安徽省合肥市2023届高三第二次教学质量检测数学试题及答案

一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

2i1.设i是虚数单位,复数z=,则在复平面内z所对应的点在( ).

1−iA.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.若集合M=x∣x2+3x−40,N={x∣x−3},则MA.(−3,1 A.-27

B.(−3,4 B.-16

C.−4,+) C.-11

N=().

D.−1,+) D.-9

3.已知等差数列an的前n项和为Sn,a4=−1,a1+a5=2,则S8的值为( ).

4.Malthus模型是一种重要的数学模型.某研究人员在研究一种细菌繁殖数量N(t)与时间t关系时,得到的Malthus模型是N(t)=N0e0.46t,其中N0是t=t0时刻的细菌数量,e为自然对数的底数.若t时刻细菌数量是t0时刻细菌数量的6.3倍,则t约为( )(ln6.31.84) A.2

B.3

C.4

D.5

5.已知球与圆台的上下底面和侧面都相切.若圆台的侧面积为16,上、下底面的面积之比为1:9,则球的表面积为 ( ). A.12 B.14 C.16 D.18 6.某高中学校在新学期增设了“传统文化”、“数学文化”、“综合实践”、“科学技术”和“劳动技术”5门校本课程.小明和小华两位同学商量每人选报2门校本课程.若两人所选的课程至多有一门相同,且小明必须选报“数学文化”课程,则两位同学不同的选课方案有( ). A.24种 B.36种 C.48种 D.52种

7.在平面直角坐标系xOy中,对于点A(x1,y1),B(x2,y2),若x2−x1=y2−y1,则称点A和点B互为等差点.已知点Q是圆x2+y2=4上一点,若直线x=22上存在点Q的等差点P,则OP的取值范用为( ).

A.22,42 B.10,210 C.22,210 D.22,8 8.设A,B,C,D是曲线y=x3−mx上的四个动点,若以这四个动点为顶点的正方形有且只有一个,则实数m的值为( ). A.4 C.3 B.23 D.22

二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.

9.已知双曲线C:x2−y2=2的左、右顶点分别为A1,A2,渐近线为直线l1,l2,离心率为e.过右焦点F且垂直于x轴的直线交双曲线C于点P,Q,则( ) .

B.l1⊥l2 C.PQ=2 A.e=2 D.A1P⊥A2Q

10.下图是某汽车公司100家销售商2022年新能源汽车销售数据频率分布直方图(単位：辆),则( ). A.a的值为0.004

B.估计这100家销售商新能源汽车销量的平均数为135

C.估计这100家销售商新能源汽车销量的80%分位数为212.5 D.若按分层抽样原则从这100家销售商抽取20家,则销囯在200,300内的销售商应抽取5家

11.函数f(x)=sin2x与函数g(x)的图像关于点−,0对称,

12记F(x)=f(x)+g(x),则( ).

7对称 383175Fx−−,0C.F(x)=1在−,所有实根之和为 D.在上解集为,− ()()−63212121212.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1,点E,F分别是棱AD,AB上的动点,G是棱AA1的中点,以EFG为底面作三棱柱EFG−E1F1G1,顶点E1,F1,G1也在正方体的表面上.设A.F(x)的值域为−2,2

B.F(x)的图像关于直线x=−FE=tAD+(t−1)AB,t0,1,则( ).

A.t0,1,直线B1E与直线D1F所成的角均为90

1B.t0,1,使得四面体A1EFC1的体积为

52313C.当t=时,直线C1F与平面CDD1C1所成角的正切值为

13313D.当t=时,若三棱柱EFG−E1F1G1为正三棱柱,则其高为

22三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.

13.已知a=(1,0),b=(1,−1),c=a−b.若c//b,则实数的值为________.

14.若定义域为R的奇函数f(x)满足f(x)=f(x+1)+f(x−1),且f(1)=2,则f(2024)=________. 15.第十九届亚洲运动会将于2023年9月23日至10月8日在中国杭州举行.为了让更多的同学了解亚运会,学校团委举行了“迎亚运,猜迷语”活动.甲、乙丙位同学组队代表班级参加此次谜语竞猜

2活动.比赛共两轮,每人每轮各猜一个谜语.已知甲每轮猜对谜语的概率为,乙每轮猜对谜语的概

31率为.若甲、乙两人每轮猜对谜语与否互不影响,前后两轮猜对谜语结果也互不影响，则甲、乙

2两人在此次比赛中共猜对3个谜语的概率为_________.

x2y2y2x216.我们把由半椭圆E1:2+2=1(x0)与半椭圆E2:2+2=1(x0)合

abbc成的曲线称为“果圆”，其中a2=b2+c2,abc0,如图.设A1,A2,B1,B2,是“果圆”与坐标轴的交点,C为半椭圆E1上一点,F为半椭圆E1的焦点.若

CA1+CF=43,tanB1A1B2=−22,则“果圆\"的内接矩形面积的最大值为_____.

四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.如图,某地需要经过一座山两侧的D,E两点修建一条穿山隧道.工程人员先选取直线DE上的三点A,B,C,设在隧道DE正上方的山顶P处测得A处的俯角为15°,B处的俯角为45°，C处的俯角为30,且测得AB=1.4km,BD=0.2km,CE=0.5km,试求拟修建的隧道DE的长.

18.已知数列an的前n项和为Sn,a1=1,an+1=Sn+1, (1)求数列an的通项公式;

(2)令bn=nan,求数列bn的前n项和Tn.

19.如图,在多面体ABCFDE中,四边形ABED是菱形,CB//FE,CB=2FE,CB⊥平面ABED,点G是线段CD的中点.(1)证朋:FG⊥平而BCD;

(2)若AB=BC=BD,求直线FG与平面ACD所成角的正弦值.

20.地球上生命体内都存在生物钟.研究表明，生物钟紊乱会导致肥胖、糖尿病、高血压、高血脂等严重体征状况,控制睡眠或苏醒倾向的生物钟基因，简称PER.PER分为PERI(导致早起倾向)和PERo (导致晚睡倾向).某研究小组为研究光照对动物的影响，对实验鼠进行了光照诱导与GRPE蛋白干预实验.以下是16只实验鼠在光照诱导与GRPE蛋白干预实验中，出现PERI突变的Sd指标:

实验鼠编号 Sd指标 实验鼠编号 Sd指标 1 9.95 9 10.26 2 9.99 10 9.91 3 9.96 11 10.13 4 9.96 12 10.02 5 10.01 13 9.22 6 9.92 14 10.04 7 9.98 15 10.05 8 10.04 16 9.95 长期试验发现,若实验鼠Sd指标超过10.00,则认定其体征状况严重. （1）从实验鼠中随机选取3只,记X为体征状况严重的只数,求X的分布列和数学期望;

(2)若编号18的实验鼠为GRPE蛋白干预实验组,编号916的为非GRPE蛋白干预对照组,试依据小概率值=0.1的独立性检验,分析GRPE蛋白干预是否与实验鼠体征状况有关?

2 0.1 0.05 0.01 nad−bc()2附:x=(其中n=a+b+c+d).

xa 2.706 3.841 6.635 a+bc+da+cb+d()()()()

21.已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,E(−1,0)为其准线l与x轴的交点,过点E作直线与拋物线C在第一象限交于点A,B,且AE=4BE.

FA(1)求的值;

FB(2)设圆M:(x−4)+y2=r20r23,过点A作圆M的两条切线分别交抛物线C于点P,Q,求

APQ面积的最大值.

2()

122.已知函数f(x)=2lnx+mx2−(2m+1)x,其中mR.

2(1)若函数y=f(x)图像仅有一条垂直于y轴的切线,求m的取值范围; (2)讨论函数f(x)零点个数.

合肥市2023年高三第二次教学质量检测

数学试题参考答案及评分标准

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.

1.B 2.C 3.B 4.C 5.A 6.B 7.C 8.D 二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.

9.ABD 10.ACD 11.BC 12.ACD

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.

13.0 14.2 15. 16.4四、解答题：本大题共6小题，满分70分. 17.(本小题满分10分)

解析：由题意知，PAD15，PBD45，PCE30，APB30. 在PAB中，由正弦定理得在PBC中，由正弦定理得所以BCABPB1.4PB，，所以PB2.8sin15. sinAPBsinPABsin30sin15PBBCPBBC，， ……………………………5分 sinCsinBPCsin30sin1051326

PBsin1052PBsin1055.6sin15sin1055.6sin15cos152.8sin301.4， sin30所以DEBCBDEC1.40.20.50.7km，

即隧道DE的长为0.7 km. ………………………………10分 18.(本小题满分12分)

解析：(1)由题意得，an1Sn1；当n2时，anSn11， 两式相减得an1anan，即an12an.

又因为a2S11a1122a1，所以当n1时，an12an，

所以an成等比数列，an2n1. …………………………………6分 (2)由(1)得，bnnann2n1， 所以， Tn12022322①×2 得，2Tn121222323①－②得，Tn1212223n2n1①，

n12n1n2n②

2n1n2n2n1n2nn12n1，

所以Tnn12n1. ……………………………………12分 19.(本小题满分12分)

解析：(1)连接AE，交BD于点O，连接GO.

在菱形ABED中，AE⊥BD.

因为CB⊥平面ABED，所以CB⊥AE. 又因为CBBDB，所以AE⊥平面CBD.

因为GOCB，GO∥CB，且FE∥CB，FECB， 所以FE∥GO，且FEGO，

所以四边形EFGO为平行四边形，所以FG∥EO， 所以FG⊥平面CBD. …………………………………6分

(2)如图，以B为坐标原点，分别以BC，BA所在直线为x，y轴建立空间直角坐标系，如图. a3a设BC2a，则A0，a， ， a， 3a，G a， 3a. 2a， 0，C2a， 0， 0，D0，，Fa，221212设平面ACD的一个法向量为mx，y，z， 由mAC0mAD0得2ax2ay0，取may3az03， 3， 1，

3a3a0， ， 因为FG， 22记直线FG与平面ACD所成角为，则 sincosFG， mFGmFGm3a3a7=7， 77.…………………………………12分 7所以，直线FG与平面ACD所成角的正弦值是20.(本小题满分12分)

解析：(1)由题意得，X的可能取值有0，1，2，3，所以

31123C9C92C7C9C727C7391PX03，PX13，PX23，PX33，

2080C1620C16C16C1616所以X的分布列为

X P 0 3 201 2 3 9271 2080163927121所以，X的数学期望EX0123.…………………………………6分

2020801616(2)由题意得，根据所给数据，得到22列联表：

体征状况严重 体征状况不严重 合计 GRPE蛋白干预 非GRPE蛋白干预 5 3 8 合计 7 9 16 2 6 8 0162.2862.706x0.1，

88797根据小概率值0.1的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，因此可认为H0成立，即认为实验

利用列联表中的数据得，2=1623562鼠体征状况与GRPE蛋白干预无关. …………………………………12分 21.(本小题满分12分)

解析：(1)由题意得p2，所以抛物线C的方程为y24x.

由AE4BE得AE4BE.

过B作BB1⊥l于点B1，过A作AA1⊥l于点A1，BB1∥AA1，且AA14BB1， 由抛物线定义知，BFBB1，AFAA1， 所以

FAFAAA14. …………………………………5分 4，即

FBBB1FB2y04x0， 0，所以A4x03， 4y0，所以y00，E1，216y044x03，(2)设点Bx0，y01x0解得 4. 4，所以A4，y01设切线AP，AQ的斜率为k1，k2，因为AMx轴， 由对称性知k1k20.

设直线PQ的方程为xmyn，Px1，y1，Qx2，y2， 将直线PQ的方程代入抛物线方程得y24my4n0(﹡)，所以所以k1y1y24m，

y1y24n，y14y44412，同理得k2，

y24x14y1y1444y4y24y1y2844所以k1k24140，

y14y24y14y24y14y24所以y1y280，即4m80，m2，代入方程(﹡)，由6416n0得n4， 因为直线AP的方程为y4y44y14(x4)(x4)， (x4)，即y412y1y14x1444164y12所以4x(y14)y4y10.

16r2r，即(y14)因为直线AP与圆M相切，所以， 2216r16(y14)4r不妨设4y14，所以y14，

216r

4r1162y12114r2y1y1(y18)4432所以nx12y1， 22244416r16r416r116211623232因为0r23,n随r的增大而增大，所以n8

416r241612所以4n8

直线PQ的方程为x2yn，即x2yn0，所以PQ5y1y25y1y28，

yy4n，12y1y224y1y245n20，

点A到直线PQ的距离为d所以SAPQdPQ212n5，

2n412n，

12112n45n20225令fnn412n4n8，

则fn12nn4212n112n43n，

44334所以当n时，fn取得最大值，

32当4n时，fn0；当n8时，fn0，

所以APQ面积的最大值为2f322.(本小题满分12分)

42563.………………………12分 912mx22m1x2mx1x22. fxmx2m1xxx(1)因为函数yfx仅有一条垂直于y轴的切线，

， 解析:函数fx2lnxmx22m1x的定义域为0，所以fxmx1x2x0有唯一正实数解，

所以m0或m(2)因为fx11，所以m的取值范围是mm0，或m.………………………………5分

22mx1x2x①当m0时，因为x0，所以mx10，

2时，fx0；当x2， 时，fx0， 所以，当x0，.

， 所以fx的单调递增区间是0， 2，单调递减区间是2，此时f22ln22m22m12ln22m2，

当mln21时，f20，函数fx只有一个零点，x2； 当ln21m0时，f20，函数fx没有零点；

当mln21时，因为当x0或x时，fx，且f20，

上，各有唯一零点，此时函数fx有两个零点. 所以函数fx分别在0， 2和2，1111 2和x， 上，fx0；在x2， 上，fx0， 时，2，在x0，2mmm11 上单调递减. 单调递增，在2， 2和，所以fx在0，mm②当0m当x0时，fx；当x时，fx，且f22ln22m20， 1上有唯一零点，即函数fx有1个零点. 此时函数fx在，mx2x21. 0，所以fx的单调递增区间是0，时，fx22x当x0时，fx；当x时，fx，

③当m上有唯一零点. 此时函数fx在0，④当m1111上，fx0；在x， 和x2， 2上，fx0； 时，02，在x0，2mmm所以fx在0，上单调递增，在， 和2， 2上单调递减.

mm111111f2lnm2m12lnm2.

m2mm2mm112114m设gm2lnm2m，所以gm0，

22mm2m22m211所以gm在，上单调递减，所以gmg2ln230.

22211又因为当x时，fx，所以函数fx在区间2，唯一零点. 综上所述，得：

当mln21时，函数fx有且仅有2个有零点. 当ln21m0时，函数fx没有零点；

当mln21或m0时，函数fx有且仅有1个零点.…………………………………12分