江苏省南京市玄武区2020届九年级下学期第一次调研测
试数学试卷
(考试时间：120分钟 满分：120分)
一、选择题：(本大题共6小题，每小题2分，合计12分．) 1.如图，数轴上的 A，B，C，D 四个点中，与表示数-3的点最接近的是
A． 点 A
B． 点 B
C． 点 C
D． 点 D
2.根据制定中的通州区总体规划，将通过控制人口总量上限的方式，努力让副中心远离“城市病”．预计到2035年，副中心的常住人口规模将控制在130万人以内，初步建成国际一流的和谐宜居现代化城区．130万用科学记数法表示为（ ） A．1.3×106 B．130×104 C．13×105 D．1.3×105 3.如图是由5个相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图是（ ）
A． B．
C． D． 4.如图所示，将含有30°角的三角板（∠A＝30°）的直角顶点放在相互平行的两条直线其中一条上，若∠1＝38°，则∠2的度数（ ）
A．28° B．22° C．32°
D．38°
5.某校九年级模拟考试中，2班的五名学生的数学成绩如下：85，95，110，100，110．下列说法不正确的是（ ）
A．众数是110 C．平均数是100
B．中位数是110 D．中位数是100
6.抛物线y＝（x﹣1）2+3关于x轴对称的抛物线的解析式是（ ） A．y＝﹣（x﹣1）2+3 C．y＝（x﹣1）2﹣3
B．y＝（x+1）2+3 D．y＝﹣（x﹣1）2﹣3
二、填空题：(本大题共10小题，每小题2分，合计20分．) 7.分解因式：x4﹣16＝ ． 18.计算：327=_________. 39.实数
222，3，﹣7，36中，无理数有 ． 710.已知2＋3是关于x的方程x2－4x＋m＝0的一个根，则m＝______．
11.如图，在△ABC中，AC＝10，BC＝6，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，则△BCE的周长是 ．
12.某商店今年6月初销售纯净水的数量如下表所示：
日期 数量（瓶）
1 120
2 125
3 130
4 135
观察此表，利用所学函数知识预测今年6月7日该商店销售纯净水的数量约为 瓶．
13.如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，分别以点A和点B为圆心，以相同的长（大于AB）为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，交BC于点E．若AC＝3，AB＝5，则DE等于 ．
14.关于x的一元二次方程kx2+3x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是 ．
15.如图，在矩形 ABCD 中，M 为 BC 边上一点，连接 AM，过点 D 作DE⊥ AM，垂足为 E．若 DE=DC=1，AE=2EM，则 BM 的长为______. 16.已知整数a1，a2，a3，a4，…满足下列条件：a1＝0，a2＝﹣|a1+1|，a3
＝﹣|a2+2|，a4＝﹣|a3+3|，…，依此类推，则a2019的值为 ． 三、解答题：(本大题共11小题，合计88分．) 17. 计算：4
18. 先化简，再求值：(
11827233
03x42x2 )÷，其中x是整数且﹣3＜x＜1． 22x1x1x2x1
19.如图，在矩形ABCD中，F是CD的中点，连接AF交BC延长线于点E．求证：BC＝EC．
20.某学校为了丰富学生课余生活，开展了“第二课堂”的活动，推出了以下四种选修课程：A．绘画；B．唱歌；C．演讲；D．十字绣．学校规定：每个学生都必须报名且只能选择其中的一个课程．学校随机抽查了部分学生，对他们选择的课程情况进行了统计，并绘制了如下两幅不完整的统计图．请结合统计图中的信息，解决下列问题： （1）这次学校抽查的学生人数是________； （2）将条形统计图补充完整； （3）如果该校共有1000名学生，请你估计该校报D的学生约有多少人？
21.已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，BC＝CD，BE⊥CD，垂足为点E，点F在BD上，连结AF、EF． （1）求证：AD＝ED；
（2）如果AF∥CD，判断四边形ADEF是什么特殊四边形．证明你的结论．
22.图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线O﹣A﹣B﹣C表示支架，支架的一部分O﹣A﹣B是固定的，另一部分BC是可旋转的，线段CD表示投影探头，OM表示水平桌面，AO⊥OM，垂足为点O，且AO＝7cm，∠BAO＝160°，BC∥OM，CD＝8cm．
将图2中的BC绕点B向下旋转45°，使得BCD落在BC′D′的位置（如图3所示），AD′∥OM，AD′＝16cm，求点B到水平桌面OM的距离，此时C′D′⊥OM，（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，cot70°≈0.36，结果精确到1cm）
23.在甲口袋中有三个球分别标有数码1，3；﹣2，在乙口袋中也有三个球分别标有数码4，﹣5，6；已知口袋均不透明，六个球除标码不同外其他均相同，小明从甲口袋中任取一个球，并记下数码，小林从乙口袋中任取一个球，并记下数码． （1）用树状图或列表法表示所有可能的结果； （2）求所抽取的两个球数码的乘积为负数的概率． 24.某工厂有甲种原料130kg，乙种原料144kg．现用这两种原料生产出A，B两种产品共30件．已知生产每件A产品需甲种原料5kg，乙种原料4kg，且每件A产品可获利700元；生产每件B产品需甲种原料3kg，乙种原料6kg，且每件B产品可获利900元．设生产A产品x件（产品件数为整数件），根据以上信息解答下列问题： （1）生产A，B两种产品的方案有哪几种；
（2）设生产这30件产品可获利y元，写出y关于x的函数解析式，写出（1）中利润最大的方案，并求出最大利润．
25.如图，在Rt△ABC中，以BC为直径的⊙O交AC于点D，过点D作⊙O的切线交AB于点M，交CB延长线于点N，连接OM，OC＝1． （1）求证：AM＝MD； （2）填空： ①若DN
，则△ABC的面积为 ；
②当四边形COMD为平行四边形时，∠C的度数为 ．
26.已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴分别交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点 C．
（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标； （2）点F是线段AD上一个动点． ①如图1，设k＝
AF，当k为何值时，CF＝AD？ AD②如图2，以A，F，O为顶点的三角形是否与△ABC相似？若相似，求出点F的坐标；若不相似，请说明理由．
27.如图①所示，已知正方形ABCD和正方形AEFG，连接DG，BE．
（1）发现：当正方形AEFG绕点A旋转，如图②所示．
①线段DG与BE之间的数量关系是 ； ②直线DG与直线BE之间的位置关系是 ；
（2）探究：如图③所示，若四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，且AD＝2AB，AG＝2AE时，上述结论是否成立，并说明理由．
（3）应用：在（2）的情况下，连接BG、DE，若AE＝1，AB＝2，求BG2+DE2的值（直接写出结果）．
江苏省南京市玄武区2020届九年级下学期第一次调研测试
数学试卷参考答案及评分标准 一、选择题：(本大题共6小题，每小题2分，合计12分．) 题号 答案 1 B 2 A 3 C 4 B 5 B 6 D 二、填空题：(本大题共10小题，每小题2分，合计20分．) 7.（x2+4）（x+2）（x﹣2） 8.-12 9.3 10.1 11. 16 12. 150 13.2515 14.k≥﹣且k≠0 15. 16. -1009
58三、解答题：(本大题共11小题，合计88分．) 17.原式＝＝2． 18.解：
x13x42x1x1x2原式••x1x1x2(x1)(x1)x222
x1
x1∵x是整数且﹣3＜x＜1，并且x≠±1，﹣2 ∴取x＝0， ∴原式
1．
19.证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BE，AD＝BC，
∴∠ADF＝∠ECF，∠DAF＝∠CEF， ∵F是CD的中点， ∴DF＝CF，
∴在△ADF和△ECF中，
ADEECFDAFCEFDFCF
∴△ADF≌△ECF（AAS）． ∴AD＝EC，而AD＝BC
∴BC＝EC．
20. 解：（1）这次学校抽查的学生人数是12÷30%＝40（人）， 答案为：40人；
（2）C项目的人数为40﹣12﹣14﹣4＝10（人） 条形统计图补充为：
（3）估计全校报名军事竞技的学生有1000×21.证明：（1）∵BC＝CD， ∴∠CDB＝∠CBD． ∵AD∥BC， ∴∠ADB＝∠CBD． ∴∠ADB＝∠CDB， ∵AB⊥AD，BE⊥CD， ∴∠BAD＝∠BED＝90°又∵BD＝BD，
∴△ABD≌△EBD（AAS）， ∴AD＝ED；
（2）解：四边形ADEF是菱形． 证明：∵AF∥CD， ∴∠AFD＝∠EDF． ∴∠AFD＝∠ADF， ∴AF＝AD． 又∵AD＝ED，
4＝100（人）． 40
∴AF＝DE．
∴四边形ADEF是平行四边形， 又∵AD＝ED，
∴四边形ADEF是菱形． 22.解：过B作BG⊥OM于G，
过C′作C′H⊥BG于H，延长D′A交BG于E， 则C′H＝D′E，HE＝C′D′＝8， 设AE＝x，
∴C′H＝D′E＝16+x， ∵∠BC′H＝45°， ∴BH＝C′H＝16+x， ∴BE＝16+x+8＝24+x， ∵∠BAO＝160°， ∴∠BAE＝70°， ∴tan70°＝
＝
＝
，
解得：x＝13.5， ∴BE＝37.5，
∴BG＝BE+EG＝BE+AO＝37.5+7＝44.5≈45cm， 答：B到水平桌面OM的距离为45cm． 23.解：（1）列表如下：
4
1
﹣2
3
（1，4） （﹣2，4） （3，4）
（﹣2，﹣5） （3，﹣5） ﹣5 （1，﹣5）6
（1，6） （﹣2，6） （3，6）
（2）由表可知，共有9种等可能结果，其中所抽取的两个球数码的乘积为负数的由4种结果，
∴所抽取的两个球数码的乘积为负数的概率为．
24.解：（1）根据题意得：解得18≤x≤20， ∵x是正整数， ∴x＝18、19、20， 共有三种方案：
方案一：A产品18件，B产品12件， 方案二：A产品19件，B产品11件， 方案三：A产品20件，B产品10件；
，
（2）根据题意得：y＝：700x+900（30﹣x）＝﹣200x+27000， ∵﹣200＜0，
∴y随x的增大而减小， ∴x＝18时，y有最大值，
y最大＝﹣200×18+27000＝23400元．
答：利润最大的方案是方案一：A产品18件，B产品12件，最大利润为23400元． 25.（1）证明：连接OD， ∵DN为⊙O的切线， ∴∠ODM＝∠ABC＝90°， 在Rt△BOM与Rt△DOM中，
ODOB＇OMOM
∴Rt△BOM≌Rt△DOM（HL）， ∴BM＝DM，∠DOM＝∠BOM∵∠C
∴∠BOM＝∠C， ∴OM∥AC， ∵BO＝OC， ∴BM＝AM， ∴AM＝DM；
（2）解：①∵OD＝OC＝1，DN
，
，
，
∴tan∠DON∴∠DON＝60°， ∴∠C＝30°， ∵BC＝2OC＝2， ∴AB
BC
，
， AB•BC
2
；
∴△ABC的面积为
②当四边形COMD为平行四边形时，∠C的度数为45°， 理由：∵四边形COMD为平行四边形， ∴DN∥BC，
∴∠DON＝∠NDO＝90°， ∴∠C故答案为：
DON＝45°，
，45°．
26.解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3过点A（﹣3，0），B（1，0）， ∴
，解得：
，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3； ∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4 ∴顶点D的坐标为（﹣1，4）；
（2）①∵在Rt△AOC中，OA＝3，OC＝3， ∴AC2＝OA2+OC2＝18，
∵D（﹣1，4），C（0，3），A（﹣3，0）， ∴CD2＝12+12＝2 ∴AD2＝22+42＝20
∴AC2+CD2＝AD2
∴△ACD为直角三角形，且∠ACD＝90°． ∵
，
∴F为AD的中点， ∴∴
， ．
，
，
②在Rt△ACD中，tan∠CAD＝在Rt△OBC中，tan∴∠ACD＝∠OCB， ∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝45°， ∴∠FAO＝∠ACB，
若以A，F，O为顶点的三角形与△ABC相似，则可分两种情况考虑： 当∠AOF＝∠ABC时，△AOF∽△CBA， ∴OF∥BC，
设直线BC的解析式为y＝kx+b， ∴
，解得：
，
∴直线BC的解析式为y＝﹣3x+3， ∴直线OF的解析式为y＝﹣3x， 设直线AD的解析式为y＝mx+n， ∴
，解得：
，
∴直线AD的解析式为y＝2x+6，
∴，解得：，
∴F（﹣）．
当∠AOF＝∠CAB＝45°时，△AOF∽△CAB，
∵∠CAB＝45°， ∴OF⊥AC，
∴直线OF的解析式为y＝﹣x， ∴
，解得：
，
∴F（﹣2，2）．
综合以上可得F点的坐标为（﹣27.解：（1）①如图②中，
）或（﹣2，2）．
∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形， ∴AE＝AG，AB＝AD，∠BAD＝∠EAG＝90°， ∴∠BAE＝∠DAG， 在△ABE和△DAG中，
，
∴△ABE≌△ADG（SAS）， ∴BE＝DG；
②如图2，延长BE交AD于T，交DG于H． 由①知，△ABE≌△DAG， ∴∠ABE＝∠ADG， ∵∠ATB+∠ABE＝90°， ∴∠ATB+∠ADG＝90°， ∵∠ATB＝∠DTH， ∴∠DTH+∠ADG＝90°， ∴∠DHB＝90°， ∴BE⊥DG，
故答案为：BE＝DG，BE⊥DG；
（2）数量关系不成立，DG＝2BE，位置关系成立． 如图③中，延长BE交AD于T，交DG于H．
∵四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形， ∴∠BAD＝∠EAG， ∴∠BAE＝∠DAG， ∵AD＝2AB，AG＝2AE， ∴
＝
＝，
∴△ABE∽△ADG， ∴∠ABE＝∠ADG，∴DG＝2BE，
∵∠ATB+∠ABE＝90°， ∴∠ATB+∠ADG＝90°， ∵∠ATB＝∠DTH， ∴∠DTH+∠ADG＝90°， ∴∠DHB＝90°， ∴BE⊥DG；
（3）如图④中，作ET⊥AD于T，GH⊥BA交BA的延长线于H．设ET＝x，AT＝y．
＝，
∵△AHG∽△ATE， ∴
＝
＝
＝2，
∴GH＝2x，AH＝2y， ∴4x2+4y2＝4， ∴x2+y2＝1，
∴BG2+DE2＝（2x）2+（2y+2）2+x2+（4﹣y）2＝5x2+5y2+20＝25．
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