《等腰三角形》拓展练习
一、选择题（ 本大题共5小题，共25.0分）
1．（5分）如图，已知每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的顶点上，请在图中找一个顶点C，使△ABC为等腰三角形，则这样的顶点C有（ ）
A．8个
B．7个
C．6个
D．5个
2．（5分）如图，在等边三角形ABC中，在AC边上取两点M、N，使∠MBN＝30°．若AM＝m，MN＝x，CN＝n，则以x，m，n为边长的三角形的形状为（ ）
A．锐角三角形 C．钝角三角形
B．直角三角形 D．随x，m，n的值而定
3．（5分）如图，△ABC中，AC＝DC＝3，BD垂直∠BAC的角平分线于D，E为AC的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值为（ ）
A．1.5
B．3
C．4.5
D．9
4．（5分）已知等腰△ABC中，AB＝AC，BC＝6，底角为30°，动点P从点B向点C运动，当△PAB是直角三角形时BP长为（ ） A．4
B．2或3
C．3或4
D．3
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5．（5分）如图，已知AB＝AC＝BD，则∠1与∠2的关系是（ ）
A．3∠1﹣∠2＝180° C．∠1+3∠2＝180°
二、填空题（ 本大题共5小题，共25.0分）
6．（5分）已知：在△ABC中，AB＝AC＝6，∠B＝30°，E为BC上一点，BE＝2EC，DE＝DC，∠ADC＝60°，则AD的长 ．
B．2∠1+∠2＝180° D．∠1＝2∠2
7．（5分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝AE．若∠B＝55°，∠BAD＝50°，则∠EDC＝ °．
8．（5分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，过点D作DF⊥BC于点F，且BD＝BC＝AD，则∠CDF的度数为 ．
9．（5分）如图，在△ABC中，边BC的垂直平分线分别与AC、BC交于点D、E，如果AB＝CD，∠C＝20°，那么∠A＝ 度．
10．（5分）一个等边三角形，一个直角三角形以及一个等腰三角形如图放置，等腰三角形的底角∠3＝
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80°，则∠1+∠2＝ ．
三、解答题（ 本大题共5小题，共50.0分） 11．（10分）在等腰三角形ABC中， （1）若∠A＝110°，则∠B＝ 度； （2）若∠A＝40°，则∠B＝ 度．
通过上述解答，发现∠A的度数不同，得到∠B的度数的个数也可能不同．如果在等腰三角形ABC中，设∠A＝α，求∠B的度数（用含α的式子表示）．请你根据∠B的度数的个数探索α的取值范围． 12．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，DE是AC的垂直平分线． （1）求证：△BCD是等腰三角形；
（2）△BCD的周长是a，BC＝b，求△ACD的周长（用含a，b的代数式表示）
13．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥于点D，AM是△ABC的外角∠CAE的平分线． （1）求证：AM∥BC；
（2）若DN平分∠ADC交AM于点N，判断△ADN的形状并说明理由．
14．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝8cm．
（1）作AB的垂直平分线，交AC于点M，交AB于点N；
（2）在（1）的条件下，连接MB，若△MBC的周长是14cm，求BC的长．
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15．（10分）如图，已知D是△ABC的边BC上的一点，CD＝AB，∠BDA＝∠BAD，AE是△ABD的中线．
（1）若∠B＝60°，求∠C的值； （2）求证：AD是∠EAC的平分线．
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《等腰三角形》拓展练习
参考答案与试题解析
一、选择题（ 本大题共5小题，共25.0分）
1．（5分）如图，已知每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的顶点上，请在图中找一个顶点C，使△ABC为等腰三角形，则这样的顶点C有（ ）
A．8个
B．7个
C．6个
D．5个
【分析】分AB为腰和为底两种情况考虑，画出图形，即可找出点C的个数． 【解答】解：当AB为底时，作AB的垂直平分线，可找出格点C的个数有5个， 当AB为腰时，分别以A、B点为顶点，以AB为半径作弧，可找出格点C的个数有3个； ∴这样的顶点C有8个．
故选：A．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定，解题的关键是画出图形，利用数形结合解决问题． 2．（5分）如图，在等边三角形ABC中，在AC边上取两点M、N，使∠MBN＝30°．若AM＝m，MN＝x，CN＝n，则以x，m，n为边长的三角形的形状为（ ）
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A．锐角三角形 C．钝角三角形
B．直角三角形 D．随x，m，n的值而定
【分析】将△ABM绕点B顺时针旋转60°得到△CBH．连接HN．想办法证明∠HCN＝120°HN＝MN＝x即可解决问题；
【解答】解：将△ABM绕点B顺时针旋转60°得到△CBH．连接HN．
∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°， ∵∠MON＝30°，
∴∠CBH+∠∠ABM+∠CBN＝30°， ∴∠NBM＝∠NBH， ∵BM＝BH，BN＝BN， ∴△NBM≌△NBH， ∴MN＝NH＝x，
∵∠BCH＝∠A＝60°，CH＝AM＝n， ∴∠NCH＝120°，
∴x，m，n为边长的三角形△NCH是钝角三角形， 故选：C．
【点评】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、旋转变换等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
3．（5分）如图，△ABC中，AC＝DC＝3，BD垂直∠BAC的角平分线于D，E为AC的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值为（ ）
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A．1.5 B．3 C．4.5 D．9
【分析】首先证明两个阴影部分面积之差＝S△ADC，当CD⊥AC时，△ACD的面积最大． 【解答】解：延长BD交AC于点H．设AD交BE于点O．
∵AD⊥BH，
∴∠ADB＝∠ADH＝90°，
∴∠ABD+∠BAD＝90°，∠H+∠HAD＝90°， ∵∠BAD＝∠HAD， ∴∠ABD＝∠H， ∴AB＝AH，∵AD⊥BH， ∴BD＝DH， ∵DC＝CA， ∴∠CDA＝∠CAD，
∵∠CAD+∠H＝90°，∠CDA+∠CDH＝90°， ∴∠CDH＝∠H， ∴CD＝CH＝AC， ∵AE＝EC，
∴S△ABE＝S△ABH，S△CDH＝S△ABH，
∵S△OBD﹣S△AOE＝S△ADB﹣S△ABE＝S△ADH﹣S△CDH＝S△ACD， ∵AC＝CD＝3，
∴当DC⊥AC时，△ACD的面积最大，最大面积为×3×3＝． 故选：C．
【点评】本题考查等腰三角形的判定和性质，三角形中线的性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考选择题中的压轴题．
4．（5分）已知等腰△ABC中，AB＝AC，BC＝6，底角为30°，动点P从点B向点C运动，当△PAB
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是直角三角形时BP长为（ ） A．4
B．2或3
C．3或4
D．3
【分析】先画出符合的两种情况，图1中，根据等腰三角形的性质求出BP即可；图2中先求出BP＝2PA，再根据勾股定理求出即可．
【解答】解：当∠APB＝90°时，如图1，∵AB＝AC，BC＝6， ∴BP＝CP＝BC＝3； ∵∠B＝30°， ∴AB＝2AP，
由勾股定理得：（2AP）2＝AP2+32， 解得：AP＝
，AB＝2AP＝2
，
当∠BAP＝90°，如图2，∵∠B＝30°， ∴BP＝2AP，
在Rt△ABP中，由勾股定理得：AB2+AP2＝BP2， （2
）2+AP2＝（2AP）2，
解得：AP＝2，BP＝2AP＝4； 所以BP＝3或4， 故选：C．
【点评】本题考查了含30°角的直角三角形的性质、勾股定理、等腰三角形的性质等知识点，能熟练地运用含30°角的直角三角形的性质进行推理是解此题的关键． 5．（5分）如图，已知AB＝AC＝BD，则∠1与∠2的关系是（ ）
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A．3∠1﹣∠2＝180° C．∠1+3∠2＝180°
B．2∠1+∠2＝180° D．∠1＝2∠2
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得∠1和∠C之间的关系，再根据三角形外角的性质可得∠1和∠2之间的关系． 【解答】解：∵AB＝AC＝BD， ∴∠B＝∠C＝180°﹣2∠1， ∴∠1﹣∠2＝180°﹣2∠1， ∴3∠1﹣∠2＝180°． 故选：A．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，三角形内角和定理以及三角形外角的性质；熟练掌握等腰三角形的性质，弄清角之间的数量关系是解决问题的关键，本题难度适中． 二、填空题（ 本大题共5小题，共25.0分）
6．（5分）已知：在△ABC中，AB＝AC＝6，∠B＝30°，E为BC上一点，BE＝2EC，DE＝DC，∠ADC＝60°，则AD的长 ．
【分析】连接AE，根据等腰三角形的性质及勾股定理得到AE＝CE，证明A、D、C、E四点共圆，根据同弧所对圆周角相等，得到∠ADE＝30°．过A点作AM⊥DE，易得△AME是等腰直角三角形，从而求出AM长度，在Rt△AMD中，根据30°直角三角形的性质可求AD长度． 【解答】解：连接AE，过点A作AH⊥BC于H点，在Rt△ABH中， ∵∠B＝30°，∴AH＝AB＝3． 利用勾股定理可得BH＝3
，
，BC＝6
．
根据等腰三角形性质可知CH＝BH＝3∴CE＝BC＝2∴HE＝CH﹣CE＝
． ．
在Rt△AHE中，由勾股定理可求AE＝2所以AE＝CE，∠CAE＝∠ACB＝30°， 所以∠AEB＝60°＝∠ADC．
．
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∴点A、D、C、E四点共圆， ∴∠ADE＝∠ACE＝30°，
所以∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝30°． ∵DE＝DC，∴∠DEC＝75°． ∴∠AED＝120°﹣75°＝45°． 过点A作AM⊥DE于M点， 则AM＝
AE＝
．
在Rt△AMD中，∠ADM＝30°， ∴AD＝2AM＝故答案为2
．
．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理以及圆周角的性质，正确作出辅助线、辅助圆是解题的关键．
7．（5分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝AE．若∠B＝55°，∠BAD＝50°，则∠EDC＝ 25 °．
【分析】根据等边对等角的性质可得∠B＝∠C，∠ADE＝∠AED，再利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠ADC和∠AED，然后求出∠EDC与∠BAD的关系，再代入数据计算即可得解．
【解答】解：∵AB＝AC，AD＝AE， ∴∠B＝∠C，∠ADE＝∠AED， 在△ABD中，∠ADC＝∠B+∠BAD，
∴∠ADE＝∠ADC﹣∠EDC＝∠B+∠BAD﹣∠EDC， 在△CDE中，∠AED＝∠EDC+∠C， ∴∠B+∠BAD﹣∠EDC＝∠EDC+∠C，
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∴∠EDC＝∠BAD， ∵∠BAD＝50°，
∴∠EDC＝×50°＝25°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，主要利用了等边对等角的性质，熟记性质并求出∠EDC与∠BAD的关系是解题的关键．
8．（5分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，过点D作DF⊥BC于点F，且BD＝BC＝AD，则∠CDF的度数为 18° ．
【分析】设∠A＝α，可得∠ABD＝α，∠C＝∠BDC＝2α，∠ABC＝2α，再根据△ABC中，∠A+∠ABC+∠C＝180°，即可得到∠C的度数，再根据DF⊥BC，即可得出∠CDF的度数． 【解答】解：∵AB＝AC，BD＝BC＝AD， ∴∠ACB＝∠ABC，∠A＝∠ABD，∠C＝∠BDC，
设∠A＝α，则∠ABD＝α，∠C＝∠BDC＝2α，∠ABC＝2α， ∵△ABC中，∠A+∠ABC+∠C＝180°， ∴α+2α+2α＝180°， ∴α＝36°， ∴∠C＝72°， 又∵DF⊥BC，
∴Rt△CDF中，∠CDF＝90°﹣72°＝18°， 故答案为：18°．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形内角和定理的运用，解题时注意：等腰三角形的两个底角相等．
9．（5分）如图，在△ABC中，边BC的垂直平分线分别与AC、BC交于点D、E，如果AB＝CD，∠C＝20°，那么∠A＝ 40 度．
【分析】连接DB，根据线段的垂直平分线的性质得到DB＝DC，根据等腰三角形的性质和三角形的
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外角的性质得到∠BDA＝2∠C，证明BA＝BD，得到∠A＝∠BDA，只要证明∠A＝2∠C即可解决问题；
【解答】解：连接DB， ∵DE是边BC的垂直平分线， ∴DB＝DC， ∴∠DBC＝∠C， ∴∠BDA＝2∠C， ∵AB＝CD，DB＝DC， ∴BA＝BD， ∴∠A＝∠BDA， ∴∠A＝2∠C， ∵∠C＝20°， ∴∠A＝40°， 故答案为40．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
10．（5分）一个等边三角形，一个直角三角形以及一个等腰三角形如图放置，等腰三角形的底角∠3＝80°，则∠1+∠2＝ 130° ．
【分析】由等边三角形和直角三角形可得∠1+α＝120°，∠2+β＝90°，且∠3＝α+β＝80°，可求得∠1+∠2．
【解答】解：如图，由等边三角形和直角三角形可得∠1+α＝120°，∠2+β＝90°， ∴∠1+∠2+α+β＝90°+120°＝210°，
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且∠3＝α+β， ∴α+β＝80°，
∴∠1+∠2＝210°﹣80°＝130°， 故答案为：130°．
【点评】本题主要考查等边三角形的性质及外角的性质，由条件利用α、β得到∠3和∠1、∠2之间的关系是解题的关键．
三、解答题（ 本大题共5小题，共50.0分） 11．（10分）在等腰三角形ABC中， （1）若∠A＝110°，则∠B＝ 35 度；
（2）若∠A＝40°，则∠B＝ 70或100或40 度．
通过上述解答，发现∠A的度数不同，得到∠B的度数的个数也可能不同．如果在等腰三角形ABC中，设∠A＝α，求∠B的度数（用含α的式子表示）．请你根据∠B的度数的个数探索α的取值范围． 【分析】（1）根据三角形内角和定理，因为∠A＝110°＞90°，即可得到∠B＝∠C＝35°； （2）根据三角形内角和定理，因为∠A＝40°＜90°，所以推出∠A＝∠B或∠A＝∠C或∠B＝∠C，进而得到∠B的度数．
分两种情况：①90°≤α＜180°；②0°＜α＜90°，结合三角形内角和定理求解即可． 【解答】解：（1）∵∠A＝110°＞90°， ∴∠A为顶角， ∴∠B＝∠C＝35°； 故答案为：35；
（2）若∠A为顶角，则∠B＝（180°﹣∠A）＝70°； 若∠A为底角，∠B为顶角，则∠B＝180°﹣2×40°＝100°； 若∠A为底角，∠B为底角，则∠B＝40°； 故∠B＝70或100或40；
分两种情况：
①当90°≤α＜180°时，∠A只能为顶角，
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∴∠B的度数只有一个； ②当0°＜α＜90°时，
若∠A为顶角，则∠B＝（180°﹣α）＝90°﹣
；
若∠A为底角，∠B为顶角，则∠B＝（180﹣2α）°； 若∠A为底角，∠B为底角，则∠B＝α． 当90°﹣
≠180°﹣2α且180°﹣2α≠α且90°﹣
≠α，
即α≠60°时，∠B有三个不同的度数．
∴当0°＜α＜90°且α≠60°时，∠B有三个不同的度数．
综上所述，当90°≤α＜180°时，∠B的度数只有一个；当0°＜α＜90°且α≠60°时，∠B有三个不同的度数．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，进行分类讨论是解题的关键． 12．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，DE是AC的垂直平分线． （1）求证：△BCD是等腰三角形；
（2）△BCD的周长是a，BC＝b，求△ACD的周长（用含a，b的代数式表示）
【分析】（1）先由AB＝AC，∠A＝36°，可求∠B＝∠ACB＝
＝72°，然后由DE是AC
的垂直平分线，可得AD＝DC，进而可得∠ACD＝∠A＝36°，然后根据外角的性质可求：∠CDB＝∠ACD+∠A＝72°，根据等角对等边可得：CD＝CB，进而可证△BCD是等腰三角形；
（2）由（1）知：AD＝CD＝CB＝b，由△BCD的周长是a，可得AB＝a﹣b，由AB＝AC，可得AC＝a﹣b，进而得到△ACD的周长＝AC+AD+CD＝a﹣b+b+b＝a+b． 【解答】（1）证明：∵AB＝AC，∠A＝36°， ∴∠B＝∠ACB＝
∵DE是AC的垂直平分线， ∴AD＝DC，
∴∠ACD＝∠A＝36°， ∵∠CDB是△ADC的外角，
＝72°，
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∴∠CDB＝∠ACD+∠A＝72°， ∴∠B＝∠CDB， ∴CB＝CD，
∴△BCD是等腰三角形；
（2）∵AD＝CD＝CB＝b，△BCD的周长是a， ∴AB＝a﹣b， ∵AB＝AC， ∴AC＝a﹣b，
∴△ACD的周长＝AC+AD+CD＝a﹣b+b+b＝a+b．
【点评】此题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质以及三角形内角和定理等知识．此题综合性较强，但难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意等腰三角形的性质与等量代换．
13．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥于点D，AM是△ABC的外角∠CAE的平分线． （1）求证：AM∥BC；
（2）若DN平分∠ADC交AM于点N，判断△ADN的形状并说明理由．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质和平行线的判定证明即可； （2）利用平分线的定义和平行线的性质进行解答即可． 【解答】证明：（1）∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴∠BAD＝∠CAD＝∵AM平分∠EAC， ∴∠EAM＝∠MAC＝∴∠MAD＝∠MAC+∠DAC＝∵AD⊥BC ∴∠ADC＝90°
∴∠MAD+∠ADC＝180°
．
＝
．
．
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∴AM∥BC．
（2）△ADN是等腰直角三角形， 理由是：∵AM∥AD， ∴∠AND＝∠NDC， ∵DN平分∠ADC，
∴∠ADN＝∠NDC＝∠AND． ∴AD＝AN，
∴△ADN是等腰直角三角形．
【点评】此题考查等腰三角形的性质，关键是根据等腰三角形的性质和平行线的判定与性质解答． 14．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝8cm．
（1）作AB的垂直平分线，交AC于点M，交AB于点N；
（2）在（1）的条件下，连接MB，若△MBC的周长是14cm，求BC的长．
【分析】（1）利用线段垂直平分线的作法进而得出即可；
（2）由线段的垂直平分线的性质可得：AM＝BM，从而将△MBC的周长转化为：AM+CM+BC，即AC+BC＝14cm，依此可求BC． 【解答】解：（1）如图所示：
（2）∵MN是AB的垂直平分线， ∴AM＝BM，
∵△MBC的周长是14cm，
∴MB+MC+BC＝AM+CM+BC＝AC+BC＝14cm， ∵AC＝8cm， ∴BC＝6cm．
【点评】此题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的作法与性质，熟记用尺规作线段垂直平分
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线及线段垂直平分线的性质定理是解题的关键．
15．（10分）如图，已知D是△ABC的边BC上的一点，CD＝AB，∠BDA＝∠BAD，AE是△ABD的中线．
（1）若∠B＝60°，求∠C的值； （2）求证：AD是∠EAC的平分线．
【分析】（1）根据已知条件得到∠BAD＝∠BDA＝60°，于是得到AB＝AD，等量代换得到CD＝AD，根据等腰三角形的性质得到∠DAC＝∠C，推出∠BDA＝∠DAC+∠C＝2∠C，即可得到结论； （2）证明：延长AE到M，使EM＝AE，连接DM，推出△ABE≌△MDE，根据全等三角形的性质得到∠B＝∠MDE，AB＝DM，根据全等三角形的判定定理得到△MAD≌△CAD，根据全等三角形的性质得到∠MAD＝∠CAD于是得到结论．
【解答】（1）解：∵∠B＝60°，∠BDA＝∠BAD， ∴∠BAD＝∠BDA＝60°， ∴AB＝AD， ∵CD＝AB， ∴CD＝AD， ∴∠DAC＝∠C，
∴∠BDA＝∠DAC+∠C＝2∠C， ∵∠BAD＝60°， ∴∠C＝30°；
（2）证明：延长AE到M，使EM＝AE，连接DM， 在△ABE和△MDE中，
，
∴△ABE≌△MDE， ∴∠B＝∠MDE，AB＝DM，
∵∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠MDE+∠BDA＝∠ADM，
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在△MAD与△CAD，∴△MAD≌△CAD， ∴∠MAD＝∠CAD， ∴AD是∠EAC的平分线．
，
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形中线的定义，正确的作出辅助线是解题的关键．
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