【冲刺卷】高二数学上期中试题(含答案)

一、选择题

1．如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是

A．

1 4B．

 8C．

1 2D．

 42．已知某样本的容量为50，平均数为70，方差为75．现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为90．在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为x，方差为s2，则 A．x70,s275

11C3C47A． 2C50B．x70,s275 C．x70,s275 D．x70,s275

110C3C47C32C47D． 2C503．在含有3件次品的50件产品中，任取2件，则至少取到1件次品的概率为 ( )

0C32C47B． 2C501C3C32C． 2C504．在区间“xy上随机取两个数x,y，记p1为事件“xy1”的概率，p2为事件211”的概率，p3为事件“xy”的概率，则 （ ） 22B．p2p3p1 D．p3p2p1

A．p1p2p3 C．p3p1p2

5．某学校10位同学组成的志愿者组织分别由李老师和张老师负责，每次献爱心活动均需该组织4位同学参加.假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立，随机地发给4位同学，且所发信息都能收到.则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的概率为（ ） A．

2 5B．

12 25C．

16 25D．

4 56．统计某校n名学生的某次数学同步练习成绩，根据成绩分数依次分成六组：

90,100,100,110,110,120,120,130,130,140,140,150，得到频率分布直方图

如图所示，若不低于140分的人数为110.①m0.031；②n800；③100分以下的人数为60；④分数在区间120,140的人数占大半．则说法正确的是（ ）

A．①② B．①③ C．②③ D．②④

7．若干个人站成一排，其中为互斥事件的是( ) A．“甲站排头”与“乙站排头” B．“甲站排头”与“乙不站排尾” C．“甲站排头”与“乙站排尾” D．“甲不站排头”与“乙不站排尾” 8．某城市2017年的空气质量状况如下表所示： 污染指数T 概率P 30 60 100 110 130 140 1 101 61 37 302 151 30 其中污染指数T50时，空气质量为优；50T100时，空气质量为良；

100T150时，空气质量为轻微污染，该城市2017年空气质量达到良或优的概率为（ ）

3115A． B． C． D．

51801969．用秦九韶算法求多项式fx7x5x3xxx2在x2的值时，令

5422v0a5，v1v0x5，…，v5v4x2，则v3的值为（ ）

A．83

B．82

C．166

D．167

10．6件产品中有4件合格品，2件次品.为找出2件次品，每次任取一个检验，检验后不放回，则恰好在第四次检验后找出所有次品的概率为（ ） A．

3 5B．

1 3C．

4 15D．

1 511．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是（ ）

A．4 B．5 C．6 D．7

12．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表： 广告费用（万元） 4 2 3 5 销售额（万元） 49 26 39 54

ˆaˆ为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额ˆbxˆ中的b根据上表可得回归方程y为 A．63.6万元

B．65.5万元

C．67.7万元

D．72.0万元

二、填空题

13．已知一组数据4.8，4.9，5.2，5.5，5.6，则该组数据的方差是______． 14．将一枚骰子连续掷两次，点数之积为奇数的概率为__________．

15．某校高一年级有600个学生，高二年级有550个学生，高三年级有650个学生，为调查学生的视力情况，用分层抽样的方法抽取一个样本，若在高二、高三共抽取了48个学生，则应在高一年级抽取学生______个

16．高二某班有学生56人，现将所有同学随机编号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知5号、33号、47号学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号为__________．

17．已知x，y取值如表，画散点图分析可知y与x线性相关，且求得回归方程为

$y3x5，则m的值为__________．

x 0 1 3 5 6 y 1

2m 3m 3.8 9.2 18．若按右上图所示的程序框图运行后，输出的结果是63，则判断框中的整数M的值是__________。

19．从2个黄球，3个红球中随机取出两个球，则两球颜色不同的概率是______．

ˆ0.85x82.71是根据女大学生的身高预报其体重的回归方程， x,yˆ的单20．已知方程y位是cm和kg，则针对某个体160,53的残差是__________．

三、解答题

21．某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y(单位：千元)的数据如下表： 年 份 年份代号t 人均纯收入y 2007 1 2.9 2008 2 3.3 2009 3 3.6 2010 4 4.4 2011 5 4.8 2012 6 5.2 2013 7 5.9

(1)求y关于t的线性回归方程；

(2)利用(1)中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入． 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：

＝，＝－．

22．现将甲、乙两个学生在高二的6次数学测试的成绩（百分制）制成如图所示的茎叶

图，进入高三后，由于改进了学习方法，甲、乙这两个学生的考试成绩预计同时有了大的提升：若甲（乙）的高二任意一次考试成绩为x，则甲（乙）的高三对应的考试成绩预计为x4.

（1）试预测：高三6次测试后，甲、乙两个学生的平均成绩分别为多少？谁的成绩更稳定？

（2）若已知甲、乙两个学生的高二6次考试成绩分别由低到高进步的，定义y为高三的任意一次考试后甲、乙两个学生的当次成绩之差的绝对值，求y的平均值.

23．某学习小组在研究性学习中,对昼夜温差大小与绿豆种子一天内出芽数之间的关系进行研究.该小组在4月份记录了1日至6日每天昼夜最高、最低温度(如图1),以及浸泡的100颗绿豆种子当天内的出芽数(如图2).

根据上述数据作出散点图,可知绿豆种子出芽数y (颗)和温差x (0C)具有线性相关关系. (1)求绿豆种子出芽数y (颗)关于温差x (0C)的回归方程$y$bx$a；

(2)假如4月1日至7日的日温差的平均值为110C,估计4月7日浸泡的10000颗绿豆种子一天内的出芽数.

n$附：b(xx)(yy)xynxyiiniii1(xx)ii1n2i1nxi1，$ay$bx

2inx224．PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物.我国

PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气

质量为一级；在35微克/立方米至75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标.某市环保局从市区2016年全年每天的PM2.5监测数据中，随机抽取15天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示：（十位为茎，个位为叶）

（1）从这15天的数据中任取3天的数据，求空气质量至少有一天达到一级的概率； （2）以这15天的PM2.5日均值来估算一年的空气质量情况，则一年（按360天计算）中大致有多少天的空气质量达到一级.

25．某“双一流A类”大学就业部从该校2018年已就业的大学本科毕业生中随机抽取了100人进行问卷调查，其中一项是他们的月薪收入情况，调查发现，他们的月薪收入在人民币1.65万元到2.35万元之间，根据统计数据分组，得到如下的频率分布直方图：

（1）将同一组数据用该区间的中点值作代表，求这100人月薪收入的样本平均数x； （2）该校在某地区就业的2018届本科毕业生共50人，决定于2019国庆长假期间举办一次同学联谊会，并收取一定的活动费用，有两种收费方案：

方案一：设区间1.85,2.15，月薪落在区间左侧的每人收取400元，月薪落在区间内的每人收取600元，月薪落在区间右侧的每人收取800元； 方案二：每人按月薪收入的样本平均数的3%收取；

用该校就业部统计的这100人月薪收入的样本频率进行估算，哪一种收费方案能收到更多的费用？

26．某企业为确定下一年投入某种产品的研发费用，需了解年研发费用x（单位：千万元）对年销售量y（单位：千万件）的影响，统计了近10年投入的年研发费用xi与年销售量yii1,2,L,10的数据，得到散点图如图所示：

（Ⅰ）利用散点图判断，yabx和ycxd（其中c，d为大于0的常数）哪一个更适合作为年研发费用x和年销售量y的回归方程类型（只要给出判断即可，不必说明理由）；

（Ⅱ）对数据作出如下处理：令uilnx，ilny，得到相关统计量的值如下表：

根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，求y关于x的回归方程； （Ⅲ）已知企业年利润z（单位：千万元）与x，y的关系为z27yx（其中ee2.71828L），根据（Ⅱ）的结果，要使得该企业下一年的年利润最大，预计下一年

应投入多少研发费用？

附：对于一组数据u1,1,u2,2,L,un,n，其回归直线u的斜率和截距的最小

ˆ二乘估计分别为uuii1nii1ni2unuii2inuui1nui1nu2ˆu ˆˆ，

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一、选择题 1．B 解析：B 【解析】

2aπa2设正方形边长为a，则圆的半径为，正方形的面积为a，圆的面积为.由图形的对

24称性可知，太极图中黑白部分面积相等，即各占圆面积的一半.由几何概型概率的计算公式

1πa2π，选B. 得，此点取自黑色部分的概率是24a28点睛:对于几何概型的计算，首先确定事件类型为几何概型并确定其几何区域（长度、面积、体积或时间），其次计算基本事件区域的几何度量和事件A区域的几何度量，最后计算P(A).

2．A

解析：A 【解析】 【分析】

分别根据数据的平均数和方差的计算公式，求得x,s2的值，即可得到答案． 【详解】

由题意，根据平均数的计算公式，可得x70508060709070，

50设收集的48个准确数据分别记为x1,x2,L,x48， 则75122222x170x270Lx487060709070 501222x170x270Lx4870500， 50122222x170x270Lx487080707070 50s21222x170x270Lx487010075， 50故s275．选A． 【点睛】

本题主要考查了数据的平均数和方差的计算公式的应用，其中解答中熟记数据的平均数和方差的公式，合理准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，数基础题．

3．D

解析：D 【解析】 【分析】

由题意，恰好两件都是次品，共有C3 种不同的取法，恰好两件中一件是次品、一件是正品，共有C3C47 种不同的取法，即可求解． 【详解】

由题意，从含有3件次品的50件产品中，任取2件，共有C50 种不同的取法， 恰好两件都是次品，共有C3C47 种不同的取法，

恰好两件中一件是次品、一件是正品，共有C3C47 种不同的取法，

110C3C47C32C47所以至少取到1件次品的概率为，故选D． 2C5011112220【点睛】

本题主要考查了古典概型及其概率的计算，其中解答中正确理解题意，合理分类讨论，利用组合数的公式是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于基础题．

4．B

解析：B 【解析】 【分析】 【详解】

因为x,y[0,1]，对事件“xy对事件“xy对为事件“xy1”，如图（1）阴影部分2， ，

，

1”，如图（2）阴影部分21”，如图（3）阴影部分2由图知，阴影部分的面积从下到大依次是根据几何概型公式可得p2p3p1．

，正方形的面积为，

（1） （2） （3） 考点：几何概型．

5．C

解析：C 【解析】 【分析】

甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的对立事件是甲同学既没收到李老师的信息也没收到张老师的信息，李老师的信息与张老师的信息是相互独立的，由此可计算概率． 【详解】

设甲同学收到李老师的信息为事件A，收到张老师的信息为事件B，A、B相互独立，

P(A)P(B)42， 105则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的概率为

33161P(AB)1(1P(A))(1P(B))1．

5525故选C． 【点睛】

本题考查相互独立事件的概率，考查对立事件的概率．在求两个事件中至少有一个发生的概率时一般先求其对立事件的概率，即两个事件都不发生的概率．这样可减少计算，保证正确．

6．B

解析：B 【解析】 【分析】

根据频率分布直方图的性质和频率分布直方图中样本估计总体，准确运算，即可求解. 【详解】

由题意，根据频率分布直方图的性质得

10(m0.0200.0160.0160.0110.006)1，

解得m0.031.故①正确；

1101000，故②错误； 0.11由100分以下的频率为0.00610=0.06，所以100分以下的人数为10000.06=60，

因为不低于140分的频率为0.011100.11，所以n故③正确；

分数在区间[120,140)的人数占0.031100.016100.47，占小半.故④错误. 所以说法正确的是①③. 故选B. 【点睛】

本题主要考查了频率分布直方图的应用，其中解答熟记频率分布直方图的性质，以及在频率分布直方图中，各小长方形的面积表示相应各组的频率，所有小长方形的面积的和等于1，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.

7．A

解析：A 【解析】 【分析】

根据不能同时发生的两个事件，叫互斥事件，依次判断． 【详解】

根据互斥事件不能同时发生，判断A是互斥事件；B、C、D中两事件能同时发生，故不是互斥事件； 故选A． 【点睛】

本题考查了互斥事件的定义．是基础题．

8．A

解析：A 【解析】 【分析】

根据互斥事件的和的概率公式求解即可. 【详解】

由表知空气质量为优的概率是

1， 10111， 632由互斥事件的和的概率公式知，空气质量为良的概率为所以该城市2017年空气质量达到良或优的概率P故选：A 【点睛】

113， 1025本题主要考查了互斥事件，互斥事件和的概率公式，属于中档题.

9．A

解析：A 【解析】 【分析】

利用秦九韶算法，求解即可. 【详解】

利用秦九韶算法，把多项式改写为如下形式：

f(x)((((7x5)3)x1)x1)x2

按照从里到外的顺序，依次计算一次多项式当x2时的值：

v07

v172519 v2192341 v3412183

故选：A 【点睛】

本题主要考查了秦九韶算法的应用，属于中档题.

10．C

解析：C 【解析】 【分析】

题目包含两种情况：第一种是前面三次找出一件次品，第四次找出次品，第二种情况是前面四次都是正品，则剩余的两件是次品，计算概率得到答案. 【详解】

题目包含两种情况：

C321第一种是前面三次找出一件次品，第四次找出次品，p14；

C654C41第二种情况是前面四次都是正品，则剩余的两件是次品，p24；

C615故pp1p2故选：C. 【点睛】

4. 15本题考查了概率的计算，忽略掉前面四次都是正品的情况是容易发生的错误.

11．A

解析：A 【解析】 【分析】

根据框图，模拟计算即可得出结果. 【详解】

程序执行第一次，s0201，k1，第二次，S=1+23,k2，第三次，

1S32311,k3，第四次，S11211100,k4，跳出循环，输出k4，故选

A. 【点睛】

本题主要考查了程序框图，循环结构，属于中档题.

12．B

解析：B 【解析】 【分析】 【详解】

4235492639543.5,y42， 44∵数据的样本中心点在线性回归直线上，

ˆaˆ为9.4， ˆbxˆ中的b回归方程y试题分析：Qx3．5+a， ∴42=9．4×

ˆ=9．1， ∴a∴线性回归方程是y=9．4x+9．1，

6+9．1=65．5 ∴广告费用为6万元时销售额为9．4×考点：线性回归方程

二、填空题

13．【解析】数据4849525556的平均数为×（48+49+52+55+56）=52∴该组数

据的方差为：s2=×（48–52）2+（49–52）2+（52–52）2+（55–52）2+（56–52）2 解析：0.1

【解析】

数据4.8，4.9，5.2，5.5，5.6的平均数为x∴该组数据的方差为：

1×（4.8+4.9+5.2+5.5+5.6）=5.2， 51×[（4.8–5.2）2+（4.9–5.2）2+（5.2–5.2）2+（5.5–5.2）2+（5.6–5.2）2]=0.1．故答案为50.1．

s2=

14．【解析】【分析】先求出总的基本事件的总数再求出点数之积为奇数的基本事件的总数再利用古典概型的概率公式求解【详解】由题得总的基本事件个数为两次点数之积为奇数的基本事件的个数为由古典概型的概率公式得故答 解析：

1 4【解析】 【分析】

先求出总的基本事件的总数，再求出点数之积为奇数的基本事件的总数，再利用古典概型的概率公式求解. 【详解】

由题得总的基本事件个数为66=36，两次点数之积为奇数的基本事件的个数为

33=9，

由古典概型的概率公式得P故答案为：【点睛】

本题主要考查古典概型的概率公式的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

91. 3641 415．24【解析】【分析】设应在高一年级抽取学生数为n首先求出高一年级人数占总人数的百分比然后通过分层抽样的性质由此能求出应在高一年级抽取学生数【详解】设应在高一年级抽取学生数为n因为某校高一年级有600

解析：24 【解析】 【分析】

设应在高一年级抽取学生数为，首先求出高一年级人数占总人数的百分比，然后通过分层抽样的性质，由此能求出应在高一年级抽取学生数。 【详解】

设应在高一年级抽取学生数为， 因为某校高一年级有

个学生，高二年级有

个学生，高三年级有

个学生，

个学生，

用分层抽样的方法抽取一个样本，在高二、高三共抽取了所以解得【点睛】

本题考查应在高一抽取的学生人数的求法，考查分层抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，本题是基础题。

，

个，故答案为

。

，

所以应在高一年级抽取学生为

16．【解析】∵高二某班有学生56人用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本∴样本组距为56÷4=14则5+14=19即样本中还有一个学生的编号为19 解析：19

【解析】

∵高二某班有学生56人，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本， 4=14， ∴样本组距为56÷则5+14=19，

即样本中还有一个学生的编号为19.

17．3【解析】由题意可得：回归方程过样本中心点则：即：解得：点睛：(1)正确理解计算的公式和准确的计算是求线性回归方程的关键(2)回归直线方程必过样本点中心(3)在分析两个变量的相关关系时可根据样本数据

解析：3 【解析】

013563 ，

5回归方程过样本中心点，则：y=3354 ，

由题意可得：x即：

12m3m3.89.254 ，

解得：m3 .

$$的公式和准确的计算是求线性回归方程的关键． 点睛：(1)正确理解计算a,b(2)回归直线方程$y$bx$a必过样本点中心x,y．

(3)在分析两个变量的相关关系时，可根据样本数据作出散点图来确定两个变量之间是否具有相关关系，若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程来估计和预测．

18．6【解析】由程序框图知运算规则是对执行程序框图可得满足条件第次进入循环体满足条件第次进入循环体满足条件第次进入循环体满足条件第次进入循环体满足条件第次进入循环体由于的初值为每进入次循环体其值增大第次

解析：6

【解析】

由程序框图知运算规则是对S2S1，执行程序框图，可得A1,S1满足条件

AM，第1次进入循环体S2113，满足条件AM，第2次进入循环体S2317，满足条件AM，第3次进入循环体S27115，满足条件AM，第4次进入循环体S215131，满足条件AM，第5次进入循环体S231163，由于A的初值为1，每进入1次循环体其值增大1，第5次进入循环体

后A5，所以判断框中的整数M的值应为6，这样可保证循环体只能运行5次，故答案为6.

19．【解析】两球颜色不同的概率是

3解析：

5【解析】

2363 两球颜色不同的概率是2C510520．-029【解析】所以残差是

解析：-0.29

ˆ0.8516082.7153.29 ,所以残差是5353.290.29. 【解析】y三、解答题

ˆ＝0.5t＋2.3；（Ⅱ）预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千21．（Ⅰ）y元. 【解析】

试题分析：（1）根据所给的数据，利用最小二乘法可得横标和纵标的平均数，横标和纵标

$的值，再求出a$的值，即可求出线性回归方的积的和，与横标的平方和，代入公式求出b程；（2）根据上一问做出的线性回归方程，代入所给的t的值，即可预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入. 试题解析：（1）由已知得t1(1234567)4，71y(2.93.33.64.44.85.25.9)4.3.

7(ti17i17it)2941014928，

t)(yiy)(3)(1.4)(2)(1)(1)(0.7)00.110.520.931.614(tiˆb(tt)(yy)iii1n(tt)ii1n214$ybt$4.30.542.3 0.5，a28∴所求回归方程为$y0.5t2.3．

ˆ0.50，故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年（2）由（1）知，b增加，平均每年增加0.5千元．将2015年的年份代号t9代入(1)中的回归方程，得

$y0.592.36.8，故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元．

22．（1）见解析；（2）2 【解析】 【分析】

（1）由茎叶图计算高二6次考试的甲乙平均成绩，再分别加4即为高三平均成绩；（2）列举甲、乙两个学生的当次成绩之差的绝对值，再计算均值即可 【详解】

（1）甲高二的6次考试平均成绩为乙高二的6次考试平均成绩为

68767986889582，

671758284869482，

6所以预测甲高三的6次考试平均成绩为86，乙高三6次考试平均成绩为86， 甲高三的6次考试平均成绩的方差为

7286808683869086928699866乙高三的6次考试平均成绩的方差为

2222222222277.

7586798686868886908699866因为77>55.7，所以乙的成绩比较稳定. （2）预测高三的6次考试成绩如下：

255.7.

甲 乙 第1次考试 72 75 第2次考试 80 79 第3次考试 83 86 第4次考试 90 88 第5次考试 92 90 第次6考试 99 98 因为y为高三的任意一次考试后甲、乙两个学生的当次成绩之差的绝对值， 所以y的值依次为3,1,3,2,2,1， 所以y的平均值为【点睛】

21232. 6本题考查茎叶图中的均值，熟记茎叶图均值的计算方法，准确计算是关键，是基础题.

y23．(1) $【解析】 【分析】

119x (2) 5125颗. 42（1）根据题中信息，作出温差xC与出芽数y（颗）之间数据表，计算出x、y，并

o$和a$，即可得出回归直线方程； 将表格中的数据代入最小二乘法公式计算出b（2）将4月1日至7日的日平均温差代入回归直线方程，可得出100颗绿豆种子的发芽数，于是可计算出10000颗绿豆种子在一天内的发芽数。 【详解】

（1）依照最高(低)温度折线图和出芽数条形图可得如下数据表： 日期 温差x 出芽数y 1日 7 23 2日 8 26 3日 12 37 4日 9 31 5日 13 40 6日 11 35 故x10，y32， xix yiy 6i-3 -9 -2 -6 2 5 -1 -1 3 8 1 3 xxyy(3)(9)(2)(6)25(1)(1)381377，

ii16xixi12(3)2(2)222(1)2321228，

ˆ所以bxxyyiii16xixi1627711， 284ˆ32ˆybx所以a11910， 42119x； 42y所以绿豆种子出芽数y (颗)关于温差x (oC)的回归方程为$（2）因为4月1日至7日的日温差的平均值为11oC，

o所以4月7日的温差x77116017(C)，

y7所以µ1192051751.25， 424所以4月7日浸泡的10000颗绿豆种子一天内的出芽数约为5125颗.

【点睛】

本题主要考查回归分析及其应用等基础知识，解题的关键就是理解和应用最小二乘法公式，

考査数据处理能力和运算求解能力，考查学生数学建模和应用意识，属于中等题。 24．（1）【解析】 【分析】

（1）由茎叶图知随机抽取15天的数据中，PM2.5日均值在35微克/立方米以下的天数有5天，由此能求出从这15天的数据中任取3天的数据，至少有一天空气质量达到一级的概率．

（2）依题意可知，一年中每天空气质量达到一级的概率为P51，一年中空气质量达15367；（2）一年中平均有120天的空气质量达到一级． 911到一级的天数为，则~B(360,)，由此能求出一年中大致有多少天的空气质量达到一

3级． 【详解】

解：（1）由茎叶图知随机抽取15天的数据中，

PM2.5日均值在35微克/立方米以下的天数有5天， 从这15天的数据中任取3天的数据， 则至少有一天空气质量达到一级的概率为：

1213C5C10C52C10C567p． 333C15C15C1591（2）依题意可知，一年中每天空气质量达到一级的概率为P1一年中空气质量达到一级的天数为，则~B(360,)，

31E360120（天)，

351， 153一年中平均有120天的空气质量达到一级．

【点睛】

本题考查等可能事件概率的求法，以及离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于中档题． 25．(1)2；(2) 方案一能收到更多的费用. 【解析】 【分析】

（1）每个区间的中点值乘以相应的频率，然后相加； （2）分别计算两方案收取的费用，然后比较即可． 【详解】

(1)这100人月薪收入的样本平均数x是

x0.021.70.101.80.241.90.3120.22.10.092.20.042.32.

(2)方案一：月薪落在区间左侧收活动费用约为0.020.1040050100000.24（万元）；

月薪落在区间收活动费用约为0.240.310.2060050100002.25（万元）；

月薪落在区间右侧收活动费用约为0.090.0480050100000.52（万元）； 因此方案一，这50人共收活动费用约为3.01（万元）； 方案二：这50人共收活动费用约为500.03x3（万元）； 故方案一能收到更多的费用. 【点睛】

本题考查频率分布直方图及其应用，属于基础题． 26．（Ⅰ）由散点图知，选择回归类型ycx更适合； （Ⅱ）yex3；

（Ⅲ）要使年利润取最大值，预计下一年度投入27千万元. 【解析】 【分析】

（Ⅰ）根据散点图的特点可知，相关关系更接近于幂函数类型； （Ⅱ）根据所给数据，代入公式求得回归直线的方程；

（Ⅲ）先求出年利润的表达式，结合不等式特点利用导数可得最值. 【详解】

（Ⅰ）由散点图知，选择回归类型ycx更适合．

（Ⅱ）对ycx两边取对数，得lnylncdlnx，即vlncdu 由表中数据得：uv1.5，

dd1ˆ∴duuvvuvnuviiii2ii1nnuuii1n2i1nui1nu230.5101.51.51， 246.5101.53ˆ1.51.51,ce， ∴lncvdu∴年研发费用x与年销售量y的回归方程为yex3. (Ⅲ)由（Ⅱ）知，z(x)27xx， ∴z(x)9x31， 令z(x)9x2321131310，得x27，

且当x(0,27)时，z(x)0,z(x)单调递增； 当x(27,)时，z(x)0,z(x)单调递减．

所以当x27千万元时，年利润z取得最大值，且最大值为z(27)54千万元. 答：要使年利润取最大值，预计下一年度投入27千万元. 【点睛】

本题主要考查非线性回归方程的求解及决策判断，非线性回归方程一般是转化为线性回归方程求解，侧重考查数学建模和数据分析的核心素养.