斤．如果超重部分用正数表示，请用正数和负数记录甲、乙、丙三袋粮食的超重数和不足数．
【答案】 +2，-1，-0.2．
4．有没有这样的有理数，它既不是正数，也不是负数？ 【答案】 有，是0．
5．下列各数中哪些是正数？哪些是负数？
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611，-，4，-2，1.3，0，3.14， 7713611 【答案】 正数：，4，1.3，3.14，；负数：－15，0.02，-，-2
7713 －15，-0.02，
6．同学聚会，约定在中午12点到会，早到的记为正，迟到的记为负，结果最早到的同学记为＋3点，最迟到的同学记为-1.5点，•你知道他们分别是什么时候到的吗？最早到的同学比最迟到的同学早多少小时？
【答案】 最早的同学上午9点到，最迟的是下午1点半到，最早的比最迟的早到4.5个小时．
7．冷库Ａ的温度是－5℃，冷库Ｂ的温度是－15℃，•则温度高的是冷库 Ａ ．
第二课时 有理数
教学目标 1．知识与技能 ①理解有理数的意义．
②能把给出的有理数按要求分类． ③了解0在有理数分类的作用． 2．过程与方法
经历本节的学习，培养学生树立分类讨论的观点和能正确地进行分类的能力． 3．情感、态度与价值观
通过联系与发展、对立与统一的思考方法对学生进行辩证唯物主义教育． 教学重点难点
重点：会把所给的各数填入它所在的数集的图里． 难点：掌握有理数的两种分类． 教与学互动设计 一、创设情境，导入新课
讨论交流 现在，同学们都已经知道除了我们小学里所学的数之外，还有另一种形式的数，即负数．大家讨论一下，到目前为止，你已经认识了哪些类型的数 二、合作交流，解读探究
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学生列举：3，5.7，-7，-9，-10，0， 议一议 你能说说这些数的特点吗？
125，，-3， -7.4，5.2„ 356 学生回答，并相互补充：有小学学过的整数、0、分数，也有负整数、负分数． 说明：我们把所有的这些数统称为有理数．
试一试 你能对以上各种类型的数作出一张分类表吗？
正整数整数零 有理数
正分数分数负分数 说明：以上分类，若学生思考有困难，可加以引导：因为整数和分数统称为有理数，所以有理数可分为整数和分数两大类，那么整数又包含那些数？分数呢？
做一做 以上按整数和分数来分，那可不可以按性质（正数、负数）来分呢，试一试．
正整数正有理数正分数 有理数零
负整数负有理数负分数 （3）数的集合
把所有正数组成的集合，叫做正数集合．
试一试 试着归纳总结，什么是负数集合、整数集合、分数集合、有理数集合． 三、应用迁移，巩固提高
例1 把下列各数填入相应的集合内：
正数集合 负数集合 整数集合 分数集合 【答案】
128，3.1416，0，2004，-，-0.23456，10%，10.l，0.67，-89 75… … … … 亿库教育网 http://www.eku.cc
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22,2004,10%,710.1,0.67,...-3.1416,-,5-0.23456,-89,...负数集合8正数集合
0,2004,-89,...128,-3.1416,-,75-0.23456,10%,10.1,0.67,...分数集合整数集合
例2 以下是两位同学的分类方法，你认为他们的分类的结果正确吗？为什么？
正整数正有理数正分数 有理数
负整数负有理数负分数正数整数 有理数分数
负数零 【答案】 两者都错，前者丢掉了零，后者把正负数、整数、分数混为一谈． 【点评】 以上是对各类有理数的特点及有理数的分类进行的训练，基础性强，需要重视 （Ｂ）
①0是最小的正整数 ②0是最小的有理数 ③0不是负数 ④0既是非正数，也是非负数 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
例4 如果用字母表示一个数，那a可能是什么样的数，一定为正数吗？与你的伙伴交流一下你的看法．
【答案】 不一定，a可能是正数，可能是负数，也可能是0．
【点评】 此题开放性较强．同时，要求学生能用分类的思想对a全面认识． 备选例题
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（2004·浙江温州）观察下列数，按某种规律在横线上填入适当的数，并说明你的理由．
2346，，，________，，„你的理解是_________． 34572，后一个数是前一个数的3 【点拨】 找出各项数的特点是本题关键所在，第一个数为分子，分母都加1所得的数． 【答案】
5 6 四、总结反思，拓展升华 提问：今天你获得了哪些知识？
由学生自己小结，然后教师总结：今天我们学习了有理数的定义和两种分类的方法．我们要能正确地判断一个数属于哪一类，要特别注意“0”的正确说法．
1． 请你在图1-2-1的圈中填上适合的数，使得圈内的数依次为整数集、•有理数集、
正数集、分数集、负数集．
【答案】 答案不唯一，如图1-2-2所示．
3081-1250.4
正有理数 2．有理数按正、负可分为零
负有理数整数 按整数分，可分为
分数 （1）你能自己再制定一个标准，对有理数进行另一种分类吗？ （2）生活中，我们也常常对事物进行分类，请你举例说明．
【答案】 （1）如将有理数分成大于1的数，小于1的数，等于1的数．
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（2）例如对人按年龄可分为：婴儿、幼儿、儿童、少年、青年、中年、老年． 3．下面两个圈分别表示负数集和分数集，你能说出两个图的重叠部分表示什么数的集合呢？
负数集合分数集合
答案 负分数 五、课堂跟踪反馈
1．把下列各数填入相应的大括号内： -7，0.125，
11，-3，3，0，50%，-0.3 2211，-3，50%，-0.3} 22 （1）整数集合{-7，3，0} （2）分数集合{0.125， （3）负分数集合{-3
1，-0.3} 21 （4）非负数集合{0.125，，3，0，50%}
211 （5）有理数集合{-7，0.125，，-3，3，0，50%，-0.3}
22 2．下列说法正确的是（Ｄ）
Ａ．整数就是自然数 Ｂ．0不是自然数 Ｃ．正数和负数统称为有理数 Ｄ．0是整数而不是正数
3．某商店出售的三种规格的面粉袋上写着（25±0.1）千克，（25±0.2•千克），（25±0.3）千克的字样，从中任意两袋，它们质量相差最大的是 0.6 千克．
4．字母a可以表示数，在我们现在所学的范围内，你能否试着说明a可以表示什么样的数？
【答案】a可以表示正整数，正分数，0，负整数或负分数．
5．某校对初一新生的男生进行了引体向上的测试，以能做5个为标准，•超过的次数记为正数，不足的次数记为负数，其中10名男生的测试成绩如下： －2 -1 2 -1 3 0 -1 -2 1 0
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（1）这10名男生有百分之几达标（即达标率）？ （2）这10名男生共做了多少个引体向上？ 【答案】 （1）50%；（2）5×10-1=49（个）
6．若向东8米记作＋8米，如果一个人从Ａ地出发先走＋12米，再走－15米，又走＋18米，最后走－20米，你能判断这个人此时在何处吗？ 【答案】 在Ａ地西边5米处．
7．我市2004年元月某一天的天气预报中，宁城县的最低温度是－22℃，克旗的最低温度是－26℃，这一天宁城县的最低气温比克旗的最低气温高 （Ａ） A．4℃ B．-4℃ C．8℃ D．-8℃
第三课时 数轴
教学目标 1．知识与技能
①掌握数轴三要素，能正确画出数轴．
②能将已知数在数轴上表示出来，能说出数轴上已知点所表示的数． 2．过程与方法
①使学生受到把实际问题抽象成数学问题的训练，逐步形成应用数学的意识． ②结合本节内容，对学生渗透数形结合的重要思想方法． 3．情感、态度与价值观
使学生进一步形成数学来源于实践，反过来又服务于实践的辩证唯物主义观点． 教学重点难点 重点：数轴的概念．
难点：从直观认识到理性认识，从而建立数轴概念． 教与学互动设计 一、创设情境，导入新课
课件展示 在一条东西方向的马路上，有一个学校，学校东50m和西150m•处分别有一个书店和一个超市，学校西100m和160m处分别有一个邮局和医院，分别用A、B、C、D表
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示书店、超市、邮局、医院，你会画图表示这一情境吗？（学生画图） 二、合作交流，解读探究
师：对照大家画的图，为了使表达更清楚，我们把0•左右两边的数分别用正数和负数来表示，即用一直线上的点把正数、负数、0都表示出来．•也就是本节内容──数轴． 点拨 （1）引导学生学会画数轴． 第一步：画直线定原点
第二步：规定从原点向右的方向为正（左边为负方向） 第三步：选择适当的长度为单位长度（据情况而定）
第四步：拿出教学温度计，由学生观察温度计的结构和数轴的结构是否有共同之处． 对比思考：原点相当于什么；正方向与什么一致；单位长度又是什么？ （2）有了以上基础，我们可以来试着定义数轴： 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴． 做一做 学生自己练习画出数轴．
试一试：你能利用你自己画的数轴上的点来表示数4，1.5，-3，-
7，0吗？ 2 讨论 若a是一个正数，则数轴上表示数a的点在原点的什么位置上？与原点相距多少个单位长度；表示－a的点在原点的什么位置上？•与原点又相距了多少个长度单位？ 小结 整数能在数轴上都找到点吗？分数呢？
可见，所有的__________都可以用数轴上的点表示___________•都在原点的左边，______________都在原点的右边． 三、应用迁移，巩固提高
例1 下列所画数轴对不对？如果不对，指出错在哪里．
123①45-1012②3-2-101③2
0④-10⑤1-3-2-1012⑥
-2-10⑦12
【答案】 ①错．没有原点 ②错．没有正方向 ③正确 ④错．没有单位长度 ⑤错．单位长度不统一 ⑥正确 ⑦错．正方向标错
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例2 试一试：用你画的数轴上的点表示4，1.5，-3，- 【答案】
7，0 3CD-5-4-3-2-1E01B23A45
图中Ａ点表示4，Ｂ点表示1.5，Ｃ点表示-3，Ｄ点表示－
7，Ｅ点表示0． 3 例3 如果a是一个正数，则数轴上表示数a的点在原点的什么位置上？•表示－a的点在原点的什么位置上呢？
【提示】 由数轴上数的特点不准得到，正数都在原点的右边，负数都在原点左边． 【答案】 所有的有理数都可以在数轴上找个点与它对应，原点右边的点表示正数，原点左边的点表示负数．
【点评】 数与数轴上的点结合，这是一种重要的数学思想，数形结合．
例4 下列语句：①数轴上的点又能表示整数；②数轴是一条直线；•③数轴上的一个点只能表示一个数；④数轴上找不到既不表示正数，又不表示负数的点；⑤数轴上的点所表示的数都是有理数．正确的说法有（Ｂ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【提示】 题中，结合数轴上的点与有理数的特点，可见①中错误的；②、③是正确的；④中可以含有0，•⑤中应该是所有的有理数都可以在数轴上找出对应的点，但并不是数轴上的点都表示有理数．
例5 （1）与原点的距离为2.5个单位的点有 两 个，它们分别表示有理数 2.5 •和 -2.5 ．
（2）一个蜗牛从原点开始，先向左爬了4个单位，再向右爬了7•个单位到达终点，那么终点表示的数是 +3 ． 例6 在数轴上表示－2
1212和1，并根据数轴指出所有大于-2而小于1的整数． 2323 【答案】 -2，-1，0，1
【点评】 本题反映了数形结合的思想方法．
例7 数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1cm，若这个数轴上随意画出一条长2000cm的线段AB，则线段AB盖住的整点是（C） A．1998或1999 B．1999或2000 C．2000或2001 D．2001或2002
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【提示】分两种情况分析：（1）当线段AB的起点是整点时，•终点也落在整点上，那就盖住2001个整点；（2）是当线段AB的起点不是整点时，•终点也不落在整点上，那么线段AB盖住了2000个整点．
【点评】 本题体现了新课程标准的探索和实践能力． 备选例题
（2004·新疆生产建设兵团）在数轴上，离原点距离等于3的数是________． 【点拨】 不要忽视在原点的左右两边． 【答案】 ±3 四、总结反思，拓展升华
数轴是非常重要的工具，它使数和直线上的点建立了对立关系．它揭示了数和形的内在联系，为我们今后进一步研究问题提供了新方法和新思想．大家要掌握数轴的三要素，正确画出数轴．提醒大家，所有的有理数都可以用数轴上的相关点来表示，但反过来并不成立，即数轴上的点并不都表示有理数．
一条直线的流水线上，依次有5个卡通人，•它们站立的位置在数轴上依次用点M1、M2、M3、M4、M5表示，如图：
M1-5M2M3-4-3-2-101M4234M55
（1）点M4和M2所表示的有理数是什么？ （2）点M3和M5两点间的距离为多少？
（3）怎样将点M3移动，使它先达到M2，再达到M5，请用文字说明； （4）若原点是一休息游乐所，那5个卡通人到游乐所休息的总路程为多少？ 【答案】 （1）M4表示2，M2表示3；（2）相距7个单位长度；（3）先向左移动1个单位，再向右移动8个单位长度；（4）17个单位长度． 五、课堂跟踪反馈
1．规定了 原点 、 正方向 、 单位长度的直线 叫数轴，所有的有理数都可从用 数轴 上的点来表示．
2．P从数轴上原点开始，向右移动2个单位，再向左移5个单位长度，此时P点所表示的数是 -3 ．
3．把数轴上表示2的点移动5个单位后，所得的对应点表示的数是（C） A．7 B．-3 C．7或-3 D．不能确定
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4．在数轴上，原点及原点左边的点所表示的数是（D） A．正数 B．负数 C．不是负数 D．不是正数
5．数轴上表示5和-5的点离开原点的距离是 5 ，但它们分别 在原点的两边 ． 6． 1 是最小的正整数， 0 是最小的非负数， 0 是最大的非正数． 7．与原点距离为3.5个单位长度的点有 2 个，它们分别是 3.5 和 -3.5 ． 8．画一条数轴，并把下列数表示在数轴上：+2，-3，0.5，0，-4.5，4，3 【答案】 略
9．在数轴上与-1相距3个单位长度的点有 2 个，为 -4或2 ；长为3个单位长度的木条放在数轴上，最多能覆盖 4 个整数点． 10.下列四个数中，在-2到0之间的数是（Ａ） A．-1 B．1 C．-3 D．3
第四课时 相反数
教学目标 1．知识与技能
①借助数轴了解相反数的概念，知道互为相反数的位置关系． ②给一个数，能求出它的相反数． 2．过程与方法
①训练学生利用数轴应用数形结合的方法解决问题． ②培养学生自己归纳总结规律的能力． 3．情感、态度与价值观
①通过相反数的学习，渗透数形结合的思想． ②感受事物之间对立、统一联系的辩证思想． 教学重点难点
重点：理解相反数的意义．
难点：理解和掌握双重符号简化的规律． 教与学互动设计 一、创设情境，导入新课
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活动 请一个学生到讲台前面对大家，向前走5步，向后走5步． 交流 如果向前走为正，那向前走5步与向后走5步分别记作什么？ 二、合作交流，解读探究 １．观察下列数：6和-6，2
2255和－2，7和－7，和－，并把它们在数轴上标出． 3377 想一想 （1）上述各对数之间有什么特点？ （2）表示这两对数的点在数轴上有什么特点？ （3）你能够写出具有上述特点的数吗？ 观察 像这样只有符号不同的两个数叫相反数．
两个互为相反数的数，在数轴上的对应点（0除外），是在原点两旁，•并且距离原点相等的两个点．即：互为相反数的两个数在数轴上的对应点关于原点对称．我们把a的相反数记为－a，并且规定0的相反数就是零．
【总结】 在正数前面添上一个“－”号，就得到这个正数的相反数，是一个负数；把负数前的“－”号去掉，就得到这个负数的相反数，是一个正数．
２．在任意一个数前面添上“－”号，新的数就是原数的相反数．如-（+5）=•-5，表示+5的相反数为-5；-（-5）=5，表示-5的相反数是5；-0=0，表示0•的相反数是0． 三、应用迁移，巩固提高 例1 填空
（1）-5.8是 5.8 的相反数， 3 的相反数是－（+3），a的相反数是 –a ，a-b的相反数是 -（a-b） ，0的相反数是 0 ．
（2）正数的相反数是 负数 ，负数的相反数是 正数 ， 0 的相反数是它本身． 例2 下列判断不正确的有 （C）
①互为相反数的两个数一定不相等；②互为相反数的数在数轴上的点一定在原点的两边；③所有的有理数都有相反数；④相反数是符号相反的两个点． A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 例3 化简下列各符号：
（1）-[-（-2）] （2）+{-[-（+5）]} （3）-{-{-„-（-6）}„}（共n个负号）
【答案】 （1）-2 （2）5 （3）当n为偶数时，为6；当n为奇数时，为-6． 【提示】 化简的规律是：有偶数个负号，结果为正；有奇数个负号，结果为负．
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例4 数轴上A点表示+4，B、C两点所表示的数是互为相反数，且C到A•的距离为2，点B和点C各对应什么数？
【答案】 C点表示2或6，则相应的B点应表示-2或-6． 【提示】 画出数轴，结合数轴的特点来分析． 【点评】 经历观察数学活动，发展自己的指导能力． 备选例题
（2004·江西）如图所示，数轴上的点A所表示的是实数a，则点A到原点的距离是___________．
Aa0
【点拨】 由数轴上的位置，不难知道a是一个负数，这是解决本题的前提． 【答案】 -a
四、总结反思，拓展升华
归纳 ①相反数的概念及表示方法． ②相反数的代数意义和几何意义． ③符号的化简．
1．（1）王亮说：“一个数总比它的相反数大”．你认为正确吗？为什么？ （2）若数轴上表示一对相反数的两点之间的距离为26.8，求这两个数． 【答案】 （1）不正确，如0的相反数还是0，负数的相反数是正数． （2）其中的一个数到原点的距离为13.4，所以这两个数是＋13.4和－13.4． 2．你若a是不小于－1又不大于3的数，那么a的相反数是什么样的数呢？ 【提示】 结合数轴进行观察比较．
解：由题意知-1≤a≤，而-1，a，3的相反数分别是1，-a，-3． ∴-a在1和-3之间 故-3≤a≤1
∴a的相反数是不小于-3又不大于1的数．
【点评】 在解决问题中，能进行简单的、有条理的思考． 五、课堂跟踪反馈 1．判断题
（1）-3是相反数 （×）
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（2）-7和7是相反数 （∨） （3）-a的相反数是a，它们互为相反数 （∨） （4）符号不同的两个数互为相反数 （×）
2．分别写出下列各数的相反数，并把它们在数轴上表示出来． 1，-2，0，4.5，-2.5，3
【答案】 相反数分别为：-1，2，0，-4.5，2.5，-3，数轴表示略． 3．若一个数的相反数不是正数，则这个数一定是（Ｂ） A．正数 B．正数或0 C．负数 D．负数或0 4．一个数比它的相反数小，这个数是（Ｂ）
A．正数 B．负数 C．非负数 D．非正数 5．数轴上表示互为相反数的两个点之间的距离为4
27，则这两个数是±． 33 6．比-6的相反数大7的数是 13 ．
7．若a与a-2互为相反数，则a的相反数是 –1 ． 8．（1）-（-8）的相反数是 –8 ， （2）+（-6）是 6 的相反数． （3） 1-a 的相反数是a-1． （4）若-x=9，则x= -9 ．
9．已知有理数m、-3、n在数轴上位置如图所示，将m、-3、n•的相反数在数轴上表示，并将这6个数用“<”连接起来．
-3M0
【答案】 -3<-n 21211-12-11-2 11．试讨论-a的正负． 亿库教育网 http://www.eku.cc 亿库教育网 http://www.eku.cc 【答案】 当a<0时，-a>0，当a>0时，-a〈0，当a=0时，－a=0． 3的相反数是 （Ａ） 43344 A． B．－ C． D．－ 4433 12.－ 第五课时 绝对值（一） 教学目标 1．知识与技能 ①能根据一个数的绝对值表示“距离”，初步理解绝对值的概念，能求一个数的绝对值． ②通过应用绝对值解决实际问题，体会绝对值的意义和作用． 2．过程与方法 经历绝对值的代数定义转化成数学式子的过程中，培养学生运用数学转化思想指导思维活动的能力． 3．情感、态度与价值观 ①通过解释绝对值的几何意义，渗透数形结合的思想． ②体验运用直观知识解决数学问题的成功． 教学重点难点 重点：给出一个数，会求它的绝对值． 难点：绝对值的几何意义、代数定义的导出． 教与学互动设计 一、创设情境，导入新课 活动 请两同学到讲台前，分别向左、向右行3米． 交流 ①他们所走的路线相同吗？ ②若向右为正，分别可怎样表示他们的位置？ ③他们所走的路程的远近是多少？ 二、合作交流，解读探究 观察 出示一组数6与-6，3.5与-3.5，1和-1，它们是一对互为________，•它们的__________不同，__________相同． 【总结】 例如6和-6两个数在数轴上的两点虽然分布在原点的两边，•但它们到原点 亿库教育网 http://www.eku.cc 亿库教育网 http://www.eku.cc 的距离相等，如果我们不考虑两点在原点的哪一边，只考虑它们离开原点的距离，这个距离都是6，我们就把这个距离叫做6和－6的绝对值． 绝对值：在数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值，记作│a│． 想一想 （1）-3的绝对值是什么？ （2）+2 3的绝对值是多少？ 7 （3）-12的绝对值呢？ （4）a的绝对值呢？ 答案略． 交流 同桌间合作交流，每位同学任说五个数，由同桌指出它们的绝对值． 思考 例1 求8，-8，3，-3， 由此，你想到什么规律？ 总结 互为相反数的两个数的绝对值相同． 求+2.3，-1.6，9，0，-7，+3的绝对值．（出示胶片） 由此，你想到什么规律？ 讨论交流 正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0•的绝对值是零． 总结 正数的绝对值是它本身． 负数的绝对值是它的相反数． 零的绝对值是零． 讨论 字母a可以代表任意的数，那么表示什么数？这时a的绝对值分别是多少？ 学生活动：分组讨论，教师加入讨论，学生相反补充回答． 归纳 若a>0，则│a│=a 若a<0，则│a│=-a 若a=0，则│a│=0 三、应用迁移，巩固提高 例题填空： （1）绝对值等于4的数有 2 个，它们是 ±4 ． （2）绝对值等于-3的数有 0 个． （3）绝对值等于本身的数有 无数 个，它们是 0和正数（非负数） ． （4）①若│a│=2，则a= ±2 ． 亿库教育网 http://www.eku.cc 11，－的绝对值．（出示胶片） 44亿库教育网 http://www.eku.cc ②若│-a│=3，则a= ±3 ． （5）绝对值不大于2的整数是 0，±1，±2 ． （6）根据绝对值的意义，思考： ①如果=1，那么a > 0； ②如果=-1，那么a < 0； ③如果a<0，那么－│a│= a ． 【点评】 去绝对值符号，首先要判断绝对值里的正负情况，由此发展自身的合情推理能力． 备选例题 （2004·四川资阳）绝对值为4的数是 （ ） A．±4 B．4 C．-4 D．2 【点拨】 要注意到一个正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数． 【答案】 A 四、总结反思，拓展升华 本节课，我们学习认识了绝对值，要注意掌握以下两点：①一个数的绝对值是在数轴上表示这个数的点到原点的距离；②求一个数的绝对值必须先判断是正数还是负数． 1．阅读与理解： 点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为│AB│． 当AB两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图（1）所示，│AB│=│OB│=│b│=│a-b│； 当A、B两点都不在原点时： ① 如图（2）所示，点都在原点的右边， │AB│=│OB│-│OA│=│b│-│a│=•b-a=│a-b│； ② 如图（3）所示，点都在原点的左边， │AB=│OB│-│OA│=│b│-│a│=-b-•（-a）=│a-b│； ③ 如图（4）所示，点都在原点的两边， │AB│=│OA│+│OB│=│a│+│b│=•-a+b=│a-b│； aO(A)(1)bBaOA(2)bBbBaA(3)OaAO(4)bB 亿库教育网 http://www.eku.cc 亿库教育网 http://www.eku.cc 综上，数轴上A、B两点之间的距离│AB│=│a-b│． 2．回答下列问题： （1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是 3 ，数轴上表示-2和－5•的两点之间的距离是 3 ，数轴上表示1和-3的两点之间的距离是 4 ； （2）数轴上表示x和-1的两点之间的距离是 │x+1│ ，如果│AB│=2，那么x•为 1或是-3 ； （3）当代数式│x+1│+│x-2│取最小值时，相应的x的取值范围是 -1≤x≤2 ． 五、课堂跟踪反馈 1．填空题 （1）-│-3│= -3 ，+│-0.27│= 0.27 ， -│+26│= -26 ，-（+24）= -24 ． （2）-4的绝对值是 4 ，绝对值等于4的数是 ±4 ． （3）若│x│=2，则x= ±2 ，若│-x│=2，则x= ±2 ．若│-x│=3，则x 不存在 ． （4）│3.14-｜= -3.14 ． （5）绝对值小于3的所有整数有 ±2，±1，0 ． 2．选择题 （1）则│a│≥0，那么 （D） A．a>0 B．a<0 C．a≠0 D．a为任意数 （2）若│a│=│b│，则a、b的关系是 （C） A．a=b B．a=-b C．a+b=0或a-b=0 D．a=0且b=0 （3）下列说法不正确的是 （B） A．如果a的绝对值比它本身大，则a一定是负数 B．如果两个数相等，那么它们的绝对值也必不相等 C．两个负有理数，绝对值大的离原点远 D．两个负有理数，大的离原点近 （4）若│x│+x=0，则x一定是 （C） A．负数 B．0 C．非正数 D．非负数 （5）已知│a+b│+│a-b│-2b=0，在数轴上给出关于a、b的四种位置关系，•则可能 亿库教育网 http://www.eku.cc 亿库教育网 http://www.eku.cc 成立的有 （B） a0bb0a0ab0ba A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 3．若实数a、b满足│3a-1│+│b-2│=0，求a+b的值． 【答案】 a= 11，b=2，a+b=2 33 4．正式排球比赛，对所使用的排球的重量是严重规定的，检查5个排球的重量，超过规定重量的克数记为正数，不足规定重量的克数记作负数，检查结果如下表： +15 -10 +30 -20 -40 指出哪个排球的质量好一些（即重量最接近规定重量）？你怎样用学过的绝对值知识来说明这个问题？ 【答案】 第2个球更好一些，因为它的绝对值最小，说明接近规定的重量． 第六课时 绝对值（二） 教学目标 1．知识与技能 会利用绝对值比较两个负数的大小． 2．过程与方法 利用绝对值概念比较有理数的大小，培养学生的逻辑思维能力． 3．情感、态度与价值观 敢于面对数学活动中的困难，有学好数学的自信心． 教学重点难点 重点：利用绝对值比较两个负数的大小． 难点：利用绝对值比较两个异分母负分数的大小． 教与学互动设计 一、创设情境，导入新课 投影 你能比较下列各组数的大小吗？ 亿库教育网 http://www.eku.cc 亿库教育网 http://www.eku.cc （1）│-3│与│-8│ （2）4与-5 （3）0与3 （4）-7和0 （5）0.9和1.2 二、合作交流，解读探究 讨论交流 由以上各组数的大小比较可见：正数都大于0，0都大于负数，正数都大于负数． 思考 若任取两个负数，该如何比较它的大小呢？ 点拨 若-7表示－7℃，-1表示－1℃，则两个温度谁高谁低？ 【总结】 两个负数，绝对值大的反而小，或说，两个负数绝对值小的反而大． 注意 ①比较两个负数的大小又多了一种方法，即：两个负数，绝对值大的反而小． ②异号的两数比较大小，要考虑它们的正负；同号两数比较大小，要考虑先比较它们的绝对值． ③在数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序也就是从小到大的顺序，即：左边的数总比右边的数要小．即：利用数轴来比较有理数的大小． 三、应用迁移，巩固提高 例1 比较下列各组数的大小 5和－2.7 653 （2）－和－ 74555 解：（1）∵ ｜－｜＝ │-2.7│=2.7，而＜2.7 6665 ∴ －>-2.7 655203321202153 （2）∵｜－｜=＝，｜－｜＝＝，而＜ ∴－＞－ 77284428742828 （1）－ 例2 按从大到小的顺序，用“〈”号把下列数连接起来． 12，-（-），│-0.6│，-0.6，-│4.2│ 2322 解：∵-（-）=，│-0.6│=0.6，-│4.2│=-4.2 3311 而|-4|=4，│-0.6│=0.6，│-4.2│=4.2 2212 且4>4.2>0.6，0.6< 2312 ∴ -4<-│4.2│<-0.6<│-0.6│<-（-） 23 -4 亿库教育网 http://www.eku.cc 亿库教育网 http://www.eku.cc 例3 自己任写三个数，使它大于- 51而小于-． 78 【点评】 此题是一个开放型问题，培养学生发散性思维． 例4 已知│a│=4，│b│=3，且a>b，求a、b的值． 【答案】 a=4，b=±3 备选例题 （2004．江苏南通）如图1-2-11所示，在所给数轴上画出数-3，-1，│-2│的点．把这组数从小到大用“〈”号连接起来． 01 【提示】 把它们分别在数轴上点出相关位置，并比较大小． 【答案】 略 四、总结反思，拓展升华 1．本节课所学的有理数的大小比较你能掌握两种方法吗？ （1）利用数轴，在数轴上把这些数表示出来，•然后根据“数轴上左边的数总比右边的数大”来比较； （2）利用比较法则：“正数大于零，负数小于零，两个负数，•绝对值大的反而小”来进行． 2．（1）阅读下列比较－a与－ 解：∵│-a│=a，│- 又∵a> 2a的大小的解题过程： 322a│=a 3322a ∴-a<-a 331a的大小时，因为a的正、负不能确定．所以要分a>0，a=0，3 你认为上述解答过程正确吗？与同学们研究，并发表你的看法． （2）要比较有理数a和a<0三种情况讨论： 1a． 31 当a=0时，a=a． 31 当a<0时，a 亿库教育网 http://www.eku.cc 亿库教育网 http://www.eku.cc ②比较3a+a的值． 【点评】 （1）错，-a与-可以用比差法，也可以分类． （2）①当a>0时，2a；当a≤0时，0 ②a>0时，3a>a；a=0时，3a=a；a<0时，3a （2）若│x│=-x，则 x≤0 ，若＝1，则 a>0 ． （3）用“〉”、“＝”、“〈”填空： ①-7 < -5 ②-0.1 < -0.01 ③-│-3.2│ < -（-3.2） ④-│- ⑤- 2a并不一定是负数，•不可以用比较绝对值方法加以比较，310│ > -3.34 3881 > － ⑥-（-） > 0.025 97422202 ⑦- < -3.14 ⑧- > － 20323 （4）若│x+3│=5，则x= 2或－8 ． 2．选择题 （1）下列判断正确的是 （Ｄ） 1 D．│a│≥a a11 （2）下列分数中，大于－而小于－的数是 （B） 3411436 A．－ B．－ C．－ D．－ 13161720 A．a>-a B．2a>a C．a>- （3）│m│与－5m的大小关系是 （D） A．│m│>-5m B．│m│<-5m C．│m│=-5m D．以上都有可能 （4）m≠0，则 |a|＝ （C） a A．1 B．-1 C．±1 D．无法判断 亿库教育网 http://www.eku.cc 亿库教育网 http://www.eku.cc 3．解答题 67和－的大小，并写出比较过程． 7867 【答案】 －＜－，过程略 78 （1）比较－ （2）求同时满足：①│a│=6，②-a>0这两个条件的有理数a． 【答案】 a=-6 （3）将有理数：-（-4），0，-│-3 11│，-│+2│，-│-（+1.5）│，-（-3），│-（+2）22│表示到数轴上，并用“〈”把它们连接起来． 【答案】 略 （4）甲、乙、丙、丁四个有理数讨论大小问题．甲说：我是正整数中最小的．•乙说：我是绝对值最小的．丙说：我与甲的一半相反．丁说：我是丙的倒数．你能写出它们分别是多少吗？然后按从小到大的顺序排列． 【答案】 甲乙丙丁分别是1，0，- 1，-2，丁〈丙〈乙〈甲 2 （5）若a<0，b>0，且│a│<│b│，试用“〈”号连接a、b、-a、-b． 【答案】 -b 5.若│a│=1，│b│=4，且ab<0，则a+b＝ 3或-3 ． 第七课时 有理数的加法（一） 教学目标 1．知识与技能 经历探索有理数的加法法则，理解有理数加法的意义，初步掌握有理数加法法则，并能准确地进行有理数的加法运算． 2．过程与方法 ①有理数加法法则的导出及运用过程中，训练学生独立分析问题的能力及口头表达能 亿库教育网 http://www.eku.cc 亿库教育网 http://www.eku.cc 力． ②渗透数形结合的思想，培养学生运用数形结合的方法解决问题的能力． 3．情感、态度与价值观 ①通过观察、归纳、推断得到数学猜想，体验数学充满探索性和创造性． ②运用知识解决问题的成功体验． 教学重点难点 重点：有理数的加法法则的理解和运用． 难点：异号两数相加． 教与学互动设计 一、创设情境，导入新课 课件展示 下午放学时，小新的车子坏了，他去修车，不能按时回家，怕妈妈担心，打电话告诉妈妈，可妈妈坚持要去接他，问他在什么地方修车，他说在我们学校门前的东西方向的路上，你先走20米，再走30米，就能看到我了．于是妈妈来到校园门口． 二、合作交流，解读探究 讨论 妈妈能找到他吗？ 讨论交流 若规定向东为正，向西为负． （1）若两次都向东，很显然，一共向东走了50米． 算式是：20+30=50 即这位同学位于学校门口东方50米． 这一运算可用数轴表示为 20-100102030304050 （2）若两次都向西，则他现在位于原来位置的西50米处． 算式是：（-20）+（-30）=-50 这一算式在数轴上可表示成： -50-40-30-20-10O102030 （3）若第一次向东20米，第二次向西走30米．•则利用数轴可以看到这位同学位于原 亿库教育网 http://www.eku.cc 亿库教育网 http://www.eku.cc 位置的西方10米处． 算式是：+20+（-30）=-10（学生试画数轴以下同） （4）若第一次向西走20米，第二次向东走30米．•利用数轴可以看到这位同学位于原位置的什么地方？如何用算式表示？ 算式是：（-20）+（+30）=+10 对以下两种情形，你能表示吗？ （5）第一次向西走了20米，第二次向东走了20米，•那这位同学位于原位置的什么地方？ 这位同学回到了原位置．即：-（20）+（+20）=0． （6）如果第一次向西走了20米，第二次没有走，那如何呢？ -20+0=-20 思考 根据以上6个算式，你能总结出有理数相加的符号如何确定？•和的绝对值如何确定？互为相反数相加，一个有理数和0相加，和分别为多少？ 学生活动 小组讨论、试看分类、归纳 观察（1）式，两个加数都为正，和的符号也是正，•和的绝对值正好是两个加数绝对值的和． 观察（2）式，两个加数都为负，和的符号也是负，•和的绝对值是两个加数绝对值的和． 由（1）（2）归纳：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加． 如：（-7）+（-8）=-15，16+17=+33，（-4）+（-9）=-13 观察（3）式、（4）式可见：两个加数的符号不同，和的符号有的是“＋”号，有的是“－”号，为了更清楚总结规律．可引导学生再举几个类似的例子，从而可总结得到： 绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值． 观察（5）可知：互为相反的两个数和为0． 观察（6）可知：一个数和零相加，仍然得这个数． 【总结】 有理数加法法则： （1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加． （2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，•并用较大的绝对值减去较小的绝对值，互为相反数的两个数相加得0． （3）一个数同0相加，仍得这个数． 亿库教育网 http://www.eku.cc 亿库教育网 http://www.eku.cc 三、应用迁移，巩固提高 例1 计算 （1）（-4）+（-6）= -10 （2）（+15）+（-17）= -2 （3）（-39）+（-21）= -60 （4）（-6）+│-10│+（-4）= 0 （5）（-37）+22= -15 （6）-3+（3）= 0 例2 某足球队在一场比赛中上半场负5球，下半场胜4球，•那么全场比赛该队净胜 －1 球． 例3 绝对值小于2005的所有整数和为 0 ． 例4 一个数是11，另一个数比11的相反数大2，那么这两个数的和为（C） A．24 B．-24 C．2 D．-2 例5 下面结论正确的有 （B） ①两个有理数相加，和一定大于每一个加数． ②一个正数与一个负数相加得正数． ③两个负数和的绝对值一定等于它们绝对值的和． ④两个正数相加，和为正数． ⑤两个负数相加，绝对值相减． ⑥正数加负数，其和一定等于0． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 例6 根据有理数加法法则，分别根据下列条件，利用│a│与│b│表示a•与b的和： （1）a>0，b>0，则a+b= │a│+│b│ （2）a<0，b<0，则a+b= -（│a│+│b│） （3）a>0，b<0，│a│>│b│，则a+b= │a│-│b│ （4）a>0，b<0，│a│<│b│，则a+b= -（│b│-│a│） 例7 如果a>0，b<0，且a+b<0，比较a、+a、b、－b的大小． 【提示】 由a>0，b<0，且a+b<0，根据加法法则来确定a、b的绝对值的大小再利用数轴来比较大小． 【答案】 b<-a 亿库教育网 http://www.eku.cc 【点评】 数形结合的思想是解决问题的关键． 备选例题 （2004·南京）在1，－1，-2这三个数中，任意两数之和的最大值是（ ） A.1 B.0 C.-1 D.3 【点拨】 只有找出最大的两个数，才会出现最大的和． 【答案】 B 四、总结反思，拓展升华 1．有理数的加法法则指出进行有理数加法运算，首先应先判断类型，•然后确定和的符号，最后计算和的绝对值．特别是绝对值不等的异号两数相加，和的符号与绝对值较大的加数符号相同，并把绝对值相减，因为正负互为抵消了一部分． 2．活动 （1）请你在顺序给出的数字2、3、4、5、6、7、8、9•前面添加“＋”或“－”号，使它们的和为10； （2）把你的答案与同学的答案对一下，有什么不一样？•不同的填写方法共有几种？ （3）若允许出现一位数和两位数（不改变给出的数字的次序，•在某些数字前面不添加“＋”或“－”号，此时把连续的两个数字示为两位数），还能得到10吗？回答是肯定的．例如：2+34+56+7-89，请你试一试，写出几个式子： （4）请你另外约定某个规则，并按规则写出一些式子来． 【答案】 （1）-2-3-4+5+6+7-8+9；-2-3+4-5+6-7+8+9； -2+3-4-5-6+7+8+9；-2+3+4+5-6+7+8-9； -2+3+4+5+6-7-8+9；2-3+4-5+6+7+8-9； 2-3+4+5-6+7-8+9；2+3-4-5+6+7-8+9； 2+3-4+5-6-7+8+9；2+3+4+5+6+7-8-9（提示：使得负数之和为17）． （2）共10种 （3）如23+4+5+67-89等 （4）在顺次给出的数字2，3，4，5，6，7，8，9前面增加“＋”或“－”号，使它们的和为0．如2+3+4-5+6+7-8-9等．（提示：使得负数和为22） 五、课堂跟踪反馈 1．填空题 （1）绝对值不小于3且小于5的所有整数的和为 0 ． 亿库教育网 http://www.eku.cc 亿库教育网 http://www.eku.cc （2）已知两数5 11 和－6，这两个数的相反数的和是 1 ，两数和的相反数是 1 ，22两数绝对值的和是 12 ，两数和的绝对值是 1 ． （3）①若a>0，b>0，则a+b > 0． ②若a<0，b<0，且a+b < 0． ③若a>0，b<0，且│a│>│b│，则a+b > 0． ④若a>0，b<0，且│a│<│b│，则a+b < 0． （4）若│a│=3，│b│=5，则│a+b│= 2或8 ，a+b= ±2或±8 ． （5）若a<0，b>0，且a+b<0，则│a│ > │b│（填“>”或“<”） 2．计算题 （1）（-15）+27= 12 （2）（-3.2）+（+3.2）= -0.9 （3）5.2+（-2.8）= 2.4 （4）（-2）+（+1）=－１ 1 6 （5）-8+│-5│= -3 （6）-（-7）+（-2）= 5 3．列式计算 （1）求3 12的相反数与-2的绝对值的和． 33 （2）某市一天上午的气温是10℃，上午上升2℃，半夜又下降15℃，则半夜的气温是多少． 【答案】 （1）-3 122+│-2│=－ （2）10+2+（-15）=-3（℃） 333 4.若a<0，b>0，且a+b<0，试比较a、b、-a、-b的大小，•并用“〈”把它们连接起来． 【答案】 利用加法法则和数轴结合 a<-b 6．举例说明当m、n为任意有理数时，│m+n│与│m│+│n│的大小关系，•并与同学们共同讨论： （1）你所列举的大小关系是否全面． 亿库教育网 http://www.eku.cc 亿库教育网 http://www.eku.cc （2）运用有理数加法法则加以解释． 【答案】 （1）│m+n│≤│m│+│n│ （2）略 7．填空题：某天早晨的气温是－7℃，中午上升了11℃，•则中午的气温是 4℃ ． 第八课时 有理数的加法（二） 教学目标 1．知识与技能 ①能运用加法运算律简化加法运算． ②理解加法运算律在加法运算中的作用，适当进行推理训练． 2．过程与方法 ①培养学生的观察能力和思维能力． ②经历对有理数的运算，领悟解决问题应选择适当的方法． 3．情感、态度与价值观 在数学学习中获得成功的体验． 教学重点难点 重点：如何运用加法运算律简化运算． 难点：灵活运用加法运算律． 教与学互动设计 一、情境创设，导入新课 思考 在小学里，我们学过的加法运算有哪些运算律？它们的内容是什么？能否举一两个例子来？ 那这些加法运算律还适于有理数范围吗？今天，我们一起来探究这个问题． 二、合作交流，解读探究 体验 1．自己任举两个数（至少有一种是负数），分别填入下列□和○中，•并比较它们的运算结果，你发现了什么？ □＋○和○＋□ 发现：对任选择的数，都有□＋○＝○＋□，即小学里学过的加法交换律在有理数范围内仍是成立的． 亿库教育网 http://www.eku.cc 亿库教育网 http://www.eku.cc 体验 2．任选三个有理数（至少有一个是负数），分别填入下列□，○，•◇内，并比较它们的运算结果． （□＋○）＋◇和□＋（○＋◇） 发现都有（□＋○）＋◇＝□＋（○＋◇），这就是说，小学的加法结合律，在有理数范围内都是成立的． 小结 有理数的加法仍满足交换律和结合律． 加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变．用式子表示成a+b=a+b． 加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变，用式子表示成（a+b）+c=a+（b+c） 三、应用过移，巩固提高 例1 说出下列每一步运算的依据 （-0.125）+（+5）+（-7）+（+ =（-0.125）+（+ 1）+（+2） 81）+（+5）+（+2）+（-7） （加法交换律） 81 =[（-0.125）+（+）]+[（+5）+（+2）]+（-7）（加法结合律） 8 =0+（+7）+（-7） （有理数的加法法则） =0 （有理数的加法法则） 例2 利用有理数的加法运算律计算，使运算简便． （1）（+9）+（-7）+（+10）+（-3）+（-9） （2）（+0.36）+（-7.4）+（+0.03）+（-0.6）+（+0.64） （3）（+1）+（-2）+（+3）+（-4）+„+（+2003）+（-2004） 【答案】 （1）0 （2）-6.7 （3）-1002 例3 某出租司机某天下午营运全是在东西走向的人民大道进行的，•如果规定向东为正，向西为负，他这天下午行车里程如下（单位：千米） +15，+14，-3，-11，+10，-12，+4，-15，+16，-18 （1）他将最后一名乘客送到目的地，该司机距下午出发点的距离是多少千米？ （2）若汽车耗油量为a公升/千米，这天下午汽车共耗油多少公升？ 解：（1）+15+（+14）+（-3）+（-11）+（+10）+（-12）+4+（-15）+16+（-18） =[15+（-15）]+（14+10+4+16）+[（-3）+（-11）+（-12）+（-18）] =0 亿库教育网 http://www.eku.cc 亿库教育网 http://www.eku.cc （2）（│+15│+│+14│+│-3│+│-11│+│+10│+│-12│+│4│+│-15│+•│16│+│-18│）·a =118a 【答案】 （1）将最后一名乘客送到目的地，该司机仍在其出发点． （2）共耗油118a公升． 例4 若│2x-3│与│y+3│互为相反数，求x+y的相反数． 【提示】 两个非负数互为相反数，只有都为０． 解：根据题意，有2x-3=0，y+3=0 3，y=-3 233 x+y= +（-3）=－． 223 所以x+y的相反数是． 2 则x= 备选例题 （2004·芜湖）小王上周在股市以收盘价/（收市时的价格）每股25•元买进某公司股票1000股，在接下来的一周交易日内，小王记下该股票每日收盘价格相比前一天的涨跌情况：（单位：元） 星期 每股涨跌（元） 根据上表回答问题： （1）星期二收盘时，该股票每股多少元？ （2）周内该股票收盘时的最高价、最低价分别是多少？ （3）已知买入股票与卖出股票均需支付成交金额的千分之五的交易费．•若小王在本周五以收盘价将全部股票卖出，他的收益情况如何？ 【答案】 （1）星期二收盘价为25+2-0.5=26.5（元／股） （2）收盘最高价为25+2-0.5+1.5=28（元/股） 收盘最低价为25+2-0.5+1.5-1.8=26.2（元/股） （3）小王的收益为：27×1000（1-5‟）-25×1000（1+5‟） =27000-135-25000-125 =1740（元） ∴小王的本次收益为1740元． 亿库教育网 http://www.eku.cc 一 +2 二 -0.5 三 +1.5 四 -1.8 五 +0.8 亿库教育网 http://www.eku.cc 四、总结反思，拓展升华 本节课我们探索了有理数的加法交换律和结合律．灵活运用加法的运算律使运算简便．一般情况下，我们将互相为相反数的相结合，同分母的分数相结合，能凑整数的数相结合，正数负数分别相加，从而使计算简便． 1．计算 1111＋＋＋„＋ 20032004122334 2．如果│a│=3，│b│=2，且a （2）依次求出这列数前10个、前56个、前100个整数的和分别是多少？ （3）这列数字前n个数的和是否随着n的增大而增大？请说明理由． 【答案】 1． 2003 2．5或1． 2004 3．（1）-47，-1，43 （2）-515，-1596，-650 （3）不是，当加到第58个数（为1）时，前n个数的和才开始递增． 五、课堂跟踪反馈 1．运用加法的运算律计算（+6的是（D） 12）+（-18）+（+4）+（-6.8）+18+（-3.2）最适当3312）+（4）+18]+[（-18）+（-6.8）+（-3.2）] 3312 B．[（+6）+（-6.8）+（4）]+[（-18）+18+（-3.2）] 3312 C．[（+6）+（-18）]+[（+4）+（-6.8）]+[18+（-3.2）] 3312 D．[（+6）+（+4）]+[（-18）+18）]+[（-3.2）+（-6.8）] 33 A．[（+6 2．已知│x│=4，│y│=5，则│x+y│的值为 （C） A．1 B．9 C．9或1 D．±9或±1 3．有理数中，所有整数的和等于 0 ． 4．（-2）+4+（-6）+8+„+（-98）+100=50． 5．一个加数是绝对值等于 11的负有理数，另一个加数是－的相反数，•这两个数的82亿库教育网 http://www.eku.cc 亿库教育网 http://www.eku.cc 和等于 3 ． 8 6．计算题 （1）-16 11+29 361321）+（+5）+（-2） 2033 （2）（+0.65）+（-1.9）+（-1.1）+（- （3）1 335+（-6.5）+3+（-1.75）+2 48832211 （4）（+6）+（-5）+（4）+（+2）+（-1）+（-1） 5357751 【答案】 （1）12 （2） （3）-0.5 （4）5 63 7．小李到银行共办理了四笔业务，第一笔存入120元，第二笔支取了85元，第三笔取出70元，第四笔存入130元．如果将这四笔业务合并为一笔，•请你替他策划一下这一笔业务该怎样做． 【答案】 ＋120+（-85）+（-70）+（+130）=95（元），所以一次存入95元． 8．某检修小组乘汽车沿公路检修线路，约定前进为正，后退为负．•某天自Ａ地出发到收工时所走路线（单位：千米）为：+10，-3，+4，+2，-8，+13，-2，+12，+8，•+5． （1）问收工时距Ａ地多远？ （2）若每千米路程耗油0.2升，问从Ａ地出发到收工共耗油多少升？ 【答案】 （1）距Ａ41千米 （2）13.4升 9．计算：-3+│-1│= -2 ． 第九课时 有理数的减法（一） 教学目标 1．知识与技能 ①经历探索有理数减法法则的过程，理解有理数减法法则． ②会熟练进行有理数减法运算． 2．过程与方法 ①体验把减法运算转化为加法运算，渗透转化思想． ②经历探索有理数减法法则的过程，发展学生的逻辑思维能力． 亿库教育网 http://www.eku.cc 亿库教育网 http://www.eku.cc 3．情感、态度与价值观 在数学学习中获得成功的体验，尊重并充分理解他人的见解． 教学重点难点 重点：有理数减法法则和运算． 难点：有理数减法法则的推导． 教与学互动设计 一、创设情境，导入新课 抢答游戏 （1）-7+______=+5，（2）______+（-3）=12，（3）（-72）+______=-30 投影 2．大家看这幅画面，由实物投影仪显示课本第１页引言中的画面，•这是北京2003年11月某天的温度为-3～3℃，它确切的含义是什么？•这一天的最高温差是多少？ 观察、讨论 表明最高温度差为3℃，最低温度为-3℃，这天最高温差为6℃． 思考 能不能列计算式？ 生：3-（-3） 二、合作交流，解读探究 鼓励学生充分探索，提示减法是加法的逆运算，思考该如何转化． 观察下列两式：（？）+（-3）=4 根据有理数加法法则，有（+7）+（-3）=4 因而为：4-（-3）=7 观察总结 比较下列两式： 4-（-3）=7 4+3=7 因而有：4-（-3）=4+3 你能发现什么吗？ 再举一组数：计算（-5）-（+3）=-5+_____ 学生活动 3+（？）=-5 因为3+（-8）=-5 所以（-5）-（+3）=-8 又-5+（-3）=-8 亿库教育网 http://www.eku.cc 亿库教育网 http://www.eku.cc 所以: (-5)-(+3)=(-5)+(-3)=-8 总结归纳：减去一个数，等于加上这个数的相反数，字母表示为：a-b=a+（-b） 三、应用迁移，巩固提高 例1 计算题 211）-（+）-（-） 3124121 （2）（-0.1）-（-8）+（-11）-（-） 3310 （1）（－ （3）（-1.5）-（-1.4）-（-3.6）+（-4.3）-（+5.2） （4）（5-6）-（7-9） 【答案】 （1）－ 11 （2）-3 （3）-6 （4）1 23 例2 根据题意列出式子计算 （1）一个加数是1.8，和是－0.81，求另一个加数． （2）－ 12的绝对值的相反数与的相反数的差． 33121|-（-）=- 333 解：（1）另一个数为-0.81-1.8=-2.61 （2）-｜- 例3 若│a│=8，│b│=3，且a （2）若│a+b│+│a-b│=-2a，则应添加什么条件． 【提示】 去绝对值首先必须考虑绝对值的正负，在（2）中，要使结果为-2a，即前一个绝对值为－a-b，后一个绝对值为b-a，即a+b必须为负，•从而确定成立的条件． 【答案】 a+b<0 【点评】 由结论反过来推导条件，根据结论的特征作推断． 备选例题 （2004·浙江绍兴）比-1小1的数是 （D） A．-1 B．0 C．1 D．-2 亿库教育网 http://www.eku.cc 亿库教育网 http://www.eku.cc 【提示】 即-1-1=－2 【答案】 D 四、总结反思，拓展升华 总括：有理数减法法则是一个转化法则，减数变为它的相反数，从而减法转化为加法．可见，引进负数后对加法和减法，可以用统一的加法来解决． 不论是正数、负数或是零，都符合有理数减法法则，在使用法则时，注意减号变加号的同时把减数变成它的相反数，而被减数不变． 1．已知a<0，b<0，│a│>│b│，试判断a-b的符号． 【答案】 负 （2）a、b是两个有理数，试比较a-b与a的大小． 【答案】 当b>0时，a-b 3．已知有理数a、b在数轴上对应的位置如图所示： b-10a1 （1）比较a-b与a+b的大小． （2）化简│b-a│+│a+b│ 【答案】 （1）a-b>a+b （2）-2b 五、课堂跟踪反馈 1．填空题 （1）0℃比－10℃高多少度？列算式为 0-（-10） ，转化为加法是 0+10 ，•运算结果为 10 ． （2）减法法则为减去一个数，等于 加上 这个数的 相反数 ，即把减法转为 加法 ． （3）比-18小5的数是 –23 ，比-18小-5的数是 –13 ． （4）A、B两地海拔高度为100米、-20米，B地比A地低 120 米． 2．下列说法正确的是（C） A．正数与正数的差是正数 B．负数与负数的差是正数 C．正数减去负数差为正数 D．0减去正数差为正数 3．下列说法正确的个数是（A） ①减去一个数等于加上这个数;②零减去一个数，仍得这个数 亿库教育网 http://www.eku.cc 亿库教育网 http://www.eku.cc ③两个相反数相减得零;④有理数减法中，被减数不一定比减数或差大 ⑤减去一个负数，差一定大于被减数;⑥减去一个正数，差不一定小于被减数 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．计算题 （1）（-7）-（-4）-（+5）;（2）（-9）-[（-10）-（-2）] 111）-（+5）-（-4）;（4）-8.2-9.2-1.6-（-5） 4341 【答案】 （1）-8，（2）-1，（3）-5，（4）-14 3 （3）（-4 5．若│a│=5，│b│=7，且│a+b│=-（a+b），求a-b的值． 【答案】 12或2 6．全班学生分为五个组进行游戏，每组的基本分为100分，答对一题加50分，答错一题扣50分，游戏结束时，各组的分数如下： 第1组 100 第2组 150 第3组 -400 第4组 350 第5组 -100 （1）第一名超出第二名多少分？ （2）第一名超出第五名多少分？ 【答案】 （1）200，（2）750 7．设A是-4的相反数与-12的绝对值的差，B是比－6大5的数． 求：（1）A-B （2）B-A （3）从（1）、（2）的计算结果，你能知道A-B与B-A•之间有什么关系？ 【答案】 A=-8，B=-1 （1）-7 （2）7 （3）互为相反数关系 8．若a>0，b<0，试比较－a，-b，-（a+b），-（a-b）的大小关系． 【答案】 -（a-b）<-a<（-（a+b）<-b 第十课时 有理数的减法（二） 教学目标 1．知识与技能 使学生理解加减法统一成加法的意义，能熟练地进行有理数加减法的混合运算． 2．过程与方法 通过加减法的相互转化，培养学生的应变能力，口头表达能力及计算能力． 3．情感、态度与价值观 亿库教育网 http://www.eku.cc 亿库教育网 http://www.eku.cc 敢于面对数学活动中的困难，并有独立克服困难和运用知识解决问题的成功体验． 教学重点难点 重点：把加减混合运算理解为加法算式． 难点：把省略括号的和的形式直接按有理数加法进行计算． 教与学互动设计 一、创设情境，导入新课 竞赛活动 比一比，看谁算得快 （-20）+（+3）-（-5）-（+7） （-7）+（+5）+（-4）-（-10） 二、合作交流，解读探究 师：对比上式①，你首先想到将原式如何变形？ 生：根据有理数的减法法则把减号统一成加号，即原式变为： -20+（+3）+（+5）+（-7） 师：很好，可见在引入相反数后，加减混合运算可以统一为加法运算．用字母可表示成： a+b-c=a+b+（-c）． 下面：请大家一起来练习计算以上两道题． 学生作业练习 师针对学生做的方法评析，作以下说明． 1．式③表示的是-20，+3，+5，-7的和，为了书写简单，可以省略式中的括号，•从而有-20+3+5-7． 大家要注意到，虽然加号和括号都省略了，但-20+3+5-7仍表示-20，+3，+5，-•7的和所以这个算式可以读作“负20，正3，正5，负7的和”．当然，•按运算意义也可读作“负20加3加5减7”． 学生尝试用两种读法读．同桌间互相出式，并读出两种读法． 2．刚才在大家练习的过程中，我们看到有两种典型的处理方法，•一是将原式按次序计算；二是将原式换成（-20-7）+（3+5）．大家观察比较一下，•你看哪种方法更好，为什么？ 生：第二种过程更简便、合理．因为它运用了有理数加法的交换律、结合律． 师：太棒了，在有理数的加法运算中，通常应用加法运算律，可使计算简化，根据刚才过程可见，在有理数加减混合运算统一成加法后，一般应注意运算的合理性，适当运用运算律．大家一起看下面问题： 亿库教育网 http://www.eku.cc 亿库教育网 http://www.eku.cc 三、应用迁移，巩固提高 例1 把（+算． 2411）+（－）-（+）-（-）-（+1）写成省略加号的和的形式，并计35532411）+（－）-（+）-（-）-（+1） 35532411=（+）+（－）-（-）-（+）-（+1） 35532411=－-+-1 35532141=+---1 3355解：（+=1-1-1 =-1 说明：解题过程由学生口述、教师板演，同时提问每步的根据和目的，并强调书写的规范化． 师：纵观这道题的解答过程，你能总结得到什么？小组同学可作交流． 学生小组交流，并总结． 【总结】 有理数的加减混合运算的计算有如下几个步骤： 1．将减法转化成加法运算： 2．省略加号和括号； 3．运用加法交换律和结合律，将同号两数相加； 4．按有理数加法法则计算． 例2 比谁算得对，算得快 2455）+（-）-（+）-（-）-（+1） 799711 （2）-7-（-8）-（-7）-（+9）+（-10）+11 22 （1）（+ （3）-99+100-97+98-95+96+„+2 （4）-1-2-3-„-100 【点拨】 按照正确的运算法则进行运算． 【答案】 （1）-1，（2）1，（3）50，（4）-5050 例3 银行储蓄所办理了8件工作业务，取出950元，存进500元，取出800元，•存进1200元，存进了2500元，取出1025元，取出200元，存进400元，这时，银行现款是 亿库教育网 http://www.eku.cc 亿库教育网 http://www.eku.cc 增加了，还是减少了？增加或减少了多少元？ 【点拨】 根据题意把取出记为“－”，存进记为“＋”，列出算式进行运算． 解：每次存款数记为-950，＋500，-800，+1200，+2500，-1025，-200，+400． 则总额为： －950+500+（-800）+1200+2500+（-1025）+（-200）+400 =1625（元） 答：增加了1625元． 备选例题 （2003·桂林）计算1-3+5-7+9-11+„+97-99 【点拨】 抓住算式的结构规律，可以考虑两两结合． 解：原式＝（1-3）+（5-7）+（9-11）+„+（97-99）=-50 四、总结反思，拓展升华 回顾一下本节课所学内容，你学会了什么？ 说明：在学生思考回答的过程中将本节的重点知识纳入知识系统． 1．若x<0，则│x-（-x）│等于 （D） A.-x B.0 C.2x D.-2x 2．“*”表示一种运算，规则是 3*6=3-4+5-6 0*6=0-1+2-3+4-5+6 -3*6=-3-（-2）+（-1）-0+1-2+3-4+5-6 3*（-6）=3-2+1-0+（-1）-（-2）+（-3）-（-4）+（-5）-（-6） 0*（-6）=0-（-1）+（-2）-（-3）+（-4）-（-5）+（-6） （-3）*（-6）=（-3）-（-4）+（-5）-（-6） （1）试根据以上的运算规则，填写下列各式的运算过程和结果： ①（-4）*4= -4-（-3）+（-2）-（-1）+0-1+2-3+4 = 0 ； ②1*10= 1-2+3-4+5-6+7-8+9-10 = -5 ； ③（-5）*（-11）= （-5）-（-6）+（-7）-（-8）+（-9）-（-10）+（-11） = -8 ； ④0*（-4）= 0-（-1）+（-2）-（-3）+（-4） = -2 ； ⑤4*（-5）= 4-3+2-1+0-（-1）+（-2）-（-3）+（-4）-（-5） = 5 ； （2）根据以上的运算规则，填写结果： 亿库教育网 http://www.eku.cc 亿库教育网 http://www.eku.cc ①1*100= -50 ； ②（-100）*（-1）= -50 ； 五、课堂跟踪反馈 1．填空题 （1）式子-6-8+10+6-5读作 负6，负8，正10，正6与负5的和 ，或读作 负6•减8•加10加6减5 ． （2）把－a+（+b）-（-c）+（-d）写成省略加号的和的形式为 -a+b＋c-d ． （3）若│x-1│+│y+1│=0，则x-y= 2 ． （4）运用交换律填空：-8+4-7+6= -8 – 7 + 4 + 6 2．选择题 （1）已知m是6的相反数，n比m的相反数小2，则m+n等于（D） A．4 B．8 C．-10 D．-2 （2）使等式│-5-x│=│-5│+│x│成立的x是（D） A．任意一个数 B．任意一个正数 C．任意一个负数 D．任意一个非负数 （3）-a+b-c由交换律可得 （B） A．-b+a-c B．b-a-c C．a-+c-b D．-b+a+c （4）a、b两数在数轴上位置如图，设M=a+b，N=-a+b，H=a-b，G=-a-b，•则下列各式中正确的是（B） -1b01a A.M>N>H>G B.H>M>G>N C.H>M>N>G D.G>H>M>N 3．计算题 （1）0-（+5）-（-3.6）+（-4）+（-3）-（-7.4） 31152）-（-1）+（-）-（-）-（+4） 4268353111 （3）2-（-5）-（+4）+（-2）-（+6） 67621 （2）（+3 （4）1-2+3-4+5„+2003-2004 【答案】 （1）-1 （2） 252 （3）-5 （4）-1002 247 4．某医院的急诊病房收治了一位非典病人，护士每隔2个小时为这位病人量一次体温 亿库教育网 http://www.eku.cc 亿库教育网 http://www.eku.cc （单位为℃）（正常人的体温37℃）． （1）完成下表： 时刻 体温 与正常人的正常体温差值 8点 10点 12点 14点 16点 18点 （2）这一天的8点18点之间，这位急诊病人哪个时刻体温最高？哪个时刻的体温低？ （3）这位病人的这一天的平均体温是多少？ 【答案】 （1）略 （2）14点最高 （3）38.6℃ 5．股票交易是市场经济中的一种金融活动，它可以促进投资和资金流通．•南京某证券交易所的一种股票第一天最高价比开盘价高0.2元，•最低价比开盘价低0.3元，第二天的最高价比开盘价高0.3元，最低价比开盘价低0.1元，第三天的最高价等于开盘价，最低价比开盘价低0.2元．一天中最高价与最低价的差，•叫做这天股票的涨幅．计算这三天的平均涨幅． 【答案】 0.4 第十一课时 有理数的乘法（一） 教学目标 1．知识与技能 ①经历探索有理数乘法法则的过程，发展观察、归纳、猜想、验证的能力． ②会进行有理数的乘法运算． 2．过程与方法 通过对问题的变式探索，培养观察、分析、抽象的能力． 3．情感、态度与价值观 通过观察、归纳、类比、推断获得数学猜想，体验数学活动中的探索性和创造性． 教学重点难点 重点：能按有理数乘法法则进行有理数乘法运算． 难点：含有负因数的乘法． 教与学互动设计 亿库教育网 http://www.eku.cc 亿库教育网 http://www.eku.cc 一、创设情境，导入新课 做一做 出示一组算式，请同学们用计算器计算并找出它们的规律． 例1 （1）（+5）×（+3）=_______;（2）（+5）×（-3）=________ （3）（-5）×（+3）=________;（4）（-5）×（-3）=________ 例2 （1）（+6）×（+4）=________;（2）（+6）×（-4）=________ （3）（-6）×（+4）=________;（4）（-6）×（-4）=________ 二、合作交流，解读探究 想一想 你们发现积的符号与因数的符号之间的关系如何？ 学生活动：计算、讨论 总结 一正一负的两个数的乘积为负；两正或两负的乘积是正数． 两数相乘，同号得正，异号得负． 想一想 两数相乘，积的绝对值是怎么得到的呢？ 学生：是两因数的绝对值的积． 引导 此结论能否用现实来验证呢？请同学们阅读教科书第36页，讨论协作完成问题的解释． 探究交流 阅读课本，小组讨论、总结． 学生甲解释：课本上说蜗牛沿一条直线的跑道，以每分钟2cm•的速度向右爬行了3分钟．那么它现在在什么位置？（即它位于原来位置的哪个方向，•与原位置相距多少米？） 式子（+2）×（+3）=+6 （+2）表示向右爬行，（+3）表示爬行了3分钟．即小虫位于原位置右边6米． 学生乙解释：（-2）×（+3）=-6表示蜗牛向左从每分钟2m的速度爬行了3•分钟后离开原位置的左边6m的距离． 师：引导学生可否把（-2）看成是蜗牛的速度为每分钟-2m爬行了3分钟． 学生答． 师：你们能否试着把这一情境用数轴来表示呢？ 学生代表到黑板作图，运用数轴把刚才的说法结合数轴来讲解． 师：下面问题，涉及到时间为负的情况．这该如何来领会． 学生活动：小组讨论． 学生代表：-3是指蜗牛3分钟前从起点爬到现在的位置的时间，•积的负号是指3分钟前的位置在现在位置的左边表示“－”，6是蜗牛3分钟前与现在的距离． 亿库教育网 http://www.eku.cc 亿库教育网 http://www.eku.cc 师：能否用数轴来展现其过程吗？ 学生试着画数轴，并请一位同学到黑板演示过程． 师：用负数表示现在之前的一段时间，这是一个创意．在你们的讨论过程中，现在可否作出（-2）×（-3）=+6的解释呢？并用数轴来表示，试一试． 学生回答问题． 课件展示 把刚才的情境设计成多媒体课件，让学生感受形成过程． 师：大家再思考，如果3×0或-3×0，那积为多少？从而可得到什么结论？ 生：任何数和0相乘都得零． 学生活动：一同学任说一数，由另一同学说出它的倒数． 小结 正数的倒数是正数，负数的倒数还是负数，0没有倒数． 三、应用迁移，巩固提高 例1 判断题 （1）两数相乘，若积为正数，则这两个因数都是正数．（×） （2）两数相乘，若积为负数，则这两个数异号． （∨） （3）两个数的积为0，则两个数都是0． （×） （4）互为相反的数之积一定是负数． （×） （5）正数的倒数是正数，负数的倒数是负数． （∨） 【点拨】 根据有理数和乘法运算法则来作出判断． 例2 填空题 14）×（-）= 1 ，（2）（+3）×（-2）= -6 ， 4521 （3）0×（-4）= 0 ， （4）1×（-1）= -2 ， 351 （5）（-15）×（-）= 5 ，（6）-│-3│×（-2）= 6 ， 33 （7）输入值a=-4，b=，输出结果：①ab= -3 ，②-a·b= 3 ， ③a·a= 16 ， 4 （1）（-1④b·（-b）=－ 9 16 【点评】 乘号“×”也可用“·”代替，或省略不写，但要以不引起误会为原则，如a×b可表示成a·b或ab，而（+2）×（-5）可表示成（-2）（-5）或（-2）·（-5），凡数字相乘，如果不用括号，用“×”为好，例如2×5不宜写成2·5或25． 亿库教育网 http://www.eku.cc 亿库教育网 http://www.eku.cc 例3 用正、负数表示气温的变化量：上升为正、下降为负．•某登山队攀登一座山峰，每登高1km，气温的变化量为-6℃．攀登5km后，气温有什么变化？ 【答案】 （-6）×5=-30，即下降了30℃． 例4 在整数-5，-3，-1，2，4，6中任取三个数相乘，所得的积的最大值是多少？•任取两个数相加，所得的和的最小值又是多少？ 【答案】 （-5）×（-3）×6=90，为最大的积；-5+（-3）=-8，是最小的两数之和． 【提示】 每次销售价的改变都是在改变前的价格的基础上进行的． 6．课本练习 备选例题 （2004·江苏南通）以下是一个简单的数值运算程序：输入x•→×（-3）→-2→输出．当输入的x值为－1时，则输出的数值为 1 ． 【点拨】 程序运算式是有理数运算的新型形式，该程序所反映的运算过程是-3x-2．当输入x为-1时，运算式为（-3）×（-1）-2=1． 四、总结反思，拓展升华 引导学生从三个方面理解本节课所学内容：1．有理数的乘法法则；2．多个不为0的因数相乘时，积的符号的确定；3．几个相乘的因数中，只要有一个0因数，•则积的确定． 1．自己操作实践、如何应用计算器来计算有理数的乘法、阅读课本P41．并练习用计算器来计算： （1）74×59 =4366; （2）（-98）×（-63） =6174 （3）（-49）×（+204） =-9996 ;（4）37×（-73） =-2701 2．“⊙”表示一种新运算，它的规则是：a⊙b=-a×b-（a+b） （1）求3⊙5= -23 ;（2）求（3⊙4）⊙5= 109 ×”×（-3）=1 （3）请你定义一种新运算“○，使其中含有乘法运算，且2○ 【答案】 a×○ b=-a×b+（-a+b） 五、课堂跟踪反馈 1．填空题 （1）若ab>0，则表示a、b的关系是 a、b同号 ．若ab=0，则表示a、b的关系是 a、b中至少有一个为0 ．若ab<0，则表示a、b的关系是 a、b异号 ． （2）（-2）×（-3）= 6 ，（-×0= 0 ． 21）·（-1）= 1 ，2001×（-2002）×2003×（-2004）32亿库教育网 http://www.eku.cc 亿库教育网 http://www.eku.cc 2．选择题 （1）若ab>0，则必有 （D） A．a>0，b>0 B．a<0，b<0 C．a>0，b<0 C．同号 （2）若ab=0，则必有 （C） A．a=b=0 B．a=0 C．a、b中至少有一个为0 D．a、b中最多有一个为0 （3）一个有理数和它的相反数的积 （C） A．符号必为正 B．符号必为负 C．一定不大于0 D．一定大于0 （4）有奇数个负因数相乘，其积为 （B） A．正 B．负 C．非正数 D．非负数 3．计算题 1）×（-4） （2）（-2）×（-3）×（-5） 221 （3）（-7）×3×（－） （4）（-9.89）×（-6.2）×（-26）×（-30.7）×0 323 （1）（-3 【答案】 （1）14 （2）-30 （3）1 （4）0 提升能力 ＋”和“○·”对于任意两个整数a、b，有a○＋b=a+b-1，a○·b=ab-1， 4．现定义两种运算“○ ＋8）○＋（3·求4·○[（6○○5）] 的值． 【答案】 103 5．观察按下列顺序排列的等式． 9×0+1=1 9×1+2=11 9×2+3=21 9×3+4=31 9×4+5=41 „„ 猜想，第n个等式（n为正整数）用n表示，可以表示成 9（n-1）+n=10（n-1）+1 ． 亿库教育网 http://www.eku.cc 亿库教育网 http://www.eku.cc 第十二课时 有理数的乘法（二） 教学目标 1．知识与技能 使学生经历探索有理数乘法的交换律、结合律和分配律，并能灵活运用乘法运算律进行有理数的乘法运算，使之计算简便． 2．过程与方法 通过对问题的探索，培养观察、分析和概括的能力． 3．情感、态度与价值观 能面对数学活动中的困难，有学好数学的自信心． 教学重点难点 重点：熟练运用运算律进行计算． 难点：灵活运用运算律． 教与学互动设计 一、创设情境，导入新课 想一想 上一节课大家一起学习了有理数的乘法运算法则，掌握得较好．那在学习过程中，大家有没有思考多个有理数相乘该如何来计算？ 做一做 （出示胶片）你能运算吗？ （1）2×3×4×（-5） （2）2×3×（-4）×（-5） （3）2×（-3）×（-4）×（-5） （4）（-2）×（-3）×（-4）×（-5） （5）-1×302×（-2004）×0 由此我们可总结得到什么？ 二、合作交流，解读探究 交流讨论 不难得到结论：几个不为0的数乘，•积的符号由负因数这个数决定．当负因数的个数是偶数时，积为正；负因数的个数是奇数时，积为负，并把绝对值相乘． 注意 只要有一个因数为0，则积为0． 三、应用迁移，巩固提高 亿库教育网 http://www.eku.cc 亿库教育网 http://www.eku.cc 例1 计算（-3）× 591 ×（－）×（－）×（-8）×（-1） 654【提示】先找出其中负因数的个数为5个，故积的符号为负，再将绝对值相乘． 591 ×（－）×（－）×（-8）×（-1） 654591 ＝-3××××8×1 654＝（-3）× =-9 例2 计算（-1999）×（-2000）×（-2001）×（-2002）×2003×（-2004）×0 【提示】 不管数字有多么复杂，只要其中有一个为0，则积为0． 数学游戏 学生活动：按下列要求探索： （1）任选两个有理数（至少有一个为负），分别填入□和○内，•并比较两个结果： □×○＝_________和○×□________ （2）任选三个有理数（至少有一个为负），分别填入□、•○和◇中，并比较计算结果： （□·○）·◇＝_________和□·（○·◇）=__________ （3）任选三个有理数（至少有一个为负），分别填入□、○和◇中，•并比较计算结果： ◇·（□＋○）＝________和◇·□和◇·○＝________ 【总结】 有理数的乘法仍满足交换律，结合律和分配律． 乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变，用式子表示为a·b=b·a 乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变．用式子表示成（a·b）·c=a·（b·c） 乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘． 用字母表示成：a（b+c）=a·b+a·c 例3 （投影）计算:（1）- （2）19 3414×（8--） 431518×（-15） 19181换成20-，再用分配律计算． 1919 【分析】 ①利用乘法分配律 ②将19 学生板演、练习． 1的倒数是 （ ） 22323 A． B． C．- D．- 3232 备选例题 （2004·江苏泰州）-1 亿库教育网 http://www.eku.cc 亿库教育网 http://www.eku.cc 【提示】 -1 【答案】 C 132化为假分数-，它的倒数为- 223 四、总结反思，拓展延伸 本节课我们的成果是探究出有理数的乘法运算律并进行了应用．可见，运算律的运用十分灵活，各种运算律常常是混合应用的．这就要求我们要有较好的掌握运算律进行计算的能力，要寻找最佳解题途径，不断总结经验，使自己的能力得到提高． 一列数a1，a2，a3，„an． 若a=100+（-6）×1， a=100+（-6）×2， a=100+（-6）×3， „ 则an= 100-6n ；当an=-2002时，n= 351 ． 在这列数a1，a2，a3，„，an中最小的正数＝ 4 ，最大的负数＝ -2 ． 五、课堂跟踪反馈 （1）两个整数的积为8，它们的和等于 ±9或±6 ． （2）“a、b同号”用不等式表示为 ab>0 ．“a、b异号”用不等式表示为ab<0 ． （3）3.1416×7.5944+3.1416×（-5.5944）= 6.2832 . 1557-3-+-）×（-36）= 101 . 296121 （5）（-8）×（-12）×（-0.125）×（-）×（-0.001）= -0.004 . 3 （4）（ （6）（-14 1311）×（+4）=（ -15+ ）×4= -15 ×4+ ×4 141414= -59 5 7（7）已知a>0，b<0，则│ab│＋b│a│= 0 ． （8）若a+b<0，ab>0，则a < 0，b < 0． 2．计算题 （1）（- 18211）××（-）×（-2）= - 12153415 （2）6.878×（-15）+6.878×（-12）-6.878×（-37） =68.78 亿库教育网 http://www.eku.cc 亿库教育网 http://www.eku.cc （3） 141×-16×（-）×（-1）×8×（-0.25） =8 454 3．若a、b、c为有理数，且│a+1│＋│b＋2│＋│c+3│＝0．求（a-1）（b+2）（c-3） 4．已知x、y为有理数，如果规定一种新运算※，定义x※y=xy+1．•根据运算符号的意义完成下列各题． （1）2※4=9 （2）求1※4※0=1 （3）任意选取两个有理数（至少一个为负数）分别填入下例□与○内，•并比较两个运算结果，你能发现什么？ □※○与○※□ （4）根据以上方法，设a、b、c为有理数．请与其他同学交流a※（b+c）与a※b+•a※c的关系，并用式子把它们表达出来． 【答案】 （3）相等 （4）a※（b+c）+1=a※b+a※c 5.以前有一个农民，他有17只羊，临终前，他嘱咐把羊分给三个儿子，他说：“大儿子分一半，二儿子分 11，小儿子分 ，但是不允许把羊杀死或者卖掉”．三个儿子感到很为难，34不知怎么分，你能他们分吗？ 【答案】 借一只羊就会有18只，他们分别分得9只，6只和2只后，•还剩一只羊，再还给人家． 6.观察下列数表 1 2 3 4 „第一行 2 3 4 5 „第二行 3 4 5 6 „第三行 4 5 6 7 „第四行 ┋ ┋ ┋ ┋ 第 第 第 第 一 二 三 四 列 列 列 列 根据数表所反映的规律，第n行第n列交叉点上的数应为（A） A．2n-1 B．2n+1 C．n2-1 D．n2 亿库教育网 http://www.eku.cc 亿库教育网 http://www.eku.cc 第十三课时 有理数的除法（一） 教学目标 1．知识与技能 ①了解有理数除法的定义． ②经历有理数除法法则的过程，会进行有理数的除法运算． ③会化简分数． 2．过程与方法 ①通过有理数除法法则的导出及运用，让学生体会转化思想． ②培养学生运用数学思想指导数学思维活动的能力． 3．情感、态度与价值观 在独立思考的基础上，积极参与对数学问题的讨论，能从交流中获益． 教学重点难点 重点：正确应用法则进行有理数的除法运算． 难点：怎样根据不同的情况来选取适当的方法求商． 教与学互动设计 一、创设情境，导入新课 我们在前几节课和大家一起学习了有理数的乘法．并且还由乘法而认识了有理数的倒数问题．那大家知道乘法的逆运算是什么？该如何计算和应用．这就是本节课我们学习的内容． 二、合作交流，解读探究 试一试 （-10）÷2=？ 交流 因为除法是乘法的逆运算，也就是求一个数“？”，使（?）×2=-10 显然有（-5）×2=-10，所以（-10）÷2=-5 我们还知道：（-10）× 1=-5 21 2 由上式表明除法可转为乘法．即：（-10）÷2=（-10）× 再试一试：（-12）÷（-3）=？ 【总结】 除以一个数，等于乘以这个数的倒数（除数不能为0）．•用字母表示成a÷b=a× 1，（b≠0）． b 三、应用迁移，巩固提高 亿库教育网 http://www.eku.cc 亿库教育网 http://www.eku.cc 例1 计算：（1）（-36）÷9 （2）（-63）÷（-9） （3）（－ （4）0÷3 （5）1÷（-7） （6）（-6.5）÷0.13 （7）（－ 123）÷ 52542）÷（－） （8）0÷（-5） 55 提出问题：在大家的计算过程中，应用除法法则的同时，有没有新的发现？ 学生活动：分组讨论． 【总结】 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0•除以任何一个不等于0的数，都得0． 【点拨】 这个运算方法的得出为计算有理数除法又添了一种方法．我们要根据具体情况灵活选用方法．大家试来比较一下，以上各题分别用哪种运算法则更简便． 【讨论】 （1）、（2）、（5）、（6）用确定符号，并把绝对值相除． （3）、（7）用除以一个数，等于乘以这个数的倒数． 【引导】 小学里我们都知道，除号与分数线可相互转换．如个关系，我们可以将分数进行化简． 例2 化简下列分数 （1） -12=-12÷3．•利用这3-4512-70 （2） （3） （4） -15-36-14-8 学生活动：口答． 备选例题 （2004·福建南平） ab＋（ab≠0）的所有可能的值有（C） |a||b| A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【点拨】本题含有绝对值符号，故要考虑a、b的正负情况．当a>0时， a＝1；当|a|a<0时， a＝－1． |a| 【答案】 C 例3 试着用计算器计算 （1）-0.056÷1.4 =-0.04 ; （2）1.252÷（-4.4） =-0.285 （3）（-3.561）÷（-1.96） =1.817 【说明】 让学生练习用计算器进行有理数的除法计算．通过自己的亲身的探索、操作 亿库教育网 http://www.eku.cc 亿库教育网 http://www.eku.cc 而增强学生的独立意识和动手能力． 四、总结反思，拓展延伸 本节课大家一起学习了有理数除法法则．有理数的除法有2种方法，•一是根据除以一个数等于乘以这个数的倒数，二是根据“两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除”．一般能整除时用第二种． 1．（1）m为负整数，它的倒数 11，它的相反数为-m，试比较m，和－m的大小． mm （2）m为正整数，结论又怎样？ 1和－m的大小． m111 【答案】 （1）-m>≥m （2）m≥>-m （3）①-1 mmm111时，-•m>≥m，③当0 mmm （3）m为非零有理数，讨论m， 五、课堂跟踪反馈 1．选择题 （1）如果一个数除以它的倒数，商是1，那么这个数是（D） A．1 B．2 C．-1 D．±1 （2）若两个有理数的商是负数，那么这两个数一定是（D） A．都是正数 B．都是负数 C．符号相同 D．符号不同 （3） |a|=-1，则a为 （B） a A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数 （4）若a+b<0， b>0，则下列成立的是（B） a A．a>0，b>0 B．a<0，b<0 C．a>0，b<0 D．a<0，b>0 2．计算题 （1）（-2 15717）÷（－） =6 （2）3.5÷÷（-1） =－ 787214 （3）－ 3533335÷（-7）÷（-） =- （4）（-1）÷（+）÷（-） = 2557149 3．填空题 （1）若a、b是互为倒数，则3ab= 3 ． 亿库教育网 http://www.eku.cc 亿库教育网 http://www.eku.cc （2）相反数是它本身的数有 0 ，绝对值等于它本身的数是 非负数 ，倒数等于它本身的数是 1，-1 ． （3）若<0，且yz<0，那么x > 0．（填“）”、“〈”〉 （4）当 x=2 时，代数式没有意义． （5） ±1 的倒数等于本身， 0 的相反数等于本身， 非负数 的绝对值等于本身，•一个数除以 1 等于本身，一个数除以 –1 等于这个数的相反数． 开放探究 4．一家公司为了开发某种产品，需要每年向银行存款或取款，到今年，•存取款结果正好为零．如果把向银行的存款数（万元）记为正数，那么向银行的取款数（万元）就应当记为负数；如果把现在起向后的时间（年）记为正数，那么把现在起向前的时间（年）记为负数，在这个问题中， （1）（-100）÷4的实际意义是___________； （2）（-100）÷（-4）的实际意义是_____________． 仿照上题，请你举一个实例，使问题的数量为： （1）16÷（-2） （2）（-10）÷（-2） 【答案】 略 第十四课时 有理数的除法（二） 教学目标 1．知识与技能 ①掌握有理数加、减、乘、除运算的法则、运算顺序，能够熟练运算． ②能解决实际问题． 2．难点：过程与方法 经历探索有理数运算的过程，获得严谨，认真的思维习惯和解决问题的经验． 3．情感、态度与价值观 敢于面对数学活动中的困难，有解决问题的成功经验． 教学重点难点 重点和难点：如何按有理数的运算顺序，正确而合理地进行计算． 教与学互动设计 一、创设情境，导入新课 亿库教育网 http://www.eku.cc 亿库教育网 http://www.eku.cc 想一想 观察式子计算？ 111135×（－）×÷里有哪种运算，应该按什么运算顺序来532114 二、合作交流，解读探究 引导 首先计算小括号里的减法，然后再按照从左到右的顺序进行乘除运算，这样运算的步骤基本清楚了．另外带分数进行乘除运算时，必须化成假分数． 学生活动：板演，其他学生做在练习本上． 注意 有理数混合运算的步骤：先乘除，后加减，有括号先算括号． 三、应用迁移，巩固提高 11311÷2÷（-2） （2）-×（-1）÷（-2） 334243342 （3）-÷×（-）÷（-） （4）20÷（-4）×5+5×（-3）÷15-7 4893 例1 （1）-3 解答略． 例2 某公司去年1～3月平均每月亏损1.5万元，4～6月平均每月盈利2万元，•7～10月平均每月盈利1.7万元，11～12月平均每月亏损2.3万元．•这个公司去年总的盈亏情况如何？ 【提示】 记盈利额为正数，亏损额为负数，这个公司去年全年亏盈额（单位：万元）为： （-1.5）×3+2×3+1.7×4+（-2.3）×2=-4.5+6+6.8-4.6=3.7 即：这个公司去年全年盈利3.7万元． 例3 某商店先从每件10元的价格，购进某商品15件，又从每件12•元的价格购进35件，然后从相同的价格出售，如果商品销售时，至少要获利10%，•那么这种商品每件售价不应低于多少元． 【提示】 先求出在不获得利润的情况下这种商品的售价，然后再计算提高利润后的售价． 由题意得： 10151235×（1+10%）=12.54（元） 5011+）时，想到了一个简便方法，计算如下： 23 【答案】 这种商品每件售价不应低于12.54元． 例4 小明在计算（-6）÷（ （-6）÷（ 11+） 23亿库教育网 http://www.eku.cc 亿库教育网 http://www.eku.cc =（-6）÷ =-12-18 =-30 11+（-6）÷ 23 请问他这样算对吗？试说明理由． 【分析】 不对，因为除法没有分配律，应该是：-6÷ 5636=-6×=- 655备选例题 （2004·淮安）在如图1-4-1所示的运算流程中，若输出的数y=3，则输入的数x=_________． 输入x是否偶数否 加1 【提示】这是一道选择结构的程序计算题，需分情况讨论：如果输入数据为偶数，则根据输出结果可判断该数为6；如果输入数据不是偶数，•则根据输出结果可判断该数为5．故正确答案为5和6． 四、总结反思，拓展延伸 引导学生一起小结：①有理数的运算顺序：先乘除，后加减，有括号的先算括号；②要注意认真审题，根据题目，正确选择途径，仔细运算，注意检查，使结果无误． “二十四点”游戏中的加减乘除四则运算． 有一种“二十四点”的游戏，其游戏规则是这样的：任取四个1至13•之间的自然数，将这四个数（每个数用且只用一次）进行加减乘除四则运算，使其结果等于24，如对1、2、3、4，可作运算：（1+2+3）×4=24．（注意上述运算与4×（2+3+1）•应视作相同方法的运算） 现有四个有理数3，4，6，10，运用上述规则可以写出多种不同方法的运算式，使其结果等于24． （1）3×（4+10-6） （2）（10-4）＋3×6 （3）4+6÷3×10„ 活动设计： 初一（5）班有48名同学，将其分成12组，每组准确一副写有1至13数字的13张纸牌．活动开始，同一组内每一位同学任意抽取1张纸牌，•然后四人手中纸牌的示数（每人 是除以2输出y亿库教育网 http://www.eku.cc 亿库教育网 http://www.eku.cc 用且只用一次）用加减乘除四则运算，使其结果等于24． 比一比，30分钟内，哪一个小组得到的算式最多． 【点评】 通过这种游戏，激发同学们的兴趣，解决开放性问题，训练发散思想能力． 五、课堂跟踪反馈 1．选择题 （1）下列各数中互为倒数的是 （B） A．-5 12和211 B．-0.75和-43 C．-1和1 D．-5122和11 （2）若a （1）直接写出运算结果： （-9）× 23= -6 ，-112÷0.5= -3 ，（12+13）÷（-6）= -536 （2）若一个数的相反数是 15 ，这个数的倒数是 –5 ． （3）若a、b互为倒数，c、d互为相反数，m为最大的负整数，则 m3+ab+cd4m= （4）当x= ±3 时， 1|x|3无意义． （5）若>0，<0，则│ac│＝-ac． （6）若a=25.6，b=-0.064，c=0.1，则（-a）÷（-b）÷c=-4 000． 3．计算题 （1）（-4 2113）÷（-23）÷（-17）= -74 （2）（-5）÷（-1 27）×45×（-214）÷7= -1 （3）1÷（-1）+0÷（-5.6）-（-4.2）×（-1）= -5.2 亿库教育网 http://www.eku.cc 23 亿库教育网 http://www.eku.cc （4） 12111÷(+-)= 183626211160）÷1.4-（-8）÷（-1.4）+（+10）÷1.4= - 33321221185 （6）{2-[（1.5×2）÷-1]}÷= -22 336797 （5）（-12 4．已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，x的绝对值为1，求3x-（a+b+cd）-x． 【答案】 1或-3 5．已知a、b、c在数轴上的位置如图所示： ab0c （1）求 a12bc+- |ab||b||bc| （2）比较a+b，b+c，c-b的大小，并用“〈”将它们连接起来． 【答案】 （1）可知b<0，a<0，c>0，∴ab>0，bc<0 原式＝ a12bc112+-=--+2=2- abbbcbbb （2）可知a+b<0，b+c>0，c-b>0，且│c-b│>│b+c│，∴a+b 第十五课时 乘方 教学目标 1．通过现实背景理解有理数乘方的意义，能进行有理数乘方的运算； 2．已知一个数，会求出它的正整数指数幂，渗透转化思想； 3．培养学生观察、归纳能力，以及思考问题、解决问题的能力，切实提高学生的运算能力． 教学重点：正确理解乘方的意义，能利用乘方运算法则进行有理数乘方运算； 教学难点：准确建立底数、指数和幂三个概念，并能求幂的运算； [教学过程设计] 一、创设情境，导入新课 亿库教育网 http://www.eku.cc 亿库教育网 http://www.eku.cc 提问并引导学生回答：在小学里我们学过一个数的平方和立方是如何定义的？怎样表示？ a·a记作a2,读作a的平方（或a的2次方），即a2=a·a；a·a·a记作a3，读作a的立方（或a的3次方），即a3=a·a·a．（分别是边长为a的正方形的面积与棱长为a的正方体的体积） 二、合作交流，解读探究 （多媒体演示细胞分裂过程）某种细胞，每过30分钟便由1个分裂成2个，经过5小时，这种细胞由1个分裂成多少个？ 1个细胞30分钟分裂成2个，1个小时后分裂成2×2个，1．5小时后分裂成2×2×2个，„，5小时后要分裂10次，分裂成2×2×2ׄ×2=1024个 10个2 为了简便可将2×2×2ׄ×2记作2． 10个2 一般地，n个相同的因数a相乘，即a·a·„·a，记作an，读作a的n次方． 求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂．在an中，a叫做底数，n叫做指数，当an看作a的n次方的结果时，也可读作a的n次幂． 说明：（1）举例94说明概念及读法； （2）一个数可以看作这个数本身的一次方，通常省略指数1不写； （3）因为an就是n个a相乘，所以可以利用有理数的乘法运算来进行有理数的乘方运算； （4）乘方是一种运算，幂是乘方运算的结果． 三、应用迁移，巩固提高 例1 （1）（－4）3； （2）（－2）4； （3）－24． 强调：（1）计算时仍然是要先确定符号，再确定绝对值； （2）注意（－2）4与－24的区别． 根据有理数的乘法法则得出有理数乘方的符号规律： 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； 正数的任何次幂都是正数，0的任何次幂都是0． 例2 计算： （1）（ 10 2322）； （2）（－）3； （3）（－）4； 333亿库教育网 http://www.eku.cc 亿库教育网 http://www.eku.cc 242222 （4）－； （5）－2×（－3）； （6）－2+（－3）． 3例3 教材P50例2． 四、总结反思，拓展延伸 1．教材P51练习1，2； 2．补充练习 （1）在（－2）6中，指数为 ，底数为 ． （2）在－26中，指数为 ，底数为 ． （3）若a2=16，则a= ． （4）平方等于本身的数为 ，立方等于本身的数为 ． 11）×4= ． 5611（6）在（－2）5，（－3）5，（－）5，（－）5中，最大的数是 ． 23（5）计算（－1 （7）下列说法正确的是（ ） A．平方得9的数是3 B．平方得－9的数是－3 C．一个数的平方只能是正数 D．一个数的平方不能是负数 （8）下列运算正确的是（ ） A．－24=16 B．－（－2）2=－4 C．（－ 12111）=－ D．（－）2=－ 3924（9）下列各组数中，不相等的是（ ） A．（－3）2与－32 B．（－3）2与32 C．（－2）3与－23 D．2与2 （10）下列各式计算不正确的是（ ） A．（－1）2003=－1 B．－12002=1 C．（－1）2n=1（n为正整数） D．（－1）2n+1=－1（n为正整数） （11）计算（－2）2002+（－2）2003所得的结果为（ ） A．－2 B．－22002 C．22002 D．－22003 （12）下列各数表示正数的是（ ） 33亿库教育网 http://www.eku.cc 亿库教育网 http://www.eku.cc A．a1 B．（a－1）2 C．－（－a） D． 1 a（13）用计算器计算下列各式，将结果填写在横线上． 112= ，1112= ，1 1112= ． 不用计算器，你能直接写出111 1112的结果吗？ 五、课堂小结 （1）引导学生作知识小结：理解有理数乘方的意义，运用有理数乘方运算法则进行有理数乘方的运算，熟知底数、指数、和幂三个基本概念． （2）教师扩展：首先，有理数的乘方就是几个相同因数积的运算，可以运用有理数乘方法则进行符号的确定和幂的求值．乘方的含义：①表示一种运算；②表示运算的结果．乘方的读法：①当an表示运算时，读作a的n次方；②当an表示运算结果时，读作a的n次幂．乘方的符号法则：①正数的任何次幂都是正数；②零的任何次幂都是零；③负数的偶次幂是正 bnbn数，奇次幂是负数．注意（－a）与－a及（）与的区别和联系． aan n 六、课堂跟踪反馈 1．教材P56中1，2． 2．补充 （1）试一试从1开始你能迅速连续说出多少正整数的平方？ （2）计算： 55525252①（）×（－）×（－），－（－），－； 22222②（－1）2003，3×2，－4×（－4），－2÷（－2）； 2 2 2 3 3 ③（－1）－1； ④ n 1144 （2）×2，； 33⑤（－103）÷25，（－10÷25）3； ⑥（－12÷4）2，（－12）÷42； ⑦－3×（－（3）填空： 亿库教育网 http://www.eku.cc 2 1212 ），[－3×（－）] ． 33亿库教育网 http://www.eku.cc ①如果a＜0，那么a7 0；②如果a5＞0，那么a 0； ③如果a＜0，那么a6 0；④如果a4＞0，且－a＞0，那么a5 0． （4）化简： （－1）n，与（－1）n+1． 第十六课时 有理数的混合运算（复习） 教学目标 1．了解有理数混合运算的意义，掌握有理数的混合运算法则及运算顺序； 2．能够熟练地进行有理数的加、减、乘、除、乘方的运算，并在运算过程中合理使用运算率； 3．培养学生对数的感觉，提高学生正确运算的能力，培养 学生思维的逻辑性和灵活性，进一步发展学生的思维能力． 教学重点：有理数的混合运算顺序是确定的； 教学难点：根据有理数的混合运算顺序，正确地进行有理数的混合运算； 教学过程设计 一、有理数的混合运算 （一）运算顺序 1．先乘方，再乘除，最后加减； 2．同级运算，从左到右进行； 3．如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 例1 计算： （1）（－2）3+（－3）×[（－4）2+2]－（－3）÷（－2）； 2 （2）1－ 1221134 ×[3×（－）－（－1）]+÷（－）． 2342强调：按有理数混合运算的顺序进行运算，在每一步运算中，仍然是要先确定结果的符号， 亿库教育网 http://www.eku.cc 亿库教育网 http://www.eku.cc 再确定符号的绝对值． 例2 观察下面三行数： －2，4，－8，16，－32，64，„；① 0，6，－6，18，－30，66，„；② －1，2，－4， 8，－16，32，„．③ （1）第①行数按什么规律排列？ （2）第②③行数与第①行数分别有什么关系？ （3）取每行数的第10个数，计算这三个数的和． 2b1a例3 已知a=－，b=4，求（）2－2－（ab）3+a3b的值． 22（二）课堂练习 1．教材第52页练习； 2．计算： （1）122－ 13210101 +（－1）－×（0．5－）÷； 23922（2）1÷（1 16）×（－）÷（－12）； 67（3）（－2）3+3×（－1）2－（－1）4； 1133322（）]（）（）（1）； 4285311（22）（5）5÷[]×6． 32（4）[2 xy23．若x2(y3)0，求的值． 2x3y24．已知A=a+a2+a3+„+a2004，若a=1，则A等于多少？若a等于－1，则A等于多少？ 二、小结 1．注意有理数的混合运算顺序，要熟练进行有理数混合运算； 2．在运算中要注意象－72与（－7）2等这类式子的区别． 三、课后作业 教材第56页3，第57页7，8，11． 第十七课时 科学记数法 亿库教育网 http://www.eku.cc 亿库教育网 http://www.eku.cc 教学目标： 1.利用10的乘方，进行科学记数，会用科学记数法表示大于10的数. 2.会解决与科学记数法有关的实际问题 3.正确使用科学记数法表示数，表现出一丝不苟的精神. 教学重点：会用科学记数法表示大于10的数 教学难点：正确使用科学记数法表示数 教学过程： 一、合作交流，解读探究 用乘方的形式，有时可方便地来表示日常生活中遇到的一些较大的数，如： 太阳的半径约696 000千米 富士山可能爆发, 这将造成至少25 000亿日元的损失 光的速度大约是300 000 000米/秒; 全世界人口数大约是6 100 000 000. 这样的大数，读、写都不方便，考虑到10的乘方有如下特点： 102 ＝100，103＝1000，104＝10000，… 一般地，10的n次幂，在1的后面有n个0，这样就可用10的幂表示一些大数，如， 6 100 000 000＝6.1×1 000 000 000＝6.1×10. 象上面这样把一个大于10的数记成a×10的形式，其中a 是整数数位只有一位的数，这种记数法叫做科学记数法. 科学记数法也就是把一个数表示成 a×10n的形式，其中0≤a＜10的数，n的值等于整数部分的位数减1. 二、应用迁移，巩固提高 例1 用科学记数法记出下列各数: (1)1 000 000；(2)57 000 000；(3)123 000 000 000 解：(1)1 000 000=1×106. (2)57 000 000=5.7×107 （3）123 000 000 000＝1.23×1011. 注意：一个数的科学记数法中，10的指数比原数的整数位数少1，如原数有6位整数，指数就是5. 说明：在实际生活中有非常大的数，同样也有非常小的数。本节课强调的是大数可以用科学记数法来表示，实际上非常小的数也同样可以用科学记数法表示，如本章引言中有1 － 纳米＝109米，意思是1米是1纳米的10亿倍，也就是说1纳米是1米的十亿分一。用表达式表示为1米＝10 －9 9n纳米，或者1纳米＝ 1910米＝米 910三、总结反思，拓展延伸 1.用科学记数法记出下列各数. (1)30060；(2)15 400 000；(3)123000. 2.下列用科学记数法记出的数，原来各是什么数? (1)2×10；(2)7.12×10；(3)8.5×10. 3．已知长方形的长为7×105mm，宽为5×104mm，求长方形的面积. 亿库教育网 http://www.eku.cc 536亿库教育网 http://www.eku.cc 4．把199 000 000用科学记数法写成1.99×10n3的形式，求n的值. 答案：1．（1）3.006×104；（2）1.54×107；（3）1.23×105. 2．（1）100000；（2）7120；（3）8500000. 3．3.5×1010mm. 4．n的值为11. － 四、课堂跟踪反馈 教科书P57习题1.5－4、5 课后选作题 1、用科学记数法表示下列各数： （1）太阳的半径约是696000千米； （2）据统计，全球每分钟约有85000吨污水排入江河湖海. 2、地球绕太阳转动每小时通过110000km，则它一昼夜通过多少千米？（用科学记数法表示） 答案：1、（1）6.96×105；（2）8.5×104. 2、2.64××106千米. 第十八课时 近似数和有效数字 教学目标： 1、理解精确度和有效数字的意义 2、要准确第说出精确位及按要求进行四舍五入取近似数 教学重点：近似数、精确度和有效数字的意义， 教学难点：由给出的近似数求其精确度及有效数字，按给定的精确或有效数一个数的近似数． 教学过程： 一、合作交流，解读探究 我们常会遇到这样的问题： (1)初一(4)班有42名同学； (2)每个三角形都有3个内角. 这里的42、3都是与实际完全符合的准确数.我们还会遇到这样的问题： (3)我国的领土面积约为960万平方千米； (4)王强的体重是约49千克. 960万、49是准确数吗?这里的960万、49都不是准确数，而是由四舍五入得来的，与实际数很接近的数. 我国的领土面积约为960万平方千米，表示我国的领土面积大于或等于959.5万平方千米而小于960.5万平方千米. 王强的体重约为49千克，表示他的体重大于或等于48.5千克而小于49.5千克. 我们把象960万、49这些与实际数很接近的数称为近似数(approximate number). 在实际问题中，我们经常要用近似数，使用近似数就有一个近似程度的问题，也是就精确度的问题. 我们都知道，3.14159···. 我们对这个数取近似数： 亿库教育网 http://www.eku.cc 亿库教育网 http://www.eku.cc 如果结果只取整数，那么按四舍五入的法则应为3，就叫做精确到个位； 如果结果取1位小数，则应为3.1，就叫做精确到十分位(或叫精确到0.1)； 如果结果取2位小数，则应为3.14，就叫做精确到百分位(或叫精确到0.01)； 一般地，一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位. 这时，从左边第一个不是0的数起，到精确到的数位止，所有的数字都叫做这个数的有效数字(significant digits). 象上面我们取3.142为的近似数，它精确到千分位(即精确到0.001)，共有4个有效数字3、1、4、2. 二、应用迁移，巩固提高 例1 按括号内的要求，用四舍五入法对下列各数取近似数： （1）0.015 8（精确到0.001） （2）30 435（保留3个有效数字） （3）1.804（保留2个有效数字） （4）1.804（保留3个有效数字） 解：（1）0.015 8≈0.016； （2）30 435≈3.04×104； （3）1.804≈1.8； （4）1.804≈1.80 注意：（2）不能写成30 400，这样是有5个有效数字，像这样的数保留几位有效数字一般要用科学计算法，或3.04万 例2 下列由四舍五入法得到的近似数，各精确到哪一位?各有哪几个有效数字? (1)132.4；(2)0.0572；(3)2.40万 解：(1)132.4精确到十分位(精确到0.1)，共有4个有效数字1、3、2、4； (2)0.0572精确到万分位(精确到0.0001)，共有3个有效数字5、7、2； (3)2.40万精确到百位，共有3个有效数字2、4、0. 注意 由于2.40万的单位是万，所以不能说它精确到百分位. 注意 (1)例2的(3)中，由四舍五入得来的1.50与1.5的精确度不同，不能随便把后面的0去掉； 三、总结反思，拓展延伸 1．请你列举出生活中准确值和近似值的实例. 2．下列各题中的数，哪些是精确数？哪写是近似数？ （1）东北师大附中共有98个教学班； （2）我国有13亿人口. 3．用四舍五入法，按括号里的要求对下列各数取近似值： （1）0.65148 （精确到千分位）； （2）1.5673 （精确到0.01）； （3）0.03097 （保留三个有效数字）； （4）75460 （保留一位有效数字）； （5）90990 （保留二位有效数字）. 4．下列由四舍五入得到的近似数，各精确到哪一位？各有几个有效数字？ （1）54.8；（2）0.00204；（3）3.6万. 答案：1．略. 2．（1）精确值；（2）近似值. 亿库教育网 http://www.eku.cc 亿库教育网 http://www.eku.cc 3．（1）0.65148 ≈0.651；（2）1.5673≈1.57；（3）0.03097≈0.0310；（4）75460≈8×104；（5）90990≈9.1×104. 4．（1）精确到个十分位，有3个有效数字；（2）精确到千万分位，有3个有效数字；（3）精确到千位，有2个有效数字. 四、课堂跟踪反馈 1．下列由四舍五入得到的近似数各精确到哪一位？各有几位有效数字？ （1）32； （2）17.93； （3）0.084； （4）7.250； （5）1.35×104； （6）0.45万； （7）2.004； （8）3.1416. 2．23.0是由四舍五入得来的近似数，则下列各数中哪些数不可能是真值？ ①23.04 ②23.06 ③22.99 ④22.85 答案：1．（1）精确到个位，有两位有效数字； （2）精确到百分位，有四位有效数字； （3）精确到千分位，有两位有效数字； （4）精确到千分位，有四位有效数字； （5）精确到百位，有三位有效数字； （6）精确到百位，有两位有效数字； （7）精确到千分位，有四位有效数字； （8）精确到万分位，有五位有效数字. 2．②和④. 亿库教育网 http://www.eku.cc 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容