第一章 计数原理(教材分析)

第一章 计数原理

一、课程与学习目标

1、课程目标

计数问题是数学中的重要研究对象之一，分类加法计数原理、分布乘法计数原理是解决计数问题的最基本、最重要的方法，也称为基本计数原理，它们为解决很多实际问题提供了思想和工具。

2、学习目标

（1）通过实例，总结出分类加法技术原理、分步乘法计数原理；能根据具体问题的特征，选择分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题。

（2）通过实例，理解排列、组合的概念；能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式，并能解决简单的实际问题。

（3）能用计数原理证明二项式定理；会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题。 二、内容安排

分类加法计数和分步乘法计数是处理计数问题的两种基本思想方法。 排列、组合是两类特殊而重要的计数问题。

二项式定理的学习过程是应用两个计数原理解决问题的典型过程，其基本思路是“先猜后证”。

1、 普通高中数学新课标与旧考试大纲的对比分析（计数原理）

内容 课程标准 1．计数原理 旧考试大纲 区别 强调从实(1)分类加法计数原理、分步乘 (1)掌握分类计数原法计数原理 理与分步计数原理，并例中总结、分离出具 通过实例，总结出分类加法计能用它们分析和解决数原理、分步乘法计数原理；能根一些简单的应用问题． 体的原理据具体问题的特征，选择分类加法 (2)理解排列的意及规律；强计数原理或分步乘法计数原理解义，掌握排列数计算公调排列、组决一些简单的实际问题。 (2)排列与组合 式，并能用它解决一些合、二项式简单的应用问题． 定理与计数原理的 通过实例，理解排列、组合的概 (3)理解组合的意念；能利用计数原理推导排列数公义，掌握组合数计算公内在关系，式、组合数公式，并能解决简单的式和组合数的性质，并实际问题。 (3)二项式定理 能用它们解决一些简单的应用问题． 突出计数原理的重要地位。 能用计数原理证明二项式定 (4)掌握二项式定理；会用二项式定理解决与二项展理和二项展开式的性开式有关的简单问题。 质，并能用它们计算和证明一些简单的问题． 2、 本章的知识结构如下：

3、 内容安排说明

（1）分类加法计数和分步乘法计数是处理计数问题的两种基本思想方法。一般地，面对一个复杂的计数问题时，人们往往通过分类或分步将它分解为若干个简单计数问题，通过对复杂计数问题的分解，将综合问题化解为单一问题的组合，再对单一问题各个击破，可以达到以简驭繁、化难为易的效果． （2）返璞归真地看两个计数原理。它们实际上是学生从小学就开始学习的加法运算与乘法运算的推广，它们是解决计数问题的理论基础。由于两个计数原理的这种基础地位，并且在应用它们解决问题时具有很大的灵活性。

（3）排列、组合是两类特殊而重要的计数问题，而解决它们的基本思想和工具就是两个计数原理。从简化运算的角度提出排列与组合，通过具体实例的概括而得出排列、组合的概念；应用分步乘法计数原理得出排列数公式；应用分步计数原理和排列数公式推出组合数公式．对于排列与组合，有两个基本想法贯穿始终，一是根据一类问题的特点和规律寻找简便的计数方法，就像乘法作为加法的简便运算一样；二是注意应用两个计数原理思考和解决问题． （4）二项式定理的学习过程是应用两个计数原理解决问题的典型过程，其基本思路是“先猜后证”。猜想不是通过对(ab)n中n取1，2，3，4的展开式的形式

特征的分析而归纳得出，而是直接应用两个计数原理对(ab)n展开式的项的特征进行分析。这个分析过程不仅使学生对二项式的展开式与两个计数原理之间的内在联系获得认识的基础，而且也为证明猜想提供了基本思路。

（5）本章的主要难点是正确运用两个计数原理以及排列、组合概念分析和解决问题。由于计数问题与学生熟悉的代数问题有些不同，常常涉及一些复杂的关系，很容易造成分析过程中的逻辑混乱，在解题过程中还常发生概念混淆、重复或缺漏计算等情况。为了突破难点，教科书始终把两个计数原理的理解放在突出位置，并给学生提供辨别容易混淆的概念、用不同思路分析和解决问题的机会。 三、课时安排

本章共安排了3个小结，教学约需14课时，具体内容和课时分配如下（仅供参考）：

1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 约4课时 1.2 排列与组合 约6课时 1.3 二项式定理 约3课时 小结 约1课时 四、各小节分析

§1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 （一）本节知识结构

（二）教学的重点与难点

1、重点：归纳地得出分类加法计数原理和分步乘法计数原理，能应用它们解决 简单的实际问题。

2、难点：正确地理解“完成一件事情”的含义；根据实际问题的特征，正确地区分“分类”或“分步”。 （三）教学建议 1、两个计数原理

（1）由于两个计数原理的理解并不困难，关键是根据具体问题的特征选择对应的原理，特别是综合应用两个计数原理是学生感到困难的，因此本节采取先通过典型的、学生熟悉的实例（座位编号问题），经过抽象概括而得出两个计数原理，然后按照从单一到综合的方式，安排比较多的例题，引导学生逐步体会两个计数原理的基本思想及其应用方法。

值得注意的是，教科书对两个计数原理的定义中，分别只涉及“两类方案”和“两个步骤”，而把含有“n类方案”和“n个步骤”的问题作为计数原理的推广，用“探究”的方式，让学生自己去思考研究。这样做不仅使得定义简洁又不失一般性，容易与学生熟悉的数的加法、乘法建立联系，从而更有利于认识两个计原理之间的内在联系，而且也给学生留出了一定的独立思考、自主学习的空间。教学中，应注意结合实例阐述两个计数原理的基本内容，分析原理

的条件和结论，特别是要注意使用对比的方法，引导学生认识它们的异同。 （2）分类加法计数原理与分步乘法计数原理，都是讨论“完成一件事情”的所有不同方法种数的问题。这里，“完成一件事情”是一个比较抽象的概念，它比学生熟悉的解应用题中遇到的“完成一件工程”“完成一项工程”……的含义要广泛得多，教学中应当结合实例让学生进行辨析。只有准确理解了什么叫“完成一件事情”，才能进一步分析可以用什么方法完成，是否需要分类或分步完成，这样才能确定到底应该用哪个计数原理。

（3）两个计数原理的区别在于：分类计数原理与“分类”有关，类与类之间互不相容，用任何一类的任何一种方法都可以完成这件事：分步计数原理与“步骤”有关，只有依次完成每一个步骤，才能完成这件事情。可以从集合运算的角度进行分析。

（4）在引导学生理解和应用两个计数原理时，应使学生认识到：分类加法计数原理中“完成一件事有两类不同方案”是指完成这件事的所有方法可以分为两类，两类中没有相同的方法。分步乘法计数原理中“完成一件事需要两个步骤”是指完成这件事的任何一种方法，都要分成两个步骤。在每个步骤中任取一种方法，然后相继完成这两个步骤就能完成这件事。

分类时，首先要根据问题的特点确定一个分类标准，然后在标准下进行分类。一般地，标准不同，分类的结果也不同；其次，分类时要注意满足一个基本要求：完成这件事的任何一种方法必须属于且只能属于某一类方案。即“不重不漏”。

分步时，要根据问题的特点确定分步标准，标准不同，分成的步骤数也会不同。一个合理的分步应当满足：第一，完成这件事情必须且只需连续做完所分步骤；第二，做完成任何一个步骤可选用的方法数与其他步骤数所选用的方

法无关。即“步骤完整”。

（5）教学中，应当注意使学生充分经历从具体实例中概括出计数原理的过程，特别是要在分析问题的本质特征上多给学生一些时间和空间。另外，两个计数原理的教学可以在同一课时中进行，以便进行适当的对比讲解。为了帮助学生理解，教学中应当注意使用“树形图”，而且应当要求学生学会使用“树形图”分析问题。 2、例题（共9个）

（1）例1和例2都是用于巩固两个计数原理的简单题，可以引导学生自己分析完成。教学时应当把重点放在引导学生分析其中的“一件事情”是什么。 （2）例3中，第（1）小题是单独运用分类计数原理解决的问题，第（2）小题是单独运用分步计数原理解决的问题。它们都属于从书架上取书的问题，毕竟条件一样，有助于学生了解两个原理的意义及其区别。教学时仍然要把注意力集中在分析要完成的“一件事情”是什么上。

（3）例4的背景虽然简单，但学生认识这个问题要完成“一件事情”可能会有困难。教学中可以引导嘘声思考用不同于教科书中的方法解答本题，可以为后续的排列、组合的学习作些准备。

（4）例5、例6、例7和例8的背景都有时代性，是学生在日常阅读或在其他学科的学习中会碰到的问题，这些题目具有一定的综合性，在以往的教科书中还没有出现过。例5是简单的两个计数原理综合题，例6实际上是一个“可重复排列”问题，例7中涉及到一定的计算机编码、存储知识，例8是两个计数原理的综合应用题。通过例题，可以让学生了解两个计数原理的实际意义。 （5）例9的目的一方面是为了理解两个计数原理，另一个方面是为了引出下一节的排列。本例的求解并不困难，之所以把步骤一一列出，主要是为了给下一

节的学习做准备，因为学生可以从中感受到这样做太麻烦，产生“能否简化”的想法，而且也可以从中发现各步骤在结构上的一致性。

（6）在讲完上述例题后，教科书提出“思考”，要求学生归纳用两个计数原理解决问题的一般思路，教学时应注意引导学生自己先进行总结。一般来说，解决计数问题时，可以“先分类，再对每一类分步计算”。分类或分步都要注意按照统一标准进行。“思考”的目的是让学生用联系的观点，类比数的加法与乘法的关系，进一步认识两个计数原理之间的关系。实际上，分步乘法计数原理也可以看成是特定条件下的分类加法计数原理的简化。 3、探索与发现栏目“子集的个数有多少”

这个选学内容的内涵比较丰富，除了获得“n元集合的不同子集有2n个”这一结论，主要是从中可以使学生学到研究问题的方法：从具体事例的分析中得到规律性的猜想，再通过严格的数学推理获得一般结论。分析中应使学生明确：之所以说列举法是计数的基本方法，是因为我们可以从列举的过程中得到如何简便地进行计数的启发，这就要求在列举时做到“有序”。

§1.2 排列与组合 （一）本节知识结构

（二）教学重点与难点

1.重点：归纳地、对比地得出排列与组合概念；根据两个计数原理推导出排列数、组合数公式；应用排列与组合知识解决简单的实际问题

2.难点：建立组合与排列的联系，结合两个计数原理推导组合数公式；根据实际问题的特征，正确地区分“排列”或“组合”。 （三）教学建议

排列与组合是两类特殊的计数问题，是典型的两个计数原理的应用。排列与组合在计数中的地位，可以与数列中的等差数列、等比数列类比。 1 排列

（1）本小节利用“探究”，从对上一节例9的解答过程的反思开始。“探究”的目的就是为了引导学生对这类问题的结构进行分析，找到“简捷的方法”。 （2）教科书对两个求排列数的具体问题进行了详细的分析，目的在于： ①提供排列概念的具体例证，为学生概括排列概念提供背景支持；

②以具体问题为载体，给出求排列数的方法，使学生经历求排列数的主要过程； ③给出了直观的、能帮助学生分析问题、理清思路的树形图，让学生体会树形图在解决计数问题中的作用；

④使学生体会在列举时如何做到“既不重复也不遗漏”，培养学生有序、全面地思考问题的习惯。

（3）排列的定义中包含两个基本内容：一是“取出元素”；二是“按一定的顺序排列”。教学中可向学生指出，在研究排列问题时，是从一些不同元素中任取部分不同元素，这里既没有重复的元素，又没有重复抽取同一元素的情况。要注意引导学生在解例题、习题时细心观察是否与顺序有关，并可以通过比较的方法使学生加深认识。

（4）在排列数概念的教学中，要注意引导学生区分“排列数”与“一个排列”

两个概念。

（5）在推导排列数公式之前，教科书先将问题1，2的答案列出，目的是为了引导学生观察答案，对排列数公式产生一定的感性认识，教学时可引导学生对排列数公式进行猜想。在此基础上，教科书通过“探究”提出求An2,An3,Anm的任务，按照教科书所述的方式，从具体到一般，学生不会有太大的困难。

（6）导出公式Anmn(n1)(n2)(nm1)后，要引导学生对公式的特点进行分析，以帮助学生正确地记忆公式。公式Anmn!主要有两个作用：一是当n,m(nm)!较大时，由于科学计算器上可直接按出相应的阶乘数，因此用上面的公式计算排列数比较方便；二是当对含有字母的排列数的式子进行变形和论证时，写成这种形式有利于发现相互之间的关系。

（7）对于阶乘的概念，可以从两个阶乘之间的关系的角度来引导学生认识。我们规定0!1，教学中可以向学生说明，这是数学研究中为了方便而作的一种约定。

（8）由于排列的应用题的解法没有明显的规律，一个问题往往可以从多种途径考虑，因此具有较大的灵活性，是学生学习的一个难点。通过这一部分的教学，在使学生获得一些解决排列问题的解题经验，初步学会一些分析排列问题的方法外，还要注意提高学生解决应用题的能力。

（9）例题中例3设计了2个小题，目的是通过比较，引导学生认真细致地分析题意，发现题意的细小差别，正确解题。例4是一个带有限制条件的排列问题，教科书给了3种解法，教学中应引导学生体会从不同的角度分析一个问题的好处。这样不仅可以获得不同的解题方法，而且可以加深对问题的认识，检验不同思路的正确性，培养思维的灵活性，提高自己分析和解决问题的能力。 2. 组合

（1）本小节开篇以“探究”引入，目的是引导学生通过与排列一节中相应问题的比较，在引出组合概念的同时，使嘘声体会组合概念与排列概念的联系与区别。用比较的方法引出新知识，对学生领悟数学概念的本质很有好处。 （2）排列概念与组合概念的共同点是，都要“从n个不同元素中，任取m个元素”，不同点是排列要“按照一定的顺序排成一列”，而组合却是“不管顺序地并成一组”。因此，在分析具体问题时，应当启发学生抓住“顺序”这个关键来区分排列问题与组合问题。

（3）教学中，应充分利用第21页的“探究”，引导学生进行认真分析。为了让学生更加明确排列与组合的关系，教师还可以再举例说明。

（4）在组合数概念的教学中，要注意引导学生区分“组合数”与“一个组合”两个概念。组合数公式的推导过程体现了众多数学思想方法的应用。教学的关键是引导嘘声研究组合与排列的俄关系，发现排列可以分为“先取元素，再作全排列”两个步骤。 （5）指出求组合数的公式Cnmn!的优势，强调Cn01是一种规定。

m!(nm)!（6）本小节安排了4个例题，例7是与向量概念结合的一个题，例8则是一个产品抽样检查的组合计算问题，其解题思路是“先分类，后分步”。

§1.3 二项式定理 （一）本节知识结构

（二）教学重点与难点

1.重点：用两个计数原理分析(ab)2的展开式，归纳地得出二项式定理，并能用计数原理证明；掌握二项展开式的通项公式；能应用它解决简单问题；学会讨论二项式系数性质的一些方法

2.难点：用两个计数原理分析(ab)2的展开式；用两个计数原理证明二项式定理。 （三）教学建议 1.二项式定理

（1）将二项式的展开式与“计数问题”联系在一起是不容易的，因此教科书首先采用合情推理的方法，在“探究”过程中提出如何利用两个计数原理得出

(ab)2,(ab)3,(ab)4的展开式问题；再从其过程中从两个计数原理的角度分析，

概括出项数以及项的形式。

（2）二项式定理的证明采用了“说理”的方法，比较通俗易懂。

（3）获得二项式定理后，应当引导学生对二项展开式进行细致分析，使学生认识以下几点：①它有n1项； ②各项的次数都等于二项式的次数n；

③字母a按降幂排列，次数由n递减到0；字母b按升幂排列，次数由0递增到n；

④二项展开式中系数Cnm只与二项式的次数n有关，与a,b无关。 2.“杨辉三角”与二项式系数的性质

（1）为了使学生建立“杨辉三角”与二项式系数的性质之间关系的直觉，教科书在“探究”中要求学生计算并条表，观察表格发现规律。

（2）由于二项式系数组成的数列就是一个离散函数，所以教科书引导学生从函数的角度研究而想害死系数的性质。这样处理便于建立知识的前后联系，让学生体会用函数知识研究问题的方法。利用几何直观，数形结合地进行思考。