云南省昆明市高二数学12月月考试题 理-人教版高二全册数学试题

高二理科数学

注意事项：

1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的考号、某某、考场、座位号、班级在答题卡上填写清楚。

2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。在试卷上作答无效。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题(共12小题，每小题5分，共60.0分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1、已知集合A={x|x﹣2x﹣3＜0}，集合B={x|2＞1}，则∁BA=（ ） A、[3，+∞）B、（3，+∞）C、（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）D、（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞） 2、复数z=

2

x+1

3i的共轭复数为（ ） 1iA、﹣1﹣iB、1﹣iC、﹣2﹣iD、﹣2+i

3、已知命题p，q，“￢p为假”是“p∨q为真”的（ ）

A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件

4、等比数列an的前n项和为Sn ， 且4a1 ， 2a2 ， a3成等差数列，若a1=1，则S10=（ ）

A、512B、511C、1024D、1023

5、已知直线l1：2x﹣y+2=0和直线l2：x=﹣1，抛物线y=4x上一动点P到直线l1和直线l2的

2

距离之和的最小值是（ ） A、2B、

45C、3D、5 5bm,46、已知平面向量 a1,2， ，且 a//b，则 ab=（ ）

A、4B、﹣6C、﹣10D、10

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7、中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，

若输入的x=2，n=2，依次输入的a为2，2，5，则输出的s=（ ） A、7B、12C、17D、34

8、已知函数f（x）的定义域为R，f（﹣2）=2021，对任意x∈（﹣∞，+∞），都有f'（x）＜2x成立，则不等式f（x）＞x+2017的解集为（ ） A、（﹣2，+∞）B、（﹣2，2）C、（﹣∞，﹣2）D、（﹣∞，+∞）

9、《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就．书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”，若某“阳马”的三视图如图所示（单位：cm），则该阳马的外接球的体积为（ ）

2

A、100cmB、

3

5004000cm3C、400cm3D、cm3 3310、函数y=sin（2x+φ）的图象沿x轴向左平移 φ的一个可能的值为（ ） A、

8个单位后，得到一个偶函数的图象，则

3B、C、0D、 444- 2 - / 9

word

11、已知直线l：kx﹣y﹣3=0与圆O：x+y=4交于A、B两点且 OAOB2，则k=（ ）

2

2

A、2B、2C、±2D、2

x2y212、从双曲线 221（a＞0，b＞0）的左焦点F引

abx+y=a的切线，切点为T，延长FT交双曲线右支于P点，

2

2

圆

2若M

为线段FP的中点，O为坐标原点， 则|MO|﹣|MT|等于（ ） A、caB、baC、abD、

cb

第II卷（非选择题，共90分）

二、填空题(共4小题，共20.0分)

xy413．已知实数x，y满足x2y4，则zx2y的最大值为__________．

x214．已知甲、乙、丙三人恰好都去过、某某中的某一个城市，三人分别给出了以下说法： 甲说：“我去过某某，乙也去过某某，丙去过.” 乙说：“我去过某某，甲说得不完全对.” 丙说：“我去过，乙说得对.”

已知甲、乙、丙三人中恰好有1人说得不对，则去过的是_________．

15．ABC中，若sinA、sinB、sinC依次成等比数列，则B的取值X围为________. 16．已知fx是定义在R上的偶函数，其导函数fx，若fxfx，fx1f2x，

f20163，则不等式fx3ex的解集为________.

三、解答题(共6小题，17题10分，18-22题每题12分，共70.0分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

2

17.已知函数f（x）= 3sinxcosx﹣cosx1． （Ⅰ）求函数f（x）的对称轴方程；（Ⅱ）2将函数f（x）的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的2倍，然后再向左平移

- 3 - / 9

word 3个单位，得到函数g（x）的图象．若a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，a=2，

c=4，且g（B）=0，求b的值．

18.等差数列{an}的前n项和为Sn ，且a3=9，S6=60． （I）求数列{an}的通项公式；（II）若数列{bn}满足bn+1﹣bn=an（n∈N+）且b1=3，求数列 

19.为了弘扬民族文化，某校举行了“我爱国学，传诵经典”考试，并从中随机抽取了100名考生的成绩（得分均为整数，满分100分）进行统计制表，其中成绩不低于80分的考生被评为优秀生，请根据频率分布表中所提供的数据，用频率估计概率，回答下列问题．

分组 [50，60） [60，70） [70，80） [80，90） 频数 频率 5 0.05 1的前n项和Tn ． bna 0.20 35 b 25 0.25 [90，100） 15 0.15 合计 100 1.00 （I）求a，b的值及随机抽取一考生恰为优秀生的概率；（Ⅱ）按频率分布表中的成绩分组，采用分层抽样抽取20人参加学校的“我爱国学”宣传活动，求其中优秀生的人数；20.如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形．平面ABC⊥平面AA1C1C，AB=3，

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word

BC=5． （Ⅰ）求证：AA1⊥平面ABC；（Ⅱ）求证二面角A1﹣BC1﹣B1的

余弦值；

x2y221.已知椭圆C： 221（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1、A2 ， 上、下顶点分别

ab为B2、B1 ， O为坐标原点，四边形A1B1A2B2的面积为4，且该四边形内切圆的方程为

4．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若M、N是椭圆C上的两个不同的动点，直线OM、51ON的斜率之积等于，试探求△OMN的面积是否为定值，并说明理由．

4x2y2

22.已知函数fxalnxx2a为常数（Ⅰ）若a2，求证：函数fx在（1，+∞）

上是增函数；（Ⅱ）求函数fx在[1，e]上的最小值及相应的x值.

答案解析部分

一、单选题

1、A 2、D 3、A 4、D 5、B 6、C 7、C 8、C 9、B 10、B 11、B 12、B

【解析】【解答】解：如图所示，设F′是双曲线的右焦点，连接PF′． ∵点M，O分别为线段PF，FF′的中点，由三角形中位线定理得到：|OM|= |PF′|= （|PF|﹣2a）= |PF|﹣a=|MF|﹣a，∴|OM|﹣|MT|=|MF|﹣|MT|﹣a=|FT|﹣a，连接OT，因为PT是圆的切线，则OT⊥FT，在Rt△FOT中，|OF|=c，|OT|=a，∴|FT|= ﹣a．故选B．

=b．∴|OM|﹣|MT|=b

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二．填空题

13．6 14.甲、丙

15.0,

316．

,0

fxexgx）【解析】根据题意，设（ ，其导数g（'x）fx•exexfxex2fxfxex ，x）又由（，则g（在上R为增函数，又由（ 是定义在R上的fx）＜f（'x）>0，函数（gx）fx）偶函数，且（，则有（，则函数（的周期fx1）（f2x）fx1）（f2x）（fx2）fx）为3；

若（即f2016）3，则有（f03672）3，g0）（f0e03，（fx）＜3exfxex＜3g（x）＜（g0），

xfx）＜3e的解集为又由函数（为增函数，则有x<0，即不等式（gx）为

,0；故答案

,0．

三．解答题

17.解：（Ⅰ）函数 =

，令 ，解得

，所以函数f（x）的对称轴方程为 ．（Ⅱ）函数f

（x）的图象各点纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到函数 的图

象，再向左平移 个单位，得到函数 的图象，所以函数

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．又△ABC中，g（B）=0，所以 ，又

，所以 ，则 ．由余弦定理可知，

，所以 18.解：（Ⅰ）设等

差数列{an}的公差为d，∵a3=9，S6=60． ∴ ，解得 ．∴an=5+

（n﹣1）×2=2n+3．（Ⅱ）∵bn+1﹣bn=an=2n+3，b1=3，当n≥2时，bn=（bn﹣bn﹣1）+…+（b2﹣b1）

+b1=[2（n﹣1）+3]+[2（n﹣2）+3]+…+[2×1+3]+3= ．当n=1时，

b1=3适合上式，所以 ．∴ ．∴

=

= 19.解：（Ⅰ）由频率分布表得：

，解得a=20，b=0.35，由频率分布表可得随机抽取一考生恰为优秀生的概

率为：P=0.25+0.15=0.4．（Ⅱ）按成绩分层抽样抽取20人时，优秀生应抽取20×0.4=8人．20.（I）证明：∵AA1C1C是正方形，∴AA1⊥AC． 又∵平面ABC⊥平面AA1C1C，平面ABC∩平面AA1C1C=AC，∴AA1⊥平面ABC．（II）解：由AC=4，BC=5，AB=3．∴AC+AB=BC ， ∴AB⊥AC．建立如图所示的空间直角坐标系，则A1（0，0，4），B（0，3，0），B1（0，3，4），C1（4，0，4），∴

，

，

．设平面A1BC1的法向量为

=（x2 ， y2 ， z2）．则

2

2

2

，平面B1BC1的法向量为

，令y1=4，解得x1=0，z1=3，∴

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．，令x2=3，解得y2=4，z2=0，∴

．= = = ．∴二面角A1﹣BC1﹣B1的余弦值为

．

四边形A1B1A2B2为菱形，∴

21. 解：（Ⅰ）∵四边形A1B1A2B2的面积为4，又可知，即ab=2 ①由题意可得直线A2B2方程为：

，∴圆心O到直线

，即bx+ay﹣ab=0，∵四边形A1B1A2B2内切圆方程为

A2B2的距离为 ，即 ②由①②解得：a=2，b=1，∴椭圆C的方程为：

（Ⅱ）若直线MN的斜率存在，设直线MN的方程为y=kx+m，M（x1 ， y1），N（x2 ， y2），

由 得：（1+4k）x+8mkx+4（m﹣1）=0∵直线l与椭圆C相交于M，N两个不同的

22

2

2

2

2

222

点，∴△=64mk﹣16（1+4k）（m﹣1）＞0得：1+4k﹣m＞0③由韦达定理：

∵直线OM，ON的斜率之积等于 ，∴

，∴

，∴2m=4k+1满足③…（9分）∴

22

，又O到直线MN的距离为

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，

word

，所以△OMN的面积

若直线MN的斜率不存

在，M，N关于x轴对称设M（x1 ， y1），N（x1 ， ﹣y1），则

，

，

又∵M在椭圆上， ，∴ ，所以△OMN的面积S= =

=1．综上可知，△OMN的面积为定值1

22.解：（Ⅰ）当a=﹣2时，f（x）=x﹣2lnx，当x∈（1，+∞），

2

， 故

函数f（x）在（1，+∞）上是增函数．（Ⅱ）

2

，当x∈[1，e]，2x+a∈[a+2，

2

a+2e]．若a≥﹣2，f'（x）在[1，e]上非负（仅当a=﹣2，x=1时，f'（x）=0），故函数f

（x）在[1，e]上是增函数，此时[f（x）]min=f（1）=1．若﹣2e＜a＜﹣2，当

2

时，

f'（x）=0；当 时，f'（x）＜0，此时f（x）是减函数；当 时，

f'（x）＞0，此时f（x）是增函数．故[f（x）]min=

2

= 若a≤﹣2e ，

2

f'（x）在[1，e]上非正（仅当a=﹣2e ， x=e时，f'（x）=0），故函数f（x）在[1，e]上是减函数，此时[f（x）]min=f（e）=a+e ． 综上可知，当a≥﹣2时，f（x）的最小值为1，

2

相应的x值为1；当﹣2e＜a＜﹣2时，（x）f的最小值为

2

2

2

，相应的x值为 ；

当a≤﹣2e时，f（x）的最小值为a+e ， 相应的x值为e

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