2006年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题

2006年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题

2006年4月16日

本卷满分为150分，考试时间为120分钟

题号 得分 一 二 三 15 16 17 总分 一、选择题：本大题共8小题，每小题6分，共48分。

题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 得分 评卷人 1、设Ａ到Ｂ的映射f：xy=(x－1)2,若集合A0,1,2，则集合B不可能是（▲） ．．．A、0,1 B、0,1,2 C、0,1,2 D、0,1,1 2、若命题Ｐ：()21x14；Ｑ：log(x1)40，则命题Ｐ是Ｑ成立的（▲）条件

Ａ、充分不必要 Ｂ、必要不充分 Ｃ、充要 Ｄ、既不充分也不必要 3、设sin(2)a，则tan(a1a222)的值为（▲）

A、 B、a1a2 C、

1aa2 D、1aa2

4、将长度为1的铁丝分成两段，分别围成一个正方形与一个圆形，则当它们的面积之积最大时，正方形与圆的周长之比为（▲）

A、1:1 B、:4 C、4: D、2: 5、设正整数集N，已知集合Ax|x3m,mN，Bx|x3m1,mN，

Cx|x3m2,mN，若aA,bB,cC，则下列结论中可能成立的是（▲）

A、2006abc B、2006abc C、2006abc D、2006a(bc)

6、用“十四进制”表示数时，满十四进前一位。若在“十四进制”中，把十四个数码从小到大依次记为0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,十，J，Q，K；则在“十四进制”中的三位数JQK化成“二

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进制”数时应为（▲）位数。

A、13 B、12 C、11 D、10

1,x为有理数0,x为无理数7、设函数f(x)，若xf(x)g(x)对于一切xR都成立，则函数g(x)可

以是（▲）

A、g(x)sinx B、g(x)x C、g(x)x2 D、g(x)x

8、如图，请观察杨辉三角（杨辉是我国南宋时期的数学家）中各数排列的特征,其中沿箭头所示的数依次组成一个锯齿形数列：1、1、2、3、3、6、4、10、5、„„，设此数列的前n项和为Sn,则

S20042S2005S2006等于（▲）

1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 „ „ „ „ „ „ „

A、502501 B、520502 C、502503 D、以上都不对

二、填空题：本大题共6小题，每小题8分，共48分。

得分 评卷人 9、现定义ABx|xA,但xB，若A1,2,3,4,5，AB1,2,3，则集合B可以是___________（写出一个即可）.

10、在等差数列an中，若S918,an430,Sn240，则正整数n的值为_________________.

11、某安全部门为了保证信息安全传输，采用一种密钥密码系统，其加密、解密原理如下图： 解密密钥密码 加密密钥密码 发送

明文 密文 密文 明文

现设解密密钥为：xya(a0,a1)，如上所示，若密文“3”通过解密后得到明文“8”，则当输入方输入明文为“4”时，接受方所得密文应为“ ”． 12、设[a]表示不超过a的最大整数，则对函数yx[x](xR)在定义域内有以下判断：（1）存在最大值与最小值；（2）是周期函数；（3）是增函数；（4）是偶函数。 其中正确的有___________（填上相应的序号即可）。

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13、若函数f(x)4cos2(x)43sin(x)cos(x)2的图象关于原点对称，则实数的最小正值为_________________。

14、若不等式0ax2bxc1的解集为(0,1)，则实数a的取值范围是_________。 三、解答题：本大题共3小题，共54分。 15

、（

本

2得分 ）

已

知

函

数

评卷人 题满分16分

f(x)loga(xa|x|3),(a0,a1).

(1)若a4，写出它的单调递增区间； (2)若对于1x1x2范围.

16、（本题满分18分）如图，已知ABC，BC=9cm，现有两个质点甲、得分 CBA乙同时从C点出发，甲沿路线以每秒2cm的速度匀速向

评卷人 12的任意实数x1,x2都有f(x1)f(x2)0成立，试求实数a的

前移动，乙沿路线CA以每秒1cm的速度匀速向前移动，当甲到达B点时，乙到达D点，并满足

CDCA38，最后它们同时到达A点。

（1）试判断ABC的形状；

（2）设在t时刻，甲、乙分别到达E、F处，试确定CEF的面积S与t的关系，并求出S的最大值。

B

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17、（本题满分20分）已知函数f(x)x1aax,aR。利用函数

得分 评卷人 yf(x)构造一个数列xn，方法如下：对于定义域中给定的x1，令x2f(x1),x3f(x2),,xnf(xn1)(nN)，„

如果取定义域中任一值作为x1，都可以用上述方法构造出一个无穷数列xn。

（1）求实数a的值；

（2）若x11，求(x11)(x21)(xn1)的值；

（3）设Tn(x11)(x21)(xn1)(nN),试问：是否存在

n

使得

TnTn1Tn20062006成立，若存在，试确定n及相应的x1的值;若不存在，请说

明理由？

2006年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题

2006年4月16日

本卷满分为150分，考试时间为120分钟

题号 得分 一 二 三 15 16 17 总分 第 4 页 共 11 页 金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com

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一、选择题：本大题共8小题，每小题6分，共48分。

题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 得分 评卷人 1、设Ａ到Ｂ的映射f：xy=(x－1)2,若集合A0,1,2，则集合B不可能是（▲） ．．．A、0,1 B、0,1,2 C、0,1,2 D、0,1,1 2、若命题Ｐ：()x14；Ｑ：log21(x1)40，则命题Ｐ是Ｑ成立的（▲）条件

Ａ、充分不必要 Ｂ、必要不充分 Ｃ、充要 Ｄ、既不充分也不必要 3、设sin(2)a，则tan(a1a222)的值为（▲）

A、 B、a1a2 C、

1aa2 D、1aa2

4、将长度为1的铁丝分成两段，分别围成一个正方形与一个圆形，则当它们的面积之积最大时，正方形与圆的周长之比为（▲）

A、1:1 B、:4 C、4: D、2:

5、设正整数集N，已知集合Ax|x3m,mN，Bx|x3m1,mN，

Cx|x3m2,mN，若aA,bB,cC，则下列结论中可能成立的是（▲）

A、2006abc B、2006abc C、2006abc D、2006a(bc)

6、用“十四进制”表示数时，满十四进前一位。若在“十四进制”中，把十四个数码从小到大依次记为0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,十，J，Q，K；则在“十四进制”中的三位数JQK化成“二进制”数时应为（▲）位数。

A、13 B、12 C、11 D、10

1,x为有理数0,x为无理数7、设函数f(x)，若xf(x)g(x)对于一切xR都成立，则函数g(x)可

以是（▲）

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A、g(x)sinx B、g(x)x C、g(x)x2 D、g(x)x

8、如图，请观察杨辉三角（杨辉是我国南宋时期的数学家）中各数排列的特征,其中沿箭头所示的数依次组成一个锯齿形数列：1、1、2、3、3、6、4、10、5、„„，设此数列的前n项和为Sn,则

S20042S2005S2006等于（▲）

1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 „ „ „ „ „ „ „

A、502501 B、520502 C、502503 D、以上都不对

二、填空题：本大题共6小题，每小题8分，共48分。

得分 评卷人 9、现定义ABx|xA,但xB，若A1,2,3,4,5，AB1,2,3，则集合B可以是___________（写出一个即可）.

10、在等差数列an中，若S918,an430,Sn240，则正整数n的值为_________________.

11、某安全部门为了保证信息安全传输，采用一种密钥密码系统，其加密、解密原理如下图： 解密密钥密码 加密密钥密码 发送 明文 密文 密文 明文

现设解密密钥为：xya(a0,a1)，如上所示，若密文“3”通过解密后得到明文“8”，则当输入方输入明文为“4”时，接受方所得密文应为“ ”． 12、设[a]表示不超过a的最大整数，则对函数yx[x](xR)在定义域内有以下判断：（1）存在最大值与最小值；（2）是周期函数；（3）是增函数；（4）是偶函数。 其中正确的有___________（填上相应的序号即可）。

213、若函数f(x)4cos(x)43sin(x)cos(x)2的图象关于原点对称，则

x实数的最小正值为_________________。

14、若不等式0axbxc1的解集为(0,1)，则实数a的取值范围是_________。 三、解答题：本大题共3小题，共54分。 15

、（

本

题

满

分

16

分

）

已

知

函

数

得分 评卷人 2第 6 页 共 11 页 金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com

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f(x)loga(xa|x|3),(a0,a1).

2(1)若a4，写出它的单调递增区间； (2)若对于1x1x2范围.

16、（本题满分18分）如图，已知ABC，BC=9cm，现有两个质点甲、得分 乙同时从C点出发，甲沿路线CBA以每秒2cm的速度匀速向

评卷人 12的任意实数x1,x2都有f(x1)f(x2)0成立，试求实数a的

前移动，乙沿路线CA以每秒1cm的速度匀速向前移动，当甲到达B点时，乙到达D点，并满足

CDCA38，最后它们同时到达A点。

（1）试判断ABC的形状；

（2）设在t时刻，甲、乙分别到达E、F处，试确定CEF的面积S与t的关系，并求出S的最大值。

17、（本题满分20分）已知函数f(x)x1aax,aR。利用函数

BADC得分 评卷人 yf(x)构造一个数列xn，方法如下：对于定义域中给定的x1，令

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x2f(x1),x3f(x2),,xnf(xn1)(nN)，„

如果取定义域中任一值作为x1，都可以用上述方法构造出一个无穷数列xn。

（1）求实数a的值；

（2）若x11，求(x11)(x21)(xn1)的值；

（3）设Tn(x11)(x21)(xn1)(nN),试问：是否存在

n

使得

TnTn1Tn20062006成立，若存在，试确定n及相应的x1的值;若不存在，请说

明理由？

2006年温州市高一数学竞赛参考答案与评分标准

一、选择题（每小题6分，共48分） 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 第 8 页 共 11 页 金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com

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答案 C A D A C B 512D C 二、填空题（每小题8分，共48分）

９、4,5或4,5,6等 10、15 11、2 12、（2） 13、三、解答题（共5４分）

15、解(1)所求函数的单调递增区间为(1,0]与(3,) —————6分 (2)易知已知函数为偶函数，则当x[,1]时为减函数。

21 14、(4,4)

对于x[,1]时,f(x)loga(x2ax3),(a0,a1) 2—————8分

设g(x)x2ax3,

0a1a11aa由题意得:1, 或 —————14分

2221g(1)0g()021

则2a4或0a1 —————16分 16、解（1）如图，由题意可得：CD92，则AC=12，从而可得AB=15，则ABC是以

AB为斜边的直角三角形。 —————6分

（2）当甲在CB的过程中时，CEF是直角三角形，则它的面积为

S112t2tt(0t292)， —————10分

当甲在BA的过程中时，易知EF//BD， 可知CFEADBarctan2，令CFt(92t12)，

BE则AF12t,由EF//BD得FE故

S21235(12t)5， 面

积

AFDCCEF

35的

(t6)2FEFCsinCFE1085，

92t,0t2故S ————16分

3(t6)2108,9t12525易知当t92时有最大值

814；当t6时有最大值

1085814，故CEF的面积的最大值为

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1085。——18分

17、（1）求证：

（1）解：根据题意可知，xia(i1,2,3,)，则xa，且方程

x1aaxa无解, —

—2分

即当xa时方程(1a)xa2a1无解 由于xa不是方程(1a)xa2a1的解

所以对于任意xR,(1a)xa2a1无解。

则a10，且 a2a10，故a1。 —————6分 （2）当a1时，对于x11，有x2f(x1)x12x11，x3f(x2)x22x21x1

同理得xn2xn对一切nN都成立，即数列xn是一个以2为周期的周期数列。 ——10分

则x2n11,x2n32，

2,n4k31,n4k2 故(x11)(x21)(xn1)(kN) —————12分

2,n4k11,n4k解法二：由上可知，xn1f(xn)xn2xn1，则(xn1)(xn11)1，从而可得出结果。

1x1,n4k31,n4k2(kN) —————14分 （3）由（2）易知：Tn(1x1),n4k11,n4k则TkTk1Tk2Tk30(kN),若TnTn1Tn20062006，

则TnTn1Tn22006(nN),

又TnTn1Tn21x1,n4k1,n4k3(kN) —————18分 (1x1),n4k21,n4k1第 10 页 共 11 页 金太阳新课标资源网

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故当n4k，x12005或n4k2，x12007时TnTn1Tn20062006 —20分

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