学期期末试题含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 在数列
中，
，
，则
的值为
参考答案：
11 2. 直线
与抛物线
交于A、B两点（异于坐标原点O），且
，
则的值为（ ）
A. 2 B. -2 C. 1 D. -1
参考答案：
A 略
3. 对于下列命题：①若是直线的倾斜角，则; ②若直线倾斜角为，则它斜率; ③任一直线都有倾斜角，但不一定有斜率; ④任一直线都有斜率，但不一定有倾斜角。其中正确命题的个数为（ ）
A、1 B、2 C、3 D、4 参考答案：
B 4. 已知A. 都大于1
，则B. 都小于1
D. 至少有一个不小于1 的值( )
C. 至多有一个不小于1
参考答案：
D 【分析】 先假设是正确的.
，这样可以排除A，B.再令
，排除C.用反证法证明选项D
【详解】解:令，则，排除A，B.
令，则，排除C.
对于D，假设相加得
，则，矛盾，故选D.
，
【点睛】本题考查了反证法的应用，应用特例排除法是解题的关键.
5. 已知函数y=f（x）的定义在实数集R上的奇函数，且当x∈（﹣∞，0）时，xf′（x）＜f（﹣x）（其中f′（x）是f（x）的导函数），若a=（lg3），c=（log2）f（log2），则（ ） A．c＞a＞b
B．c＞b＞a
C．a＞b＞c
D．a＞c＞b
f（
），b=（lg3）f
参考答案：
A
【考点】抽象函数及其应用；对数值大小的比较；导数的几何意义．
【分析】设F（x）=xf（x），根据题意得F（x）是偶函数且在区间（0，+∞）上是增函数，由此比较
、lg3和2的大小，结合函数的性质，不难得到本题的答案．
【解答】解：设F（x）=xf（x），得F'（x）=x'f（x）+xf'（x）=xf'（x）+f（x）， ∵当x∈（﹣∞，0）时，xf′（x）＜f（﹣x），且f（﹣x）=﹣f（x） ∴当x∈（﹣∞，0）时，xf′（x）+f（x）＜0，即F'（x）＜0 由此可得F（x）=xf（x）在区间（﹣∞，0）上是减函数， ∵函数y=f（x）是定义在实数集R上的奇函数，
∴F（x）=xf（x）是定义在实数集R上的偶函数，在区间（0，+∞）上F（x）=xf（x）是增函数．
∵0＜lg3＜lg10=1，∴F（2）＞F（
∈（1，2）
）＞F（lg3）
∵=﹣2，从而F（）=F（﹣2）=F（2）
∴F（即
故答案为：A
）＞F（）＞F（lg3） ＞
＞（lg3）f（lg3），得c＞a＞b
6. 抛物线y=4x2的准线方程为（ ） A．x=﹣1
B．x=1 C．y=﹣
D．y=
参考答案：
C
【考点】K8：抛物线的简单性质．
【分析】根据题意，将抛物线的方程变形为标准方程，分析可得其焦点位置以及p的值，进而可得其准线方程，即可得答案．
【解答】解：根据题意，抛物线y=4x的标准方程为x=， 其焦点在y轴正半轴上，且p=， 则其准线方程为y=﹣故选：C．
；
2
2
7. .函数A.
,的最大值为
B. C. D.
参考答案： C 略
8. 直线（ ）
与椭圆恒有两个公共点，则的取值范围为
A． B．
D．
C．
参考答案：
C
试题分析：有关直线
恒过点
，要使得直线
与椭
圆恒有两个公共点，则只要使得在椭圆的内部或椭圆上，所以
，解得且，故选C
考点：直线与圆锥曲线的位置关系．
9. 设
A.
是定义在上的奇函数，当
B.
C. １ D. 3
时，
，则
参考答案： A 略
10. 在△ABC中，a=2，A=30°，C=45°，则S△ABC=（ ）
A． B． C． D．
参考答案：
C
【考点】正弦定理．
【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形． 【分析】由正弦定理可得
值，由S△ABC =acsinB 运算结果．
求出c值，利用两角和正弦公式求出sinB的
【解答】解：B=180°﹣30°﹣45°=105°，由正弦定理可得：∴c=2
．
+
=×
， =
+1，
，
sinB=sin（60°+45°）=
则△ABC的面积S△ABC =acsinB=×2×2故选：C．
【点评】本题考查两角和正弦公式，正弦定理的应用，求出sinB的值，是解题的关键．
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 某程序框图如图，则该程序运行后输出的值为
参考答案：
49 试题分析：
输出n=49.
考点：程序框图和算法. 12. 通过观察所给两等式的规律：
①
②
请你写出一个一般性的命题：__________________________
参考答案：
13. 平面向量，，两两所成角相等，且||=1，||=2，||=3，则|++|为 ．
参考答案：
或5
【考点】向量的三角形法则．
【分析】由平面向量，，两两所成角相等，可得两两所成角为0°或120°．再利用数量积运算性质即可得出．
【解答】解：∵平面向量，，两两所成角相等， ∴两两所成角为0°或120°． ∵||=1，||=2，||=3， 当所成角为120°时， ∴
=1×2×cos120°=﹣1， =﹣， =﹣3， 则|++|=
同理可得：当所成角为0°时， 则|++|=故答案为：
或5．
=5． =
=
．
14. 已知二项式的展开式中的常数项为，则 ．
参考答案：
112
15. 先阅读下面的文字：“求
的值时，采用了如下的方法：令
＝x，则有＝x，从而解得x＝(负值已舍去)”；运用类比的
方法，计算：
＝ .
参考答案：
略
16. 记不等式组的取值范围是 ．
所表示的平面区域为D．若直线y=a（x+1）与D有公共点，则a
参考答案：
[，4]
【考点】简单线性规划．
【分析】本题考查的知识点是简单线性规划的应用，我们要先画出满足约束条
件 的平面区域，然后分析平面区域里各个角点，然后将其代入y=a（x+1）
中，求出y=a（x+1）对应的a的端点值即可．
【解答】解：满足约束条件 的平面区域如图示：
因为y=a（x+1）过定点（﹣1，0）．
所以当y=a（x+1）过点B（0，4）时，得到a=4， 当y=a（x+1）过点A（1，1）时，对应a=． 又因为直线y=a（x+1）与平面区域D有公共点． 所以≤a≤4． 故答案为：[，4]
17. 已知椭圆C：与C相交于A、B两点，若
(a>b>0)的离心率为，过右焦点F且斜率为k(k>0)的直线
则k等于
参考答案：
略
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知函数大4，求参考答案： 解：
且
是极值点
的值.
，仅当
时取得极值且极大值比极小值
则仅有极值
且
为极大值点，
为极小值点
故略
19. 已知点C的坐标为（4，0），A，B，是抛物线y2=4x上不同于原点O的相异的两个动点，且OA⊥OB．
（Ⅰ）求证：点A，B，C共线； （Ⅱ）若
(λ∈R)，当
时，求动点Q的轨迹方程．
参考答案：
【考点】抛物线的简单性质；轨迹方程．
【分析】（Ⅰ）设直线AB方程为x=my+b，将直线AB方程代入抛物线方程y2=4x，得y2﹣4my﹣4b=0，利用韦达定理，结合直线垂直的条件，能够证明直线AB过定点（4，0）． （Ⅱ）当
时，建立方程，即可求动点Q的轨迹方程．
【解答】（Ⅰ）证明：设直线AB方程为x=my+b，A（x1，y1），B（x2，y2）， 将直线AB方程代入抛物线方程y2=4x， 得y2﹣4my﹣4b=0， 则y1+y2=4m，y1y2=﹣4b，
∵OA⊥OB，∴kOA?kOB=
==﹣=﹣1，b=4．
于是直线AB方程为x=my+4，该直线过定点（4，0），即点A，B，C共线； （Ⅱ）解：由题意，Q是直角三角形AOB斜边上的垂足，∠CQO=90°． 设Q（x，y），则
=（x，y），
=（x﹣4，y），
∴x（x﹣4）+y2=0，即（x﹣2）2+y2=4（x≠0）．
20. 某品牌电脑专卖店的年销售量y与该年广告费用x有关，如表收集了4组观测数据： x（万元） y（百台） 1 30 4 40 5 60 6 50 以广告费用x为解释变量，销售量y为预报变量对这两个变量进行统计分析． （1）已知这两个变量呈线性相关关系，试建立y与x之间的回归方程
；
（2）假如2017年该专卖店广告费用支出计划为10万元，请根据你得到的模型，预测这一年的销售量y．
参考公式：，．
参考答案：
【考点】线性回归方程；独立性检验．
【分析】（1）根据题意计算平均数、，求出回归系数，写出回归方程； （2）利用回归方程计算x=10时y的值即可． 【解答】解：（1）根据题意，计算
，
，
又，
；…
∴
=45﹣5×4=25，…
∴所求回归直线方程为
；…
==5，
（2）由已知得，x=10时，（百台），
∴可预测该年的销售量为75百台． …
21.
参考答案： 解析：（1）当
时，由框图可知依次执行循环体得到的结果如下：
第一次：
第二次：
第三次：………
第五次：易知数列
是公差为的等差数列．
由列项相消法得
又由已知可得=，于是
．
同理可得
联立解得
．于是
；
因为，，
22. 已知双曲线与椭圆参考答案：
共焦点，它们的离心率之和为，求双曲线方程
解:由于椭圆焦点为F(0,4),离心率为e=,
所以双曲线的焦点为F(0,4),离心率为2, 从而c=4,a=2,b=2
.
所以求双曲线方程为: 略
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