二次函数中平行四边形通用解决方法

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● 探究

〔1〕在图1中，线段AB，CD，其中点分别为E，F。 ①假设A〔-1，0〕，B〔3，0〕，那么E点坐标为__________； ②假设C〔-2，2〕，D〔-2，-1〕，那么F点坐标为__________；

〔2〕在图2中，线段AB的端点坐标为A〔a，b〕，B〔c，d〕，求出图中AB中点D的坐标〔用含a，b，c，d的代数式表示〕，并给出求解过程；

●归纳

无论线段AB处于直角坐标系中的哪个位置， 当其端点坐标为A〔a，b〕，B〔c，d〕，AB中点为D〔x，y〕 时，x=_________，y=___________；〔不必证明〕 ●运用

在图2中，一次函数y=x-2与反比例函数

的图象交点为A，B。

①求出交点A，B的坐标； ②假设以A，O，B，P为顶点的四边形是平行四边形，请利用上面的结论求出顶点P的坐标。

以二次函数为载体的平行四边形存在性问题是近年来中考的热点，其图形复杂，知识覆盖面广，综合性较强，对学生分析问题和解决问题的能力要求高．对这类题，常规解法是先

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画出平行四边形，再依据“平行四边形的一组对边平行且相等〞或“平行四边形的对角线互相平分〞来解决．由于先要画出草图，假设考虑不周，很容易漏解．为此，笔者另辟蹊径，借助探究平行四边形顶点坐标公式来解决这一类题． 1 两个结论，解题的切入点

数学课标，现行初中数学教材中没有线段的中点坐标公式，也没有平行四边形的顶点坐标公式，我们可帮助学生来探究，这可作为解题的切入点。 1.1 线段中点坐标公式

平面直角坐标系中，点A坐标为(x1,y1)，点B坐标为(x2,y2)，那么线段AB的中点坐标为(

x1x2y1y2,). 22证明 ： 如图1，设AB中点P的坐标为(xP,yP).由xP-x1=x2-xP，得xP=x1x2，同理2yP=xx2y1y2y1y2，所以线段AB的中点坐标为(1,).

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1.2 平行四边形顶点坐标公式 图1

□ABCD的顶点坐标分别为A(xA,yA)、B(xB,yB)、C(xC,yC)、D(xD,yD)，那么：xA+xC=xB+xD；yA+yC=yB+yD. 证明： 如图2，连接AC、BD，相交于点E． ∵点E为AC的中点，

yyCxx∴E点坐标为(AC,A).

22又∵点E为BD的中点，

xxDyByD∴E点坐标为(B,).

22图2

∴xA+xC=xB+xD；yA+yC=yB+yD.

即平行四边形对角线两端点的横坐标、纵坐标之和分别相等．

图3

2 一个根本领实，解题的预备知识

如图3，不在同一直线上的三点A、B、C，在平面内另找一个点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形．答案有三种：以AB为对角线的□ACBD1，以AC为对角线的□ABCD2，以BC为对角线的□ABD3C．

3 两类存在性问题解题策略例析与反思

3.1 三个定点、一个动点，探究平行四边形的存在性问题

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例1 抛物线y=x-2x+a(a＜0〕与y轴相交于点A，顶点为M.直线y=2

1x-a分别与x轴、2y轴相交于B、C两点，并且与直线AM相交于点N.

(1)填空：试用含a的代数式分别表示点M与N的坐标，那么M(), N()；

(2)如图4，将△NAC沿y轴翻折，假设点N的对应点N′恰好落在抛物线上，AN′与x轴交于点D，连接CD，求a的值和四边形AD的面积；

2

(3)在抛物线y=x-2x+a(a＜0〕上是否存在一点P，使得以P、A、C、N为顶点的四边形是平行四边形？假设存在，求出点P的坐标；假设不存在，试说明理由.

941189解：(1)M(1,a-1)，N(a,-a)；(2)a=-；S四边形AD=；

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(3)由条件易得A(0,a)、C(0,-a)、N(a,-a).设P(m,m-2m+a).

33①当以AC为对角线时，由平行四边形顶点坐标公式〔解题时熟练推导出〕，得：

4500amm32,∴. 151aaaam22ma83∴P1(

55,-)； 28②当以AN为对角线时，得:

450a0mm32,∴(不合题意，舍去). 151aaaam22ma83图4

③当以为对角线时，得:

410a0mm32,∴. 31aaaam22ma83∴P2(-17,). 281755,-)和P2(-,)，使得以P、A、C、N为顶点的四边形是平

2828∴在抛物线上存在点P1(

行四边形.

反思：三个定点的坐标，可设出抛物线上第四个顶点的坐标，运用平行四边形顶点坐标公式列方程〔组〕求解.这种题型由于三个定点构成的三条线段中哪条为对角线不清楚，往往要以这三条线段分别为对角线分类，分三种情况讨论.

3.2 两个定点、两个动点，探究平行四边形存在性问题

例2如图5，在平面直角坐标系中，抛物线A(-1,0),B(3,0),C(0,-1)三点.

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〔1〕求该抛物线的表达式；

〔2〕点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使以点Q、P、A、B为 顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件点P的坐标.

12解 ：〔1〕易求抛物线的表达式为y=x2x1；

33(2)由题意知点Q在y轴上，设点Q坐标为(0,t)；点P在抛物线上，

12设点P坐标为(m,m2m1).

33尽管点Q在y轴上，也是个动点，但可理解成一个定点，这样就转化为三定一动了．

①当以AQ为对角线时，由四个顶点的横坐标公式得：-1+0=3+m， ∴m=-4，∴P1(-4,7)；

5②当以BQ为对角线时，得：-1+m=3+0，∴m=4，∴P2(4,)；

3③当以AB为对角线时，得：-1+3=m+0，∴m=2，∴P3(2,-1).

5综上，满足条件的点P为P1(-4,7)、P2(4,)、P3(2,-1).

3反思：这种题型往往特殊，一个动点在抛物线上，另一个动点在x轴〔y轴〕或对称轴或某一定直线上．设出抛物线上的动点坐标，另一个动点假设在x轴上，纵坐标为0，那么用平行四边形顶点纵坐标公式；假设在y轴上，横坐标为0，那么用平行四边形顶点横坐标公式．该动点哪个坐标就用与该坐标有关的公式．本例中点Q的纵坐标t没有用上，可以不设．另外，把在定直线上的动点看成一个定点，这样就转化为三定一动了，分别以三个定点构成的三条线段为对角线分类，分三种情况讨论.

例3 如图6，在平面直角坐标系中，抛物线经过A(-4,0),B(0,-4),C(2,0)三点． 〔1〕求抛物线的解析式； 〔2〕假设点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值；

〔3〕假设点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=-x上的动点，判断有几个位置能使以点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．

解：〔1〕易求抛物线的解析式为y=2

12

x+x-4； 2〔2〕s=-m-4m(-4〔3〕尽管是直接写出点Q的坐标，这里也写出过程．由题意知O(0,0)、B(0,-4). 由于点Q是直线y=-x上的动点，设Q(s,-s)，把Q看做定点；设P(m,①当以OQ为对角线时， 0s0m 120s4mm4212

m+m-4). 2∴s=-225.

∴Q1(-2+25,2-25)，Q2(-2-25,2+25)； ②当以BQ为对角线时，

图6

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0m0s 120mm44s2∴s1=-4，s2=0(舍). ∴Q3(-4,4)；

③当以OB为对角线时， 00sm 1204smm42∴s1=4，s2=0(舍). ∴Q4(4,-4).

综上，满足条件的点Q为Q1(-2+25,2-25)、Q2(-2-25,2+25)、Q3(-4,4)、Q4(4,-4). 反思：该题中的点Q是直线y=-x上的动点，设动点Q的坐标为(s,-s)，把Q看做定点，就可根据平行四边形顶点坐标公式列方程组了. 4 问题总结

这种题型，关键是合理有序分类：无论是三定一动，还是两定两动，统统把抛物线上的动点作为第四个动点，其余三个作为定点，分别以这三个定点构成的三条线段为对角线分类，分三种情况讨论，然后运用平行四边形顶点坐标公式转化为方程〔组〕．这种解法，不必画出平行四边形草图，只要合理分类，有序组合，从对角线入手不会漏解，条理清楚，而且适用X围广．其本质是用代数的方法解决几何问题，表达的是分类讨论思想、数形结合的思想.

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如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的两条直角边OA、OB分别在y轴和x轴上，并且OA、OB的长分别是方程x—7x+12=0的两根(OA<0B)，动点P从点A开场在线段AO上以每秒l

2

个单位长度的速度向点O运动；同时，动点Q从点B开场在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A运动，设点P、Q运动的时间为t秒． (1)求A、B两点的坐标。

(2)求当t为何值时，△APQ与△AOB相似，并直接写出此时点Q的坐标．

(3)当t=2时，在坐标平面内，是否存在点M，使以A、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形?假设存在，请直接写出M点的坐标；假设不存在，请说明理由．

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如图，抛物线经过A〔﹣1，0〕，B〔5，0〕，C〔0，〕三点．

〔1〕求抛物线的解析式；

〔2〕在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标；

〔3〕点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？假设存在，求点N的坐标；假设不存在，请说明理由．

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如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=2x+4与y轴交于A点，与x轴交于B点，抛物线C1：y=﹣x+bx+c过A、B两点，与x轴另一交点为C． 〔1〕求抛物线解析式及C点坐标．

〔2〕向右平移抛物线C1，使平移后的抛物线C2恰好经过△ABC的外心，抛物线C1、C2相交于点D，求四边形AOCD的面积．

〔3〕抛物线C2的顶点为M，设P为抛物线C1对称轴上一点，Q为抛物线C1上一点，是否存在以点M、Q、P、B为顶点的四边形为平行四边形？假设存在，直接写出P点坐标；不存在，请说明理由．

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如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣3x﹣3与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y=x+bx+c经过A，C两点，且与x轴交于另一点B〔点B在点A右侧〕． 〔1〕求抛物线的解析式及点B坐标；

〔2〕假设点M是线段BC上一动点，过点M的直线EF平行y轴交x轴于点F，交抛物线于点E．求ME长的最大值；

〔3〕试探究当ME取最大值时，在x轴下方抛物线上是否存在点P，使以M，F，B，P为顶点的四边形是平行四边形？假设存在，请求出点P的坐标；假设不存在，试说明理由．

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