二次函数中的面积计算问题(包含铅垂高)

二次函数中的面积计算问题

[典型例题] 例.如图，二次函数yxbxc图象与x轴交于A,B两点(A在B的左边)，与y轴交于点C，顶点为M，MAB为直角三角形,图象的对称轴为直线x2，点P是抛物线上位于A,C两点之间的一个动点，则PAC的面积的最大值为（C） A．2271127B．C．D．3 428yC二次函数中面积问题常见类型： 一、选择填空中简单应用 二、不规则三角形面积运用S= 三、运用 四、运用相似三角形 AMBOx第10题 五、运用分割方法将不规则图形转化为规则图形 例1.如图1，已知：正方形ABCD边长为1，E、F、G、H分别为各边上的点，且AE=BF=CG=DH,设小正方形EFGH的面积

为s，AE为x，则s关于x的函数图象大致是 （B） 例2.解答下列问题： 如图1，抛物线顶点坐标为点C(1，4)，交x轴于点A(3，0)，交y轴于点B. （1）求抛物线和直线AB的解析式； （2）求△CAB的铅垂高CD及S△CAB； (D) 图 91 （3）设点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，是否存在一点P，使S△PAB＝S△CAB，若存在，求出P点

8的坐标；若不存在，请说明理由.

y 思路分析 C h B 此题是二次函数中常见的面积问题，方法不唯一，可以用割补法，但有些繁琐，如图2我们可得出一种计算三角B 形面积的新方法：D .掌握这个公式后，思路直接，过程较SABCah即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半水平宽 21 a 为简单，计算量相对也少许多， 图2 x O 1 A 2答案:（1）由已知，可设抛物线的解析式为y1＝a(x－1)＋4(a≠0)．把A(3，0)代入解析式求得a＝－1， ∴抛物线的解析式为y1＝－(x－1)＋4，即y1＝－x＋2x＋3． 图1 设直线AB的解析式为y2＝kx＋b，

由y1＝－x＋2x＋3求得B点的坐标为(0，3)．把A(3，0)，B(0，3)代入y2＝kx＋b，解得k＝－1，b

＝3．

∴直线AB的解析式为y2＝－x＋3． （2）∵C(1，4)，∴当x＝1时，y1＝4，y2＝2．

∴△CAB的铅垂高CD＝4－2＝2．

页脚内容

2

22C A 铅垂高 1精心整理

S△CAB＝

1×3×2＝3(平方单位)． 2（3）解：存在．

设P点的横坐标为x，△PAB的铅垂高为h． 则h＝y1－y2＝(－x＋2x＋3)－(－x＋3)＝－x＋3x 22y C B D 1 O 1 图2 2919由S△PAB＝S△CAB得：×3×(－x2＋3x)＝×3． 828整理得4x－12x＋9＝0，解得x＝把x＝2P 3． 23152代入y1＝－x＋2x＋3，得y1＝． 24315，)． 24A x ∴P点的坐标为(例3.（贵州省遵义市）如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的顶点坐标分别为A（0，2），O（0，0），B（4，0），把△AOB绕点O逆时针方向旋转90°得到△COD（点A转到点C的位置），抛物线y＝ax＋bx＋c(a≠0)经过C、D、B三点．

（1）求抛物线的解析式； （2）若抛物线的顶点为P，求△PAB的面积； （3）抛物线上是否存在点M，使△MBC的面积等于△PAB的面积？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． y 思路分析:根据题目所给信息，函数关系式和△PAB的面积很容易求出。第（3）问是二次函数中常见的动点问题，5 由于点M是抛物线上的一个不确定点，点M可以处于不同的位置，是由于点的不确定性而导致图形的形状发生特4 征上的变化，故而用分类讨论的思想解决问题。 3 答案:（1）由题意知C（－2，0），D（0，4）． 2 A ∵抛物线经过B（4，0），C（－2，0）．∴可设抛物线的解析式为y＝a(x＋2)(x－4) 1 B 1将D（0，4）代入上式，解得a＝－-．3 -2 -1 O 1 2 3 4 5 x 2-1 y 15 P ∴该抛物线的解析式为y＝－(x＋2)(x－4) E 24 即y＝－（2）∵y＝－12x＋x＋4． 23 2 A 1 -3 -2 -1 O -1 1 2 3 B 4 5 x 12192x＋x＋4＝－(x－1)＋． 2229）． 2∴抛物线的顶点P的坐标为（1，过点P作PE⊥y轴于点E，如图． 则S△PAB＝S四边形PEOB－S△AOB－S△PEA

＝

11919×(1＋4)×－×4×2－×(－2)×1＝6．

222221|y|×6＝S△PAB＝6 2（3）假设存在这样的点M，其坐标为M（x，y）．

则S△MBC＝即

页脚内容

1|y|×6＝6，∴y＝±2． 2精心整理

当y＝2时，－

192

(x－1)＋＝2，解得x＝15； 22192

(x－1)＋＝－2，解得x＝113． 22当y＝－2时，－

∴存在点M，使△MBC的面积等于△PAB的面积，其坐标为：

M1（1＋5，2），M2（1－5，2），M3（1＋13，－2），M4（1－13，－2）．

例4．如图，抛物线与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，且x1＞x2，与y轴交于点C（0，4），其中x1，x2是方程x－2x－8＝0的两个根． （1）求这条抛物线的解析式； （2）点P是线段AB上的动点，过点P作PE∥AC，交BC于点E，连接CP，当△CPE的面积最大时，求点P的坐标； （3）探究：若点Q是抛物线对称轴上的点，是否存在这样的点Q，使△QBC成为等腰三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 解：（1）解方程x－2x－8＝0，得x1＝－2，x2＝4． 22y C ∴A（4，0），B（－2，0）．∵抛物线与x轴交于A，B两点，∴可设抛物线的解析式为y＝a(x＋2)(xE －4)（a≠0） 又∵抛物线与y轴交于点C（0，4），∴a×2×(－4)＝4，∴a＝－112∴抛物线的解析式为y＝－(x＋2)(x－4)，即y＝－x＋x＋4 22（2）设点P的坐标为（m，0），过点E作EG⊥x轴于点G，如图． ∵A（4，0），B（－2，0），∴AB＝6，BP＝m＋2． ∵PE∥AC，∴△BPE∽△BAC． ∴B 1． 2O P A x y C E EGBPEGm＋22m＋4，∴，∴EG＝ ＝＝COAB463∴S△CPE＝S△CBP－S△BPE 11＝BP·CO－BP·EG 22＝B G O P A x 12m＋4(m＋2)(4－) 23＝－12(m－1)＋3 3又∵－2≤m≤4，∴当m＝1时，S△CPE有最大值3． 此时点P的坐标为（1，0）

（3）存在这样的点Q，使△QBC成为等腰三角形，点Q的坐标为：

4＋19)，Q5(1，4－19) －11)，Q4(1，Q1(1，1)，Q2(1，11)，Q3(1，

设点Q的坐标为（1，n）．

∵B（－2，0），C（0，4），∴BC＝(－2)＋4＝20． ①当QB＝QC时，则QB＝QC．

页脚内容

C Q2 2

2

2

2

2

y Q4 Q 精心整理

即(－2－1)＋y＝(－1)＋(4－y)，∴y＝1． ∴Q1(1，1)

②当BC＝BQ时，则BQ＝BC． 即(－2－1)＋y＝20，∴y＝11． ∴Q2(1，11)，Q3(1，－11)． ③当QC＝BC时，则QC＝BC． 即1＋(4－y)＝20，∴y＝419．

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

4＋19)，Q5(1，4－19)． ∴Q4(1，

例5．如图1，抛物线y＝x－2x＋k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，－3）．（图2、图3为解答备用图） （1）k＝_____________，点A的坐标为_____________，点B的坐标为_____________； （2）设抛物线y＝x－2x＋k的顶点为M，求四边形ABMC的面积； （3）在x轴下方的抛物线上是否存在一点D，使四边形ABDC的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由； （4）在抛物线y＝x－2x＋k上求点Q，使△BCQ是以BC为直角边的直角三角形． y y y 解：（1）－3，（－1，0），（3，0）； （2）连结OM，如图1． ∵y＝xA x＋k＝(x－x 1)－4 －2O B C 22222

y A C O B x A C O B x A O B x ∴抛物线的顶点M的坐标为（1，－4）． S四边形ABMC＝S△AOC＋S△COM＋S△MOB 图1 ×1×3＋＝＝9 说明：也可过点M作抛物线的对称轴，将四边形ABMC的面积转化为求 一个梯形与两个直角三角形面积的和． （3）设D（m，m－2m－3），连结OD，如图2． 则0＜m＜3，m－2m－3＜0． S四边形ABDC＝S△AOC＋S△COD＋S△DOB A C D O B x 2212112 ×3×1＋×3图×4 22图3 C M 图1 y 1113292×1×3＋×3×m＋×3×[－(m－2m－3)]＝－m＋m＋6 2222233275． ＝－(m－)＋

228＝图2

Q1 y E 3时，四边形ABDC的面积最大． 2323152

此时m－2m－3＝()－2×－3＝－．

224315∴存在点D（，－），使四边形ABDC的面积最大．

24当m＝（4）有两种情况：

如图3，过点B作BQ1⊥BC，交抛物线于点Q1、交y轴于点E，连接Q1C．

页脚内容

A C O B x 图3

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∵在Rt△COB中，OB＝OC＝3，∴∠CBO＝45°，∴∠EBO＝45°，OB＝OE＝3． ∴点E的坐标为（0，3）． ∴直线BE的解析式为y＝－x＋3．

x1 ＝ －2x2 ＝ 32

令－x＋3＝x－2x－3，解得，

y ＝ 0y ＝ 521∴点Q1的坐标为（－2，5）． 如图4，过点C作CF⊥CB，交抛物线于点Q2、交x轴于点F，连接BQ2． ∵∠CBO＝45°，∴∠CFB＝45°，∴OF＝OC＝3． ∴点F的坐标为（－3，0）． ∴直线CF的解析式为y＝－x－3． F A C Q2 O B x y x1＝1x2＝02令－x－3＝x－2x－3，解得， y＝－4y＝－312∴点Q2的坐标为（1，－4）． 2图4 综上所述，在抛物线y＝x－2x－3上，使△BCQ是以BC为直角边的直角三角形的点Q有两个，分别是：Q1（－2，5）

和Q2（1，－4）． [精选练习] 1.如图，AB为半圆的直径，点P为AB上一动点，动点P从点A出发，沿AB匀速运动到点B，运动时间为t，分别以AP于PB为直径做半圆，则图中阴影部分的面积S与时间t之间的函2．如图，已知A、B是反比例函数数图像大致为（） y C B A P M （第2题图） x 两点，BC∥x轴，交“→”所示路线）匀N。设四边形OMPNyk（k＞0，x＜0）图象上的xy轴于点C。动点P从坐标原点O出发，沿O→A→B→C（图中速运动，终点为C。过P作PM⊥x轴，PN⊥y轴，垂足分别为M、的面积为S，P点运动时间为t，则S关于t的函数图象大致为 S S S S N O O A． t O B． t O C． t O D． t 3.如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠ACB=90°，AB=AD，AC=4BC， 设CD的长为x，四边形ABCD的面积为y，则y与x之间的函数关系式是 A D

B C

(第3题)

4.如图，两条抛物线y1=-阴影部分的面积为

121χ+1、y2=χ2-1与分别经过点（-2，0），（2，0）且平行于y轴的两条平行线围成的225．如图，在直角坐标系中，点A的坐标为(－2，0)，连结OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB．

（1）求点B的坐标； 页脚内容

精心整理

（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；

（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．

（4）如果点P是（2）中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积；若没有，请说明理由．

y 6.如图，抛物线y＝－x＋bx＋c与x轴交于A(1，0)，B(－3，0)两点． 2（1）求该抛物线的解析式； （2）设（1）中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，B 求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由； （3）在（1）中的抛物线上的第二象限内是否存在一点P，使△PBC的面积最大？，若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若不存在，请说明理由．

2A （1）求此抛物线的解析式． O x y 7．如图，已知抛物线y＝ax＋bx－4与直线y＝x交于点A、B两点，A、B的横坐标分别为－1和4． C （2）若平行于y轴的直线x＝m（0＜m＜5＋1）与抛物线交于点M，与直线y＝x交于点N，交x轴于点P，求线段MN的长（用含m的代数式表示）． （3）在（2）的条件下，连接OM、BM，是否存在m的值，使得△BOM的面积S最大？若存在，请求出m的值，y 若不存在，请说明理由． B A xx ＝m O 2y＝x 8．已知二次函数y＝x＋ax＋a－2． （1）求证：不论a为何实数，此函数图象与x轴总有两个交点； （2）设a＜0，当此函数图象与x轴的两个交点的距离为13时，求出此二次函数的解析式； N B （3）若此二次函数图象与x轴交于A、B两点，在函数图象上是否存在点P，使得△PAB的面积为O P 求出P点坐标；若不存在，请说明理由． A 9．已知：t1，t2是方程t＋2t－24＝0，的两个实数根，且t1＜t2，抛物线y＝（0，t2）． （1）求这个抛物线的解析式； 2313？若存在，2x 22x＋bx＋c的图象经过点A（t1，0），B3M （2）设点P（x，y）是抛物线上一动点，且位于第三象限，四边形OPAQ是以OA为对角线的平行四边形，求□OPAQ的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （3）在（2）的条件下，当□OPAQ的面积为24时，是否存在这样的点P，使□OPAQ为正方形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由． y 210．如图，已知抛物线y＝ax＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．其中点A在x轴的负半轴上，点C在

y轴的负半轴上，线段OA、OC的长（OA＜OC）是方程x－5x＋4＝0的两个根，且抛物线的对称轴是直线x＝1．

（1）求A、B、C三点的坐标； （2）求此抛物线的解析式； （3）若点D是线段AB上的一个动点（与点A、B不重合），过点D作DE∥BC交AC于点E，连结CD，设BD的

A O x 长为m，△CDE的面积为S，求S与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围．S是否存在最大值？若存在，求出最大值并求此时D点坐标；若不存在，请说明理由． 11．如图，在梯形ABCD中，DC∥AB，∠A＝90°，AD＝6厘米，DC＝4厘米，BC的坡度i＝3:4．动点P从A出发以2厘米/秒的速度沿AB方向向点B运动，动点Q从点B出发以3厘米/秒的速度沿B→C→D方向向点D运动，两个动点同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止．设动点运动的时间为t秒． A O D B （1）求边BC的长； x （2）当t为何值时，PC与BQ相互平分； 页脚内容

E C P Q B 2y 精心整理

（3）连结PQ，设△PBQ的面积为y，探求y与t的函数关系式， 求t为何值时，y有最大值？最大值是多少？

2

DC12．如图①，已知抛物线y＝ax＋bx＋3（a≠0）与x轴交于点A(1，0)和点B(－3，0)，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式；

Q（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；

BA（3）如图②，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时EP点的坐标． y y 213．如图，已知抛物线y＝a(x－1)＋33(a≠0)经过点A(－2，0)，抛物线的顶点为D，过O作射线OM∥AD．过顶点D平行于x轴的直线交射线OM于点C，B在x轴正半轴上，连结BC． C （1）求该抛物线的解析式； 为何值时，四边形DAOP分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？ （3）若OC＝OB，动点P和动点QM 分别从点O和点1个长度单位和B A B同时出发，分别以每秒B A 2个长度单位的速度x x O O 沿OC和BO运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t（s），连接PQ，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小？并求出最小值及此时PQ的长．

y M C （2）若动点P从点O出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM运动，设点P运动的时间为t（s）．问：当t

（图①） （图②） D 3C 14．如图，△OAB是边长为2的等边三角形，过点A的直线y＝x＋m与x轴交于点E． －3（1）求点E的坐标； （2）求过A、O、E三点的抛物线解析式； （3）若点P是（2）中求出的抛物线AE段上一动点（不与A、E重合），设四边形OAPE的面积为S，求S的最P x A 大值． y O Q B 15．已知二次函数的图象经过A（2，0）、C(0，12)两点，且对称轴为直线x=4.设顶点为 点P，与x轴的另一交点为点B. （1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标； 请说明理由； x 2个单位长度的速度由点P向点O运动，（3）如图2，点M是线段OP上的一个动点（O、P两点除外），以每秒O B E 过点M作直线MN∥x轴，交PB于点N.将△PMN沿直线MN对折，得到△P1MN.在动点M的运动过程中，设△P1MN与梯形OMNB的重叠部分的面积为S，运动时间为t秒.求S关于t的函数关系式.

A （2）如图1，在直线y=2x上是否存在点D，使四边形OPBD为等腰梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，二次函考答案

y y 数中的面积计算问题参1.D2.A3.yC C 22x4.8 5由旋转性质知OB

5.解：（1）如图1，过点B作BM⊥x轴于M．

＝OA＝2． O A B P x O A M P B ∠BOM＝N x 60°． ∵∠AOB＝120°，∴

∴OM＝OB·cos60°

图1 页脚内容

图2 精心整理 ＝2×

31＝1，BM＝OB·sin60°＝2×＝3．

22∴点B的坐标为(1，3)．

（2）设经过A、O、B三点的抛物线的解析式为y＝ax＋bx＋c ∵抛物线过原点，∴c＝0．

2

3a4a2b03∴解得 ab323b3∴所求抛物线的解析式为y＝（3）存在． 如图2，连接AB，交抛物线的对称轴于点C，连接OC． ∵OB的长为定值，∴要使△BOC的周长最小，必须BC＋OC的长最小． ∵点A与点O关于抛物线的对称轴对称，∴OC＝AC． ∴BC＋OC＝BC＋AC＝AB． 由“两点之间，线段最短”的原理可知：此时BC＋OC最小，点C的位置即为所求． 设直线AB的解析式为y＝kx＋m，将A(－2，0)，B(1，3)代入，得 y 3223x＋x． 33k2km0解得km3m33233 B C A O x ∴直线AB的解析式为y＝323x＋． 33233抛物线的对称轴为直线x＝＝－1，即x＝－1． 323将x＝－1代入直线AB的解析式，得y＝∴点C的坐标为(－1，（4）△PAB有最大面积．

如图3，过点P作y轴的平行线交AB于点D． ∵S△PAB＝S△PAD＋S△PBD

＝＝

图2 3233． ×(－1)＋＝3333)． 3y 1(yD－yP)(xB－xA) 232332231[(x＋x＋x)](1＋2) )－(33332A P 图3 D O B 页脚内容

x 精心整理

＝－＝－

∴当x＝－此时yP＝

∴此时P点的坐标为(－

323x－x＋3 2231293 (x＋)＋

282931时，△PAB的面积有最大值，最大值为．

823312231． ×(－)＋×(－)＝－

3342231，)． －

422

6.解：（1）将A(1，0)，B(－3，0)代入y＝－x＋bx＋c得

－1＋b＋c＝0b＝－2解得 －9－3b＋c＝0c＝3∴该抛物线的解析式为y＝－x－2x＋3． （2）存在． 该抛物线的对称轴为x＝－2－2＝－1 2(－1)∵抛物线交x轴于A、B两点，∴A、B两点关于抛物线的对称轴x＝－1对称． y 由轴对称的性质可知，直线BC与x＝－1的交点即为所求的Q点，此时△QAC的周长最小，如图1． 将x＝0代入y＝－x－2x＋3，得y＝3． ∴点C的坐标为(0，3)． 设直线BC的解析式为y＝kx＋b1， 将B(－3，0)，C(0，3)代入，得 B O A Q 2C －3k＋b1＝0k＝1解得 b＝3b＝311∴直线BC的解析式为y＝x＋3． x 图1 x＝－1x＝－1联立解得 y＝x＋3y＝2∴点Q的坐标为(－1，2)． （3）存在． 设P点的坐标为（x，－x－2x＋3）（－3＜x＜0），如图2． ∵S△PBC＝S四边形PBOC－S△BOC＝S四边形PBOC－

2

19×3×3＝S四边形PBOC－ 22当S四边形PBOC有最大值时，S△PBC就最大． ∵S四边形PBOC＝SRt△PBE＋S直角梯形PEOC

＝＝

11BE·PE＋(PE＋OC)·OE 221122

(x＋3)(－x－2x＋3)＋(－x－2x＋3＋3)(－x) 22P y C 页脚内容

Q B A 精心整理

＝－

当x＝－

332927(x＋)＋＋ 22283927时，S四边形PBOC最大值为＋． 228927927． ＋－＝

2828∴S△PBC最大值＝当x＝－

∴点P的坐标为(－

3323152

时，－x－2x＋3＝－(－)－2×(－)＋3＝． 2224315，) 242

7.解：（1）由题意知A（－1，－1），B（4，4），代入y＝ax＋bx－4，得

a － b － 4 ＝ － 1a ＝ 1解得 16a ＋ 4b － 4 ＝ 4b ＝ －2∴所求抛物线的解析式为y＝x－2x－4 ····················· 3分 由x＝m和y＝x，得交点N（m，m） 同理可得M（m，m－2m－4），P（m，0） ∴PN＝|m|，MP＝|m－2m－4| ∵0＜m＜5＋1 ∴MN＝MP＋PN＝m－m＋2m＋4＝－m＋3m＋4 （3）过B作BC⊥MN于C 则BC＝4－m，OP＝m ∴S＝S△MON＋S△BMN＝222222y x＝m C N B y＝x O A P x M 111MN·OP＋MN·BC＝MN(OP＋BC) 222＝2(－m＋3m＋4) ＝－2(m－∵－2＜0 ∴当m＝3225)＋ 223时，S有最大值 2228.解：（1）∵△＝a－4(a－2)＝(a－2)＋4＞0 ∴不论a为何实数，此函数图象与x轴总有两个交点． （2）设x1、x2是y＝x＋ax＋a－2＝0的两个根 则x1＋x2＝－a，x1x2＝a－2．

∵此函数图象与x轴的两个交点的距离为13，∴(x1－x2)＝13．

即(x1＋x2)－4x1x2＝13．∴(－a)－4(a－2)＝13，整理得(a＋1)(a－5)＝0，解得a＝－1或a＝5． ∵a＜0，∴a＝－1．

∴此二次函数的解析式为y＝x－x－3． （3）设点P的坐标为（xp，yp）

∵函数图象与x轴的两个交点的距离为13，∴AB＝13．

2

2

2

2

2页脚内容

精心整理

∴S△PAB＝

313131AB·|yp|＝，即

2222

·|yp|＝

313． 2∴|yp|＝3，∴yp＝±3．

当yp＝3时，xp－xp－3＝3，解得xp＝－2或xp＝3； 当yp＝－3时，xp－xp－3＝－3，解得xp＝0或xp＝1． 综上所述，在函数图象上存在点P，使得△PAB的面积为

2

313，P点坐标为： 2P1（－2，3），P2（3，3），P3（0，－3）或P4（1，－3）．

9.解：（1）由t＋2t－24＝0，解得t1＝－6，t2＝4．

∵t1＜t2，∴A（－6，0），B（0，4）． ∵抛物线y＝2

22x＋bx＋c的图象经过点A，B两点 31424－6b＋c ＝ 0b ＝ ∴解得3 c ＝ 4c ＝ 42214∴这个抛物线的解析式为y＝x＋x＋4． 33（2）∵点P（x，y）在抛物线上，且位于第三象限，∴y＜0，即－y＞0． 又∵S＝2S△APO＝2×∴S＝－6y分 ＝－6(1×|OA|·|y|＝|OA|·|y|＝6|y| 22214722x＋x＋4)＝－4(x＋7x＋6)＝－4(x＋)＋25 3322214x＋x＋4＝0，解得x1＝－6，x2＝－1． 33令y＝0，则∴抛物线与x轴的交点坐标为（－6，0）、（－1，0） ∴x的取值范围为－6＜x＜－1． （3）当S＝24时，得－4(x＋72)＋25＝24，解得：x1＝－4，x2＝－3． 2代入抛物线的解析式得：y1＝y2＝－4． ∴点P的坐标为（－3，－4）、（－4，－4）． 当点P为（－3，－4）时，满足PO＝PA，此时，□OPAQ是菱形． 当点P为（－4，－4）时，不满足PO＝PA，此时，□OPAQ不是菱形

要使□OPAQ为正方形，那么，一定有OA⊥PQ，OA＝PQ，此时，点的坐标为（－3，－3），而（－3，－3）不在抛物线y＝

2214x＋x＋4上，故不存在这样的点P，使□OPAQ为正方形． 332

10．解：（1）∵OA、OC的长是方程x－5x＋4＝0的两个根，OA＜OC．

∴OA＝1，OC＝4．

∵点A在x轴的负半轴，点C在y轴的负半轴 ∴A（－1，0），C（0，－4）． ∵抛物线y＝ax＋bx＋c的对称轴为x＝1

页脚内容

2

精心整理

∴由对称性可得B点坐标为（3，0）．

∴A、B、C三点的坐标分别是：A（－1，0），B（3，0），C（0，－4）． （2）∵点C（0，－4）在抛物线y＝ax＋bx＋c图象上，∴c＝－4．

将A（－1，0），B（3，0）代入y＝ax＋bx－4得

2

2

4a ＝ a － b － 4 ＝ 03 解得9a ＋ 3b － 4 ＝ 0b ＝ －83428∴此抛物线的解析式为y＝x－x－4． 33（3）∵BD＝m，∴AD＝4－m． 在Rt△BOC中，BC＝OB＋OC＝3＋4＝25，∴BC＝5． ∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC． 22222y A F O D B x E C DEADDE4－m，即． ＝＝BCAB5420－5m∴DE＝． 4∴ 过点E作EF⊥AB于点F，则sin∠EDF＝sin∠CBA＝∴OC4＝． BC5EF44420－5m＝，∴EF＝DE＝×＝4－m． DE5554 ∴S＝S△CDE＝S△ADC－S△ADE 11(4－m)×4－(4－m)(4－m) 2212＝－m＋2m 212＝－(m－2)＋2（0＜m＜4）． 21∵－＜0 2＝∴当m＝2时，S有最大值2． 此时OD＝OB－BD＝3－2＝1． ∴此时D点坐标为（1，0）． 11.解：（1）如图1，过C作CE⊥AB于点E，则四边形AECD为矩形． ∴AE＝CD＝4，CE＝DA＝6．

CE3又∵i＝3:4，∴＝．

EB4∴EB＝8，AB＝12．在Rt△CEB中，由勾股定理得：

22BC＝CE＋EB＝10．

DCQAPE图1

FB（2）假设PC与BQ相互平分．

∵DC∥AB，∴四边形PBCQ是平行四边形（此时Q在CD），如图2．∴CQ＝BP，即3t－10＝12－2t． 解得t＝

页脚内容

2222，即t＝秒时，PC与BQ相互平分． 55精心整理

（3）①当Q在BC上，即0≤t＜

103时 DQ如图1，过Q作QF⊥AB于点F，则CE∥QF． ∴

QFBQCE＝BC，即QF3t9t6＝

10，QF＝5． ∴S119△PBQ＝

2PB·QF＝2(12－2t)·t5 A＝－92545t＋

5t． 即y＝－

95t2＋545t．∵y＝－95t2＋545t＝－95(t－3)2＋815 ∴当t＝3秒时，y有最大值为815厘米2 ②当Q在CD上，即103≤t≤143时 S1△PBQ＝2PB·CE＝12(12－2t)×6 ＝36－6t． 即y＝36－6t．此时y随t的增大而减小． 故当t＝103秒时，y有最大值为36－6×1023＝16厘米． 综合①②，得y与t的函数关系式如下： 95t2545t（0≤t＜103） y＝ 6t36（10≤t≤14） 33∵815＞16，∴当t＝3秒时，y有最大值为815厘米2． 12解：（1）由题意得a ＋ b ＋ 3 ＝ 09a － 3b ＋ 3 ＝ 0解得a ＝－12b ＝－2∴所求抛物线的解析式为y＝－x－2x＋3； （2）存在符合条件的点P，其坐标为P(－1，10)或P(－1，

－10) 或P(－1，6)或P(－1，53)；

（3）解法一：

过点E作EF⊥x轴于点F，设E(m，－m2

－2m＋3)（－3＜a＜0）则EF＝－m2

－2m＋3，BF＝m＋3，OF＝－m． ∴S四边形BOCE＝S△BEF＋S梯形FOCE

＝

112BF·EF＋2(EF＋OC)·OF 页脚内容

CPB图2

y E C B A F O x 精心整理

＝

1122

(m＋3)(－m－2m＋3)＋(－m－2m＋6)(－m)． ·········· 9分 22329933263m－m＋＝－(m＋)＋ 222228＝－

∴当m＝－

363时，S四边形BOCE最大，且最大值为． 2832315)－2×(－)＋3＝

422315，)． 24此时y＝－(－

∴此时E点的坐标为(－

解法二：过点E作EF⊥x轴于点F，设E(x，y)（－3＜x＜0） 则S四边形BOCE＝S△BEF＋S梯形FOCE ＝＝＝11BF·EF＋(EF＋OC)·OF 2211(3＋x)·y＋(3＋y)(－x) 22332(y－x)＝(－x－3x＋3) 2233263(x＋)＋ 228＝－∴当x＝－363时，S四边形BOCE最大，且最大值为． 2832315)－2×(－)＋3＝ 422315∴此时E点的坐标为(－，)． 242213解：（1）把A(－2，0)代入y＝a(x－1)＋33，得0＝a(－2－1)＋33． 此时y＝－(－∴a＝－即y＝－332∴该抛物线的解析式为y＝－(x－1)＋33 33322383x＋x＋． 333（2）设点D的坐标为(xD，yD)，由于D为抛物线的顶点 ∴xD＝－2332(－3)3＝1，yD＝－323832＝33． ×1＋×1＋333∴点D的坐标为(1，33)．

如图，过点D作DN⊥x轴于N，则DN＝33，AN＝3，∴AD＝32＋(33)2＝6． ∴∠DAO＝60°∵OM∥AD

①当AD＝OP时，四边形DAOP为平行四边形． ∴OP＝6 ∴t＝6（s）

②当DP⊥OM时，四边形DAOP为直角梯形． 过点O作OE⊥AD轴于E．

页脚内容

A E P x Q B y D M C O F N 精心整理

在Rt△AOE中，∵AO＝2，∠EAO＝60°，∴AE＝1． （注：也可通过Rt△AOE∽Rt△AND求出AE＝1） ∵四边形DEOP为矩形，∴OP＝DE＝6－1＝5．

∴t＝5（s）③当PD＝OA时，四边形DAOP为等腰梯形，此时OP＝AD－2AE＝6－2＝4． ∴t＝4（s）

综上所述，当t＝6s、5s、4s时，四边形DAOP分别为平行四边形、直角梯形、等腰梯形．

（3）∵∠DAO＝60°，OM∥AD，∴∠COB＝60°．

又∵OC＝OB，∴△COB是等边三角形，∴OB＝OC＝AD＝6． ∵BQ＝2t，∴OQ＝6－2t（0＜t＜3） 过点P作PF⊥x轴于F，则PF＝∴S四边形BCPQ＝S△COB－S△POQ ＝＝∴当t＝3t． 2311×6×33－×(6－2t)×t 222332633(t－)＋ 2826333（s）时，S四边形BCPQ的最小值为． 823333339＝3，OP＝，OF＝，∴QF＝3－＝，PF＝． 444422332933)＋()2＝ 442此时OQ＝6－2t＝6－2×∴PQ＝PF2＋QF2＝(14.解：（1）过点A作AF⊥x轴于F． 则OF＝OAcos60°＝2∴A(1，3)． 代入直线解析式，得∴y＝31＝1，AF＝OAsin60°＝2＝3． 22341m＝3，∴m＝3． 333344x＋x＋3．令y＝0，得3＝0，∴x＝4． 33332

∴E(4，0)． （2）设过A、O、E三点的抛物线解析式为y＝ax＋bx＋c

∵抛物线过原点，∴c＝0．

y P 3aab33∴解得 16a4b043b3∴所求抛物线的解析式为y＝A O F B G E x 3243x＋x． 33页脚内容

精心整理

（3）过点P作PG⊥x轴于G，设P(x0，y0)．

S＝S△AOFS梯形△AFGPS△PGE

3(3y0)(x01)(4x0)y0 ＝

2221＝(3x0＋3y0) 23152252

(-3x0＋53x0)＝(x0)＋3

2228525当x0＝时，S最大＝3．

28＝

15.解：∴二次函数的解析式为y=x2－8x+12……………………………………………2分 点P的坐标为（4，－4）…………………………………………………………3分 （2）存在点D，使四边形OPBD为等腰梯形.理由如下： 当y=0时，x2-8x+12=0∴x1=2，x2=6 ∴点B的坐标为（6，0） 设直线BP的解析式为y=kx+m ∴直线BP的解析式为y=2x－12 ∴直线OD∥BP………………………………………4分 C y ∵顶点坐标P（4，－4）∴OP=42 设D(x，2x)则BD2=（2x）2+(6－x)2 当BD=OP时，（2x）2+(6－x)2=32 解得：x1=2，x2=2…………………………………………………………………6分D 5O A B x 当x2=2时，OD=BP=25，四边形OPBD为平行四边形，舍去 y P 2时四边形OPBD为等腰梯形…………………7分 524∴当D(，)时，四边形OPBD为等腰梯形………8分 55∴当x=（3）①当0＜t≤2时， ∵运动速度为每秒2个单位长度，运动时间为t秒， 则MP=2t∴PH=t，MH=t，HN=C 13t∴MN=t 22y

O A 313∴S=t·t·=t2……………………10分

224②当2＜t＜4时，P1G=2t－4，P1H=t ∵MN∥OB∴P1EF∽P1MN

P1 N M

H P

B x ∴

SP1EFSP1MNP1G2SP1EF2t42() ()∴

32tP1Ht4C

页脚内容

O

A E G F B M H

P

N

P1

x

精心整理

∴SP1EF=3t2－12t+12

932

t－(3t2－12t+12)=－t2+12t－12 443∴当0＜t≤2时，S=t2

49当2＜t＜4时，S=－t2+12t－12……………12分

4∴S=

页脚内容