空间向量的基本定理(精讲)(原卷版)

考点一 基底的判断

【例1】在正方体ABCDA1B1C1D1中，可以作为空间向量的一组基底的是（ ） A．AB，AC，AD C．D1A ，DCD1D 111，

【一隅三反】

1．下列说法正确的是（ ）

A．任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底 B．空间的基底有且仅有一个

C．两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底

D．基底{a，b，c}中基向量与基底{e，f，g}基向量对应相等

2．设向量a,b,c不共面,则下列可作为空间的一个基底的是( ) A．{ab,ba,a} C．{ab,ba,c}

⃑⃑,𝑐3．若{𝑎⃑,𝑏⃑}构成空间的一组基底，则( ) ⃑⃑+𝑐⃑⃑−𝑐A．𝑏⃑,𝑏⃑,𝑎⃑不共面 ⃑⃑+𝑐⃑⃑+𝑐C．𝑏⃑,𝑎⃑,𝑎⃑+𝑏⃑不共面

⃑⃑+𝑐⃑⃑−𝑐⃑⃑不共面 B．𝑏⃑,𝑏⃑,2𝑏D．𝑎⃑+𝑐⃑,𝑎⃑−2𝑐⃑,𝑐⃑不共面

考点二 基底的运用

【例2】如图，平行六面体ABCDA1B1C1D1中，O为A1C1的中点，ABa，ADb，AA则AO1c，（ ）

B．{ab,ba,b} D．{abc,ab,c} B．AB，AA1，AB1 D．AC1，ACCC1 1， 1 / 6

A．11abc 22B．

11abc 22C．11abc 22D．

11abc 22【一隅三反】

1．如图，在三棱锥PABC中，点D，E，F分别是AB，PA，CD的中点，设PAa，PBb，

PCc，则EF（ ）

111abc 442111C．abc

442A．

111abc 442111D．abc

442B．

2．在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，用向量AB,AD,AA来表示向量AC1（ ） 1

A．AC1ABADAA 1 2 / 6

B．AC1ABADAA 1C．AC1ABADAA 1D．AC1ABADAA 1

3．在四面体OABC中，空间的一点M满足OMA．

1 2B．

1 311 OA0BOC，若MA,MB,MC共面，则（ ）

4657C． D．

1212

考点三 基本定理的运用

【例3】如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹 角都是60，M为A1C1与B1D1的交点.若ABa，ADb，AA1c，

（1）用a,b,c表示BM； （2）求对角线AC1的长； （3）求cosAB,AC1

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【一隅三反】

1．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA的长为2，且PA与AB、AD的夹角都等于60，M是PC的中点， 设ABa,ADb,APc． （1）试用a,b,c表示出向量BM； （2）求BM的长．

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2．如图，三棱柱ABCA1B1C1中，底面边长和侧棱长都等于1，BAA1CAA160． （1）设AA1a，ABb，ACc，用向量a，b，c表示BC1，并求出BC1的长度； （2）求异面直线AB1与BC1所成角的余弦值．

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3．已知平行六面体ABCDA1B1C1D1的底面是边长为1的菱形，且C1CBC1CDBCD3，

DD12.

（1）证明：DD1BD；

（2）求异面直线CA1与AB夹角的余弦值.

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