2018年最新 湖南衡阳八中2018届高三第三次月考(数学理

衡阳市八中2018届高三第三次月考试题

数学（理科）

考生注意：本卷共21道小题，满分150分，时量120分钟，请将答案写在答卷纸上。 一．选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求．

2xA{x|ylg(2xx)},B{y|y2,x0},R是实数集，则(CRB)1.已知集合

A

A．[0,1] B．(0,1] C．(,0) D．以上都不对

2qp：xR，使tanx1xR,x0.下面结论正确的是 2.已知命题，命题:

A．命题“pq”是真命题

B．命题“pq”是假命题 C．命题 “pq”是真命题 D．命题“

pq”是假命题

3．已知向量a(5，6)，b(6，5)，则a与b A．垂直

B．不垂直也不平行

C．平行且同向

D．平行且反向

4．在ABC中，ABc，ACb，若点D满足BD2DC，则AD

21522112bccbbcbc3 B．33 C．33 D．33 A．3

5．如图，函数yxsin|x|,x[,]的大致图象是

A． B． C． D．

f(x)cos2xcos(2x)3，其中xR，则下列结论中正确的是 6．已知函数

A．f(x)是最小正周期为的偶函数

B．f(x)的一条对称轴是C．f(x)的最大值为2

x3

D．将函数y3sin2x的图象左移6得到函数f(x)的图象

7．已知M是ABC内的一点，且ABAC23,BAC30，若MBC,MCA和

141,x,yxy的最小值是 MAB的面积分别为2，则

A．20 B．18 C．16 D．9

''f(x)f(4)1f(x)f(x)yf(x)的8．定义在R上的函数满足. 为的导函数，已知函数

b2图象如图所示．若两正数a,b满足f(2ab)1，则a2的取

值范围是

111(,)(,)(3,)2A．32 B． 1

(,3)C．2 D．(,3)

二．填空题:本大题共7小题,每小题5分,共35分.把答案填在答题卡对应题号后的横线上.

ytan(2x9．函数

6的图象的对称中心的是 .

)10．若向量a，b满足

a2，

b1，

aab1，则向量a，b的夹角的大小

为 . 11．计算

sinx1dx ．

22x3x4a12．如果关于x的不等式的解集不是空集，则实数a的取值范围

是 .

13．一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿东偏南50°方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是东偏南20°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B、C两点间的距离是 海里.

x2y5≥022(x，y)3x≥0(x，y)xy≤25mxy≥014．设m为实数，若，则m的取值范

围是 ．

15．下图展示了一个由区间(0,1)到实数集R的映射过程：区间

(0,1)中的实数m对应数轴上

的点M，如图1；将线段AB围成一个圆，使两端点A、B恰好重合，如图2；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在

(0,1)，如图3中直线AM与y轴上，点A的坐标为mx轴交于点N(n,0)，则m对应的数就是n，记作f(m)=n．

下列说法中正确命题的序号是 .(填出所有正确命题的序号)

1f1fx①4； ②是奇函数；

1,0fxfx③是定义域上的单调函数； ④的图象关于点2对称．

三．解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

f(x)3sin(32x)2sin2(x16．(12分) 已知函数

3)2．

（1）将f(x)化为

f(x)Asin(x)K(A0,0,02的形式，并求出f(x))的最小正周期和单调递减区间；

f(x)（2）若

135x(,)cos(2x5，且612，求12）的值．

17．（12分）已知ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,向量m(4,1),

n(sin2A1,cos2A)mn22. ，且

（1）求角A的大小；

（2）若2bsinB(2ac)sinA(2ca)sinC.试判断ABC的形状.

xxf(x)kaa(a0且a1)是定义在R上的奇函数． 18．（12分）设函数2f(1)0,f(x2x)f(x4)0的解集； （1）若求不等式

f(1)（2）若

3,且g(x)a2xa2x2mf(x)在[1,)2上的最小值为—2，求m的值．

19．（13分）如图，某机场建在一个海湾的半岛上，飞机跑道AB的长为4.5km，且跑道所在的直线与海岸线l的夹角为60度（海岸线可以看作是直线），跑道上离海岸线距离最近的

点B到海岸线的距离BC43km。D为海湾一侧海岸线CT上的一点， 设CDx(km)，点D对跑道AB的视角为。 （1）将tan表示为x的函数。 （2）求点D的位置，使取得最大值。

20．（13分）对于定义在D上的函数

yfx，若存在

x0D，对任意的xD，都有

fxfx0f(x0)称为函数fx在D上的

，则称函数f(x)在区间D上有下界，把“下

x0D，对任意的xD，都有fxfx0，则称函数f(x)在区间

界”。同样，若存在

f(x0)称为函数fx在D上的“上界”D上有“上界”，把。

f1(x)x16,x0,5x是否有“下界”？如果有，写出“下界”,否则,请说

（1）判断函数明理由；

（2）判断函数请说明理由；

f2(x)|x16|,x(0,5]x是否有“上界”？如果有，写出“上界”, 否则,

（3）若函数f(x)在区间D上既有“上界”又有“下界”，则称函数f(x)是区间D上的“有界函数”，

把“上界”减去 “下界”的差称为函数f(x)在D上的“幅度M”。

2a4若已知实数否是定

2x2F(x)f(cosx)f(x)e(ax2x2)，e，函数试探究函数是

义域上的“有界函数”？如果是，求出“幅度M”的值，否则,请说明理由。

21．（13分）已知函数f(x)alnxax3(aR)． （1）求函数f(x)的单调区间；

（2）若函数yf(x)的图象在点(2,f(2))处的切线的倾斜角为45，对于任意的t[1,2]，

g(x)x3x2[f'(x)m]2在区间(t,3)上总不是单调函数，求m的取值范围；

ln2ln3ln4lnn1(n2,nN*)34nn（3）求证：2．

衡阳市八中2018届高三第三次月考答卷

理科数学

满分：150分 时量：120分钟

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项

中，选出符合题目要求的一项。 题目 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 二、填空题：本题共7小题，每小题5分，共35分。 9． ；10． ； 11． ；12． ； 13． ；14． ； 15． .

三、解答题：本题共6小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。

16．（12分）

17．（12分）

18．（12分）

19．（13分） 第19题图

20．（13分） 21．（13分）

衡阳市八中2018届高三第三次月考试题答案解析与评分标准 数学（理科）

满分：150分 时量：120分钟 一．选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求．

2xA{x|ylg(2xx)},B{y|y2,x0},R是实数集，则(CRB)1.已知集合

A（ B ）

A．[0,1] B．(0,1] C．(,0) D．以上都不对

2p：xR，使tanx1xR,x0.下面结论正确的是 （ D ） 2.已知命题，命题q:

A．命题“pq”是真命题

B．命题“pq”是假命题

C．命题 “pq”是真命题 D．命题“

pq”是假命题

3．已知向量a(5，6)，b(6，5)，则a与b（ B ） A．垂直

B．不垂直也不平行

C．平行且同向

D．平行且反向

4．在△ABC中，ABc，ACb，若点D满足BD2DC，则AD（ A ）

21522112bccbbcbc3 B．33 C．33 D．33 A．35．如图，函数yxsin|x|,x[,]的大致图象是（ C ）

A． B． C． D．

f(x)cos2xcos(2x)3，其中xR，则下列结论中正确的是 （ D ） 6．已知函数

A．f(x)是最小正周期为的偶函数 B．f(x)的一条对称轴是C．f(x)的最大值为2

x3

D．将函数y3sin2x的图象左移6得到函数f(x)的图象

7．已知M是ABC内的一点，且ABAC23,BAC30，若MBC,MCA和

141,x,yxy的最小值是（ B ）[高&考%资(源#网] MAB的面积分别为2，则

A．20 B．18 C．16 D．9

''f(x)f(4)1f(x)f(x)yf(x)的8．定义在R上的函数满足. 为的导函数，已知函数

b2图象如图所示．若两正数a,b满足f(2ab)1，则a2的取值范围是

( C )

111(,)(,)(3,)2A．32 B． 1

(,3)C．2 D．(,3)

二．填空题:本大题共7小题,每小题5分,共35分.把答案填在答题卡对应题号后的横线上.

k(,0),kZ6的图象的对称中心的是 1249．函数 .

b1a2aab1aabb10．若向量，满足，，，则向量，的夹角的大小

ytan(2x)3为 4 .

11．计算

sinx1dx 4 ．

22

的解集不是空集，则实数a的取值范围是a1.

12．如果关于x的不等式

x3x4a

13．一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿东偏南50°方向直线航行，30分钟

后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是东偏南20°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B、C两点间的距离是 102 海里.

x2y5≥022(x，y)3x≥0(x，y)xy≤25mxy≥014．设m为实数，若，则m的取值范

0≤m≤围是

43．

15．下图展示了一个由区间(0,1)到实数集R的映射过程：区间

(0,1)中的实数m对应数轴上

的点M，如图1；将线段AB围成一个圆，使两端点A、B恰好重合，如图2；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在

y轴上，点A的坐标为m(0,1)，如图3中直线AM与

x轴交于点N(n,0)，则m对应的数就是n，记作f(m)=n．

下列说法中正确命题的序号是 ①③④ .(填出所有正确命题的序号)

1f1fx①4； ②是奇函数；

1,0fxfx③是定义域上的单调函数； ④的图象关于点2对称．

三．解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

f(x)3sin(32x)2sin2(x16．(12分)已知函数

3)2．

（1）将f(x)化为

f(x)Asin(x)K(A0,0,02的形式，并求出f(x))的最小正周期和单调递减区间；

f(x)（2）若

135x(,)cos(2x5，且612，求12）的值．

f(x)3sin2x2cos2x3sin2xcos2x12sin(2x)1.6【解】（1）由已知(3

分)

故函数f(x)的最小正周期是.(1分)

由22k2x6322k(kZ)kxk(kZ)23得6 .

f(x)的递减区间为

f(x) （2）由

{x|6kx2k,kZ}3 (2分)

131342sin(2x)1sin(2x)5，得65，即65 (1分)

53x(,cos(2x)612）65 (2分) 因为，所以

故

cos(2x

222)cos[(2x)]cos(2x)sin(2x)1264626210(3分)

17．（12分）已知ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,向量m(4,1),

n(sin2A1,cos2A)mn22. ，且

（1）求角A的大小；

（2）若2bsinB(2ac)sinA(2ca)sinC.试判断ABC的形状.

m(4,1),n(sin2【解】：（1）由

AA,cos2A)mn4sin2cos2A22，

4

1cosA(2cos2A1)2cos2A2cosA1 (3分) 211mn,所以2cos2A2cosA122. (1分) 又因为

cosA 解得

12

0A,A3 (2分)

22b(2ac)a(2ca)c （2）由已知，根据正弦定理得

即bacac (2分)

由余弦定理得 bac2accosB

222222cosB故

10B,B2，3 (2分) A3,ABC又由（1）知

,3故ABC为等边三角形. (2分)

xxf(x)kaa(a0且a1)是定义在R上的奇函数． 18．（12分）设函数2f(1)0,试求不等式f(x2x)f(x4)0的解集； （1）若

f(1) （2）若【解】：（1）

3,且g(x)a2xa2x2mf(x)在[1,)2上的最小值为—2，求m的值．

f(x)是定义域为R上的奇函数，f(0)0,k10,k1 (2分)

10a，又a0且a1,a1. (2分)

f(1)0,a

2易知f(x)在R上单调递增，原不等式化为：f(x2x)f(4x)

x22x4x，即x23x40x1或x4

不等式的解集为{x|x1或x4}； (2分)

f(1) （2）分)

3131,a2a23a20,a2或a2a2，即2（舍去）(1

g(x)22x22x2m(2x2x)(2x2x)22m(2x2x)2，

xxtf(x)22令

x1,tf(1)

3,g(t)t22mt2(tm)22m22 (2分)

m

当

322时，当tm时，g(t)min2m2,m2

m

当

3317253g(t)min3m2mt2时，当4122，舍去. (2分) 2时，，解得

综上可知m2．(1分)

19．（13分）如图，某机场建在一个海湾的半岛上，飞机跑道AB的长为4.5km，且跑道所在的直线与海岸线l的夹角为60度（海岸线可以看作是直线），跑道上离海岸线距离最近的点B到海岸线的距离BC43km。D为海湾一侧海岸线CT上的一点， 设CDx(km)，点D对跑道AB的视角为。 （1）将tan表示为x的函数。 （2）求点D的位置，使取得最大值。

【解】：（1）过A分别作直线CD,BC的垂线，垂足分别是E,F. 由题知AB4.5,BC43,ABF30,

第19题图

9925CEAF,BF3,AECFBCBF3.444(2分)

在DCB中，

tanBDCBC43(x0)CDx

x当

94时，

FBAFBA2539AD4253EDx,tanADC.94EDx4x94（图1）(1分)

0x当

94时，

CE图1DCD图2E2539AD4253EDx,tanADC.94EDx4x94（图2）(1分)

从

而

tAD

tanADCtanBDC93(x4),1tanADCtanBDCx(4x9)300(2分)

x99CE93xtan,4。当4时，BC48符合上式。(1分)

其中x0且

tan所以

93(x4),(x0)x(4x9)300

【法2】：建立直角坐标系用斜率公式与差角的正切公式求解；

【法3】：建立直角坐标系用向量的夹角公式求解。

tan（2）

93(x4)93.400x(4x9)3004(x4)41x4(2分)

4(x4)因为

4004124(xx44004)x44139，当且仅当

4(x4)400,x4即

x6时取等号。

所以当x6时，

4(x4)40041x4取最小值39，(2分)

33(0,)2是增函数，故当x6从而当x6时，tan取最大值13。由于ytan在区间

时，最大。

即D在海湾一侧海岸线CT上距C6km处，最大。(2分) 【法2】用导数求解（略）

20．（13分）对于定义在D上的函数

yfx，若存在

x0D，对任意的xD，都有

fxfx0f(x0)称为函数fx在D上的

，则称函数f(x)在区间D上有下界，把“下

x0D，对任意的xD，都有fxfx0，则称函数f(x)在区间

界”。同样，若存在

f(x0)称为函数fx在D上的“上界”D上有“上界”，把。

f1(x)x16,x0,5x是否有“下界”？如果有，写出“下界”,否则,请说

（1）判断函数明理由；

（2）判断函数说明理由；

f2(x)|x16|,x(0,5]x是否有“上界”？如果有，写出“上界”,否则,请

（3）若函数f(x)在区间D上既有“上界”又有“下界”，则称函数f(x)是区间D上的“有界函数”，把“上界”减去 “下界”的差称为函数f(x)在D上的“幅度M”。

2a4若已知实数

2x2F(x)f(cosx)f(x)e(ax2x2)，e，函数试探究函数是

否是定义域上的“有界函数”？如果是，求出“幅度M”的值。

【解】：（1）

f1(x)x16x0,5x有下界，下界为8.

由于

f1(x)x16x8 此时x040,5,

，都存在

对任意的

x0,5x040，5有

f1xf1(4)8成立. (3分)

（2）

f2(x)|x16|x （0x5）无上界 ，

16x单调递减，f2(x)，x0,4无最大值.

当

x0,4时,

f2(x)x即不存在 （3）

x00,5，对任意的

x0,5，都有

fxfx0 (3分)

F(x)fcosx是R上的“有界函数”.

设|cosx|t(0t1)，只需考察函数yf(t) (0t1)是否有最大值和最小值.

令f(x)0，解得

'x222a或x2. ∵a0，∴a.

'fx 当变化时，(x)与f(x)的变化情况如下表：

x f'(x)

(, 2)

2

0

2(2, )a 2a

0

2(, +)a







f(x)

极大值

极小值

22(, +)(2, )a上单调递减；(3分) 函数f(x)在(, 2)和a上单调递增；在

021a时，函数f(x)的极小值为[0, 1]上的最小值，

当a2，即

∴

ymin22af()2ea. (2分)

函数f(t)在[0, 1]上的最大值为f(0)与f(1)中的较大者. ∵f(0)2，f(1)(a4)e.

2a4∴当

2e时，f(1)f(0)，此时ymaxf(0)2. (2分)

22e时，对xDR,有2eaf(|cosx|)2，

2a2a4综上，当

F(x)是有界函数,且幅度M= 2e2.

21．(13分)已知函数f(x)alnxax3(aR)． （1）求函数f(x)的单调区间；

（2）若函数yf(x)的图象在点(2,f(2))处的切线的倾斜角为45，对于任意的

t[1,2]，函数

围；

g(x)x3x2[f'(x)m]2在区间(t,3)上总不是单调函数，求m的取值范

ln2ln3ln434 （3）求证：2

lnn1(n2,nN)nn．

f'(x)【解】：（1）

a(1x)(x0)x ,

0,1，减区间为1,；(1分)

当a0时，f(x)的单调增区间为

1,，减区间为0,1；(1分)

当a0时，f(x)的单调增区间为

当a0时，f(x)不是单调函数. (1分)

f'(2)（2）

a12得a2，f(x)2lnx2x3 (1分) m2)x22x2g'(x)3x(m4)x2 2，∴

g(x)x3(∴

g'(t)0g'02g'(3)0 g(x)(t,3)∵在区间上总不是单调函数，且∴由题意知：对于任意的t[1,2]，g'(t)0恒成立，

所以，

g'(1)0g'(2)0g'(3)037m9，∴3 (3分)

（3）令a1此时f(x)lnxx3，所以f(1)2， 由（Ⅰ）知f(x)lnxx3在(1,)上单调递增， ∴当x(1,)时f(x)f(1)，即lnxx10. ∴lnxx1对一切x(1,)成立. (2分)

【法一】：∵n2,nN*，则有0lnnn1，∴

0lnnn1nn

ln2ln3ln4234lnn123n234n11(n2,nN)nn

【法二】：数学归纳法证明（从略） (4分)