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第一单元 小数乘法 ...................................................................................... 1 第二单元 小数除法 ...................................................................................... 3 第三单元 观察物体 .................................................................................... 11 第四单元 简易方程 .................................................................................... 13 第五单元 多边形的面积 ............................................................................ 20 第六单元 统计与可能性 ............................................................................ 27 第七单元 数学广角 .................................................................................... 31
第一单元 小数乘法
1、 小数乘以整数的方法:
以0.72×13为例 (1)将小数看成整数,用整数的方法对齐竖式 相当于算72×13时的竖式对齐
(2)先按照看成的整数进行计算 相当于算72×13,得936
(3)最后分析小数点的移动,看成整数时向右移动了几位,就要将得数的小数点向左移动相同的位数 2、 小数乘以整数的方法(末尾有0,容易错误的):
末尾有0的小数乘以整数,方法和末尾没有0的其实是一样的,只是要注意,整数乘法末尾的0要用虚线隔开先不算,在得数后面再添上(一共有几个就添几个),最后再确定小数点的位置。即:先添0,再移动。
以下仅展示2个例题
3、 小数乘以小数的方法(与小数乘以整数的方法类似):
以10.6×0.75为例
(1) 先按整数乘法算出积。相当于算106×75(把6与5对齐),算出积得7950 (2) 再给积点上小数点,看因数中一共有几位小数,就从积的右边起数出几位,点上小数点。10.6是一位小数,0.75是两位小数,一共有三位小数。所以从积7950
的右边起数出三位,点上小数点,得7.950(小数末尾的0要划掉)
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(3) 如果积的小数位数不够,要在前面用0补足。 4、 小数乘法的意义:
与整数乘法类似,3.2×4.5表示3.2的4.5倍,而不说4.5个3.2连加的和 5、 积与第一个因数的关系:
一个数(0除外)乘小于1的数,积比原来的数小。如3×0.8=2.4<3 一个数(0除外)乘大于1的数,积比原来的数大。如3×1.06=3.18>3 6、 积的近似数:即在计算之后对积求近似数
知识链接1——(四年级下册)求小数近似数的方法:确定精确度,找出尾数,对尾数的最高位“四舍五入”—— “四舍五入”法:0、1、2、3、4要舍去,5、6、7、8、9要入(向前一位进一)
例如,将“3.467千米”保留一位小数,尾数是67,最高位上的数字是6,向前一位进一,得3.5千米(单位要记得写!),检查,OK
知识链接2——(四年级下册)精确度的表示方法:
保留整数=精确到个位=省略个位后面的尾数 保留一位小数=精确到十分位=省略十分位后面的尾数 保留两位小数=精确到百分位=省略百分位后面的尾数
„„
知识链接3——(四年级下册)求近似数的注意事项:在表示近似数时,小数末尾的0不能去掉。如4.895保留两位小数得4.90,而不是4.9。
知识链接4——(四年级下册)求给定近似数的小数范围:如要求近似于4.36的三位小数的范围,因为是精确到百分位,所以关键是分析尾数最高位千分位的数字。有两种情况:如果千分位上的数字是“入”的情况,即5~9,则百分位数字原来应该更小一些,为5,所以可以是4.355~4.359;如果千分位上的数字是“舍”的情况,即0~4,则百分位数字不变,为6,所以可以是4.360~4.364。注意到4.360=4.36,所以近似数是4.36的三位小数范围是4.355~4.364,4.360除外。 7、 积的近似数的书写:
在横竖式计算的时候,当竖式计算出得数后,可将得数四舍五入保留近似数,直接在横式中写上近似数是多少,而不用写出精确值再求近似数。注意近似数要用“≈”符号。
8、 小数的四则运算顺序跟整数是一样的。
9、 整数乘法的运算定律,对于小数乘法也适用。 10、 常见题型一:根据已知算式直接写出其他算式的得数。
如,根据65×39=2535,直接写出下面算式的得数。
6.5×3.9 将小数转化成整数进行计算时,其实质是算65×39,与已知算式相同。因为因数中一共有两位小数,所以最后的积也应从右边数起两位,点上小数点,得25.35。 0.65×0.039 将小数转化成整数进行计算时,其实质是算65×39,与已知算式相同。因为因数中一共有五位小数,所以最后的积也应从右边数起五位,点上小数点,当积的位数不够时,要在前面添0占位,得0.02535。 11、 常见题型二:不计算出得数,直接根据已知算式填空。
如,6.5×3.9=( )×39=( )×0.39=0.065×( )=( )×( ) 6.5×3.9 其实质是算65×39,只不过最后要从积的右边数出一共两位点上小数点而已。所以后面每个相等的乘法算式的实质也应该是求65×39,最后也要从积的右边数出一共两位点上小数点。如果某个因数小数位数太多,就要在另一个因数末尾添0扩大。
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所以6.5×3.9=( 0.65 )×39=( 65 )×0.39=0.065×( 390 )=(0.0065)×(3900)
第二单元 小数除法
1、 小数除以整数的方法:
以7.8÷4为例
(1) 按照整数除法的
方法去除
(2) 商的小数点要和
被除数的小数点对齐
(3) 如果有余数,要添
0再除
2、 小数除以整数的方法
(商中间有0的,整数部分不够除的,被除数要添0的,容易错误的):
(1)如果除到哪一位,余数不够除以除数的,就要在这一位的商上面写0占位,然后把被除数下一位数字落下来继续除。以14.21÷7为例
(2)被除数如果小于除数,则所得的商一定比1小,即商的整数部分为0。所以,整数部分不够除,商0,点上小数点,再多看被除数的一位继续除。以1.8÷12为例
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(3)如果看到被除数的最后一位也不够除的,在被除数的小数部分末尾添上0,继续除。以0.4÷16和3÷4为例。
3、 一个数除以小数的方法:
原理:根据商不变规律,可以将被除数和除数同时扩大到相同的倍数,转化成整数进行计算,其中的关键是要将除数转化成整数。
知识链接——在除法算式中,被除数和除数同时乘以(或除以)相同的数(0除外),商不变。这叫做“商不变规律”(或商不变性质)。 (1) 先看除数有几位小数,将它扩大到整数
(2) 要使商不变,除数扩大到原来的几倍,被除数也要同时扩大到相同的倍数 (3) 按照一个数除以整数的方法来算
以下举3个例子说明小数点的不同处理方法:
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4、 整数除以小数,得数较大时的特殊情况(这一点有争议,为了便于判断余数,暂且按
照添上小数点并划掉的来做):
有时一个整数除以比较小的小数,整数要扩大相同倍数时末尾要添0,这时按照算理(被除数和除数同时扩大相同的倍数,即小数点向右移动相同的位数)要先点上小数点,再按照除以小数的方法进行计算。以15÷0.06为例
5、 商与第一个因数的关系:
一个数(0除外)除以小于1的数,商比被除数大。如4÷0.8=5>4 一个数(0除外)除以大于1的数,商比被除数小。如6÷1.2=5<6 6、 商与1的大小关系:
当被除数小于除数(0除外)时,商比1小。如4.8÷19.2=0.25<1 当被除数等于除数(0除外)时,商和1相等。
当被除数大于除数(0除外)时,商比1大。如6.4÷5=1.28>1 7、 商的近似数及其书写规范:
求商的近似数与求积的近似数的方法及规范类似,可以参考第一单元“积的近似数”部分的内容。同样,在横竖式计算的时候,当竖式计算出得数后,可将得数四舍五入保留近似数,直接在横式中写上近似数是多少,而不用写出精确值再求近似数。注意近似数要用“≈”符号。
不同的是,求积的近似数一般要算出整个积(因为积是有限小数),而求商的近似数的题目一般结果都是多位小数甚至无限小数,所以只要求算到比精确度多一位小数即可。以1.94÷1.2(保留两位小数)和34÷2.7(保留三位小数)为例
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8、 循环小数相关概念:
(1)有限小数:小数部分的位数是有限的小数,叫做有限小数。例如1.5和0.9375都是有限小数。
(2)无限小数:小数部分的位数是无限的小数,叫做无限小数。如3.141592„就是一个无限小数。
(3)循环小数:一个数的小数部分,从某一位起,一个数字或者几个数字依次不断重复出现,这样的小数叫做循环小数。如5.33„和7.14545„都是循环小数。 循环小数一定是无限小数,而无限小数却不一定是循环小数。
(4)循环节:一个循环小数的小数部分,依次不断重复出现的数字,叫做这个循环小数的循环节。例如,5.33„的循环节是3,6.9258258„的循环节是258。 (5)纯循环小数(不要求):循环节从小数部分第一位开始的循环小数,叫做纯循环小数。如0.33„和8.2525„都是纯循环小数。 (6)混循环小数(不要求):循环节不是从小数部分第一位开始的循环小数,叫做混循环小数。如1.233„和13.0984343„都是混循环小数。 9、 循环小数的写法: (1)竖式
竖式计算时,在算到余数重复出现的时候,就可以判断商是循环小数。循环节是从上一个重复余数的下一位到余数重复出现的那一位。书写竖式时,不要标注符号,只需算到余数重复出现即可停止。以6.64÷3.3和58÷27为例
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(2)横式及简便写法
在计算出商并确定相应的循环节后,在横式中补充完得数。得数至少要包含2个循环节,最后还要添上“„”(要与省略号区分开,只有3个点)以表示无限小数。
简便写法:写循环小数时,可以只写第一个循环节,并在这个循环节的首位和末位上面各记一个圆点。
注意:循环小数的得数是准确数,要用“=”符号进行连接。同样以上面两题为例,循环小数已经是无限小数,不能在末尾添小省略号“„”了!
10、 循环小数横竖式常见问题
横式:简便写法不够简便。如“将8.02342342„用简便写法表示”,有学生答案是
其实分析此无限小数,最先出现循环的小数部分是234,最后一个2同样也符合这个规律,只不过它是循环节出现第三次的第一个数字了。所以答案最好应该是 竖式:在教学循环小数时,如果在整数部分算出的余数在小数部分第一位就重复了,有的学生就容易搞混,甚至把循环节的“·”记在整数部分。以130÷3为例
回到课本P28,看概念——“循环小数:一个数的小数部分,从某一位起,一个数字或者几个数字依次不断重复出现,这样的小数叫做循环小数。”、“循环节:一个循环小数的小数部分,依次不断重复出现的数字,叫做这个循环小数的循环节。”结论:循环节只能出现在小数部分,只有在计算到小数部分得出余数重复时,才能确定循环节。
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11、 循环小数的大小比较与求近似数:
循环小数的大小比较方法与普通小数相同,只要多写出几位并依次比较即可;循环小数求近似数的方法与普通小数相同,只要比精确到的数位多写出一位并对其四舍五入即可。 如:
12、 常见除法数量关系: (1)每份数×份数=总数 总数÷每份数=份数 总数÷份数=每份数 (2)1倍数×倍数=几倍数 几倍数÷1倍数=倍数 几倍数÷倍数=1倍数 (3)速度×时间=路程 路程÷速度=时间 路程÷时间=速度 (4)单价×数量=总价 总价÷单价=数量 总价÷数量=单价 (5)工作效率×工作时间=工作总量 工作总量÷工作效率=工作时间 工作总量÷工作时间=工作效率
(6)无余数时:被除数÷除数=商 被除数÷商=除数 商×除数=被除数 (7)有余数时:(被除数-余数)÷除数=商 (被除数-余数)÷商=除数 被除数=除数×商+余数 13、 数量关系式的推导与写法:
新课程强调在发展学生数学理解的前提下进行数量关系的抽象概括,即在明确运算意义的基础上建立相应的数学模型——数量关系式正是小学阶段一种典型的数学模型,在解决问题之前写出数量关系式有助于学生把握数量关系,提高解题能力。从这一单元起,我们要求学生在解决问题前先列出数量关系式,再根据数量关系式列式计算。
数量关系式的推导有以下几个步骤: (1) 明确数量 (2) 寻找关系 (3) 综合分析
以《学习指导丛书》P23,2(2)为例:“买4支圆珠笔和3本笔记本共花7.35元,已知笔记本每本0.65元,圆珠笔每支多少钱?”
先明确数量,用简单的文字概括题目条件。如“4支圆珠笔”简称“笔数”,“7.35元”是“笔、本总价”,“笔记本每本0.65元”是“本单价”,等等。
再寻找关系,我们一般从问题入手寻找条件和关系。问题“圆珠笔没值多少钱”就是要求“笔单价”。而根据“单价=总价÷数量”,得出
“笔数”从题目条件得出为“4支”,就要找“笔总价”。而由“笔总价”加上“本总价”等于“笔、本总价”得出 “笔、本总价”已知是7.35元,继续寻找“本总价”,得出 “本单价”和“本数”都是题目所给条件。
所有条件已知,将数量关系式综合分析,相同的数量关系层层代入,形成综合数量关系式。
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当明确综合数量关系式后,只要代入已知条件形成算式即可,注意先算(上层)的步骤要用小括号保护,以防运算顺序错误,待列出综合式后再简化。 代入条件得 【7.35-(0.65×3)】÷4,其中0.65×3的小括号不影响运算顺序,可以去掉,得到正确的列式为 (7.35-0.65×3)÷4。最后计算、答(略)。 14、 数量关系练习:请参照以下题目自己分析出数量关系式。 (1)一间教室长13米,宽8.4米,用面积0.09平方米的方砖铺地面,需要这种方砖多少块? (2)五(1)班买来2根10m长的绳子准备做跳绳,一根跳绳长1.4m,最多能做几根? (3)甲种牛奶每箱24袋,共40.8元;乙种牛奶每箱22袋,共35.2元,这两种牛奶哪种便宜?一袋便宜多少钱?
(4)学校买来10箱粉笔,用去250盒后,还剩下550盒,平均每箱多少盒?
(5)小丽和兰兰玩跳绳,小丽跳的个数是兰兰的4倍,兰兰再跳39个就和小丽同样多。小丽和兰兰各跳多少个?
(6)已知长方形的宽是长的一半,它的长是3.6米,这个长方形的周长是多少米?面积是多
少米? 15、 “进一法”与“去尾法”的实际应用:
因为按照实际情况有时不能简单的用四舍五入求近似数,就要看情况“进一”和“去尾”。
“进一法”例题:
小明的妈妈要将2.5千克香油分装,每个瓶装0.4千克,需要几个瓶? 数量关系式:总油量÷每瓶油量=瓶数
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2.5÷0.4=6.25(个)
而瓶子只有整数个,而四舍五入成6的话显然不够,所以要“进一”。 6+1=7(个)
答:需要7个瓶子。 “去尾法”例题:
用一根成35米的绳子剪跳绳,每根跳绳长2.3米,最多能剪几根? 数量关系式:总长÷每根长=根数 35÷2.3=
计算时发现商是无限小数(循环节很长),而也不需要保留很多位小数,根据“进一法”或“去尾法”,计算时至少要保留一位小数(精确到十分位),至少要算到小数后第二位(百分位)。所以按照右图的列式方法为宜,横式写作 35÷2.3≈15.2(根)
用“去尾法”再去掉小数部分,为15根,即最多能剪15根。 答:最多能剪15根。 常见错误:35÷2.3≈15(根)
分析,保留整数,商的范围可能是14.5到15.4之间,用“去尾法”得数不一样,是错误的!
因此,根据“进一法”或“去尾法”,计算时至少要保留一位小数(精确到十分位),至少要算到小数后第二位(百分位)。 16、 除法运算中求余数的方法: 例题:“用一根成35米的绳子剪跳绳,每根跳绳长2.3米,最多能剪几根?还剩多少米” 方法一:根据有余数时除法的数量关系:
(被除数-余数)÷除数=商 (被除数-余数)÷商=除数 被除数=除数×商+余数
35-2.3×15 得出 余数=被除数-除数×商
要在 35÷2.3≈15.2(根)后列出补充说明。 =35-34.5 =0.5(米) 方法二:从竖式直接看出
观察下面3个算式,左边是计算原式。中间红线左侧是计算到个位时的算式,说明计算到得数是15时余数是5,而这个5在原被除数35中处于十分位,表示5个十分之一,即0.5,所以商15(根)时余数是0.5(米)。再看右式红线左侧是计算到十分位时的算式,说明计算到得数是15.2时余数是4,而4在原被除数35中处于百分位,表示4个百分之一,即0.04,所以商15.2时余数是0.04。以此类推,商15.21时余数是0.017。 因此: 35÷2.3=15„„0.5 35÷2.3=15.2„„0.04
35÷2.3=15.21„„0.017 „„„„„„„„„„
而在解决此题的问题中商需要整数,则应为 35÷2.3=15(根)„„0.5(米) 答:最多能剪15根,还剩0.5米。
结论:在除法运算中,余数的小数点和原来被除数的小数点对齐。——求余数要看它在原来被除数的哪几位上,表示什么。
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第三单元 观察物体
1、 观察立体图形的方向
立体图形主要可以从六个方向来观察,其中两两相对,分为三组:前面与后面(也称作正面与反面),左面与右面,上面与下面。因为两两相对,从相对面看到的形状(轮廓)一般相同(正面与反面或称前面与后面、左面与右面看到的形状左右对称,上面与下面看到的形状上下对称),于是我们主要从三个方向来观察立体图形:正面、上面、左面。
2、 一次最多可以看到正方体或长方体的几个面?
因为正方体和长方体都有6个面,对应观察的六个方向,而两两相对的面不可能同时看到,所以一次最多可以看到正方体或长方体6个面中的一半,即3个面。 3、 观察单个物体
观察单个物体(从3个方向),一般观察的有:正方体、长方体、球体、圆柱体。它们从3个方面看到的形状是:
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4、 通过观察到的图形判断物体形状
(1) 有一个方向看到的图形是正方形:有可能是正方体、长方体、圆柱体 (2) 有一个方向看到的图形是长方形:有可能是长方体、圆柱体 (3) 有一个方向看到的图形是圆形:有可能是圆柱体、球体 5、 观察两个物体
观察两个物体的方法与观察单个物体类似,主要原则:在观察方向上,前方的物体会遮挡住后方的物体。可以单独分析某个观察方向上每个物体的图形,再综合分析遮挡情况。例题如右图:
(1)单个物体分析:球体从各个方向看都是圆形,圆柱体从上面看是圆形,从正面和左面看都是长方形。 (2)综合遮挡分析:从正面看,没有遮挡,左边是圆形,右边是长方形,答案是第三幅图;从上面看,没有遮挡,左边是圆形,右边也是圆形,答案是第二幅图;从左面看,球体看到的是圆形,圆柱体看到的是长方形,而且球体在圆柱体之前,看到的应该是圆形遮挡住长方形,答案是第一幅图。
6、 根据正面、上面、左面看到的图形摆一摆立体图形(正方体)
根据所看到的三个方向的图形摆正方体,方法很多,而因为从各个方向看都有可能出现遮挡的情况,所以答案也不唯一,这里仅说明一种方法:
(1)先从一个方向确定方块个数,我常用的是从上面先看,因为从上面看到的方块必然“落在”要摆放的平面上(摆放的方块不可能“浮空”)。从上面看有6个方块,取6个方块按图摆放。
(2)再从另一个方向确定方块位置,我常用剩下的方向中“最宽”的那个方向(便于下一步调整),在这一题中是“从正面看”。因为从正面看“第一层”是4个,符合从上面看的,“第二层”有1个,就把1个方块放在原来从上面看可能存在的所有位置(如右图,是2号和3号位上可能有方块)。 (3)最后从剩下的方向修改和调整。从左面看4号方块说明原来这个方块是在2号位上。 从正面看,猜测可能 从左面看,补充分析 从上面看,确定个数
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第四单元 简易方程 1、用字母表示计量单位
为了书写方便,人们常用字母表示计量单位。 长度单位 千米 米 分米 厘米 毫米 km m dm cm mm 面积单位 平方千米 平方米 平方分米 平方厘米 平方毫米 km2 m2 dm2 cm2 mm2 质量单位 吨 千克 克 毫克 t kg g mg 体积单位 立方米 立方分米 立方厘米 升 毫升 m3 dm3 cm3 l ml 2、乘号的简略写法 (1)在字母与数相乘时,乘号可以省略,把数写在字母前面。如2×a=2a,b×8=8b。 (2)在字母与字母相乘时,字母中间的乘号可以记作“·”,也可以省略不写。如a×b=b×a(乘法交换律)也可以写成 a·b=b·a 或者 ab=ba ,推荐最后一种完全省略乘号的写法。
(3)在数字与数字相乘时,乘号不能省略,以防写错。
(4)在几个相同的数字或字母相乘时,可以省略中间的乘号,将个数写在一个数字或字母的右上角作为上标,读作 X的N次方。如 3.5×3.5 可以简写成 3.52,读作 “3.5的二次方”或者“3.5的平方”(后者更为常用),又如 a×a 可以简写成 a·a ,进而简写成 a2,读作 “a的二次方”或者“a的平方”(后者更为常用),再如 b×b×b 可以简写成 b3,读作 “b的三次方”或者“b的立方”(后者更为常用),最后如2×2×2×2×2 可以简写成 25,读作 “2的五次方”。 3、用字母表示运算定律
将以前学过的运算定律用字母表示,其中乘号尽量省略。 加法:
加法交换律 a+b=b+a 加法结合律 (a+b)+c=a+(b+c) 乘法:
乘法交换律 ab=ba 乘法结合律 (ab)c=a(bc) 乘法分配律 (a+b)c=ac+bc 减法:
连减的性质 a-b-c=a-(b+c) “减数交换律” a-b-c=a-c-b 去小括号与变号 a-(b-c)=a-b+c 除法:
连除的性质 a÷b÷c=a÷(bc) “除数交换律” a÷b÷c=a÷c÷b 去小括号与变号 a÷(b÷c)=a÷b×c
4、用字母表示面积与周长公式——暂列正方形与长方形,在第五单元补充其他图形 说明:边长字母以a最为常见,随着边长的不同会出现b、c等。面积(square)取首字母大写S来表示,周长(circumference)取首字母大写C来表示。 (1)正方形——四边相等,四个直角
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正方形面积=边长×边长 正方形周长=边长×4 S□=a×a C□=a×4 =a·a =4a =a2
S□=a2 C□=4a (2)长方形——对边相等,四个直角 长方形面积=长×宽 长方形周长=(长+宽)×2 S=a×b C=(a+b)×2 =ab =2(a+b) 注意:数字2与字母相乘要放S=ab 在前面才能省略乘号
C=2(a+b)
5、根据字母公式计算图形的面积与周长——暂列正方形与长方形,在第五单元补充其他图形
格式说明:第一行写出字母公式,第二行带入具体数据条件,第三行起进行计算,直至算出得数(要带上单位),要求每行的等式中“=”要对齐! (1)正方形 例题:求边长为8cm的正方形的面积与周长。
S□=a2 C□=4a =8×8 =8×4 =64(cm2) =32(cm)
答:边长为8cm的正方形的面积是64cm2,周长是32cm。
(2)长方形 例题:求长12m,宽7m的长方形的面积与周长。
S=ab C=2(a+b) =12×7 =(12+7)×2 =84(m2) =38(m)
答:长12m,宽7m的长方形的面积是84m2,周长是38m。
6、用含有字母的式子表示数量关系
字母可以用来表示数,在一定的问题情境下,可以用含有字母的式子来表示数量关系。 单价、数量与总价的关系 速度、时间与路程的关系 总价(count)取首字母大写C来表示 速度(velocity)取首字母小写v来表示 (一般作为乘积的数量首字母都用大时间(time)取首字母小写t来表示 写表示,如总价、路程、工作量等) 路程(span)取首字母大写S来表示 总价=单价×数量 C=ax 路程=速度×时间 S=vt 单价=总价÷数量 a=C÷x 速度=路程÷时间 v=S÷t 数量=总价÷单价 x=C÷a 时间=路程÷速度 t=S÷v 14
当然,也可以用含有字母的式子来表示一定的数量。如: 姐姐今年m岁,比弟弟多6岁,那么 m-6表示——弟弟今年的岁数
一碗方便面2.5元,花20元钱买了b碗,那么 2.5b表示——b碗方便面的总价 20-2.5b表示——花20元买b碗方便面找回的钱数 商店有苹果a千克,梨的重量比苹果多10千克 a+10表示——梨的重量 a+(a+10)表示——苹果和梨的总重量,一般简写成2a+10 7、字母及含有字母的式子的取值范围
用字母及含有字母的式子可以表示数和数量,但在具体的情境之下字母及含有字母的式子是有特定的取值范围的。如 一碗方便面2.5元,花20元钱买了b碗,那么 20-2.5b表示——花20元买b碗方便面找回的钱数 在这个情境中,花20元买b碗方便面中的b只能是0~8的整数,也就是 说可以不买,也可以最多买8碗,如果买9碗钱就不够了。
小明单元考成绩是a分,小红的成绩比小明多8分,那么 a+8表示——小红的成绩 在这个情境中,小红的成绩(a+8)只能是8~100之间的数,而小明的成绩a也只能是0~92之间的数,也就是说小明与小红最低得到0分,最高得到100分,都不能超出这个范围。 一辆公交车上本来有12名乘客,到站后下去a名,又上来b名,那么 12-a表示——下客后剩余乘客的人数 12-a+b表示——上客后乘客的人数 在这个情境中,下车乘客的人数只能是0~12之间的整数,而上车乘客的 人数b也有一定范围,也就是说既可以一个人也不下车,也可以12名乘 客全部下车,而最后上车后的人数也不能超过限载人数,以策安全。
8、方程相关概念
方程:含有未知数的等式,称为方程。
方程的解:使方程左右两边相等的未知数的值,叫做方程的解。 解方程:求方程的解的过程叫做解方程。
辨析:方程的必要条件——既要是等式,又要含有未知数,这里“x=4”也被认为是方程;方程的解是未知数的值,是静态的答案;解方程是求方程的解的过程,是动态的行为。
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9、等式的性质
根据天平两边质量相等时天平处于“平衡”状态来构造等式。当天平两边同时增加、减少相同质量或扩大到、缩小到相同倍数(分数),天平仍然能保持“平衡”,也就是说,等式两边同时加上、减去、乘以、除以相同的数(0除外),等式仍然成立,这叫做等式的性质。
10、根据“等式的性质”解简易方程
解方程的目的就是要使方程左边为未知数,右边为已知数,出现“x=”的形式,所以要运用好“等式的性质”,把方程两边经过一系列相同的运算,最终求出方程的解。 (1)解“一步”方程
“一步”方程指的是方程左边只含有未知数x经过一步四则运算得到的式子,右边只有数字,这样的方程最简单啦!解这样的方程只要根据等式的性质将方程两边同时逆运算(看加法想减法、看乘法想除法,以此类推)一步,就可以求出x的值(也就是方程的解)啦!例如:
(2)解“两步”的稍复杂方程
当方程的左边是含有未知数x的两步运算得到的式子,右边只有数字,这样的方程就要通过两步逆运算,一般先逆运算加减法,再逆运算乘除法。例如:
其实也可以先逆运算乘除法再逆运算加减法,但是先乘除的时候要把左边当作一个整体来算(如右图),常常会有学生忘记这一点而出错,所以还是推荐先逆运算加减法再逆运算乘除法!
(3)解“未知数在小括号内”的稍复杂方程
解“未知数在小括号内”的方程关键点在于将小括号内的部分看作一个整体来算出,最后再算未知数。方法同前面。例如:
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其实也可以先直接去掉小括号,当作没有小括号的方程来做(如右图),但是去小括号时常容易出错,如“小括号外面是乘号,应用分配律时忘记乘以小括号里的每一个数”,“小括号整个作为除数,不能直接去掉小括号”(详见下文:“未知数作为除数的方程”的解决方法)等等,所以还是推荐把小括号当作整体先求出来的方法。 (4)解“未知数的倍和、倍差”的稍复杂方程
“未知数的倍和、倍差”方程,即指在方程中不止存在一个含未知数的式子,而是有多个含未知数的式子相加减得来。如“3x+2.4x=10.8”、“8x-2x=9.6”等等。解决这一类方程的方法就是将未知数看作共同因数,逆用乘法分配律提取多个式子中的未知数、合并成只有一个含未知数的式子的方程。例如:
当然,运用“乘法分配律”也可以解决除数相同(都是未知数)的方程,详见下文:“未知数作为除数的方程”的解决方法。
(5)解“未知数作为减数、除数”的稍复杂方程
解“未知数作为减数、除数”方程的方法与前面的也相同,只不过是将未知数作为等式两边相同的变量,利用“等式的性质”在方程左右两边同时加上或乘以未知数。例
如:
特殊情况一:如果作为除数的是含有x的带小括号的式子,不能用“乘法分配律”,必须将小括号内的部分看作一个整体先求出来,再求未知数x。例如:
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特殊情况二:如果有多个含未知数x的式子都将x作为除数,可以把这些式子运用“乘法分配律”提取“公共因数”(其实应该叫做“公共除数”)、合并成一个x作为除数的式子再进行解方程。例如:
如果有更加复杂的方程,就要综合运用以上方法,层层化简求解。此处就不予举例了。
11、检验方程的解
在解方程后,得到的未知数的值是不是原方程正确的解呢?这就需要检验方程的解了。
检验方法就是将未知数的值代入原方程,计算方程的左右两边是否相等,方程是否能够成立。
以课本P58蓝色框内的为标准,举例验算如下: 其中黑字为原题和验算过程,红字是解释。
12、用方程解决问题的步骤
用方程解决问题分为几个步骤,用流程图表示为:
例一:铺一条8.45千米的路,甲队每天可铺1.15千米,工作了4天。其余的有乙队用3.5天铺完,乙队平均每天铺路多少千米? (1)仔细审题,弄清题意
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这是两个队伍铺路的问题,属于工作效率问题。 (2)找未知数,用x表示
题目中要求“乙队平均每天铺路多少千米?”,即乙队的工作效率,是未知数,所以“设乙队平均每天铺路x千米。” (3)找等量关系,列出方程
题目中的等量关系就是“两个队伍的工作量之和等于道路全长”,而每个队伍的工作量又等于其工作效率乘以工作时间。数量关系见下图:
以其中最主要的等量关系“甲队工作量+乙队工作量=总工作量”列出方程,“1.15×4+x×3.5=8.45”。
(4)解方程(如下面左图) 1.15×4+x×3.5=8.45 4.6+3.5x=8.45 4.6+3.5x-4.6=8.45-4.6 3.5x=3.85 3.5x÷3.5=3.85÷3.5 x=1.1 (5)检验(如上面右图)、答完整
验: 方程左边=1.15×4+x×3.5 =1.15×4+1.1×3.5 =4.6+3.85 =8.45 =方程右边 所以,x=1.1是方程的解 答:乙队平均每天铺路1.1千米。
例二:图书馆某个书架第一层的本数是第二层的1.2倍,若从第一层拿走4本,两层就一样多了,两层原来各有多少本? (1)仔细审题,弄清题意
这是倍差的问题,要弄清谁是一倍数,以一倍数为未知数。 (2)找未知数,用x表示
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题目中第一层和第二层的本数都不知道,但“倍差问题”应该以“一倍数”即第二层的本数为未知数。这里假设出现错误,以第一层的本数为未知数——“设第一层有x本书”——看会发生什么情况。 (3)找等量关系,列出方程
题目中的等量关系就是“第一层拿走4本,两层就一样多了”。
以此等量关系,列出方程,“x-4=x÷1.2”。 *(附加步骤)重设未知数,重列方程 发现形如“x-4=x÷1.2”的方程不容易求解(请自己尝试解决,其实也是可以解的)。可以尝试重新设置未知数,回到第二步,改为“设第二层有x本书”,再根据同样的等量关系重新列出方程“1.2x-4=x”。 (4)解方程(如下面左图)
1.2x-4=x 1.2x-4+4=x+4 1.2x=x+4 1.2x-x=x+4-x 0.2x=4 0.2x÷0.2=4÷0.2 x=20 验: 方程左边=1.2x-4 =20×1.2-4 =24-4 =20 =x =方程右边 所以,x=20是方程的解 这一题有两个未知数,求出第二层有20本书后,再根据第一层本数是第二层的1.2倍,求出第一层有 20×1.2=24 本书。 (5)检验(如上面右图)、答完整
答:第一层原来有24本书,第二层原来有20本书。
第五单元 多边形的面积
1、 正方形和长方形的面积公式(参考第四单元“用字母表示面积与周长”部分) 正方形面积=边长×边长 公式: S□=a2 长方形面积=长×宽 公式: S=ab
注:本单元所学面积公式中每个字母表示的数量请自行弄清楚,不要死记公式。
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2、 平行四边形的面积 平行四边形通过剪(沿任意一条“形内高”剪开)、拼可以变成等底等高的长方形(长方形也是特殊的平行四边形,长方形的“长和宽”分别是“底和高”)。如图
因此,平行四边形的面积等于与它等底等高的长方形的面积。如果用S表示平行四边形的面积,用a表示平行四边形的底,用h表示平行四边形的高,则有 S=ah 例题:平行四边形车位,底长2.5m,高为3m,求此车位的面积。 请注意求面积的格式为:第S=ah 一行公式,第二行代入数 =2.5×3 据,第三行计算得数及写上 =7.5(m2) 单位!
3、 三角形的面积
因为两个完全相同的三角形可以拼成一个平行四边形(有3种拼法,见四年级下册 “图形拼组规范画法”),而比较原三角形与拼成的平行四边形,发现它们等底等高,如图
因此,三角形的面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半。如果用S表示三角形的面积,用a和h分别表示三角形的底和高,则有 S=ah÷2 或者 S=
1ah 2例题:一块三角形的场地,底长4m,高为3m,求其面积。
S=ah÷2 =4×3÷2 =12÷2 =6(m2) 4、 梯形的面积 梯形的剪拼、分割方法很多,因此梯形面积公式推导方法也很多。用S表示梯形的面积,用a、b和h分别表示梯形的上底、下底和高,分别介绍:
(1)用两个完全相同的梯形可以拼成一个平行四边形,比较原来的梯形和拼成的平行四边形,发现它们高相等,而原梯形的上下底之和等于平行四边形的底。因此,梯形的面积等于以它上、下底之和为底,与它高相等的平行四边形面积的一半,即
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S=(a+b)h÷2 或 S=
1(a+b)h 2(2)梯形可以从对角线剪开(有2种剪法,此处只列一种),形成分别以上、下底为新底,以原梯形的高为新高的两个三角形。由此,梯形的面积等于分别以其上下底为底、以其高为高的两个三角形的面积之和。 S
=ah÷2+bh÷2 或 S
=
11ah+bh 22(3)梯形还可以分成一个平行四边形和一个三角形(有2种分发,此
处只列一种),如右图,比较原梯形与新的三角形和平行四边形,发现新平行四边形是以原梯形上底为底,高相等,而新三角形以下底减去上底的部分为底,高也相等。以此列出公式 S
=ah+(b-a)h÷2 或 S
=ah+
1(b-a)h 2=(a+b)h÷2 或 S
=
综上所述,梯形的面积公式推导方法很多,但这几种方法最后的结果是相通、相同的,化简后面几种方法,发现梯形的面积公式就是 S(a+b)h
例题:梯形小菜园的上底长3m,下底长5m,高为2m,求这块梯形小菜园的面积。
S=(a+b)h÷2
=(3+5)×2÷2
=8×2÷2
=8(m2)
5、 求多边形的高或底
除了求多边形的面积,有时需要我们求多边形的高或底,这时候要活用多边形面积公式,进行推导。因为多边形面积公式是等式,可以运用等式的性质,将要求的量作为未知数,其他量作为已知数,构成方程进行解方程。以下仅以梯形的上底的推导过程为例,其它只给出公式。
平行四边形:S=ah
以a为未知数,其它为已知数 a=S÷h S=(a+b)h÷2 h=S÷a S×2=(a+b)h÷2×2 三角形: S=ah÷2 2S=(a+b)h a=2S÷h 2S÷h=(a+b)h÷h h=2S÷a a+b=2S÷h 梯形: S=(a+b)h÷2 a+b-b=2S÷h-b a=2S÷h-b a=2S÷h-b b=2S÷h-a 因此,梯形的上底=面积×2÷高-下底 h=2S÷(a+b) 6、 组合图形的面积
(1)组合图形是由原已知图形经过拼组、分割得来,它的面积也可以由原已知图形的面积经过加减得来。
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例一:求右图面积(单位:cm)
右图明显是由三角形和梯形组成,求面积之和即可。
S=(a+b)h÷2 S=ah÷2
=(11+22)×10÷2 =11×8÷2
=33×10÷2 =88÷2
=165(cm2) =44(cm2)
S=S+S
=44+165
=209(cm2)
例二:求右图工件横截面面积 右图工件是由长方形扣除梯形形成的,面积也是由长方形面积减去梯形面积求得。 S=(a+b)h÷2 S=ab =(20+30)×10÷2 =54×27 =50×10÷2 =1458(mm2) =250(mm2) S=S-S =1458-250 =1208(mm2) (2)有些组合图形无法明显通过分割成已知图形来做,或者某些数据无法得到,这时要抓住图形特点,将其补充成已知图形或寻找所需条件,再求解。 例三:求下面左图四边形的面积(单位:cm)
左图的四边形非常特殊,有2个直角和1个45°角,但如果按一般方法将其分为2个直角三角形会发现所需数据不够。这时考虑到45°角在直角三角形中的特殊性,构造等腰直角三角形,将AD和BC分别延长,相交于E点,形成ABE、CDE两个等腰直角三角形,则四边形面积就是大三角形减去小三角形的面积。S2=ah÷2 S1=ah÷2 =10×10÷2 =2×2÷2 =100÷2 =4÷2 =2(cm2) =50(cm2) S=S1-S2 =50-2 2 =48(cm)
例四:求右图阴影部分面积 S=S1+S2 阴影部分是两个三角形, =a1h÷2+a2h÷2 单独求出面积不可能,但发现=(a1+a2)h÷2 它们的高相同,可以根据乘法=12×20÷2 分配律进行化简。 =120(cm2)
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此外,也可以作辅助线,发现可以将长方形分成两两相同的4组共8个的直角三角形,阴影部分是1~4,占一半。所以阴影部分的面积是整个长方形面积的一半。
(3)有些组合图形的面积无法直接求出,要将其转化为面积相等的部分再求。 例五:两个完全相同的梯形有部分重合,求右图阴影部分面积 直接求、分成已知图形、割补法都会发
S=(a+b)h÷2 现数据不够,重新审视条件,这两个大梯形
=(10-2)×6÷2 是完全相同的,它们的重叠部分也是小梯
=8×6÷2 形,所以阴影部分面积等于大梯形减去小梯
=24(m2) 形,正好也等于最下方的梯形。
7、 常考组合图形易错题
除了考查多边形的剪拼之外,还常考且易错的一类题目就是需要自己求出条件的组合图形题。例如: 求出右面梯形中阴影部分的面积,单位m。 解题思路:
观察发现,阴影部分面积是梯形面积减去三角形的
面积。而梯形面积由于没有高无法直接求出,有些学生就以3或4为高,造成解题错误。 其实梯形的高可以求出,它的高和三角形的一条高是相同的,而这条高又可以通过三角形面积公式推导出来。所以先求出三角形面积和它边长5的边上的高,再求梯形的面积。 梯形的面积: 解题过程: 直角三角形的面积: 直角三角形斜边上的高: S=(a+b)h÷2 S=ah÷2 h=2S÷a =(5+10)×2.4÷2 =3×4÷2 =6×2÷5 =15×2.4÷2 =12÷2 =12÷5 =36÷2 =6(m2) =2.4(m) =18(m2) 梯形的面积: 阴影部分的面积: S=S-S S=(a+b)h÷2 =18-6 =(5+10)×2.4÷2 2=12(m) =15×2.4÷2 =36÷2 =18(m2) 8、 各多边形面积公式的推导过程的关系及其记忆要点
S=S÷2 =ab÷2 =20×12÷2 =240÷2 =120(cm2) 24
(1)先认识正方形,记住其面积公式S□=a2,只与其边长有关。
(2)由正方形推导长方形的面积,用的也是“数格子”的方法——长有几个长度单位,宽有几个长度单位,面积就有“长×宽”个面积单位,所以长方形面积S=ab,与其长与宽有关。
此外,由正方形也可以推导其它平面图形的面积,用的也是“数格子”的方法,但是不精确。
(3)所有平行四边形都可以沿一条高剪拼成长方形,且这个长方形的长与平行四边形的底相等,长方形的宽与平行四边形的高相等,所以平行四边形的面积与这个长方形的面积相等,即平行四边形面积S=ah,与其底和高有关。
(4)两个完全相同的三角形可以拼成一个平行四边形(或者说一个平行四边形可以分成两个完全相同的三角形),且它们等底等高,所以三角形的面积等于与其等底等高的平行四边形面积的一半,即三角形面积S=ah÷2,与其底和高有关。
(5)两个完全相同的梯形可以拼成一个平行四边形(或者说一个平行四边形可以分成两个完全相同的梯形),它们等高且梯形的上、下底之和与平行四边形的底相等,所以梯形的面积等于底与其上下底之和相等、等高的平行四边形面积的一半,即梯形面积S=(a+b)h÷2,与其上底、下底和高有关。
(6)平行四边形可以分为两个完全相同的三角形或梯形,长方形这一特殊的平行四边形则可以分为两个完全相同的特殊三角形(直角三角形)或梯形(直角梯形)。
(7)用长方形还可以通过割补法、用三角形也可以拼成梯形来推导梯形的面积公式。 (8)综上所述,了解推导过程的关系后,还可以记住各公式的异同点作为记忆要点: ①每个面积公式都要用底和高相乘(长方形的长和宽相当于底和高,正方形的边长也相当于底和高),而梯形有两个底,它的底是上下底之和;
②三角形和梯形都是两个拼成一个平行四边形,所以它们的公式都有“÷2”。 9、 巧记各多边形面积公式(多边形面积公式的联系)
至本单元为止,一共学习了5种多边形的面积公式,除了上一点介绍的推导和记忆方法,这里还推荐一种简单巧记公式的方法——以梯形面积公式S=(a+b)h÷2为基础的记忆方法。
将梯形变形,使上底为0,就“成为”三角形了,将此三角形按梯形面积公式计算,得出三角形面积公式S=ah÷2;将梯形变形,使上底等于下底,就“成为”平行四边形了,将此平行四边形按梯形面积公式计算,得出平行四边形面积公式S=ah;使平行四边形的一组邻边垂直,则“成为”长方形,将此长方形按平行四边形面积公式计算,得出长方形面积公式S=ab;使长方形的邻边相等,则“成为”正方形,将此正方形按长方形面积公式计算,得出正方形面积公式S□=a2。(具体记忆过程见下图,注意:所有面积公式的推导和记忆应以中文叙述为准,用字母表示时必须弄清每个字母所代表的数量,因为字母是可变的!)
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10、 用梯形面积公式计算“梯形木垛”总根数及等差数列求和(只要求会算梯形木垛总根数)
例题:一堆圆木堆成侧面是梯形的木垛,已知顶层有3根,底层有9根,每两层之间相差1根,求这堆圆木的总根数。(如右图中黑色部分) “等差数列”名词解释:“如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,这个数列就叫做等差数列。”简单地说就是每两项之间的差相同,如自然数就是一组等差数列。
解答:求右图梯形木垛的总根数就是求“首项是3、尾项是9,公差是1”的等差数列的和——也就是从3加到9。
首先,死算可以算,不讲,但在根数较少时可以尝试。
其次,可以用梯形面积公式S=(a+b)h÷2来求,这时是将梯形的首项(顶层根数)看成上底,将尾项(底层根数)看成下底,层数(项数)看成高。于是梯形木垛的总根数=(顶层根数+底层根数)×层数÷2。而此题中层数未知,观察得有7层,怎么来的?底层比顶层多9-3=6根,每多1根多1层,就多了6层,加上原来的顶层,共有9-3+1=7层。因此有公式如下:层数=(底层根数-顶层根数)÷每相邻两层根数差+1,举一反三则有“底层根数=顶层根数+(层数-1)×每相邻两层根数差、顶层根数=底层根数-(层数-1)×每相邻两层根数差”。
在此题中总根数=(3+9)×(9-3+1)÷2=12×7÷2=42(根)。 下面列表方便比较这三者之间的联系: 梯形 梯形木垛 等差数列 上底 顶层根数 首项 下底 底层根数 尾项 高 层数 项数 每相邻两层根数差 公差 梯形面积=(上底+下底)×高÷2 总根数=(顶层根数+底层根数)×层数÷2 总和=(首项+尾项)×项数÷2 请记住: 层数=(底层根数-顶层根数)÷每相邻两层根数差+1 底层根数=顶层根数+(层数-1)×每相邻两层根数差 顶层根数=底层根数-(层数-1)×每相邻两层根数差 总根数=(顶层根数+底层根数)×层数÷2
11、 将长方形的框拉成平行四边形
将长方形的框拉成平行四边形,由于四条边所用的木料不会改变,所以周长相等;而面积则会越来越小(高由原来的宽越变越小,底不变,面积随着变小)。反之同理,将平行四边形的框拉成长方形,周长不变,面积变大。
例题:将长10cm,宽6cm的长方形框拉成高为8cm的平行四边形,面积是多少?
解答:高8cm只能由10cm的边斜拉而成,所以原来长方形的宽6cm就要作为新的平行四边形的底。因此S=ah=6×8=48(cm2)
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第六单元 统计与可能性
1、 用数来表示事件发生的可能性
用数可以表示事件发生的可能性。“事件发生的可能性为0”表示事件不可能发生,如“太阳从西边升起”、“普通骰子(1~6)掷出点数7”、“书本的页数既不是奇数也不是偶数”等事件发生的可能性都为0;“事件发生的可能性为1”表示事件一定能发证,如“地球绕着太阳转”、“人类靠氧气呼吸”、“太阳从西边落下”等事件发生的可能性都为1。
有些事件不是一定能发生,也不是不可能发生,而是有一定的可能性发生(即有可能发生),那么这些事件发生的可能性可以由一个介于0到1之间的数来表示,一般用真分数表示。
如“掷硬币”这个事件有2种可能的结果,一种是“正面朝上”,一种是“反面朝上”,而且这两种结果的可能性相等,则“掷硬币正面朝上”事件发生的可能性就是如右图,将一个圆形平均分成四份,分别涂成红、粉红、蓝、黄色,以此为转盘,让指针随意转动,“指针停在转盘上”这个事件有4种可能的结果,分别对应四种颜色,而且这四种结果的可能性相等(因为是平均分),所以“指针停在转盘上的红色部分”事件发生的可能性就是
1。 21。 4再如,“掷一个骰子”这个事件有6种可能性相同的结果(因为骰子是正方体,6个面完全相同),所以“掷骰子掷出1”事件发生的可能性就是都是
1(掷出其它数字的可能性也61)。 62、 用分数表示事件发生的可能性的注意事项
(1)各结果事件发生的可能性之和应该为1。如“掷硬币”中“正面朝上”和“反面朝
1,加起来是1,表示“掷硬币”只有“正面朝上”和“反面朝上”两21种结果。如“掷一个骰子”中“掷出1(或2~6)”的可能性都是,加起来就是1,表示
6上”的可能性都是
“掷一个骰子”只有“掷出1”、“掷出2”、„„、“掷出6”这6种结果。 (2)用分数表示事件发生可能性时一般不化简。
如右图,将一个圆形平均分成八份,以此为转盘,则指针落到其中每
1,现在将其涂色,红色占3份,蓝色占3份,黄色833占2份,则落到红色区域的可能性是,落到蓝色区域可能性也是,而
882落到黄色区域的可能性就是。根据“分数的基本性质”(五年级下册才学,不要求),
8121可以将分子和分母同时除以相同的数(0除外),得,但一般仍写作而非,是为了
484个区域的可能性都是
明确分成的总份数以及黄色区域所占的份数。
(3)可能性仅仅是统计意义上的“理论值”,不代表实际事件发生的结果和次数。
如“抛硬币”中“正面朝上”与“反面朝上”的可能性都是
1,但不能说明“正面2 27
1,而只能说随着抛硬币21次数的增多,“正面朝上”与“反面朝上”这两个事件发生的次数都越来越接近。
2朝上”与“反面朝上”这两个事件发生的次数一定是总次数的
也可以运用这个原理计算事件发生的大约的次数,公式为:某事件发生的次数=总事件发生的次数×某事件发生的可能性。如抛100次硬币,“正面朝上”与“反面朝上”这两个事件发生的次数都大约是100×
1=50(次),但不能说一定都是50次,可能都是250次,也可能“正面60次、反面40次”,甚至“正面100次,反面0次”的极端情况也是有可能的!
又如,在右图中,指针落到红色区域的可能性是针次数为240次,大约有几次能落到红色区域呢?
240×
3,那如果总的转指83=90(次) 83=240÷8×3=90 8请注意:乘以一个分数,分母表示平均分成的份数,相当于除以分母,分子表示其中的几份,相当于乘以分子,因此240×
3、 枚举法求事件发生的可能性
枚举法:将某类事件发生的所有可能情况一一列举出来,再加以分析的方法。使用枚举法求事件发生的可能性时,要注意不遗漏、不重复地一一列举出所有可能的情况,作为总可能性(分母),再求出其中某个事件发生的可能情况(分子),最终求出此事件发生的可能性。
(1)表格枚举法——以“求两个骰子的点数之和的可能性”为例
例题:掷出两个骰子的点数之和可能有哪些结果?每种点数之和的可能性又各是多少? 解答:如右图。一共有6×6=36种可能的结果,其中:2和12各占1种,可能性都是各占2种,可能性都是
1;3和11362;4和10各占3种,可3634能性都是;5和9各占4种,可能性都是;
3636566和8各占5种,可能性都是;7占6种,可能性是。结论:掷出两个骰子的点数
363661之和最可能是7,可能性是(即,其他点数的可能性略)。
636(2)组合枚举法——以“3张数字卡片组数,单数的可能性”为例
例题:有3张分别写着3、5、8的卡片,面朝下放置,用它们随意摆成一个三位数。翻开后是单数的可能性是多少?
解答:如右图。可以按照开头字母分别是3、5、8来分析,结果发现一共有3×2=6种可能的结果,其中:385、583、835、853四种结果是单数,所以单数的可能性是
42。而双数的可能性自然是了,66 28
42+=1,所以摆出的数字不是单数就是双数。 664、 游戏公平与设计公平的游戏
要在游戏中定输赢,那么这个游戏中决定输赢的两种情况的可能性应当相等(或每个游戏者获胜的可能性相等),否则就不公平。例如,在右面的两个转盘中,两个人在第一个转盘中各挑一种颜色定输赢是公平的,因为每种颜色的可能性都是
1;4而两个人在第二个转盘中挑颜色的话,选择红色、黄色是公平的(它们的可能性都是而选择蓝色则不公平(因为蓝色的可能性是赢是公平的(都是
3),82)。再如,在掷骰子的游戏中,以单双定输81),在上面翻牌的游戏中,以单双定输赢是不公平的(单数可能性是242,双数可能性是)。 66那么,如何设计公平的游戏呢?就要使其中输赢的可能性相等。以掷一个骰子来定输赢游戏为例,有6种可能的结果情况(1~6),只要输赢可能的结果相等即可,可以设计单双数,也可以设计1~3、4~6,还可以设计每人任选2个数(甚至1个数),等等,就都是公平的了。
5、 常见考点及易错点
(1)没有体现“平均分”的思想。 例题:请设计一个转盘,使得指针落在红色区域上的可能性分别是落在蓝色、黄色区域的可能性的2倍。
分析与解答:如右图,易错解虽然大小似乎与正解相同,但表达的意思是不一样的。正解中明确将圆“平均分”成四份,红色占2份,可能性是可能性都是
2,蓝色、黄色各占1份,41211,则红色的可能性恰好是蓝色、黄色的2倍。(注意检查:++=1,4444说明指针只能落在这三种区域中的一种。)
(2)没有抓准被“平均分”的整体。
例题:如右图,以四种学过的多边形(正方形,长方形,直角三角形,直角梯形)组成一个转盘的四个区域,尺寸如图,单位cm,求指针落在这四个区域的可能性各是多少?
分析与解答:这题考察可能性,学生特别容易将此题与圆形转盘联系起来形成干扰,认为算出各个区域的面积占总面积的分数即为其可能性,从而得出“正方形
1212,长方形,三角形,梯形”的6666错误结果。其实此题非常简单,转盘的原理是“指针围绕中心点转动”,其整体是“转动
的角度”周角360°,而每个区域所占的角度都是直角90°,所以每个区域的可能性都
29
是
901,即。 3604(3)没找准“某种结果”发生的次数。
例题:掷一个骰子的游戏中,若掷出“比3小的数”则小红赢,若掷出“比3大的数”则小丽赢,请问这个游戏公平吗?
分析与解答:游戏是否公平要看各人赢的可能性是否相等。掷一个骰子可能的结果有6种(1~6),而6÷2=3,似乎“比3大”、“比3小”的可能相等,于是就有学生在这里犯错。其实仔细分析可能的情况,“比3大”的情况有3种(4、5、6),“比3小”的情况只有2种(1、2),“掷出3”这个情况既不比3大,也不比3小,不算输赢。因此小红赢的可能性是
23,而小丽则有,这个游戏是不公平的。 666、 中位数
(1)中位数的概念
将一组数据按从小到大的顺序依次排列,处在中间位置的一个数(或最中间两个数据的平均数,就是这组数据的中位数(注意:由于中位数可以是“最中间两个数据的平均数”,所以中位数不一定在这组数据中)。 (2)中位数的优点及适用范围
在数列中出现了极端数据的情况下,用中位数作为代表值要比用算术平均数更好,因为中位数不受少数几个极端数据的影响,有时用它代表全体数据的一般水平更合适。 (3)中位数的求法
求中位数,首先要先进行数据的排序(从小到大,相同的数字不能省略),然后计算中位数的序号,分数据为奇数与偶数两种来求。如果总数个数是奇数的话,按从小到大的顺序,取中间的那个数。如果总数个数是偶数的话,按从小到大的顺序,取中间那两个数的平均数。
(4)中位数与平均数接近与否说明了什么?
平均数反映一组数据的平均水平,与这组数据中的每个数都有关系,而中位数不受个别偏大或偏小数据的影响,也就是说,如果数列中有个别极端数据,只会影响平均数,是不会影响中位数的。
举例来说,在33、36、48、90、35、32、30、31、34这一组数据中,先按从小到大的顺序排列为30、31、32、33、34、35、36、48、90,他们的中位数是34,平均数是(30+31+32+33+34+35+36+48+90)÷9=41,受到极端数据90的影响,大于大多数数据。所以这组数据中用平均数表示一般水平就不好,而用中位数就比较合适。平均数大于中位数,说明其中含有的极端数据是偏大的。
但再举一个特殊的例子,在10、45、46、47、48、49、50、51、52、53、86这一组数据中,明显有2个极端数据10和86,但这组数据的中位数和平均数都是49,说明只要极端数据的影响互相抵消,平均数还是可以接近一般水平的。
因此,中位数与平均数接近一般可以说明这组数据较为稳定,或是极端数据影响已经互相抵消了(偏大数据和偏小数据偏差的量相同),而如果平均数与中位数不接近则说明极端数据的总的影响是偏离的(平均数大于中位数说明有较大的极端数据,平均数小于中位数说明有较小的极端数据。)
7、 密铺与密铺图形(只要知道什么图形可以密铺即可) (1)密铺的定义
用形状、大小完全相同的一种(或几种)平面图形
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进行拼接,彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片,这就是平面图形的密铺(又称做平面图形的镶嵌)。 (2)正多边形的密铺
我们都知道,铺地时要把地面铺满,地砖与地砖之间就不能留有空隙。正因为正方形、正六边形拼合以后,在公共顶点上几个角度数的和正好是360度,这就保证了能把地面密铺,而且还比较美观。因为只有正三角形、正方形、正六边形的内角为360的约数,因此正多边形中仅此三者可以密铺。 (3)其它可以密铺的图形
同正多边形,只要在公共顶点上度数和为360°的图形都能密铺,而要使边能拼合,需要有平行且相等的边,因此平行四边形(长方形、菱形)可以密铺。此外,能够拼成密铺图形的其它图形也能密铺,因为平行四边形可以分成两个完全相同的三角形或梯形,所以三角形和梯形也可以密铺。
第七单元 数学广角
1、常见数字编码(了解即可,看黑色字体和图片后,可跳过) (1)邮政编码
邮政编码是实现邮件机器分拣的邮政通信专用代号,是实现邮政现代化的必需工具。我国目前采用的邮政编码为“四级六码”制。即每组编码由六位阿拉伯数字组成,这六位数字分别表示省(自治区、直辖市)、邮区、县(市)邮电局和投递局(区)四级。六位数的前两位代表省(自治区、直辖市),第三位代表邮区,第四位代表县(市)邮电局,最后两位是投递局(区)的编号。
例如:邮政编码“130021”中“13”代表吉林省,“00”代表省会长春,“21”代表所在投递区。
作为常识,需要记忆的有福州350000,厦门361000,泉州362000,漳州363000,三明365000,还有,北京100000,上海200000,天津300000,重庆400000。 (2)身份证号
居民身份证是国家法定的证明公民个人身份的有效证件。从1999年10月1日起,全国实行公民身份证号码制度,居民身份证编号由原15位升至18位。也就是说,我国有两代身份证,其编号规律如右图: 区别在于原来的6位生日期码多了2位在年份上,
如80年改为1980年。分析:只用两位数表示年份,每100年就会重复,使用四位数,10000年才会重复,还能用近8000年,够了。 18位新号还多了最后一位校验码,作为识别真假用。其识别方法可参考百度百科“身份证编号”中的相关知识。 http://baike.baidu.com/view/118340.htm (3)电话区号
二十世纪九十年代之前,在中国打长途电话需要使用多级汇接制,于是有了区号,九十年代后,中国普遍使用了计算机控制的程控交换机,地区电话网之间不需要经过上一级汇接中心即可实现通话,但当年的区号格式却保留了下来。
具体长途电话区号设计方法可参考百度百科“区号”中的相关知识——http://baike.baidu.com/view/103379.htm。作为常识,需要记忆的有福州0591,厦门0592,宁德0593,莆田0594,泉州0595,漳州0596,还有北京010,上海021,广州020,香
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港0852。 (4)车牌号
为加强对机动车号牌的管理,特试行“二〇〇二”式机动车号牌(以下简称号牌)的编排规则:第一位汉字,表示车辆所在省的简称;第二位大写英文字母,表示车辆所在地的地市一级代码;后面5位数字表示车辆序号,有时这5位中也含有字母。
车牌号中的特殊字符: WJ表示武警车辆,“警”表示警车,其他汉字表示军车的军区(如南京军区用“南”表示,其下又分为“军”、“海”、“空”)。此外,还有T表示出租车,Y表示公车,等等。 (5)国际标准书号
国际标准书号(International Standard Book Number)简称ISBN,是国际通用的图书或独立的出版物(除定期出版的期刊)代码。国际标准书号由13位数字组成。前三位数字代表图书,中间的9个数字分为三组,分别表示组号、出版社号和书序号,最后一个数字是校验码。例如: ISBN:7-301-04815-7 (6)飞机航班号
航空公司的二字代码是向国际航协(IATA)申请的,因为是全世界的航空公司统一编码,如MF表示厦门航空公司。目前,国内各航线的航班号是由四位阿拉伯数字组成的。它的第一位数字是管理局的代号,第二位数字是要飞往机场所属管理局的代号,第三、四位数字为各管理局航班不同航线的序列号。您掌握了中国民航局所属9个管理局(或航空公司)的代号,就知道了航班是怎样编排的。1为北京局,2为西安局,3为广州局,4为成都局,5为上海局,6为沈阳局,7为太原局,8为厦门局,9为新疆局。以6503/04航班为例,“6”表示是沈阳管理局的飞机,“5”是指飞往上海,“03”是飞往上海不同时间航线的序号,“04”是本次航班的回程编号。
2、数字编码的设计:以编学号为例
如要给我们思明区的每个学生编号。 (1) 确定编号中需要包含的信息
学号中一般应该包含年级、班级、座号这些信息,而作为一个区内的学号还应包含学生所在学校的编号。
(2) 确定每个信息所用的编号位数
如思明区有200所学校,作为其中的一所,我们槟榔小学的编号应该有3位数(3位数字可以表示103=1000所学校,2位数字只能表示100个,不够,要注意编号的唯一性)。
有6个年级,能否用一位数表示?不能!因为如果用1~6表示年级,那当升级后学号就要改变,这相当麻烦,所以为了照顾到编号的稳定性,用入学年份表示年级较好,如2011年是5年级的学生,入学年份用2007表示较好,等2012年了也可以表示6年级。 本校5年级有6个班级,能否用一位数表示班级?不能!因为这包含一个区的学校,某个中学的班级可能有十几个,用两位数表示才够;而且随着学校的发展6个班也可能拓展到10个,要照顾到编号的发展性。
每班约有60人,一般班级也不会超过100人,用两位数表示就够了。 (3) 举例编号,检查修改
在确定要用几位数表示每个信息之后,举例编一个号,看是否正确。如我们槟榔小学在思明区排在129号,我校五年级一班的46号同学的学号可以是“129 2007 01 46”。
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检查有没有违反以上编号应当遵守的性质的?没有就OK啦。
拓展思考:如果要给全中国的每个学生编号 (1) 要加上那些信息?
要加上厦门市有几个区、福建省有几个市、中国有几个省的信息。 (2) 每个信息要几位编号?
中国有34个省级行政区(23个省,5个自治区,4个直辖市,2个特别行政区),用2位数字表示即可;每个省级行政区大约有十来个市,用2位数表示也可,每个市最多大约也有十来个区,也用2位数字表示。 (3) 举例编号,检查修改
例如福建省是34,厦门市是02,思明区是01,就可以用“34 02 01 129 2007 01 46”表示刚才那位同学在中国的学生号了。检查无误,但发现编号太长,不符合编号的简洁性。有什么办法简化数字?我们还可以用字母和汉字来参与编号。用“闽”来表示福建省,用类似车牌号的字母“D”来表示厦门市,可以简化为“闽D01 129 2007 01 46”。 还是太长?能否用更简洁的方式表示?思考:用1位数字可以表示10个数(0~9),2位可以表示100个数(00~99),而如果加入大写字母就能表示36个数(0~9,A~Z),那么两位数字加大写字母就能表示36×36=1296个数,比原来的3位数表示得还多。再考虑加入小写字母,则1位数字加字母能表示62个数(0~9,A~Z,a~z),这样2位就能表示62×62=3844个数,3位就能表示62×62×62=238328个数,相当于单纯用数字的5~6位了!于是,还可以用一位数字或字母表示思明区在厦门市的编号,用两位数字或字母表示槟榔小学在思明区的编号,将学号简化为“闽D A C5 2007 01 46”。
Edited by hcj0131
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