弱非局域介质中的Sech型损耗空间光孤子

维普资讯 http://www.cqvip.com ２００８年　赣南师范学院学报　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｇａｎｎａｎ　Ｎｏｒｍａｌ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉ哆　Ｎｏ．３　Ｊｕｎｅ．２ｏｏ８　第三期　・光子学与光子技术・　弱非局域介质中的　Ｓｅｃｈ型损耗空间光孤子睾　王形华　，朱海榕　（赣南师范学院ａ．物理与电子信息学院；ｂ．应用物理研究所，江西赣州３４１０００）　摘要：运用变分法研究了１＋１维ｓｅｃｈ型光束在含有小损耗的弱非局域非线性介质中的传输特性，得到了光　束各参量的演化方程和一个临界功率．在介质损耗足够小的前提下，当光束初始功率等于临界功率时，得到了一个　ｓｅｃｈ型损耗空间光孤子．　关键词：非线性光学；变分法；弱非局域介质；小损耗；损耗孤子　中图分类号：０４３７　文献标识码：Ａ　文章编号：１００４—８３３２（２００８）０３—００５０—０４　光束在非局域非线性介质中传输时，遵循非局域非线性薛定谔方程（ＮＮＬＳＥ）．在一般情形下，其难于求　出精确解析解，只有在某些特殊情况下，采用逆散射法¨］，才可以求出其精确解．为了得到ＮＮＬＳＥ的精确解，　分析光束的传输特性，一般要采用数值方法，这些都涉及到复杂的数学处理过程　．１９９７年Ｓｎｙｄｅｒ人等提出　了强非局域模型，并用此模型来求解ＮＮＬＳＥ，得到了孤子解，由此揭开了非局域空间光孤子研究的序幕　］．　文献［４］对２００３年底以前非局域空间孤子研究的主要内容进行了总结和综述评论．２００４年，郭旗等人对　ＮＮＬＳＥ中非线性项进行了进一步处理。对Ｓｎｙｄｅｒ的模型进行了修正，并在此基础上研究了傍轴高斯光束在　强非局域和亚强非局域非线性介质中的传输特性　］，非局域空间光孤子的研究得到了进一步的推进；但目　前对非局域空间光孤子的研究主要还是局限于理想情形，即光束在强非局域介质中传输时，不存在损耗．在　实际的情形中，光束在强非局域介质中传输时，应或多或少的存在损耗，文献［７］运用变分法，探讨了ｌ＋ｌ　维高斯光束在含有小损耗的强非局域非线性介质中传输时的特性，近似得到了一个损耗空间孤子；文献［８］　则运用变分法，进一步探讨了亚强非局域介质中高斯光束的传输特性　］．ｓｅｃｈ型光束在弱非局域非线性介　质中传输时，在一定条件下可以保持束宽不变，得到了空间光孤子［９　；当ｓｅｔｈ型光束在存在小损耗的弱非局　域非线性介质传输时，具有怎样的传输特性，有待于探讨．本文利用变分法研究这一问题，得到了一些新的结　果．　１参量演化方程　在存在传输损耗的情形下，光束在非局域非线性介质中传输时，遵循的ＮＮＬＳＥ为　］　＾－　＾２－　∞　ｉ　＋ｕ　　＋ｐ　ｆ一　　Ｒ（　—　）ｌ　（　、ｚ）ｌ　ｄｘ　＋　Ａ　＝０　（１）　其中：　（　，ｙ，ｚ）为傍轴光束的慢波变化函数私＝１／２ｋ，Ｐ＝　，叼＝ｎ２／ｎ。，ｌ＇ｔ。为非线性介质折射率的线性部　分；凡ｚ则为非线性折射率系数；　为对应于ｎ。的波数；　为光束传播方向坐标；　为横向方向坐标；Ａ（Ａ＞０）为　传输损耗系数；Ｒ（　）为非局域介质响应函数，其满足归一化条件ｆＪ一∞　　Ｒ（ｘ　）ｄｘ　＝１．　在存在小传输损耗情形下，傍轴光束　（　，　）可表示为　Ｉ　（　，ｚ）＝　（　，ｚ）ｅｘｐ（一Ａｚ）　（２）　将（２）式代入方程（１）可得　｛Ｉ收稿日期：２０ｏ８—０３—２１　修回日期：２００８—０４—１９　基金项目：江西省教育厅科技项目（赣教技字［￣ｏｏ７］２９７）　作者简介：王形华（１９６３一），男，江西南康人，赣南师范学院物理与电子信息学院教授，主要从事非线性光学传输理论的研究　维普资讯 http://www.cqvip.com 第３期　王形华，朱海榕弱非局域介质中的Ｓｅｃｈ型损耗空间光孤子　５ｌ　警＋　＋　ｘｐ（－２Ａ　）仁　由（１）式描述的物理系统的拉格朗日密度函数为　’　＝　）　＝０　（３）　（４）　ｉ（　Ｏｚ一　警）一　Ｉ署Ｉ　＋　１　Ｉ　Ｉ　２ｅｘｐ（一２Ａ　）仁Ｒ（　一　）Ｉ　（　，、　）Ｉ　其中　是　的复数共扼函数．　设一ｓｅｃｈ型光束在充满弱非局域非线性介质的平面波导中传输，其还能近似保持ｓｅｃｈ型函数形式，即　假设方程（３）存在ｓｅｃｈ型函数的近似试探解　（　）＝Ａ（　）ｅｘｐ［ｉＯ（　）］ｓｅｃｈ［　］ｅｘｐ［＋　ｃ（　）　］　（５）　式中Ａ（　），　（　）是光束复振幅的大小和相位；口（　）是束宽；ｃ（　）是波前曲率系魏将（５）式代人（４）式，并考　虑到弱非局域介质响应函数的特征宽度比光束的束宽ａ（ｚ）小得多，即｜‘，　／ａ（ｚ）《１（｜‘，　是弱非局域介质响　应函数的特征宽度），对　（　、　）在　＝　处作泰勒级数展开时，近似取到二阶小量，由（４）式可求出Ｌ的表　达式，并令　，＝Ｊ　Ｌｄｘ，可得到　Ｊ一∞　＝一Ａ　［　＋　１仃２口３（４　＋　ｄｃ）＋２口　］＋　（５口一导）ｅｘｐ（一２　）　：　一　：０　（６）　（７）　式中ｒｍ＝（１／２）ｆ／￣Ｒ（　）　．由变分原理　，出＝ｏ￣８Ｌ，／Ｓｐ　＝０，即　（警）　哦　式中Ｐ１分别代表为光束参量　，ｃ，Ａ，口．将式（６）代人方程（７）可得到　ｎ　‘　Ａ（ｚ）一［丽＿ｒ－ｏ］寺＝０　一　（８）　（９）　ｃ口＝０　耋一　＋　＋　ｅｘｐ（－２Ａｚ）（１一　ａ）＝。　ｄＯ出＋　３ａ（１。）　（１１）　５　ｐＰｏｅｘｐ（－２Ａｚ）（１一　４ｒｍ）．２—＝。　其中Ｐｏ＝ｆ　Ｉ　Ｏ（ｘ，０）Ｉ　ｄｘ＝ｆ　Ｉ　（　，０）Ｉ　ｄｘ＝２Ａｏ２　，为光束初始输入功率；Ａｏ，　分别为光束初始振　幅的大小和束宽．方Ｎ（８）一（１１）即为１＋１维ｓｅｅｈ型光束在含有小损耗的弱非局域非线性介质中传输时光　束各参量的演化方程．　２　Ｓｅｃｈ型损耗空间光孤子　对方程（９）求导，并结合方程（１０）可得　：堑２　３　一４一Ｐ￣ＰＴ￣（１一　）ｅ　ｐ（一２Ａ）　ｘｐ　一　（１２）　仃口　７１＂口口　口　为了方便，引入归一化光束束宽参量ｇ（ｚ）＝ａ（ｚ）／ａ。，方程（１２）可以变为　鲁：一仃　２口：ｇ。　仃口一．４￣２Ｐｏ（１一可２ｒｍ）ｅｘｐ（一２Ａ　）　ｏｇ　口　ｇ２　Ａ　（１３）　（１４）　对于存在小损耗情形，Ａ　《１；则ｅｘｐ（一２Ａｚ）　１—２Ａｚ；此时方程（１３）可近似表示为　一：　４／￣　Ｐｏ（　２　２一Ｔ—仃　口：ｇ。仃　口　ｇ　晒　１２ｒ　）（１—２Ａ　）　八　对于无传输损耗情形。Ａ＝０，方程（１４）变为　维普资讯 http://www.cqvip.com ５２　赣南师范学院学报　２００８年　一黑一４／＇　ｔｏＰ　￣　（　２。２—１２　）　ｃｌｚ２　一￣～ａ：口。ｇ。一　ｏｇｏ　（１５）　式中：ｇ０（ｚ）为无传输损耗时归一化束宽．方程（１５）与文献［９］中的方程（１２）一致．令ｄ２　ｇ０（ｚ）／ｄｚ　ｌ　：０，　并假设光束从光腰处人射，即。＝０时，ｄｇｏ（ｚ）／ｄｚｌ删＝０，则在此种情形下，ｇｏ（。）＝１，光束在传输过程中，　将保持束宽不变，得到一个稳定的ｓｅｃｈ型空间光孤子．此时对应的功率为Ｐ砷＝　口０　［口　一１２　］，称其为　临界功　．对于其它情形，束宽的演化规律很复杂，难于给出其具体的演化表达式。　令Ｆ＝Ｐ　／Ｐ。，Ｐ。＝４１ｘ／ｐａ。，Ｐ　为局域时对应的临界功率．因为对于局域情形，响应函数　（　）＝ａ（ｘ），　此时有　＝（１／＇２）ｆ　Ｒ（　）　。｛Ｉｘ＝０　。。．仍然假设光束从光腰处入射，在此条件下，方程（１５）可以进一步变　为　孥：　２　４　（　一一　ｇ１＋　）　十　ｏ（１６）　¨　对于存在小损耗情形，光束的归一化束宽可以假设为ｇ（ｚ）＝ｇｏ（。）＋Ａｇ　（。），其中ｇ　（。）为由于光束传输存　在小损耗而对束宽演化的一级修正，其为一小量．忽略ｇ　（。）　、ｇ　（。）　、Ａ　项　，方程（１４）可以变为　孥＝　｛　一【　ｇ　（１＋２ｇＡ０］　ｇ　）　口２。　４（１＋４—ｇＡｏ＿　ｇ１）　１（１－２　１Ｊ　（１７）　ａ０』　ｇｏ　ｇｏ　｛ｔＯｇｏ　考虑至０　１／｛１＋４Ａｇ　（。）／ｇ０（。）｝　１—４Ａｇ　（。）／ｇ０（。），１／｛１＋３Ａｇｌ（。）／ｇ０（　）｝　１—３Ａｇ　（。）／ｇ０（。），１／｛１　＋２ａｇ　（。）／ｇ。（。）｝　１—２ａｇ　（。）／ｇｏ（　），方程（１７）可以进一步分离为下列方程组　孥：—｛　ＩＺ　　—　（　一—　一—　＋　十—　）　　＝　（１ｌ８ｏ　）　（１９）　［（２　２ｇ０２—３ａ　ａｏｇｏ』　一１２ｒ．￣）　＋（２　２ｇ０２—６　）　］　ｕ　ｚ　方程（１８）为无传输损耗时光束归一化束宽的演化方程，假设光束从光腰处入射，初始功率等于临界功率，即　Ｐ砷／Ｐ。＝１，Ｆ＝（ａ　一１２ｒ　）／ａ　时，其解为孤子解．考虑到小损耗，ｇ　（。）为ｇｏ（。）的一级修正小量，可以令方　程（１９）的右边等于零　ｊ，由此可解得　（２０）　（２０）式即为１＋１维ｓｅｃｈ型光束在含有小损耗的弱非局域非线性介质中传输时，束宽演化的一级修正小量　的近似表达式．当光束从光腰处入射，初始功率等于临界功率时，ｇｏ（。）＝１，则ｇ　（ｚ）＝２（ａ　一３ｌ＂ｍ）　（ａ　一　２４ｒ　），归一化束宽的演化规律为　）：１＋　ａ０一二斗，　（２１）　３结果与讨论　文献［９］指出，ｌ＋ｌ维ｓｅｃｈ型光束在弱非局域非线性介质中传输时存在空间光孤子的前提条件为ａ　＞　１２ｒ　，其由介质特性和光束初始束宽共同决定从含有小损耗的弱非局域非线性介质束宽演化的一级修正量　的近似表达式来看，当光束从光腰处入射，且初始功率等于临界功率时，ｇ０（ｚ）：ｌ，束宽演化的一级修正小　量ｇ　（。）＝２（ａ　一３ｒ　）　（ａ　一２４ｒ　），其由光束的初始束宽与弱非局域非线性介质的特征参量的比值ｄｏ／ｒ　共同决定．当Ｊｏ／ｒ　＝１２４时，ｇ　（。）＝２．４２；当Ｊｏ／ｒ　一∞时，ｇ　（。）一２．Ｏ０．口　／　的比值越大，意味着　Ｗ　／ａ（ｚ）比值越小，相应的非局域程度越弱，损耗空间光孤子束宽随传输距离展宽将更缓慢一些，但其影响　不是很明显。对于损耗，介质的损耗系数对损耗光孤子束宽的变化影响较大，图１给出了几种不同损耗情形　下，ｓｅｃｈ型损耗空间光孤子的束宽随传输距离展缓慢展宽的规律，从图中可以看出，介质损耗系数增大时，其　束宽随传输距离展缓慢展宽的速度也将增大。　维普资讯 http://www.cqvip.com ４　ｍ第３期　王形华，朱海榕弱非局域介质中的Ｓｅ结　ｃｈ型损耗空间光孤子　５３　论　图　中　１．ｉ　／　１．Ｏ５　ｉ　Ｏ．９５　０　２　４　６　Ｓ　：ｔＯ　图１　ｓｅｅｈ型损空间光孤子束宽随传输距离的演化．　＝１０００．０，Ｐ　Ｐ。：ｌ　０，（ａ）　＝Ｏ．００１，（ｂ）　＝Ｏ．００３，（ｃ）　＝Ｏ．Ｏ０６，（ｄ）　＝Ｏ．ＯＯ９　运用变分法研究了１＋１维ｓｅｅｈ型光束在含有小损耗的弱非局域介质中的传输特性，得到了光束各参　量的近似演化方程和一个临界功率．当光束的初始束宽远大于弱非局域介质响应函数的特征宽度，初始功率　等于临界功率，传输损耗足够小，并且光束从光腰处入射时，可以近似得到束宽随传输距离缓慢展宽的ｓｅｃｈ　型损耗空间光孤子；而对于一般情形，光束的演化规律很复杂，一般难于给出解析表达式．　参考文献：　［１］Ｚａｋｈａｒｏｖ　ｖ　Ｅ，Ｓｈａｂａｔ　Ａ　Ｂ．Ｅｘａｃｔ　ｔｈｅｏｒｙ　ｏｆｔｗｏ—ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ　ｓｅｌｆ—ｆｏｃｕｓｓｉｎｇ　ａｎｄ　ｏｎｅ　ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ　ｓｅｆｌ—ｍｏｄｕｌａｔｉｏｎ　ｏｆｗａｖｅｓ［Ｊ］．Ｓｏｙ．Ｐｈｙｓ．　ＪＥＴＰ，１９７１，６１（１）：１１８—１３４（ｉｎ　Ｒｕｓｓｉａ）．　●　Ａｇｒａｗａｌ　Ｇ　Ｐ．Ｎｏｌｎｉｎｅ￣ｆｉｂｅｒ　ｏｐｔｉｃｓ（ｔｈｉｒｄ　ｅｄｉｉｔｏｎ）［Ｍ］．Ｌｏｎｄｏｎ：Ａｃａｄｅｍｉｃ　ｐｒｅｓｓ，２００１：５１—５７．　Ｓｎｙｄｅｒ　Ａ　Ｗ，Ｍｉｔｃｈｅｌｌ　Ｄ　Ｊ．Ａｃｃｅｓｓｉｂｌｅ　ｓｏｌｉｔｏｎｓ［Ｊ］．Ｓｃｉｅｎｃｅ，１９９７，２７６（５３１８）：１５３８—１５４１．　Ｇｕｏ　Ｑ．Ｎｏｎｌｃｏｌａ　ｓｐａｔｉｌａ　ｓｏｌｉｔｏｎｓ　ａｎｄ　ｔｈｅｉｒ　ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎｓ（ｉｎ，ｔｅｄ　ｔａｌｋ　ｏｎ　ＡＰＯＣ　２００３）［Ｃ］．Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇ　ｏｆＳＰＩＥ，２００４，５２８１：５８１—５９４．　Ｇｕｏ　Ｑ，Ｌｕｏ　Ｂ，Ｙｉ　Ｆ，ｅｔ　１ａ．Ｌａｒｇｅ　ｐｈａｓｅ　ｓｈｉｆｔ　ｏｆ　ｎｏｎｌｃｏｌａ　ｏｐｔｉｃｌａ　ｓｐａｔｉｌａ　ｓｏｌｉｔｏｎｓ［Ｊ］．Ｐｈｙｓ．Ｒｅｖ．Ｅ，２００４，６９（１）：０１６６０２．　王形华，郭旗，谢逸群．傍轴高斯光束在强非局域介质中的传输特性［Ｊ］．光学学报，２００５，２５（６）：８４８—８５４．　Ｈｕａｎｇ　Ｙ，Ｇｕｏ　Ｑ，Ｃａｏ　Ｊ　Ｎ．Ｏｐｔｉｃａｌ　ｂｅａｍｓ　ｉｎ　ｌｏｓｙ　ｎｏｎ—ｌｏｃａｌ　Ｋｅｒｒ　ｍｅｄｉａ［Ｊ］．Ｏｐｔ．Ｃｏｍｍｕｎ．２００６，２６１：１７５—１８０．　王形华，谢应茂，王磊，等．强非局域介质中高斯型损耗空问光孤子［Ｊ］．强激光与粒子束，２００７，１９（ＩＩ）：１７９２—１７９５．　王形华．弱非局域介质中的Ｓｅｃｈ空问光孤子［Ｊ］．赣南师范学院学报，２００４（６）：３３－３５．　、　］Ｋｒｏｌｉｋｏｗｓｋｉ　Ｗ，Ｂａｎｇ　Ｏ，Ｓｏｌｉｔｏｎｓ　ｉｎ　ｎｏｎｌｏｅａｌ　ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｍｅｄｉａ：Ｅｘａｃｔ　Ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ［Ｊ］．Ｐｈｙｓ．Ｒｅｖ．Ｅ，２０００，６３（１）：０１６６１０—１—０１６６１０—６．　Ｓｅｃｈ　Ｓｐａｔｉａｌ　Ｌｏｓｓｙ　Ｓｏｌｉｔｏｎ　ｉｎ　Ｗｅａｋｌｙ　Ｎｏｎｌｏｃａｌ　Ｍｅｄｉａ　ＷＡＮＧ　Ｘｉｎｇ．ｈｕａ　一，ＺＨＵ　Ｈａｉ—ｒｏｎｇ　（０．Ｓｃｈｏｏｌ　ｏｆＰｈｙｓｉｃｓ　ａｎｄ　Ｅｌｅｃｔｒｏｎｉｃ　Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ；ｂ．Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ　ｏｆＡｐｐｌ￣ｄ　Ｐｈｙｓｉｃｓ，Ｇａｎｎａｎ　Ｎｏｒｍａｌ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｇａｎｚｈｏｕ　３４１０００，Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ　ｐｒｏｐａｇａｔｉｏｎ　ｐｒｏｐｅｒｔｙ　ｏｆ　１＋１　ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ　ｓｅｅｈ　ｏｐｔｉｃａｌ　ｂｅａｍ　ｉｎ　ｓｍａｌｌ　ｌｏｓｓｙ　ｓｔｒｏｎｇｌｙ　ｎｏｎｌｏｃａｌ　ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｍｅｄｉａ　ｉｓ　ｉｎ－　ｖｅｓｔｉｇａｔｅｄ　ｂｙ　ｍｅａｎｓ　ｏｆ　ｖａｒｉａｔｉｏｎａｌ　ｍｅｔｈｏｄ．Ｔｈｅ　ｅｖｏｌｕｔｉｏｎ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ．ａｎｄ　ａ　ｃｒｉｔｉｃａｌ　ｐｏｗｅｒ　ａｒｅ　ｏｂｔａｉｎｅｄ　ｆｏｒ　ｔｈｅ　ｂｅａｍ・Ｉｎ　ｔｈｅ　ｃａｓｅ　ｏｆ　ｓｍａｌｌ　ｌｏｓｓ，ａ　ｌｏｓｓｙ　ｏｐｔｉｃａｌ　ｓｐａｔｉａｌ　ｓｏｌｉｔｏｎ　ｗｉｔｈ　ｂｅａｍ　ｗｉｄｔｈ　ｓｌｏｗ　ｄｉｆｒａｃｔｉｏｎ　ｉｓ　ｆｏｕｎｄ　ｗｈｅｎ　ｔｈｅ　ｉｎｐｕｔ　ｐｏｗｅｒ　ｅｑｕａｌｓ　ｔｈｅ　ｃｒｉｔｉｃａｌ　ｐｏｗｅｒ・　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｏｐｔｉｃｓ；ｖａｒｉａｔｉｏｎａｌ　ｍｅｔｈｏｄ；ｗｅａｋｌｙ　ｎｏｎｌｏｃａｌ　ｍｅｄｉａ；ｓｍａｌｌ　ｌｏｓｓ；ｌｏｓｓｙ　ｓｏＨｔｏｎ