热力学与统计物理——第01章热力学的基本规律习题解ok

习题1.1[1.1*作业]试求理想气体的体胀系数,压强系数和等温压缩系数

T。

解：由PVnRT得： VnRTP;PnRTV

所以, 1V1nR1()PVTVPT1PRnPV

PT()V1/T

T1V11()TnRT21/PVPVP

习题1.2 [1.2*作业]试证明任何一种具有两个独立参量的物质T,p,其物态方程可由实验测得的体胀系数及等温压缩系数T,根据下述积分求得:lnV(dTTdp)如果1T,T1P,试求物态方程。

解：1. 因为f(T,V,p)0,所以,我们可写成VV(T,p),由此,

dV(VT)pdT(Vp)Tdp

因为1V1V()p,T()TVTVp

dVV 所以, dVVdTVTdp,dTTdp

所以, lnVdTTdp (1)

即物态方程可由实验测得的体胀系数及等温压缩系数T,根据(1)积分求得. 证毕

2. 当1/T,T1/p时,由(1)

lnVdTTdpplnVlnTlnpVlnC

所以 pVCT

根据阿伏伽得罗定律,对于具有相同”物质的量”的各种理想气体, pV/T的数值是相等的,我们用R表示对1mol气体该常量的值,名为摩尔气体常量.由1mol理想气体在冰点(T0273.15K)及1Pn下的体积V022.414103m3molRCPnT0V0101325273.1522.4141031得到

8.3145Jmol1K1

对n摩尔理想气体有 pVnRT

习题1.3测得一块铜块的体胀系数和等温压缩系数分别为4.85*105K1和

T7.8*107

pn，,T可近似看作常量，今使铜块加热至10C。问:（1）压

1强要增加多少pn才能使铜块体积不变？（2）若压强增加100pn，铜块的体积改多少?

解：分别设为xpn;V，由定义得：

xT4.858*104;V4.85*104100*7.8*107

所以，x622pn,V4.07*104

习题1.4(略) [1.4*作业]

习题1.4描述金属丝的几何参量是长度L，力学参量是张力，物态方程是

f(,L,T)01L实验通常在1pn下进行，其体积变化可忽略。线胀系数定义为

L()TALLT()等杨氏摸量定义为Y其中A是金属丝的截面积，一般说

来，和Y是T的函数，对仅有微弱的依赖关系，如果温度变化范不大，可看作常数。假设金属丝两端固定。试证明，当温度由T1降T2时，其张力的增加为

YA(T2T1)

证： f(,L,T)0,LL(,T)

所以， dL(LL)Td(LTL)dT

LAY因 ()T(1L)T;()T

L(LT);dLLAYdLdT

dL0;所以,dAYdT,dAYdT

所以, YA(T2T1)

习题1.7在25C下，压强在0至1000pn之间，测得水的体积

V(18.0660.715103p0.046106p)cmmol231如果保持温度不变，将的

水从加压至，求外界所做的功。 解：外界对水做功:

WpdV100010001pdVdpdp61p(0.715103134.6102p)dp327Pncmmol3271013251033.1J习题1.8

解：外界所作的功：

6Pammol31

LWL02LL0JdLbT2LLL00LdL

22L0L056TL0LbTL bT2 0288L0L0L习题1.9

解：（1）定容时，V为常数，外界做功W=0,所以

UdTCV(T2T1) U2U1QWQ 并且QT1TT2CPM0cP0VcP从而有QCV(T2T1)CVCP0VcP5

1.2927996201.414.9210J

5（2）同理，定压时，P为常数，吸热Q与定压热容量有关,所以

QCP(T2T1)1.2927996206.93810J

（３）仍然是定压，P为常数，但注意压热容量是温度的函数CP(T)

~QT2T1~CP(T)dTM0T2T1(T)VcPdT （１）

M0V当TT1时， pV当TT时， pVMRT10MVPRT1

RTPRT以上两式相除得T1T0，代入（１）得

QT2T10T1VcPdTT0T1VcP(lnT2lnT1)T1(lnT2lnT1)(T2T1)0VcP(T2T1)

习题1.10[1.7*作业]抽成真空的小匣带有活门，打开活门让气体充入。当压强达到外界压强p0时将活门关上。试证明：小匣内的空气在没有与外界交换热量之前，它的内能U与原来大气中的U0之差为UU0p0V0，其中V0是它原来在大气中的体积。若气体是理想气体，求它的温度和体积。

解：假设先前的气体状态是（P0,V0,T0）内能是U0，当把这些气体充入一个盒子时，状态为（P0,V,T）这时的内能为U，压缩气体所做的功为：P0V0 ,依绝热过程的热力学第一定律，得 UU0QP0V0P0V0 （1）

对于理想气体，有UU0CV(TT0) 且P0V0nRT0 代入（1）得

CVTT0nRT0

故有 CVTCVnRT0 所以 TCPCVTT0T0T0

由于压强相同，所以有 V习题1.11 [1.8*作业] 解：取一摩尔理想气体有

V0V0

HURTCpCVRCV,R(1)CV (1)

又pVnC(常量) npdVVdp0 (2)

对理想气体pVRT(常量) pdVVdpRdT (3) (2)-(3)并且利用(1)得pdV[R/(n1)]dT[(1)/(n1)]CVdT (4) 由dUdQpdV得dQdUpdVCVdT[(1)/(n1)]CVdT

即

dQ{1[(1)/(n1)]}CVdTCndT

从而有Cn{1[(1)/(n1)]}CV[(n)/(n1)]CV 证毕 习题1.15热泵的作用是通过一个循环过程将热量从温度较低的环境传送扫温度较高的物体上去。如果以理想气体的逆卡诺循环作为热泵的循环过程，热泵的效率可以定义为传送到高温物体的热量与外界所作的功的比值。试求热泵的效率。如果将功直接转化为热量而令高温物体吸收，则“效率”为何？ 解：A→B 等温过程

Q1MRT1lnVAVB

B→C 绝热过程 C→D 等温吸热

Q2MRT2lnVDVC

D→A 绝热， Q1AQ1Q1Q2

MMRT1lnMVAVBRT2lnVDVCRT1lnr1VAVB

由绝热过程泊松方程： T1VB∴

VBVCVAVDr1T2VCT1T1T2 ；T2VDr1T1VAr1

T1T2T2T1T21T2T1T2；

VAVBVDVC ∴

将功A直接转化为热量Q1，令高温物体吸收。有A=Q1 ∴Q1A1。

习题1.16[1.12*作业]假设理想气体的Cp和CV之比是温度的函数，试求在准静态绝热过程中T和V的关系。该关系试中要用到一个函数F(T)，其表达式为：

lnFTdT1T

解：准静态绝热过程中：dQ0，∴dUpdV (1)

对于理想气体，由焦耳定律知内能的全微分为

dUCvdT (2)

nRTV (3)

物态方程 pVnRTP(2)，(3)代入(1)得： CVdTnRTVdV （其中CVnR1）

dVVdVVCVnRT11dTdT

1T1积分得

dT 关系式

lnV为T的函数 令

111dTlnC （4）

lnF(T)11dT （5）

代入（4）得

F(T)VC习题1.17 [1.13*作业]

V2 （6）

解：从高温热源吸热为

Q1V3V1PdVnRT1lnV4V3V2V1

从低温热源放热为 Q2V4PdVnRT2ln

热机效率

Q1QQ1T2ln2V2VV4V311T1ln （1）

对绝热过程1（左）：V1F(T1)V3F(T2)

对绝热过程2（右）：V2F(T1)V4F(T2)

V2两式相除得

V1V4V3代入（1）有

1T2T1 证毕

习题1.19[1.15*作业]

解：在吸热Qi中，将大于零的吸热Qi记为Qm，热源温度记为Tm，而将小于零

的吸热Qi记为Ql，相应的热源温度记为Tl，则有

iQiTimQmTmlQlTl0

Ql表示吸热，Ql就是表示放热，上式就是

mQmTmTlQll

依题意，T1是Tm中的最大值，T2是Tl中的最小值，显然有

mQmT1令Q1mmmQmT1mQmTmTlQlllQllQlT2T2

QQ2T2表示总的吸热，以Q2Qll表示总的放热，有

Q1T1Q1Q2Q11T2T1 证毕。

[1.16*作业]

证：理想气体的熵的表达式是

S

CVTdTnRlnVS0 （1） （2）

或

SCPTdTnRlnPS0由于是常数，故CP和CV皆为常数，这样，（1）和（2）就变为

SCVlnTnRlnVS0 （3） （4）

SCplnTnRlnpS0'对于等容过程，由（3）知温度从T1升至T2时的熵增为

(S)VCVln(T2/T1) （5） （6）

证毕

同样，对于等压过程，由（4）知温度从T1升至T2时的熵增为

(S)pCpln(T2/T1)由此不难得到

(S)p/(S)VCp/CV[1.17*作业] 解：

[1] 水的熵增

将水与温度处于0℃至100℃的一系列热源相接触，使水温从0℃等压地升至100℃时的熵增为

S1373273CPTdTCPln37327310004.18ln3732731304.6JK1

[2] 热源的熵增

水的总吸热，即热源的总放热为

QCPT10004.18100418000J

让热源向某一温度处于100℃的恒温热源放热，热源的熵增为

S2Q/373418000/3731120.6JK1[3]整个系统的总熵增

SS1S21304.61120.6184JK1

[4]如何使整个系统的总熵增为零

将[2]中的热源换成温度处于0℃至100℃的一系列热源，这一系列热源放热的熵增是S2S1，因此整个系统的总熵增是SS1S20

习题1.23[1.19*作业]

解：取杆的一端为原点，温度T1，沿杆方向为温度为T2。

x轴，杆长为l，在xl处，

dxOxlx

此时在杆上任取一点，坐标为

x，则它的初温TxT112T2T1lx，

先研究xxdx这一段dx，它的末态温度为 T'T1T2，设杆的

线密度为，质量为ml，比热cP，杆的热容为CPmcP，则dx这一段升温dT的熵增为：

dQTcPdmdTTT'cPdxdTT

dSdQTTxcPdxlnT'Tx

cPlnTxT'dx

2T12T2T1cPlnxdxlT1T2T1T2再对杆上的所有dx求和

Sl0dScPl02T12T2T1lnxdx （1）

TTlTT2121令y2T1T1T22T2T1lT1T2x

lT1T2 dxdy 2T2T1

lT1T22T1yx2T2T1T1T2当xx下0时，y下当xx上时，∴（1）式变成

2T1T1T22T2y上T1T2

2T2ScP由分部积分公式

T1T22T1T1T2lnydylT1T22T2T1

lnydyylnyydlnyylnyy，代入上式

2T2ScPlT1T22T2T12T2lnT1T2T1T2ylnyyT1T22T1T1T2

2T1TT12cPlT1T22T22T2T12T12T22T1lnTTTTTT122211T1T2T1T22T2lnT2lnT1lnT1lnT2T1

2T2T122T1T2T1lnT1T2lnT2CPlln1 2TT12cPl∴CPmcPlcP代入上式 ∴SCPT1T2T1lnT1T2lnT21 ln2T1T2习题1.26：见ppt. [1.22*作业]