2020年中考数学真题分类训练——专题八：二次函数

一、选择题

1．（2019山西）北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥（如图1），它由五个高度不同，跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊桥，拉索与主梁相连，最高的钢拱如图2所示，此钢拱（近似看成二次函数的图象-抛物线）在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于A，B两点．拱高为78米（即最高点O到AB的距离为78米），跨径为90米（即AB=90米），以最高点O为坐标原点，以平行于AB的直线为x轴建立平面直角坐标系，则此抛物线钢拱的函数表达式为

A．y=

262

x 675 B．y=-

262

x 675C．y=

132

x 1350 D．y=-

132

x 1350【答案】B

2．（2019舟山）小飞研究二次函数y=–（x–m）2–m+1（m为常数）性质时，有如下结论： ①这个函数图象的顶点始终在直线y=–x+1上；

②存在一个m的值，使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形； ③点A（x1，y1）与点B（x2，y2）在函数图象上，若x12m，则y13．（2019杭州）在平面直角坐标系中，已知a≠b，设函数y=（x+a）（x+b）的图象与x轴有M个交点， 函数y=（ax+1）（bx+1）的图象与x轴有N个交点，则

B．②

C．③

D．④

A．M=N-1或M=N+1 C．M=N或M=N+1 【答案】C

B．M=N-1或M=N+2 D．M=N或M=N-1

4．（2019温州）已知二次函数y=x2﹣4x+2，关于该函数在﹣1≤x≤3的取值范围内，下列说法正确的是 A．有最大值﹣1，有最小值﹣2 B．有最大值0，有最小值﹣1 C．有最大值7，有最小值﹣1 D．有最大值7，有最小值﹣2 【答案】D

5．（2019天津）二次函数yax2bxc（a,b,c是常数，a0）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：

1且当x时，与其对应的函数值y0．有下列结论：①abc0；②2和3是关于x的方程

2axbxct的两个根；③0mn220．其中，正确结论的个数是 3C．2

D．3

A．0 B．1

【答案】C

6．（2019衢州）二次函数y=（x﹣1）2+3图象的顶点坐标是 A．（1，3） C．（﹣1，3） 【答案】A

B．（1，﹣3） D．（﹣1，﹣3）

7．（2019临沂）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示．下列结论：①小球在空中经过的路程是40m；②小球抛出3秒后，速度越来越快；③小球抛出3秒时速度为0；④小球的高度h30m时，t1.5s．其中正确的是

A．①④ 【答案】D

B．①② C．②③④ D．②③

8．（2019湖州）已知a，b是非零实数，|a|>|b|，在同一平面直角坐标系中，二次函数y1=ax2+bx与一次函数y2=ax+b的大致图象不可能是

A． B．

C． D．

【答案】D

9．（2019遂宁）二次函数yx2axb的图象如图所示，对称轴为直线x2，下列结论不正确的是

A．a4

B．当b4时，顶点的坐标为(2,8) C．当x1时，b5

D．当x3时，y随x的增大而增大 【答案】C

10．（2019绍兴）在平面直角坐标系中，抛物线y(x5)(x3)经过变换后得到抛物线y(x3)(x5)，则这个变换可以是 A．向左平移2个单位 C．向左平移8个单位 【答案】B

11．（2019济宁）将抛物线yx26x5向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的抛物线解析式是 A．y(x4)26 C．y(x2)22 【答案】D

12．（2019福建）若二次函数y=|a|x2+bx+c的图象经过A（m，n）、B（0，y1）、C（3-m，n）、D（2，

B．y(x1)23 D．y(x4)22

B．向右平移2个单位 D．向右平移8个单位

y2）、E（2，y3），则y1、y2、y3的大小关系是

A．y1B．y1C．y3D．y2【答案】D

13．（2019兰州）已知点A（1，y1），B（2，y2）在抛物线y=-（x+1）2+2上，则下列结论正确的是 A．2>y1>y2 【答案】A

14．（2019河南）已知抛物线y=-x2+bx+4经过（-2，n）和（4，n）两点，则n的值为 A．-2

B．-4

C．2

D．4

B．2>y2>y1

C．y1>y2>2

D．y2>y1>2

【答案】B 二、填空题

15．（2019广安）在某市中考体考前，某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系为y成绩为__________米． 【答案】10

16．（2019济宁）如图，抛物线yax2c与直线ymxn交于A（-1，P），B（3，q）两点，则不等式ax2mxcn的解集是__________．

1225xx，由此可知该生此次实心球训练的1233

【答案】x3或x1

17．（2019凉山州）当0x3时，直线ya与抛物线y(x1)23有交点，则a的取值范围是_________． 【答案】3a1

18．（2019安徽）在平面直角坐标系中，垂直于x轴的直线l分别与函数y=x-a+1和y=x2-2ax的图象相交 于P，Q两点．若平移直线l，可以使P，Q都在x轴的下方，则实数a的取值范围是__________．

【答案】a>1或a<-1

19．（2019哈尔滨）二次函数y=-（x-6）2+8的最大值是__________． 【答案】8 三、解答题

0)、B(x2，0)两点，20．（2019凉山州）已知二次函数yx2xa的图象与x轴交于A(x1，且

求a的值．

111，2x12x20)、B(x2，0)两点， 解：y＝x2xa的图象与x轴交于A(x1，∴x1x21，x1x2a，

2x1x22x1x212a111x12x2∵22， 222x1x2x12x2ax1x22∴a12或a12．

21．（2019湖州）已知抛物线y2x24xc与x轴有两个不同的交点． （1）求c的取值范围；

（2）若抛物线y2x24xc经过点A2,m和点B3,n，试比较m与n的大小，并说明理由． 解：（1）b24ac48c16 8c， 由题意，得b24ac0， ∴16 8c0， ∴c的取值范围是c2． （2）mn，理由如下： ∵抛物线的对称轴为直线x1， 又∵a20，

∴当x1时，y随x的增大而增大，

2∵23，∴mn．

222．（2019威海）在画二次函数yaxbxca0的图象时，甲写错了一次项的系数，列表如下：

乙写错了常数项，列表如下：

通过上述信息，解决以下问题：

2（1）求原二次函数yaxbxca0的表达式；

2（2）对于二次函数yaxbxca0，当x__________时，y的值随x的值增大而增大；

（3）若关于x的方程axbxcka0有两个不相等的实数根，求k的取值范围．

2解：（1）由甲同学的错误可知c=3，

由甲同学提供的数据，当x=-1时，y=6；当x=1时，y=2， 有6ab3a1，∴，∴a=1，

2ab3b2由甲同学给的数据a=1，c=3是正确的； 由乙同学提供的数据，可知c=-1， 当x=-1时，y=-2；当x=1时，y=2，

2ab1a1有，∴，

2ab1b2∴a=1，b=2，∴y=x2+2x+3．

（2）y=x2+2x+3的对称轴为直线x=-1，∴抛物线开口向上， ∴当x≥-1时，y的值随x的值增大而增大．故答案为：≥-1． （3）方程ax2+bx+c=k（a≠0）有两个不相等的实数根， 即x2+2x+3-k=0有两个不相等的实数根， ∴Δ=4-4（3-k）>0， ∴k>2．

23．（2019宿迁）超市销售某种儿童玩具，如果每件利润为40元（市场管理部门规定，该种玩具每件利润不能超过60元），每天可售出50件．根据市场调查发现，销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件．设销售单价增加x元，每天售出y件． （1）请写出y与x之间的函数表达式；

（2）当x为多少时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元？

（3）设超市每天销售这种玩具可获利w元，当x为多少时w最大，最大值是多少？

1x50． 21（2）根据题意得，40x(x50)2250，

2解：（1）根据题意得，y解得：x150，x210， ∵每件利润不能超过60元， ∴x10，

答：当x为10时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元． （3）根据题意得，w40x(∵a1112x50)x230x2000x302450， 22210， 2∴当x30时，w随x的增大而增大， ∴当x=20时，w增大2400，

答：当x为20时w最大，最大值是2400元．

24．（2019潍坊）扶贫工作小组对果农进行精准扶贫，帮助果农将一种有机生态水果拓宽了市场．与去年相比，今年这种水果的产量增加了1000千克，每千克的平均批发价比去年降低了1元，批发销售总额比去年增加了20%．

（1）已知去年这种水果批发销售总额为10万元，求这种水果今年每千克的平均批发价是多少元？ （2）某水果店从果农处直接批发，专营这种水果．调查发现，若每千克的平均销售价为41元，则每天可售出300千克；若每千克的平均销售价每降低3元，每天可多卖出180千克，设水果店一天的利润为w元，当每千克的平均销售价为多少元时，该水果店一天的利润最大，最大利润是多少？（利润计算时，其它费用忽略不计）

解：（1）由题意，设这种水果今年每千克的平均批发价是x元，则去年的批发价为x1元， 今年的批发销售总额为10120%12万元， ∴

1200001000001000， xx1整理得x219x1200，

解得x24或x5（不合题意，舍去）， 故这种水果今年每千克的平均批发价是24元． （2）设每千克的平均售价为m元，依题意 由（1）知平均批发价为24元，则有

wm24(41m180300)60m24200m66240， 32整理得w60m357260， ∵a600， ∴抛物线开口向下，

∴当m35元时，w取最大值，

即每千克的平均销售价为35元时，该水果店一天的利润最大，最大利润是7260元．

25．（2019南充）在“我为祖国点赞”征文活动中，学校计划对获得一、二等奖的学生分别奖励一支钢笔，一本笔记本.已知购买2支钢笔和3个笔记本共38元，购买4支钢笔和5个笔记本共70元． （1）钢笔、笔记本的单价分别为多少元？

（2）经与商家协商，购买钢笔超过30支时，每增加一支，单价降低0.1元；超过50支，均按购买50支的单价销售，笔记本一律按原价销售，学校计划奖励一、二等奖学生共计100人，其中一等奖的人数不少于30人，且不超过60人，这次奖励一等学生多少人时，购买奖品金额最少，最少为多少元？ 解：（1）设钢笔、笔记本的单价分别为x、y元，根据题意可得

2x3y38， 4x5y70x10解得：．

y6答：钢笔、笔记本的单价分别为10元，6元．

（2）设钢笔单价为a元，购买数量为b支，支付钢笔和笔记本总金额为W元， ①当30≤b≤50时，

a100.1(b30)0.1b13，

w=b（-0.1b+13）+6（100-b）0.1b27b6000.1(b35)2722.5，

∵当b30时，W=720，当b=50时，W=700， ∴当30≤b≤50时，700≤W≤722.5． ②当50＜b≤60时，

a=8，

W8b6(100b)2b600，

∵700W720，

∴当30≤b≤60时，W的最小值为700元， ∴当一等奖人数为50时花费最少，最少为700元．

26．（2019梧州）我市某超市销售一种文具，进价为5元/件．售价为6元/件时，当天的销售量为100件．在销售过程中发现：售价每上涨0.5元，当天的销售量就减少5件．设当天销售单价统一为x元/件（x≥6，且x是按0.5元的倍数上涨），当天销售利润为y元．

（1）求y与x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）要使当天销售利润不低于240元，求当天销售单价所在的范围；

（3）若每件文具的利润不超过80%，要想当天获得利润最大，每件文具售价为多少元？并求出最大利润．

解：（1）由题意，y=（x-5）（100-

x6×5）=-10x2+210x-800， 0.5故y与x的函数关系式为：y=-10x2+210x-800． （2）要使当天利润不低于240元，则y≥240， ∴y=-10x2+210x-800=-10（x-10.5）2+302.5=240， 解得，x1=8，x2=13，

∵-10<0，抛物线的开口向下，

∴当天销售单价所在的范围为8≤x≤13． （3）∵每件文具利润不超过80%， ∴

x50.8，得x≤9， x∴文具的销售单价为6≤x≤9，

由（1）得y=-10x2+210x-800=-10（x-10.5）2+302.5， ∵对称轴为x=10.5，

∴6≤x≤9在对称轴的左侧，且y随着x的增大而增大，

∴当x=9时，取得最大值，此时y=-10（9-10.5）2+302.5=280， 即每件文具售价为9元时，最大利润为280元．

27．（2019云南）某驻村扶贫小组实施产业扶贫，帮助贫困农户进行西瓜种植和销售．已知西瓜的成本为6元/千克，规定销售单价不低于成本，又不高于成本的两倍．经过市场调查发现，某天西瓜的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）的函数关系如图所示： （1）求y与x的函数解析式（也称关系式）； （2）求这一天销售西瓜获得的利润W的最大值．

解：（1）当6≤x≤10时，设y与x的关系式为y=kx+b（k≠0）， 根据题意得10006kbk200，解得，

20010kbb2200∴y=-200x+1200， 当10200(10x12)（2）由已知得：W=（x-6）y， 当6≤x≤10时，

W=（x-6）（-200x+1200）=-200（x-∵-200<0，抛物线的开口向下， ∴x=

172

）+1250， 217时，取最大值， 2∴W=1250，

当10∴x=12时取得最大值，W=200×12-1200=1200，

综上所述，当销售价格为8.5元时，取得最大利润，最大利润为1250元．

28．（2019成都）随着5G技术的发展，人们对各类5G产品的使用充满期待，某公司计划在某地区销售一款5G产品，根据市场分析，该产品的销售价格将随销售周期的变化而变化．设该产品在第x（x为正整数）个销售周期每台的销售价格为y元，y与x之间满足如图所示的一次函数关系． （1）求y与x之间的关系式；

（2）设该产品在第x个销售周期的销售数量为p（万台），p与x的关系可以用p=

11x+来描述．根据以22上信息，试问：哪个销售周期的销售收入最大？此时该产品每台的销售价格是多少元？

解：（1）设函数的解析式为：y=kx+b（k≠0），由图象可得，

kb7000， 5kb5000解得k500，

b7500∴y与x之间的关系式：y=-500x+7500． （2）设销售收入为w万元，根据题意得，

w=yp=（-500x+7500）（

11x+），即w=-250（x-7）2+16000， 22∴当x=7时，w有最大值为16000，

此时y=-500×7+7500=4000（元）．

答：第7个销售周期的销售收入最大，此时该产品每台的销售价格是4000元．

29．（2019武汉）某商店销售一种商品，童威经市场调查发现：该商品的周销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润w（元）的三组对应值如表：

注：周销售利润=周销售量×（售价-进价）

（1）①求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；

②该商品进价是__________元/件；当售价是__________元/件时，周销售利润最大，最大利润是__________元．

（2）由于某种原因，该商品进价提高了m元/件（m>0），物价部门规定该商品售价不得超过65元/件，该商店在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系．若周销售最大利润是1400元，求m的值．

解：（1）①依题意设y=kx+b， 则有50kb100，

60kb80k2解得，

b200所以y关于x的函数解析式为y=-2x+200． ②该商品进价是50-1000÷100=40， 设每周获得利润w=ax2+bx+c，

2500a50bc1000则有3600a60bc1600，

6400a80bc1600a2解得b280，

c8000∴w=-2x2+280x-8000=-2（x-70）2+1800，

∴当售价是70元/件时，周销售利润最大，最大利润是1800元； 故答案为：40，70，1800；

（2）根据题意得，w=（x-40-m）（-2x+200）=-2x2+（280+2m）x-8000-200m，

140m， 2140m140m∴①当<65时（舍），②当≥65时，x=65时，w求最大值1400，

22∵对称轴x=解得：m=5．

30．（2019杭州）设二次函数y=（x﹣x1）（x﹣x2）（x1，x2是实数）． （1）甲求得当x=0时，y=0；当x=1时，y=0；乙求得当x为乙求得的结果正确吗？说明理由．

（2）写出二次函数图象的对称轴，并求该函数的最小值（用含x1，x2的代数式表示）．

（3）已知二次函数的图象经过（0，m）和（1，n）两点（m，n是实数），当024（3）二次函数的图象经过（0，m）和（1，n）两点， ∴m=x1x2，n=1﹣x1﹣x2+x1x2， ∴mn=[(x1)2∵0（1）当m=0时，求该抛物线下方（包括边界）的好点个数． （2）当m=3时，求该抛物线上的好点坐标．

（3）若点P在正方形OABC内部，该抛物线下方（包括边界）恰好存在8个好点，求m的取值范围．

解：（1）如图1中，当m=0时，二次函数的表达式y=﹣x2+2，函数图象如图1所示．

∵当x=0时，y=2，当x=1时，y=1， ∴抛物线经过点（0，2）和（1，1），

观察图象可知：好点有：（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），共5个． （2）如图2中，当m=3时，二次函数解析式为y=﹣（x﹣3）2+5．如图2．

∵当x=1时，y=1，当x=2时，y=4，当x=4时，y=4， ∴抛物线经过（1，1），（2，4），（4，4），

由图象可知，抛物线上存在好点，坐标分别为（1，1），（2，4），（4，4）． （3）如图3中，∵抛物线的顶点P（m，m+2）， ∴抛物线的顶点P在直线y=x+2上， ∵点P在正方形内部，则0如图3中，E（2，1），F（2，2），观察图象可知，当点P在正方形OABC内部，该抛物线下方（包括边界）恰好存在8个好点时，抛物线与线段EF有交点（点F除外）， 当抛物线经过点E时，﹣（2﹣m）2+m+2=1， 解得m513513或（舍弃）， 22当抛物线经过点F时，﹣（2﹣m）2+m+2=2， 解得m=1或4（舍弃）， ∴当

513m<1时，顶点P在正方形OABC内部，该抛物线下方（包括边界）恰好存在8个好点． 232．（2019台州）已知函数y=x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（–2，4）． （1）求b，c满足的关系式；

（2）设该函数图象的顶点坐标是（m，n），当b的值变化时，求n关于m的函数解析式；

（3）若该函数的图象不经过第三象限，当–5≤x≤1时，函数的最大值与最小值之差为16，求b的值． 解：（1）将点（–2，4）代入y=x2+bx+c， 得–2b+c=0， ∴c=2b；

b4cb2（2）m，n，

248bb2∴n. ，

4∴n=2b–m2=–4m–m2；

b2b2（3）y=x+bx+2b=（x）2b，

242

对称轴xb， 2当b≤0时，c≤0，函数不经过第三象限，则c=0；

此时y=x2，当–5≤x≤1时，函数最小值是0，最大值是25， ∴最大值与最小值之差为25；（舍去）

当b>0时，c>0，函数不经过第三象限，则△≤0， ∴0≤b≤8， ∴–4≤xb0， 2b2当–5≤x≤1时，函数有最小值2b，

4b2时，函数有最大值1+3b， 2b当–21时，函数有最大值25–3b；

2当–5函数的最大值与最小值之差为16，

b2当最大值1+3b时，1+3b2b=16，

4∴b=6或b=–10， ∵4≤b≤8， ∴b=6；

b2当最大值25–3b时，25–3b2b=16，

4∴b=2或b=18，

∵2≤b≤4， ∴b=2；

综上所述b=2或b=6．

33．（2019温州）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y在点B的左侧）．

（1）求点A，B的坐标，并根据该函数图象写出y≥0时x的取值范围．

（2）把点B向上平移m个单位得点B1．若点B1向左平移n个单位，将与该二次函数图象上的点B2重合；若点B1向左平移（n+6）个单位，将与该二次函数图象上的点B3重合．已知m>0，n>0，求m，n的值．

12

x+2x+6的图象交x轴于点A，B（点A2

解：（1）令y=0，则解得x1=﹣2，x2=6，

12x2x60， 2∴A（﹣2，0），B（6，0），

由函数图象得，当y≥0时，﹣2≤x≤6；

（2）由题意得，B1（6，m），B2（6﹣n，m），B3（﹣n，m）， 函数图象的对称轴为直线x262， 2∵点B2，B3在二次函数图象上且纵坐标相同， ∴

6nn22，

∴n=1， ∴m17(1)2216， 22∴m，n的值分别为

7，1． 234．（2019宁波）如图，已知二次函数y=x2+ax+3的图象经过点P（﹣2，3）． （1）求a的值和图象的顶点坐标． （2）点Q（m，n）在该二次函数图象上． ①当m=2时，求n的值；

②若点Q到y轴的距离小于2，请根据图象直接写出n的取值范围．

解：（1）把点P（﹣2，3）代入y=x2+ax+3中， 得3=（–2）2–2a+3， 解得a=2，

∴y=x2+2x+3=（x+1）2+2， ∴顶点坐标为（﹣1，2）；

（2）①把x=2代入y=x²+2x+3，求得y=11， 当m=2时，n=11；

②点Q到y轴的距离小于2， ∴|m|<2， ∴﹣235．（2019衢州）某宾馆有若干间标准房，当标准房的价格为200元时，每天入住的房间数为60间．经市

场调查表明，该馆每间标准房的价格在170～240元之间（含170元，240元）浮动时，每天入住的房间数y（间）与每间标准房的价格x（元）的数据如下表：

x（元） y（间）

… …

190 65

200 60

210 55

220 50

… …

（1）根据所给数据在坐标系中描出相应的点，并画出图象．

（2）求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围．

（3）设客房的日营业额为w（元）．若不考虑其他因素，问宾馆标准房的价格定为多少元时，客房的日营业额最大？最大为多少元？ 解：（1）如图所示：

（2）设y=kx+b，

将（200，60）、（220，50）代入，得：200kb60，

220kb501k解得2，

b1601x+160（170≤x≤240）； 211（3）w=xy=x（x+160）x2+160x，

22b∴对称轴为直线x160，

2a1∵a0，

2∴y∴在170≤x≤240范围内，w随x的增大而减小， ∴当x=170时，w有最大值，最大值为12750元．

36．（2019舟山）某农作物的生长率p与温度t（℃）有如下关系：如图，当10≤t≤25时可近似用函数

p1t1刻画；当25≤t≤37时可近似用函数p1（t–h）2+0.4刻画．

505160

（1）求h的值．

（2）按照经验，该作物提前上市的天数m（天）与生长率p之间满足已学过的函数关系，部分数据如下：

求：①m关于p的函数表达式； ②用含t的代数式表示m．

③天气寒冷，大棚加温可改变农作物生长速度．大棚恒温20℃时每天的成本为100元，计划该作物30天后上市，现根据市场调查：每提前一天上市售出（一次售完），销售额可增加600元．因此决定给大棚继续

加温，但加温导致成本增加，估测加温到20≤t≤25时的成本为200元/天，但若欲加温到25解：（1）把（25，0.3）代入p1（t–h）2+0.4，

160得0.31（25–h）2+0.4，

160解得h=29或h=21， ∵25≤t≤37， ∴h=29．

（2）①由表格可知，m是p的一次函数， 设m=kp+b，

把（0.2，0），（0.3，10）代入得00.2kb， 100.3kb解得k100， b20∴m=100p–20．

②当10≤t≤25时，p1t1，

505∴m=100（1t1）–20=2t–40；

505当25≤t≤37时，p1（t–29）2+0.4，

160∴m=100[1（t–29）2+0.4]–205（t–29）2+20，

160810t252t40，∴m5. 2(t29)20，25t378③当20≤t≤25时，增加的利润为：

600m+[100×30–200（30–m）]=800m–3000=1600t–35000，

当t=25时，增加的利润的最大值为1600×25–35000=5000（元）； 当25600m+[100×30–400（30–m）]=1000m–9000=–625（t–29）2+11000， ∴当t=29时，增加的利润的最大值为11000元．

综上，当t=29时，提前20天上市，增加的利润最大，最大值为11000元．

37．（2019湖州）如图1，已知在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是矩形，点A，C分别在x轴和y轴的正半轴上，连结AC，OA=3，tan∠OAC（1）求OC的长和点D的坐标；

（2）如图2，M是线段OC上的点，OM2OC，点P是线段OM上的一个动点，经过P，D，B三点的抛

3，D是BC的中点． 33物线交x轴的正半轴于点E，连结DE交AB于点F．

①将△DBF沿DE所在的直线翻折，若点B恰好落在AC上，求此时BF的长和点E的坐标；

②以线段DF为边，在DF所在直线的右上方作等边△DFG，当动点P从点O运动到点M时，点G也随之运动，请直接写出点G运动路径的长．

解：（1）∵OA=3，tan∠OACOCOA3， 3∴OC3．

∵四边形OABC是矩形， ∴BC=AO=3． ∵D是BC的中点，

∴CD1BC3，

22∴点D的坐标为（3，3）．

2（2）①∵tan∠OAC∴∠OAC=30°，

3， 3∴∠ACB=∠OAC=30°．

设将△DBF翻折后，点B落在AC上的B'处， 则DB'=DB=DC，∠BDF=∠B'DF， ∴∠DB'C=∠ACB=30°， ∴∠BDB'=60°， ∴∠BDF=∠B'DF=30°． ∵∠B=90°， ∴BF=BD•tan30°∵AB3， ∴AF=BF3． 23． 2∵∠BFD=∠AFE，∠B=∠FAE=90°， ∴△BFD≌△AFE（ASA）， ∴AE=BD3，

2∴OE=OA+AE9，

2∴点E的坐标为（9，0）；

2②动点P在点O时，

∵抛物线过点P（0，0）、D（3，3）、B（3，3）

2求得此时抛物线解析式为y2x23x，

9∴E（9，0），

2∴直线DE：y3x33， 2∴F1（3，123）；

当动点P从点O运动到点M时，

∵抛物线过点P（0，23）、D（3，3）、B（3，3）

32求得此时抛物线解析式为y2∴E（6，0），

273x2

323， x33∴直线DE：y23x43，

93∴F2（3，23）；

3∴点F运动路径的长为F1F223333， 26∵△DFG为等边三角形， ∴G运动路径的长为3．

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