一、教学目标
1．会用勾股定理解决简单的实际问题。 2．树立数形结合的思想。 二、重点、难点
1．重点：勾股定理的应用。
2．难点：实际问题向数学问题的转化。 3．难点的突破方法：
数形结合，从实际问题中抽象出几何图形，让学生画好图后标图；在实际问题向数学问题的转化过程中，注意勾股定理的使用条件，教师要向学生交代清楚，解释明白；优化训练，在不条件、不同环境中反复运用定理，使学生达到熟练使用，灵活运用的程度；让学生深入探讨，积极参与到课堂中，发挥学生的积极性和主动性。 三、教学过程：
<一>创设问题情境
勾股定理在实际的生产生活当中有着广泛的应用。勾股定理的发现和使用解决了许多生活中的问题，今天我们就来运用勾股定理解决一些问题，你可以吗？试一试。
<二>范例精讲
例1（教材P66页探究1）
分析：⑴在实际问题向数学问题的转化过程中，注意勾股定理的使用条件，即门框为长方形，四个角都是直角。⑵让学生深入探讨图中有几个直角三角形？图中标字母的线段哪条最长？⑶指出薄木板在数学问题中忽略厚度，只记长度，探讨以何种方式通过？⑷转化为勾股定理的计算，采用多种方法。⑸注意给学生小结深化数学建模思想，激发数学兴趣。
例2（教材P67页探究2）
分析：⑴在△AOB中，已知AB=3，AO=2.5，利用勾股定理计算
AOB。⑵ 在△COD中，已知CD=3，CO=2，利用勾股定理
C计算OD。则BD=OD－OB，通过计算可知BD≠AC。
⑶进一步让学生探究AC和BD的关系，给AC不同的值，
DOB计算BD。
<三>课堂练习 1．小明和爸爸妈妈十一登香山，他们沿着45度的坡路走了500米，看到了一棵红叶树，这棵红叶树的离地面的高度是 米。
2．如图，山坡上两株树木之间的坡面距离是43米，则这两株树之间的垂直距离是 米，水平距离是
米。
B
C
A30CBA
2题图 3题图 4题图
3．如图，一根12米高的电线杆两侧各用15米的铁丝固定，两个固定点之间的距离是 。
1
4．如图，原计划从A地经C地到B地修建一条高速公路，后因技术攻关，可以打隧道由A地到B地直接修建，已知高速公路一公里造价为300万元，隧道总长为2公里，隧道造价为500万元，AC=80A公里，BC=60公里，则改建后可省工程费用是多少？ <四>拔高练习
1．如图，欲测量松花江的宽度，沿江岸取B、C两点，在江对岸取一点A，使AC垂直江岸，测得BC=50米， BC∠B=60°，则江面的宽度为 。 R2．有一个边长为1米正方形的洞口，想用一个圆形盖去盖住这个洞口，则圆形盖半径至少为 米。 3．一根32厘米的绳子被折成如图所示的形状钉在P、Q
PQ两点，PQ=16厘米，且RP⊥PQ，则RQ= 厘米。
A4．如图，钢索斜拉大桥为等腰三角形，支柱高24米，∠B=∠C=30°，E、F分别为BD、CD中点，试求B、C两点之间的距离，钢索AB和AE的长度。
（精确到1米）
四、课堂小结：
勾股定理的灵活应用 五、布置作业： P70 4、5 六、课后反思：
BEDFC
18．1 勾股定理（四）
一、教学目标
1．会用勾股定理解决较综合的问题。 2．树立数形结合的思想。 二、重点、难点
1．重点：勾股定理的综合应用。 2．难点：勾股定理的综合应用。 3．难点的突破方法：
⑴数形结合，正确标图，将条件反应到图形中，充分利用图形的功能和性质。
⑵分类讨论，从不同角度考虑条件和图形，考虑问题要全面，在讨论的过程中提高学生的灵活应用能力。
⑶作辅助线，作高是常用的创造直角三角形的辅助线做法，在做辅助线的过程中，提高学生的综合应用能力。
2
⑷优化训练，在不条件、不同环境中反复运用定理，使学生达到熟练使用，灵活运用的程度。
三、例题的意图分析
例1（补充）“双垂图”是中考重要的考点，熟练掌握“双垂图”的图形结构和图形性质，通过讨论、计算等使学生能够灵活应用。目前“双垂图”需要掌握的知识点有：3个直角三角形，三个勾股定理及推导式BC2-BD2=AC2-AD2，两对相等锐角，四对互余角，及30°或45°特殊角的特殊性质等。
例2（补充）让学生注意所求结论的开放性，根据已知条件，作适当辅助线求出三角形中的边和角。让学生掌握解一般三角形的问题常常通过作高转化为直角三角形的问题。使学生清楚作辅助线不能破坏已知角。
例3（补充）让学生掌握不规则图形的面积，可转化为特殊图形求解，本题通过将图形转化为直角三角形的方法，把四边形面积转化为三角形面积之差。在转化的过程中注意条件的合理运用。让学生把前面学过的知识和新知识综合运用，提高解题的综合能力。
例4（教材P68页探究3）让学生利用尺规作图和勾股定理画出数轴上的无理数点，进一步体会数轴上的点与实数一一对应的理论。 四、教学过程
<一>课堂引入
复习勾股定理的内容。本节课探究勾股定理的综合应用。 <二>范例精讲
例1（补充）1．已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥BC于D，∠A=60°，CD=3， 求线段AB的长。
分析：本题是“双垂图”的计算题，“双垂图”是中考重要的考点，所以要求学生对图形及性质掌握非常熟练，能够灵活应用。目前“双垂图”需要掌握的知识点有：3个直角三角形，三个勾股定理及推导式C2222
BC-BD=AC-AD，两对相等锐角，四对互余角，及30°或45°特殊角的特殊性质等。要求学生能够自己画图，并正确标图。引导学生分析：欲求AB，可由AB=BD+CD，分别在两个三角形中利用勾股定理和特殊角，求出BD=3和AD=1。或欲求AB，可由BADABAC2BC2，分别在两个三角形中利用勾股定理和特殊
角，求出AC=2和BC=6。
例2（补充）已知：如图，△ABC中，AC=4，∠B=45°，∠A=60°，根据题设可知什么？
分析：由于本题中的△ABC不是直角三角形，所以根据题设只能直接求得∠ACB=75°。在学生充分思考和讨论后，发现添置AB边上的高这条辅助线，就可以求得AD，CD，BD，AB，BC及S△ABC。让学生充分讨论还可以作其它辅助线吗？为什么？
A小结：可见解一般三角形的问题常常通过作高转化为直角三角形的问题。并指出如何作辅助线？ 解略。
例3（补充）已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AAB=4，CD=2。求：四边形ABCD的面积。 分析：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结AC，
3
CDBDECB或延长AB、DC交于F，或延长AD、BC交于E，根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。教学中要逐层展示给学生，让学生深入体会。
解：延长AD、BC交于E。
∵∠A=∠60°，∠B=90°，∴∠E=30°。 ∴AE=2AB=8，CE=2CD=4，
∴BE2=AE2-AB2=82-42=48，BE=48=43。 ∵DE2= CE2-CD2=42-22=12，∴DE=12=23。 ∴S四边形ABCD=S△ABE-S△CDE=
11AB·BE-CD·DE=63 22小结：不规则图形的面积，可转化为特殊图形求解，本题通过将图形转化为直角三角
形的方法，把四边形面积转化为三角形面积之差。
例4（教材P76页探究3）
分析：利用尺规作图和勾股定理画出数轴上的无理数点，进一步体会数轴上的点与实数一一对应的理论。
变式训练：在数轴上画出表示31,22的点。
<三>课堂练习
1．△ABC中，AB=AC=25cm，高AD=20cm,则BC= ，S△ABC= 。 2．△ABC中，若∠A=2∠B=3∠C，AC=23cm，则∠A= 度，∠B= 度,∠C= 度，BC= ，S△ABC= 。 3．△ABC中，∠C=90°，AB=4，BC=23，CD⊥AB于D，则AC= ，CD= ，BD= ，AD= ,S△ABC= 。
4．已知：如图，△ABC中，AB=26，BC=25，AC=17， 求S△ABC。 <四>拔高练习
ABC1．在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥BC于D，∠A=60°，CD=3，AB= 。 2．在Rt△ABC中，∠C=90°，S△ABC=30，c=13，且a＜b，则a= ，b= 。 3．已知：如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AC=22，
A求（1）AB的长；（2）S△ABC。 4．在数轴上画出表示－5,25的点。 五、课堂小结：
如何在数轴上表示无理数 六、布置作业： P70 6、7、8 七、课后反思：
4
BC18．2 勾股定理的逆定理（一）
一、教学目标
1．体会勾股定理的逆定理得出过程，掌握勾股定理的逆定理。 2．探究勾股定理的逆定理的证明方法。
3．理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系。 二、重点、难点
1．重点：掌握勾股定理的逆定理及证明。 2．难点：勾股定理的逆定理的证明。 3．难点的突破方法：
先让学生动手操作，画好图形后剪下放到一起观察能否重合，激发学生的兴趣和求知欲，再探究理论证明方法。充分利用这道题锻炼学生的动手操作能力，由实践到理论学生更容易接受。
为学生搭好台阶，扫清障碍。
⑴如何判断一个三角形是直角三角形，现在只知道若有一个角是直角的三角形是直角三角形，从而将问题转化为如何判断一个角是直角。
⑵利用已知条件作一个直角三角形，再证明和原三角形全等，使问题得以解决。 ⑶先做直角，再截取两直角边相等，利用勾股定理计算斜边A1B1=c，则通过三边对应相等的两个三角形全等可证。 三、例题的意图分析
例1（补充）使学生了解命题，逆命题，逆定理的概念，及它们之间的关系。
例2（P74探究）通过让学生动手操作，画好图形后剪下放到一起观察能否重合，激发学生的兴趣和求知欲，锻炼学生的动手操作能力，再通过探究理论证明方法，使实践上升到理论，提高学生的理性思维。
例3（补充）使学生明确运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形的一般步骤：①先判断那条边最大。②分别用代数方法计算出a2+b2和c2的值。③判断a2+b2和c2是否相等，若相等，则是直角三角形；若不相等，则不是直角三角形。 四、教学过程
<一>创设情境：
⑴怎样判定一个三角形是等腰三角形？
⑵怎样判定一个三角形是直角三角形？和等腰三角形的判定进行对比，从勾股定理的逆命题进行猜想。
<二>范例精讲
例1（补充）说出下列命题的逆命题，这些命题的逆命题成立吗？
⑴同旁内角互补，两条直线平行。
⑵如果两个实数的平方相等，那么两个实数平方相等。 ⑶线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。 ⑷直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半。
分析：⑴每个命题都有逆命题，说逆命题时注意将题设和结论调换即可，但要分清题设和结论，并注意语言的运用。
⑵理顺他们之间的关系，原命题有真有假，逆命AA1题也有真有假，可能都真，也可能一真一假，还可能都假。
c解略。 bb
5
BaCaB1C1例2（P74探究）证明：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。
分析：⑴注意命题证明的格式，首先要根据题意画出图形，然后写已知求证。
⑵如何判断一个三角形是直角三角形，现在只知道若有一个角是直角的三角形是直角三角形，从而将问题转化为如何判断一个角是直角。
⑶利用已知条件作一个直角三角形，再证明和原三角形全等，使问题得以解决。 ⑷先做直角，再截取两直角边相等，利用勾股定理计算斜边A1B1=c，则通过三边对应相等的两个三角形全等可证。
⑸先让学生动手操作，画好图形后剪下放到一起观察能否重合，激发学生的兴趣和求知欲，再探究理论证明方法。充分利用这道题锻炼学生的动手操作能力，由实践到理论学生更容易接受。 证明略。
例3（补充）已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，a=n2－1，b=2n，c=n2＋1（n＞1）
求证：∠C=90°。
分析：⑴运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形的一般步骤：①先判断那条边最大。②分别用代数方法计算出a2+b2和c2的值。③判断a2+b2和c2是否相等，若相等，则是直角三角形；若不相等，则不是直角三角形。
⑵要证∠C=90°，只要证△ABC是直角三角形，并且c边最大。根据勾股定理的逆定理只要证明a2+b2=c2即可。
⑶由于a2+b2= （n2－1）2＋（2n）2=n4＋2n2＋1，c2=（n2＋1）2= n4＋2n2＋1，从而a2+b2=c2，故命题获证。 <三>课堂练习 1．判断题。
⑴在一个三角形中，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这条边所对的角是直角。
⑵命题：“在一个三角形中，有一个角是30°，那么它所对的边是另一边的一半。”的逆命题是真命题。
⑶勾股定理的逆定理是：如果两条直角边的平方和等于斜边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
⑷△ABC的三边之比是1：1：2，则△ABC是直角三角形。
2．△ABC中∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列命题中的假命题是（ ）
A．如果∠C－∠B=∠A，则△ABC是直角三角形。
B．如果c2= b2—a2，则△ABC是直角三角形，且∠C=90°。 C．如果（c＋a）（c－a）=b2，则△ABC是直角三角形。
D．如果∠A：∠B：∠C=5：2：3，则△ABC是直角三角形。 3．下列四条线段不能组成直角三角形的是（ ）
A．a=8，b=15，c=17 B．a=9，b=12，c=15
C．a=5，b=3，c=2
D．a：b：c=2：3：4
4．已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，分别为下列长度，判
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断该三角形是否是直角三角形？并指出那一个角是直角？
⑴a=3，b=22，c=5； ⑵a=5，b=7，c=9； ⑶a=2，b=3，c=7； ⑷a=5，b=26，c=1。 五、课堂小结：
明确勾股定理的逆定理的内容 六、布置作业： P76 1、2 七、课后反思：
18．2 勾股定理的逆定理（二）
一、教学目标
1．灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。
2．进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识。 二、重点、难点
1．重点：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。 2．难点：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。 3．难点的突破方法： 三、例题的意图分析
例1（P83例2）让学生养成利用勾股定理的逆定理解决实际问题的意识。
例2（补充）培养学生利用方程思想解决问题，进一步养成利用勾股定理的逆定理解决实际问题的意识。 四、教学过程 N<一>创设情境： RS在军事和航海上经常要确定方向和位置，从而使用一些数学知识
Q和数学方法。
<二>范例精讲 P例1（P75例2）
分析：⑴了解方位角，及方位名词；
⑵依题意画出图形；
⑶依题意可得PR=12×1.5=18，PQ=16×1.5=24， QR=30； ⑷因为242+182=302，PQ2+PR2=QR2，根据勾股定理 的逆定理，知∠QPR=90°； ⑸∠PRS=∠QPR-∠QPS=45°。
小结：让学生养成“已知三边求角，利用勾股定理的逆定理”的意识。
例2（补充）一根30米长的细绳折成3段，围成一个三角形，其中一条边的长度比较短边长7米，比较长边短1米，请你试判断这个三角形的形状。 分析：⑴若判断三角形的形状，先求三角形的三边长；
⑵设未知数列方程，求出三角形的三边长5、12、13；
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E⑶根据勾股定理的逆定理，由52+122=132，知三角形为直角三角形。 解略。
<三>课堂练习
1．小强在操场上向东走80m后，又走了60m，再走100m回到原地。小强在操场上向东走了80m后，又走60m的方向是 。
2．如图，在操场上竖直立着一根长为2米的测影竿，早晨测得它的影长为4米，中午测得它的影长为1米，则A、B、C三点能否构成直角三角
N形？为什么？
C3．如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A、B两个基地前去拦截，六分钟后同时到达C地将其拦截。已知
E甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海BA里，航向为北偏西40°，问：甲巡逻艇的航向？ <四>拔高练习
1．一根24米绳子，折成三边为三个连续偶数的三角形，则
A三边长分别为 ，此三角形的形状
为 。
2．一根12米的电线杆AB，用铁丝AC、AD固定，现已知用去铁丝AC=15米，AD=13米，又测得地面上B、C两点之间距离是9米，B、D两点之间距离是5米，则电线杆和地面是否
BC垂直，为什么？
D3．如图，小明的爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算一下土地的面积，以便计算一下产量。小明找了一卷米尺，测得AB=4米，BC=3米，CD=13米，DA=12米，又已知∠B=90°。 五、课堂小结：
明确勾股定理的逆定理的应用 六、布置作业： P76 3、4、5 七、课后反思：
DCBA18．2 勾股定理的逆定理（三）
一、教学目标
1．应用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形。 2．灵活应用勾股定理及逆定理解综合题。
3．进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识。 二、重点、难点
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1．重点：利用勾股定理及逆定理解综合题。 2．难点：利用勾股定理及逆定理解综合题。 3．难点的突破方法：
⑴研究四边形的问题，通常添置辅助线把它转化为研究三角形的问题。
⑵构造勾股数，利用勾股定理的逆定理证明三角形是直角三角形，在利用勾股定理进行计算。
⑶注意给学生归纳总结数学思想方法在题目中应用的规律。
⑷优化训练，在不条件、不同环境中反复运用定理，使学生达到熟练使用，灵活运用的程度。
三、例题的意图分析
例1（补充）利用因式分解和勾股定理的逆定理判断三角形的形状。
例2（补充）使学生掌握研究四边形的问题，通常添置辅助线把它转化为研究三角形的问题。本题辅助线作平行线间距离无法求解。创造3、4、5勾股数，利用勾股定理的逆定理证明DE就是平行线间距离。
例3（补充）勾股定理及逆定理的综合应用，注意条件的转化及变形。 四、教学过程
<一>创设情境：
勾股定理和它的逆定理是黄金搭档，经常综合应用来解决一些难度较大的题目。 <二>范例精讲
例1（补充）已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c。 试判断△ABC的形状。
DA分析：⑴移项，配成三个完全平方；⑵三个非负数的和为0，
则都为0；⑶已知a、b、c，利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状为直角三角形。
例2（补充）已知：如图，四边形ABCD，AD∥BC，AB=4，
BCBC=6，CD=5，AD=3。 E求：四边形ABCD的面积。
分析：⑴作DE∥AB，连结BD，则可以证明△ABD≌△EDB（ASA）； ⑵DE=AB=4，BE=AD=3，EC=EB=3；⑶在△DEC中，3、4、5勾股数，△DEC为直角三角形，DE⊥BC；⑷利用梯形面积公式可解，C或利用三角形的面积。
例3（补充）已知：如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，且CD2=AD·BD。
BAD求证：△ABC是直角三角形。
分析：∵AC2=AD2+CD2，BC2=CD2+BD2
∴AC2+BC2=AD2+2CD2+BD2 =AD2+2AD·BD+BD2 =（AD+BD）2=AB2
<三>课堂练习
1．若△ABC的三边a、b、c，满足（a－b）（a2＋b2－c2）=0，则△ABC是（ ） A．等腰三角形； B．直角三角形；
C．等腰三角形或直角三角形；
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D．等腰直角三角形。
2．若△ABC的三边a、b、c，满足a：b：c=1：1：2，试判断△ABC的形状。
D3133．已知：如图，四边形ABCD，AB=1，BC=，CD=，AD=3，且
44AAB⊥BC。 B求：四边形ABCD的面积。
4．已知：在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，且CD2=AD·BD。
求证：△ABC中是直角三角形。 A<四>拔高练习
1．若△ABC的三边a、b、c满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，求△ABC的面积。
2．在△ABC中，AB=13cm，AC=24cm，中线BD=5cm。 求证：△ABC是等腰三角形。
BD3．已知：如图，∠1=∠2，AD=AE，D为BC上一点，且
BD=DC，AC2=AE2+CE2。
CEC求证：AB2=AE2+CE2。4．已知△ABC的三边为a、b、c，且a+b=4，ab=1，c=14，试判定△ABC的形状。 五、课堂小结：
熟练应用勾股定理的逆定理解决实际问题 六、布置作业： P80 6、7 七、课后反思：
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