高等数学极限习题500道

 当xx0时，设1＝o()，1o()且lim1求证：limlim．xx0xx01 xx0存在， 若当x0时，(x)(1ax2)131与(x)cosx1是等价无穷小，则a 1313A．　B．　C．　D．．2222　　　　　　　　　　　　　答（　　） 当x0时，下述无穷小中最高阶的是A　x2　B1　cosx　C　1x21　D　xsinx 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　答（　　） 求极限lim(1)nnsin(n22)．求limnln(2n1)ln(2n1)之值．nnx211lime1x的值_____________ 求极限lim(n)ln(1)． n2nx0x3sinx2 设有数列a1a，a2b (ba)，an2求证：limynlim(an1an)及liman．nnnan1an2 设x1a，x2b．(ba0)　xn2记：yn1xn12xnxn1，xnxn1 1，求limyn及limxn．nnxn(12x)sinxcosx求极限lim之值． 2x0x 设limu(x)A，A0；且limv(x)Bxx0xx0试证明：limu(x)v(x)AB．xx0 limln(1x)(x1)2x11A．　　B．1　　C．0　　D．ln2　　　　　　　　　　　　　答（　　） lim(12x)x0sinxx A．1　　B．e2　　C．e　　D．2　　　　　　　　　　　　　答（　　） 设u(x)1xsinf(u)1fu(x)1求：lim及limu(x)之值，并讨论lim的结果．u1x0x0u1u(x)11. f(u)u2x x29lim2的值等于_____________ x3xx6 ex4exlimx3ex2ex 1A．　　B．2　　C．1　　D．不存在3答：（ ） (2x)3(3x)5limx(6x)8 1A.1　B.1　C.5　D.不存在323答：（ ） (12x)10(13x)20xlim____________ lim的值等于____________ 215x(16x)x0exex316x412xx33x2之值． 求lim求极限lim3．x0x1xx2x1x(x5) 已知：limu(x)，limu(x)v(x)A0xx0xx0问limv(x)？为什么？xx0 关于极限limx053e1x结论是：55A　　　B　0　　C　　D　不存在 34　　　　　　　　　　　　　　答（　　） 设limxxf(x)A，limg(x)，则极限式成立的是0xx0A.limf(x)xx(x)00gB.limg(x)xxx)0f(C.limxxf(x)g(x)0D.limxf(x)g(x)x0　　　　　　　　　　 答（　　）f(x)excosx，问当x时，f(x)是不是无穷大量． limtanx1x0arctanxA.0　　B.不存在.　　C.2　D.2 　　　　　　　　　　　　答（　　） limarctan(x2)xxA.0　　B.　　C.1　　D.2 　　　　　　　　　　答（　　）设f(x)31，则f(0)___________ 2ex lim1x0arccotxA.0　　B.　　C.不存在.　　D.2 　　　　　　　　　　　　　答（　　）limacosxx0ln1x0，则其中aA.　0　　B.　1　　C.　2　　D.　3 　　　　　　　　　　　　　　答（　　）e2xexlim3xx01cosx的值等于____________ lim2(1cos2x)x0 xA.　2　　B.　2　　C.不存在.　　D.　0答：（ ） px2qx5设f(x)，其中p、q为常数．x5问：(1)p、q各取何值时，limf(x)1；x 　　(2)p、q各取何值时，limf(x)0；x　　(3)p、q各取何值时，limf(x)1．x5(x2n2)2(x2n2)2(3x22)3求极限lim． 求极限lim． x(xn1)2(xn1)2x(2x33)2 已知limx1x43AB(x1)c(x1)202 (x1)试确定A、B、C之值． ax3bx2cxd已知f(x)，满足(1)limf(x)1，(2)limf(x)0．2xx1 xx2试确定常数a，b，c，d之值．(ab)xb已知lim4，试确定a，b之值． x13x1x31 ＂若lim(x)0，则lim＂上述说法是否正确？为什么？xx0xx0(x) 当xx0时，f(x)是无穷大，且limg(x)A，xx0证明：当xx0时，f(x)g(x)也为无穷大．2x1用无穷大定义证明：lim． 用无穷大定义证明： limlnx．x1x1x01用无穷大定义证明：limtanx 用无穷大定义证明：lim． x10x0x12 用无穷大定义证明：lim(x34x)．x 用无穷大定义证明：limlogax (其中0a1)．x 若当xx0时，(x)、(x)都是无穷小，则当xx0时，下列表示式哪一个不一定是无穷小.(A)　(x)(x)(B)　2(x)2(x)(C)　ln1(x)(x) 2(x)(D)　(x)　　　　　　　　　　　答（　　） ＂当xx0，(x)是无穷小量＂是＂当xx0时，(x)是无穷小量＂的(A)充分但非必要条件(B)必要但非充分条件(C)充分必要条件(D)既非充分条件，亦非必要条件　　　　　　　　　　　　　答（　　） ＂当xx0时，f(x)A是无穷小＂是＂limf(x)A＂的：xx0(A)充分但非必要条件(B)必要但非充分条件(C)充分必要条件(D)既非充分条件，亦非必要条件　　　　　　　　　　　　　答（　　） 若limf(x)0，limg(x)0，但g(x)0．xx0xx0f(x)b的充分必要条件是xx0g(x)f(x)bg(x)　　　lim0．xx0g(x)证明：limn1n 用数列极限的定义证明：liman0，(其中0a1)．用数列极限的定义证明：liman 1　　(0a1)．用数列极限的定义证明：limnn(n2)1． 222n5sinx1cos(sinx)(cosx)1lim的值等于___________ 求极限lim之值． 2x032ln(1x)x0x(cosxsinx)2x1____________ x0x0x3x2(12x)3x1(1sinx)x1lim_____________ lim__________ 2x0x0xx12sinxx12x(cosx)1求极限limx()1之值． lim______________ x3x0x1x (1xsinx)求极限limx1之值． lim设在x0的某去心邻域内0(x)u(x)(x)，且当xx0时，(x)~(x)．试证明：当xx0时　(x)~u(x)． 设当xx0时，(x)0，(x)o(x)，(x)(x)存在(A0) xx0u(x)(x)(x)求证：lim1A．xx0u(x)1(x)~(x)．lim(13x)5(12x)7求lim之值． 2x0(2x1)1 设当xx0，(x)，1(x)，(x)，1(x)均为无穷小，且(x)~1(x)；(x)~1(x)，如果lim试证明：lim1(x)xx01(x)xx0(x)A(x)11(x) lim11(x)xx0． 设当xx0，(x)，(x)都是无穷小，且(x)0，(x)0试证明：1(x) (x)~(x)(x)． 设当xx0时，(x)与1(x)均为无穷小，且(x)~1(x)；如果lim试证明：limxx0(x)A(x) 1(x)a1(x)xx0limxx011(x)a1．(x)(式中a是正常数)用数列极限的定义证明lim n10． n!设limxnA，且BAC． BAAC试证必有正整数N存在，使当nN时恒有　xn成立．22n 设有两个数列xn，yn满足n(1)limxn0；(2)ynM　　(M为定数)．试证明：lim(xnyn)0．n x2sin设limf(x)A，求证：limf(x)A． 求极限limx0sinxxx0xx01x 1求极限limx1sin． 求极限limcosln(1x)coslnx x0xx2x111求极限limarctan． 求极限lim 求极限limarctanxarcsin xxx(1ex)xx1x2x2x1求极限lim． 1x0求数列的极限lim(sinn1sinn) n22x 设lim(x)u0，且(x)u0，又limf(u)Axx0uu0试证：limf(x)Axx0 设f(x)x1lnx试确定实数a，b之值，使得： 当xa时，f(x)为无穷小；当xb时，f(x)为无穷大。x设f(x)，问：当x趋于何值时，f(x)为无穷小。 xtan2 若limf(x)A，limg(x)B，且BAxx0xx0证明：存在点x0的某去心邻域，使得在该邻域内　g(x)f(x)． 设limf(x)A，试证明：xx0对任意给定的0，必存在正数，使得对适含不等式0x1x0；0x2x0的一切x1、x2，都有f(x2)f(x1)成立。已知：limf(x)A0，试用极限定义证明：limxx0 若数列xn与yn同发散，试问数列xnyn是否也必发散？ xx0f(x)A． x2n1x求f(x)lim2n的表达式 nx1 xcos(abx)2设f(x)limnx2n1　(其中a、b为常数，0a2)，(1)求f(x)的表达式；(2)确定a，b之值，使limf(x)f(1)，limf(x)f(1)．x1x1x2n1sin n2n11xx求f(x)lim的表达式 求f(x)lim 的表达式．nnn1(lnx2)2n1nxx 设(x)x23x3，fn(x)1(x)2(x)n(x)，求f(x)limfn(x)．nxxx求f(x)limx的表达式． 2222n1n1x(1x)(1x)nkxn设Sn，其中bk(k1)!，求limSn． 求f(x)lim的表达式． nbn1xnkk1x(1x)x2(1x)2xn(1x)n求f(x)lim1的表达式。 2nn222求f(x)limx(1x)nx1(1x)1nn 的表达式，其中x0．3an2(b)n求数列的极限lim． (其中ab0)． n3an12(b)n11352n153n3(2)n求数列的极限lim()． 求数列的极限lim． n2n432n3n 求数列的极限lim(12q3q2nqn1)，其中q1．n 求数列的极限111lim na(a1)(a2)(a1)(a2)(a3)(an1)(an)(an1)其中a0．111求数列的极限lim n1335(2n1)(2n1)1111求数列的极限lim． n122334n(n1)a22求数列的极限lim312232(n1)2 (其中a0) nn1n2求数列的极限lim(123(n1) ．nn22求数列的极限limn(n2n1)． n求数列的极限limn24n5(n1)． nn43n36(n1)(n1)求数列的极限lim． nnan 求数列的极限lim． (其中a1)．n2an10000n111． 求数列的极限lim(12)(12)(12)． 求数列的极限lim2nnn123nn24n3求数列的极限lim2． 求数列的极限lim(n1n)． n3n5n1n求数列的极限limn12n3n． n求数列的极限lim2na2n1． (a0，b0且b2) nnbn23n12n11)． 求数列的极限limn(1)． 求数列的极限limn(　nnn22n210n3102n求极限lim． n310n12102n1若在x0的某邻域内f(x)g(x)，且limf(x)A，limg(x)B．xx0xx0试判定是否可得：AB． 1 若lim(x)0，limb0，则lim(x)(x)0是否成立？为什么？xx0xx0(x)xx0 确定a，b之值，使limx3x24x7(axb)0，x并在确定好a，b后求极限limx求极限lim(x3x4x7(axb)2 x12xcosxx)． 求极限lim． xx3xsinxx1(x1)2(2x1)2(3x1)2(10x1)2求极限lim x(10x1)(11x1)x求极限limxx22x5(x1)． 求极限lim(4x28x52x1)． x(x1)(2x1)(3x1)(4x1)(5x1)2e3x3e2x求极限lim． 讨论极限lim3x． 322xxx4e(2x3)(3x2)e(x1)(22x21)(32x21)(42x21)(52x21)求极限lim． 335x(5x3)2x(4x23)3(3x2)4a求极限lim． 求极限lim　(a0，a1)． 25xx1a2x(6x7)求极限limtan2xtan(x)． 4x4确定a，b之值，使当x时，f(x)x24x5(axb)为无穷小． 33x22x33x2x25x6求极限lim． 求极限lim4． 求极限lim． x2x1x4x3x2x2x242x5x12x5求极限lim． 求极限lim． 2x0x2x55x42324(12x)3(1x)5(1x)(1x)求极限lim 求极限lim． 23x0(14x)(13x)2x0x2(12x)5(14x)3(2xa)mam求极限lim (m，n为自然数)． 求极限lim nnxax0xxa(13x)41求极限lim． x0x2ax2(a2)x1设f(x)2 ax(a21)xa问：(1)当a为何值时，limf(x)；x11； x12　　(3)当a为何值时，limf(x)0，并求出此极限值。1　　(2)当a为何值时，limf(x)x2cscxcotx1cosax． 求极限lim． 2x0x0xx1tanxsinx1求极限lim． 求极限limtanxtan　(0) 3x0xx2x1sinxcosx求极限lim　(p为常数，p0)． 讨论极限lim22cosx． x01sinpxcospxx0x1xsinxcosx求极限limln(13x)． 求极限lim． x0x0xtanxxen12求数列的极限limnsin． 求数列的极限lim(arctan)n1． nnn4n求数列的极限lim2nsinn1． 求数列的极限limn2(1cos)． nnn2求极限lim 设f(x)是定义在a，b上的单调增函数，x0(a，b)，则(A)f(x00)存在，但f(x00)不一定存在(B)f(x00)存在，但f(x00)不一定存在(C)f(x00)，f(x00)都存在，而limf(x)不一定存在xx0 (D)limf(x)存在xx0　　　　　　　　　　　答（　　）设x1a0，且xn1 axn，证明：limxn存在，并求出此极限值．n 设x12，且xn12xn，证明limxn存在，并求出此极限值。n 设x10，且xn1n1a(xn)(其中a0)，2xn 证明极限limxn存在，并求出此极限值． x0xn，，xn11．1x01xn 证明极限limxn存在，并求出此极限值。设x01，x11n设xn1111，(n为正整数) 求证：limxn存在． 222n23n1111设xn2n，求证：limxn存在. n11313131 113135(2n1)，x2，，xn，224246(2n)1(1)证明：xn； 2n1(2)求极限limxn．设x1n100x210x1求极限lim3． 2xx01.x0.01x0.001x设数列xn适合n1r1, (r为定数）证明：limxn0． nxn． 2nx求数列的极限lim． cos(x)3nn!6n用极限存在的＂夹逼准则＂证明数列的极限limn0． n2111 求数列的极限lim()．222nn1n2nn求极限limtan3x3tanx求数列的极限lim3n求数列的极限limnn2sinn!． n1111(n1)2(n2)2(2n)22xln(23e) 求极限lim． ．xln(32e3x)ln(x65x37)xxxx求极限lim． 求极限lim． xln(x23x4)xx x，当x02设f(x)sin2x，g(x)x，当x0 2讨论limx0g(x)及limx0fg(x)．设limxx(x)u0，limuf(u)f(u0) , 证明：limf(x)f(u0)。 0u0xx0无限循环小数0.9的值(A)不确定(B)小于1(C)等于1xmxn求极限lim(D)无限接近1x1xmxn2　(m、n为正整数)． 　　　　　　　答（　 若数列an适合an1anr(anan1)(0r1) 求证：limaa2ra1nn1r．设xann!xn＋1nnn　其中a0是常数，n为正整数 , 求极限limnx n求数列的极限lim(secnn)n2． 设xx0时，(x)与(x)是等价无穷小且limxx(x)f(x)A 0证明：limxx(x)f(x)A0 设xlimx0f(x)A，且A0，试证明必有x0的某个去心邻域存在，使得 在该邻域内1f(x)有界. 下述结论：＂若当xx0时，(x)与(x)是等价无穷小，则当xx0时，ln1(x)与ln1(x)也 是等价无穷小＂是否正确？为什么？ 　）应用等阶无穷小性质，求极限lim求极限limx0x0arctan(1x)arctan(1x)． x1213(14x)(16x)15x13x求极限lim． ． x0xx22x1n13求极限lim (52x)x2(1ax)1． 　(n为自然数)．a0． 求极限limx3x0x3x设当xx0时，(x)与(x)是等价无穷小，f(x)f(x)(x)且lima1，limA， xx0(x)xx0g(x)f(x)(x)证明：limA．xx0g(x) 设当xx0时，(x)，(x)是无穷小且(x)(x)0证明：e(x)e(x)~(x)(x)． 若当xx0时，(x)与1(x)是等价无穷小，(x)是比(x)高阶的无穷小．则当xx0时，(x)(x)与1(x)(x)是否也是等价无穷小？为什么？ 设当xx0时，(x)、(x)是无穷小，且(x)(x)0.证明：ln1(x)ln1(x)　　　与(x)(x)是等价无穷小． 设当xx0时，f(x)是比g(x)高阶的无穷小．证明：当xx0时，f(x)g(x)与g(x)是等价无穷小． 若xx0时，(x)与1(x)是等价无穷小，(x)与(x)是同阶无穷小，但不是等价无穷小。试判定：吗？为什么？ (x)(x)与1(x)(x)也是等价无穷小 确定A及n，使当x0时，f(x)ln(x21x2)与g(x)Axn， 是等价无穷小． 设f(x)sinx2sin3xsin5x，　g(x)Axn，求A及n，使当x0时，f(x)~g(x)． 设f(x)e(ax)e(ax)2ea，(a为常数)g(x)Axn求A及n，使当x0时，f(x)~g(x). 222设f(x)x22x1x，A 　g(x)k，x确定k及A，使当x时，f(x)~g(x)． 设(x)x33x2，　(x)c(x1)n， 确定c及n，使当x1时，(x)~(x)11证明不等式：ln(1)．(其中n为正整数) nnaxbxx)，(a0，b0) 求极限lim(axe)，(a，b为正的常数) 求极限lim(x0x02lnxlnx0xn1求极限lim　(x00) 求极限lim，(n为任意实数)． xx0xx0x1x1bx1x1a1axaa　(a0，a1)． 求极限lim，(a0，a1) 求极限limx0xaxxaetanxe3xe5x1exex2求极限lim． 求极限lim． 求极限lim． 2x0x0x0sinxxx11xaxx2求极限lim()　(a0，b0且a1，b1，ab) x01xbx11ln(secxtanx)2xx1求极限lim． 求极限limx(aa)　(a0，a1)． x0sinxxb求极限limln(1eax)ln(1)　(a，b为常数，且a0). xxln(x0x)ln(x0x)2lnx0 求极限lim　　(x00)．2x0x1cosxxcosx． 求极限lim()　(k，kz)． 求极限xlimxcosx23x2x2x1x2x13x)． )． 求极限lim(2求极限lim(12x) 求极限lim(xxx02xx12x1cotxtan2x1 求极限lim(sinx)tan(x)． 求极限lim(sinxcosx)x． 求极限limxx04x021x求极限lim(cosx)． 求极限lim(1x2x)． x0x01x1x求极限lim(x2)ln(x2)2(x1)ln(x1)xlnxx 求极限limx0xlncosx． 2xx21求极限lim． 求极限limln(1x)ln(x1)x．x－1lnxx1求数列的极限limnln(n1)lnn． 求数列的极限lim(ne)n. n1nn求数列的极限limn(enan e)，其中a，b为正整数．bn11 ; 其中a0是常数 求数列的极限limn2ln(a)ln(a)2lnannn1n21n求数列的极限lim()． 求数列的极限limn(an1)，其中a0． nnn111(2)2(2n)求数列的极限limneen2e2． nn2n1nanbn)． 求数列的极限lim()，其中a0，b0． 求数列的极限lim(n2n1n23n22求数列的极限lim2n3n4 n(n1) 计算极限：limsin(n2a2)． n11设f(x)xsinsinx，limf(x)a，limf(x)b，则有x0xxx(A)a1，b1　　(B)a1，b2 (C)a2，b1　　(D)a2，b2　　　　　　　　　　　　　　答（　　）ln(1xx2)ln(1xx2)1exe2xenx 计算极限limln 计算极限limx0x0xsecxcosxn1x1x2tanmx 求极限lim　(m，n为非零常数) 计算极限limx0x0sinnx1x121cosx计算极限lim　(a0) 计算极限lim． 22xa0x0xa1cosx111ln(ax)ln(ax)2lna计算极限lim() 计算极限在lim　(a0) x0xsinxx0tanxx2xaxa(esinx1)41x2计算极限lim x0(1cosx)ln(1x2) sinxxx(A)1　(B)　(C)0　(D)不存在但不是无穷大 lim　　　　　　　　　　　　　　　答（　　） 1limxsin之值xx(A)1　(B)0　(C)　(D)不存在但不是无穷大　　　　　　　　　　　　　　　　　　　答（　　） 已知limx0AtanxB(1cosx)Cln(12x)D(1ex2)1　(其中A、B、C、D是非0常数) 则它们之间的关系为(A)B2D　(B)B2D　(C)A2C　(C)A2C　　　　　　　　　　　　　　　　　　　答（　　）设x1计算极限lim(1x)(1x2)(1x4)(1x2) nnxn1a存在，试证明：a1． 求lim(sin22cos1)x2 nnxxxxnx33x23x2x3(a21)xa计算极限lim　(a0) 计算极限lim 222xax2xx2xaexexcosxlim(cosxcosxcosx) 计算极限lim 计算极限limx0xln(1x2)x02222nna设有数列an满足an0及limn1r (0r1)，试证明liman0． nann设limxn0及lim设有数列an满足an0且limnanr， (0r1)，试按极限定义证明：nliman0． n设limf(x)A　(A0)，试用\"\"语言证明limxx0xx0f(x)A． 1试问：当x0时，(x)x2sin，是不是无穷小？ x设limf(x)A，limg(x)B，且AB,试证明：必存在x0的某去心邻域，使得xx0xx0在该邻域为f(x)g(x)． ln(13x2)11计算极限lim． 设f(x)xsin，试研究极限lim 23x2x0f(x)arcsin(3x4x4)x n1(1)nn2设数列的通项为xnn，则当n时，xn是(A)无穷大量(B)无穷小量 (C)有界变量，但不是无穷小(D)无界变量，但不是无穷大　　　　　　　　　　　答（　　） 以下极限式正确的是(A)lim(1101x)xe　(B)xlim(01x)xe1x(C)lim(11 x1x)e1　(D)lim(x1x)xx0　　　　　　　　　　　　　　　　答（　　）设x110，xn16xn　(n1，2，)，求limnxn． eax1设f(x)x，当x0，且limf(x)Ab，　　当x0x0则a，b，A之间的关系为(A)a，b可取任意实数，A1 (B)a，b可取任意实数，Ab(C)a，b可取任意实数，Aa(D)a可取任意实数且Aba答：( ) ln(1ax)设f(x)dx，当x0，且limf(x)A，x0b　　，　 当x0则a，b，A之间的关系为(A)a，b可取任意实数，Aa (B)a，b可取任意实数，Ab(C)a可取任意实数且abA(D)a，b可取任意实数，而A仅取Alna答：（ ） 1cosax，当x0设f(x)，且limf(x)Ax2x0 当x0b，　　　则a，b，A间正确的关系是(A)a，b可取任意实数Aa2a2(B)a，b可取任意实数A2a(C)a可取任意实数bA2a2(D)a可取任意实数bA2　　　　　　　　　　　　　答（　　） 设有lim(x)a，limf()A，且在x0的某去心邻域xx0ua内复合函数f(x)有意义。试判定limf(x)A是否xx0 成立。若判定成立请给出证明；若判定不成立，请举出例子，并指明应如何加强已知条件可使极限式成立。 x22xb，当x1设f(x)x1　适合limf(x)Ax1a，　　　　当x1则以下结果正确的是(A)仅当a4，b3，A4(B)仅当a4，A4，b可取任意实数(C)b3，A4，a可取任意实数(D)a，b，A都可能取任意实数　　　　　　　　　　　　　　　答（　　） 1bx1　当x0设f(x)　且limf(x)3，则xx0a　　　　　当x0(A)b3，a3(B)b6，a3(C)b3，a可取任意实数(D)b6，a可取任意实数　　　　　　　　　　　答（　　） 设(x)(1ax2)131，(x)eecosx，且当x0时(x)~(x)，试求a值。 ex2exx2ax求limx． 设lim()8，则a____________． x3e4exxxalim(13x)x02sinx ____________． 当x0时，在下列无穷小中与x2不等价的是(A)1cos2x　　(B)ln1x2(C)1x21x2　(D)exex2　　　　　　　　　　　　　　　　　答（　　） 当x0时，下列无穷小量中，最高阶的无穷小是(A)ln(x1x2)　(B)1x21(C)tanxsinx　(D)ee11x22xx2 　　　　　　　　　　　　　　　　答（　　）xexcosxx5x3xnxn1x2xn计算极限lim x1x1(x1)(3x1)(nx1)计算极限 lim 计算极限 lim(cosx)x．x1(x1)n1x01讨论极限limarctan的存在性。 研究极限limarccot1的存在性。 x1x0x1xx0计算极限lim2 lim3x5sin4_____________________ x22x3研究极限lim． xx1 当x0时，下列变量中，为无穷大的是(A)sinx11 　(B)lnx　(C)arctan　(D)arccotxxx　　　　　　　　　　　　　　　　　答（　　）1lim________________。 x1lnx1n设an0，且liman0，试判定下述结论\"存在一正整数N，使当nN时，恒有an1an\"是否成立？ 若limanA试讨论liman是否存在？ n设有数列 an 满足lim(an1an)0，试判定能否由此得出极限liman存在的nnn结论。 a设有数列an满足an0；n1r，0r1，试证明liman0 nan设limf(x) 存在，limg(x)存在，则limf(x)是否必存在？xx0g(x)xx0xx0f(x) 若limf(x)0，limA0，则是否必有limg(x)0．xx0xx0g(x)xx0 当x0时，下列变量中为无穷小量的是11sinx2x2(B)ln(x1)(A)1(C)lnx(D)(1x)1x 1g(x) 0．f(x)　　　　　　　　　　答（　　）设xx0时，f(x)，g(x)A(A是常数），试证明lim xx0若limg(x)0，且在x0的某去心邻域内g(x)0，limxx0xx0f(x)A，g(x) 则limf(x)必等于0，为什么？xx0 若limf(x)A，limg(x)不存在，则limf(x)g(x)xx0xx0xx0是否必不存在？若肯定不存在，请予证明，若不能肯定，请举例说明，并指出为何加强假设条件，使可肯定f(x)g(x)的极限(xx0时)必不存在。xx0xx0xx0 若limf(x)，limg(x)A，试判定limf(x)g(x)是 xx0设xx，f(x)，g(x)A，试证limf(x)g(x)． 0xx0设当xx时，f(x)，g(x)A(A0)，试证limf(x)g(x)． 0 x1设ln，arcctgx，则当x时x()A~　 ()B与是同阶无穷小，但不是等价无穷小()C是比高阶的无穷小()D与不全是无穷小 答：（ ） 11f(x)sin　(0x)xx(A)当x时为无穷小(B)当时x0为无穷大(C)当x(0，)时f(x)有界(D)当时x0f(x)不是无穷大，但无界．　　　　　　　　　　　　　　　答（　　） 2x若f(x)axb，当x时为无穷小，则x1(A)a1，b1　(B)a1，b1 (C)a1，b1　(D)a1，b1　　　　　　　　　　　　　　　答（　　）112n3xx求lim() 求lim()2 222nx6xnnn1n2nnnn2nlim()____ nn1 nlimeee1n2nn1ne (A)1　(B)e　(C)e　(D)e2　　　　　　　　　　答（　　） lim(12n12(n1))____．n x0limxcos2x2 (A)等于0　 ; (B)等于2 ;(C)为无穷大　; (D)不存在，但不是无穷大 .　　　　　　　　　　　　　　　 答（　　） 设f(x)1sin，试判断：xx(1)f(x)在(0，1)，内是否有界 ;(2)当x0时，f(x)是否成为无穷大 . 设f(x)xcosx，试判断：(1)f(x)在0，上是否有界(2)当x时，f(x)是否成为无穷大 1试证明limcos不存在。 x0x若在x的某去f(x)(x)，且lim(x)0，试limf(x)0 0xx0xx0若在x的某去心邻f(x)g(x)，且limf(x)A，limg(x)B ; 试证AB． 0xxxx00 1sinxlim之值x01x(A)等于1 ; 　(B)等于0 ; (C)为无穷大　 ; (D)不存在，但不是无 . 　　　　　　　　　　　　　　　 答（　　）设(x)1x，(x)333x，则当x1时（　　）1x(A)(x)与(x)是同阶无穷小，但不是等价无穷小 ;(B)(x)与(x)是等价无穷小 ;(C)(x)是比(x)高阶的无穷小 ;(D)(x)是比(x)高阶的无穷小 .　　　　　　　　　　　　　　　　　　　答（　　） x3ax2x4设limA，则必有x1x1(A)a2，A5　 ; (B)a4，A10 ;(C)a4，A6　 ; (D)a4，A10 .　　　　　　　　　　　　　　　答（　　） x21当x1时，f(x)ex1(A)等于2　 ; 　(B)等于0 ;1x1的极限 (C)为 ; 　　　(D)不存在但不是无穷大 .　　　　　　　　　　　　　　　　答（　　）设当x0，(x)(1ax2)321和(x)1cosx满足(x)~(x)．试确定a的值。 3x22求a，b使lim(axb)1 xx1 设lim(3x24x7axb)0 , 试确定a，b之值。x设x11，xn12xn3(n1，2，)，求limxn n设x14，xn12xn3　(n1，2，)，求limxn． n1n1n计算数列极限limtan() 计算极限limn(arctanarctan) nnn4nn1n33k33设当x0，(x)1x1x~Ax，试A及k． (x)设(x)x2x2x1，求A与K使limA(A0) kxxbxx极限lim(1)　　(a0，b0)的值为 x0abbbea(A)1．　(B)ln　(C)e．　(D) aa　　　　　　　　　2x1设lim　(a0)，试确定a，b之值。 22x02ax(bcosx)2 设lim(3xaxbx1)2，试确定a，b之值。x32xaxxb设lim3，试确定a，b之值。 2x1x11xsinxcos2x 计算极限lim(xxxx) 计算极限limx0xtanxx4tanx4sinx22cosax计算极限lim 研究极限lim(a0)的存在性。 x0x0etanxesinxx2 xn收敛，并求极限limxn．设x1(0，2)，xn12xnxn．(n1，2，)，试证数列n设x10，xn12xnxn(n1，2，)，试研究极限limxn． n2 设x12，xn12xnxn(n1，2，)，试研究极限limxn．n2 设a1，b1是两个函数，令an1anbn，bn1liman存在，limbn存在，且limanlimbnnnbnnanbn， (n1，2，)试证明：2 ecosxe计算极限 limxxxxxx 计算极限lim 2xx0x21计算极限lim(12)x xxx若limxnyn0，且xn0，yn0，则能否得出＂limxn0及limyn0至少有一nnn式成立＂的结论。 设数列xn，yn都是无界数列，znxnyn，zn是否也必是无界数列。试判定： 如肯定结论请给出证明，如否定结论则需举出反例。31计算极限limxsinln(1)sinln(1) xxx 1极限lim(cosx)xx02A．0；　B．　　C．1；　D．e．　　　　　　　　　　　　答（　　） 12 exex极限lim的值为（　　）x0x(1x2)A．0；　B．1；　C．2；　D．3．　　　　　　　　　　　　　答（　　） 极限lim1cos3x的值为（　　）x0xsin3x123A．0；　B．；　C．；　D．． 632　　　　　　　　　　　　　　答（　　） 下列极限中不正确的是xtan3x32；A．lim；　B．limx0sin2xx1x122 2x1arctanxC．lim2；D．lim0．x1sin(x1)xx　　　　　　　　　　　　　　　答（　　） cosln(1xx2)ln(1xx2)极限limx0x2A．0；　B．1；　C．2；　D．3．　　　　　　　　　　　　　答（　　） 1x 极限lim(cosx)x0A．0；　B．e；　C．1；　D．e．　　　　　　　　　　　　　　答（　　） 1212 当x0时，与x为等价无穷小量的是A．sin2x；　 B．ln(1x)；C．1x1x； D．x(xsinx)． 　　　　　　　　　　　　　　 答（　　） 当x1时，无穷小量1－x是无穷小量x1的12xA．等价无穷小量；B．同阶但非等价无穷小量； C．高阶无穷小量；D．低阶无穷小量．　　　　　　　　　　　　　　　　　　答（　　）当x0时，无穷小量2sinxsin2x与mxn等价，其中m，n为常数，则数组m，n）中m，n的值为 A．(2，3)；　B．(3，2)；　C．(1，3)；　D．(3，1)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　答（　　） 已知lim(11xx0kx)e，则k的值为A．1；　B．1；　C．12；　D．2． 　　　　　　　　　　　　　　答（　　） x极限lim(x112x)2的值为A．e；　B．e1；　C．e4；　D．e14 　　　　　　　　　　　　　　答（　　） 下列等式成立的是A．lim(12x)2xe2；　B．lim(11x)2xxxe2；C．lim(11 )x2e21x；D．lim(x1x)x1xe2．　　　　　　　　　　　　　　　　答（　　） 1极限limxx0(12x)A．e；　B．1；　C．e2e；　D．e2． 　　　　　　　　　　　　　　答（　　） 极限lim(x1xx1)x4的值为（　）A．e2；　B．e2；　C．e4；　D．e4． 　　　　　　　　　　　　　　答（　　） （ 2x1极限limx2x12x1的值是12A．1；　B．e；　C．e；　D．e2．　　　　　　　　　　　　　　答（　　） 下列极限中存在的是x21111A．lim；　B．lim；C．limxsin；　D．lim 1xx0xx02x1xxx1e　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　答（　　） tanxsinx的值为x0x311A．0；B．　C．　D．． b2　　　　　　　　　　　答（　　）极限lim 极限limsinxxxA．1；　B．0；　C．1；　D．． 　　　　　　　　　　　　　　答（　　） 已知limacosx1，则a的值为x0xsinx2A．0；　B．1；　C．2；　D．1． 　　　　　　　　　　　　　　答（　　） sinkx3，则k的值为x0x(x2)3A．3；　B．；　C．6；　D．6． 2　　　　　　　　　　　　　　　答（　　）已知lim x21设lim(axb)0，则常数a，b的值所组成的数组(a，b)为xx1A．(1，0)；　B．(0，1)；　C．(1，1)；　D．(1，1)． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　答（　　） 4x23设f(x)axb，若limf(x)0，则xx1a，b的值，用数组（a，b）可表示为A．(4，4)；　B．(4，4)；　C．(4，4)；　D．(4，4) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　答（　　） 极限limx26x8x2x28x12的值为A．0；　B．1；　C．12；　D．2． 　　　　　　　　　　　　　　答（　　） 下列极限计算正确的是A．limx2nxn1x2n1；　B．xlimsinxxsinx1；C．limxsinxx0x30；　D．lim(n112n)ne2．　　　　　　　　　　　　　　　　　答（　　） 极限lim(x3x2xx21x1)的值为A．0；　B．1；　C．1；　D．．　　　　　　　　　　　　　　　答（　　） 数列极限lim(nn2nn)的值为A．0；　B．12；　C．1；　D．不存在．　　　　　　　　　　　　　　　答（　　） x2已知lim3xcx1x11，则C的值为A．1；　B．1；　C．2；　D．3． 　　　　　　　　　　　　　　答（　　） 已知limx2ax6x11x5，则a的值为A．7；　B．7　C．2；　D．2． 　　　　　　　　　　　　　答（　　） ex2， x设函数f(x)01， x0，则limxcosx，x0x0f(x)A．1；　B．1；　C．0；　D．不存在． 　　　　　　　　　　　　　　　　　答（　　）1cosx设f(x)x，x0x1，则 ，x01e1xA．limx0f(x)0；B．limf(x)xlim0f(x)；x0C．xlim0f(x)存在，limf(x)不存在；x0 D．xlim0f(x)不存在，xlim0f(x)存在．　　　　　　　　　　　　　　答（　　）tankx设f(x)x，x0，且limx3，x0x0f(x)存在，则k的值为 A．1；　B．2；　C．3；　D．4．　　　　　　　　　　　　　　答（　　） 下列极限中，不正确的是 1A．limxx3(x1)4；B．xlim0e0；1C．lim1xsin(x1)x0(2)0；D．limx1x0． 　　　　　　　　　　　　　　答（　　）若limf(x)x0xk0，limg(x)x0xk1c0(k0)． 则当x0，无穷小f(x)与g(x)的关系是A．f(x)为g(x)的高阶无穷小；B．g(x)为f(x)的高阶无穷小；C．f(x)为g(x)的同阶无穷小； D．f(x)与g(x)比较无肯定结论．　　　　　　　　　　　　　　　　答（　　）当x0时，2sinx(1cosx)与x2比较是（　） A．冈阶但不等价无穷小； B．等价无穷小；C．高阶无穷小； D．低阶无穷小．　　　　　　　　　　　　　　　 答（　　） 当x0时，sinx(1cosx)是x3的 A．冈阶无穷小，但不是等价无穷小； B．等价无穷小；C．高阶无穷小； D．低阶无穷小． 　　　　　　　　　　　　　　　 答（　　）设有两命题： xn必收敛；命题\"a\"，若数列xn单调且有下界，则命题\"b\"，若数列xn、yn、zn满足条件：ynxnzn，且yn，zn都有收敛，则xn必收敛　　　　数列则A．\"a\"、\"b\"都正确； B．\"a\"正确，\"b\"不正确；C．\"a\"不正确，\"b\"正确； D．\"a\"，\"b\"都不正确．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 答（　　）设有两命题： 命题甲：若limf(x)、limg(x)都不存在，则limf(x)g(x)必不存在；xx0xx0xx0xx0 命题乙：若limf(x)存在，而limg(x)不存在，则limf(x)g(x)必不存在。xx0xx0则A．甲、乙都不成立； B．甲成立，乙不成立；C．甲不成立，乙成立； D．甲、乙都成立。　　　　　　　　　　　　　　　　　 答（　　）设有两命题： f(x)命题\"a\"：若limf(x)0，limg(x)存在，且g(x0)0， 则lim0；xx0xx0xx0g(x)命题\"b\"：若limf(x)存在，limg(x)不存在。则lim(f(x)g(x))必不存在。xx0xx0xx0 则A．\"a\"，\"b\"都正确； B．\"a\"正确，\"b\"不正确；C．\"a\"不正确，\"b\"正确； D．\"a\"，\"b\"都不正确。　　　　　　　　　　　　　　　　　 答（　　）若lim,f(x)，limg(x)0，则limf(x)g(x) xx9xx0xx0 A．必为无穷大量 ;　　　B．必为无穷小量 ;C．必为非零常数 ;　　　D．极限值不能确定 ． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　答（　　）an设有两个数列，bn，且lim(bnan)0，则 anA．，bn必都收敛，且极限相等 ;anB．，bn必都收敛，但极限未必相等 ;an收敛，而bn发散 ;C．an和bn可能都发散，也可能都收敛．D．　　　　　　　　　　　　　　　　　　答（　　） n下列叙述不正确的是 A．无穷小量与无穷大量的商为无穷小量；B．无穷小量与有界量的积是无穷小量；C．无穷大量与有界量的积是无穷大量；D．无穷大量与无穷大量的积是无穷大量。　　　　　　　　　　　　　　　　答（　　）下列叙述不正确的是 A．无穷大量的倒数是无穷小量；B．无穷小量的倒数是无穷大量；C．无穷小量与有界量的乘积是无穷小量；D．无穷大量与无穷大量的乘积是无穷大量。　　　　　　　　　　　　　　　　答（　　）若limf(x)，limg(x)，则下式中必定成立的是 A．limf(x)g(x)　 ;　　B．limf(x)g(x)0 ;xx0xx0xx0xx0C．limxx0f(x)c0 ; 　　　D．limkf(x)，(k0) ．xx0g(x) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　答（　　）1设函数f(x)xcos，则当x时，f(x)是 xA．有界变量；　　　　B．无界，但非无穷大量；C．无穷小量；　　　　D．无穷大量． 　　　　　　　　　　　　　　　　　答（　　）若limf(x)A(A为常数），则当xx0时，函数f(x)A是 xx0A．无穷大量 ;　　　　B．无界，但非无穷大量 ;C．无穷小量 ;　　　　D．有界，而未必为无穷小量 ． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　答（　　）设函数f(x)xsin1，则当x0时，f(x)为 xA．无界变量; 　　　　B．无穷大量;C．有界，但非无穷小量; 　D．无穷小量． 　　　　　　　　　　　　　　　　答（　　）f(x)在点x0处有定义是极限limf(x)存在的 xx0A．必要条件;　　　　B．充分条件;C．充分必要条件;　　D．既非必要又非充分条件． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　答（　　）设正项数列an满足limnnan10，则 an A．liman0;　　　B．limanC0;nan的收放性不能确定．C．liman不存在;　 D．n　　　　　　　　　　　　　　　　　　答（　　）若limanA(A0)，则当n充分大时，必有 nA．anA；　　　　B．anA；AA；　　　D．an． 22　　　　　　　　　　　　　答（　　）数列an无界是数列发散的 C．anA．必要条件;　　　B．充分条件;C．充分必要条件;　D．既非充分又非必要条件． 　　　　　　　　　　　　　　　　　答（　　）下列叙述正确的是 A．有界数列一定有极限；B．无界数列一定是无穷大量；C．无穷大数列必为无界数列；D．无界数列未必发散　　　　　　　　　　　答（　　）