初一暑假几何讲义

知识要点：1一分为二与合二为一 2三种变换3角平分线与中线的理解4局部合成整体 1在△ABC中,AD是角平分线，∠B=2 ∠C.求证 AB+BD=AC

2如图，AD∥BC，EA,EB分别平分∠DAB,∠CBA，CD过点E，求证;AB＝AD+BC

AD

E

B

3如图，在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，求证：AC=AE+CD．

C4如图2-33所示．Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，BG平分∠ABC，EF∥BC且交AC于F．求证：AE=CF．

5如图2-14所示．在正方形ABCD中，P，Q分别为BC，CD边上的点，PQ=PB+DQ．

求证： ∠PAQ=45°．

6如图，△ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，AE=BD， 连结EC、ED，求证：CE=DE

7如图，在ABC中，ABAC,D是底边BC上一点，E是线段AD上一点，且

BED2CEDA.

求证：BD2CD.

8如图所示，ABC是边长为1的正三角形，BDC是顶角为120的等腰三角形，以D为顶点作一个60的MDN，点M、N分别在AB、AC上，求AMN的周长．

第二章谈谈面积法和传统几何 知识要点：共边定理，局部合成整体，反比 例1：求证等腰三角形两腰上的高相等。

例2：给定等腰三角形ABC，D为底边BC上任意一点求证D到两腰的距离和相等。

例3如图2-76所示．△ABC中，AD是∠BAC的平分线．求证：AB∶AC=BD∶DC．

例4平行四边形ABCD中，设E、F分别是BC、AB上的一点，AE与CF相交于P，且

AE＝CF．求证：∠DPA＝∠DPC．

A F P E C D B

例5已知：在梯形ABCD中，DC//AB，M为腰BC上的中点 求证：SDMA1S ABCD 2D C N M A B

例6 在△ABC中，,AB=AC， 在AB边上取点D，在AC延长线上了取点E ，使CE=BD ，

连接DE交BC于点F，求证DF=EF .

A D

F CB

E

例7已知：如图6所示在ABC中，∠BAC、∠BCA的角平分线AD、CE相交于O。若三角形AE0与三角形OCD面积和等于三角形AOC面积，求证B60 BE15423ODAF图66C

第三章旋转，平移，对称 1如图，分别以△ABC的边AB，AC向外作等边三角形ABD和等边三角形ACE，线段BE与CD相交于点O，连接OA． （1）求证：BE=DC； （2）求∠BOD的度数； （3）求证：OA平分∠DOE．

2已知四边形ABCD中，ABAD，BCCD，ABBC，∠ABC120，

∠MBN60，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）

于E，F．

当∠MBN绕B点旋转到AECF时（如图1），易证AECFEF．

当∠MBN绕B点旋转到AECF时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．

A A A

E M E M B B B

C F D

C N

F D

F C D

N

N

（图3）

E M

（图1） （图2）

3已知Rt△ABC中，∠C=90°，D是AB上一点，作DE⊥BC于E，若BE=AC，BD=，DE+BC=1，求：∠ABC的度数．

4已知：△ABC是正三角形，P是三角形内一点，PA＝3，PB＝4，PC＝5．

求：∠APB的度数．

A P B C

5平行四边形ABCD中，设E、F分别是BC、AB上的一点，AE与CF相交于P，且 ．∠DPA＝∠DPC．求证：AE＝CF A D F

P B E C

6设P是正方形ABCD一边BC上的任一点，PF⊥AP，CF平分∠DCE．

求证：PA＝PF． A D F

B P C E

7如图2-6所示．∠A=90°，AB=AC，M是AC边的中点，AD⊥BM交BC于D，交BM

于E．求证：

8五边形ABCDE中，AB＝AE，BC＋DE＝CD，∠ABC＋∠AED＝180°。 求证：∠ADE＝∠ADC。

9如图2-9所示．已知正方形ABCD中，M为CD的中点，E为MC上一点，且∠BAE=2∠DAM．求证：AE=BC+CE．

第四章勾股定理提高篇

知识要点：1垂直与勾股定理2平方差与垂直3几何变换综合应用 例1已知∠ABC=30°，∠ADC=60°，AD=DC．求证：

．

例2三角形ABC中过A作BC的高AD求证ABACBDCD

2222

例3如图14，已知等边△ABC内有一点N，ND⊥BC，NE⊥AB，NF⊥AC，D、E、F都是垂足，M是△ABC中异于N的另一点，若那么

与

的大小关系是________．

，

，

例4如图，已知△ABC中，AB=AC，∠B=2∠A 求证：

例5如图2-31所示．从锐角三角形ABC的顶点B，C分别向对边作垂线BE，CF．求证：

BC2=AB·BF+AC·CE．

例6如图2-22所示．AM是△ABC的BC边上的中线，求证：AB2+AC2=2(AM2+BM2)．

例7如图7，已知△ABC中，AD⊥BC，AB+CD=AC+BD．求证：AB=AC．

第二节勾股定理与定量计算

知识要点：1割补法2勾股定理和逆定理3对称性4分类讨论

例1如图8-2，四边形ABCD中∠A＝60°，∠B＝∠D＝90°，AD＝8，AB＝7， 则BC＋CD等于 （ ）

例2如图8-3，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝3，BC＝9，AB＝6，CD＝4，若EF∥BC，且梯形AEFD与梯形EBCF的周长相等，则EF的长为 （ ） A.

45 7C A B. 33

5D

P 图8-1

B

A D 60°

C. 39

5C B

E B A D. 15

2D F C 图8-2

图8-3

例3如图10-5，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝12，将矩形ABCD沿对角线对折，然后放在桌面上，折叠后所成的图形覆盖桌面的面积是＿＿＿＿＿＿＿

A

D

B C

E

D’

图10-5 例4是否存在一个三边长恰是三个连续正整数，且其中一个内角等于另一个内角2倍的△ABC？证明你的结论。

例5在△ABC中，已知BD和CE分别是两边上的中线，并且BD⊥CE，BD=4，CE=6，那么△ABC的面积等于（ ）

例6已知△ABC的三边长分别为a，b，c，面积为S，△A1B1C1的三边长分别为a1，b1,C1

面积为S1，且a＞a1，b＞b1，c＞c1则S与S1的大小关系一定是（ ）。 （A）S＞S1；（B）S＜S1；（C）S＝S1；（D）不确定。

例7如图，在△ABC中，AB＝7，AC＝11，点M是BC的中点，AD是∠BAC的平分线，MF∥AD，则FC的长为______．

例8如图，在四边形ABCD中，∠B＝135°，∠C＝120°，AB=23，BC=422，CD＝42，则AD边的长为（ ）．

例9如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AB＝8，BC＝6

120°，则梯形ABCD的面积等于________。

，∠BCD＝45°，∠BAD＝

第五章四边形第一节平行四边形

知识要点：1性质定理与判定定理2倍长中线3进一步深入理解几何变换

由平行四边形的定义决定了它有以下几个基本性质： (1)平行四边形对角相等； (2)平行四边形对边相等； (3)平行四边形对角线互相平分．

除了定义以外，平行四边形还有以下几种判定方法： (1)两组对角分别相等的四边形是平行四边形； (2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形； (3)对角线互相平分的四边形是平行四边形；

(4)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．

1如图:E.F分别为平行四边形ABCD的边AD,BC的中点,G.,H在BD上,且BG=DH,

求证:四边形EGFH是平行四边形

2如图;平行四边形ABCD中,AE=CF, M.N分别是DE,BF的中点,

求证:四边形ENMF是平行四边形

3如图;平行四边形的对角线AC和BD相交于点O, 经过O的直线交BC, AD于E. F. 求证:四边形BEDF是平行四边形

BAFOCDAGBFEHCDDMFNBCAEE4如图: 在平行四边形ABCD中,AB＞BC,∠A的平分线与∠D的平分线交于 点

E, ∠B的平分线与∠C的平分线交于点F,求证:EF=AB－BC

AB

5将图甲中的平行四边形ABCD沿对角线AC剪开，再将△ADC沿着AC方向平移，得

EFDC△ABC与△C1D1A1外，你还可以在图中找出到图乙中的△A1DC11，连结AD1，BC1，除

哪几对全等的三角形（不能另外添加辅助线和字母）？请选择其中的一对加以证明． ．．．

D1 C1

C D C

A1

A B B A 图甲 图乙

6已知:如图,AD是BC上的中线 ,且DF=DE．

求证:BE∥CF．

7如图所示，在△ABC中，分别以AB、AC、BC为边在BC的同侧作等边△ABD、等边△ACE、等边△BCF.

（1）求证：四边形DAEF是平行四边形；

F

D

A B

8若以三角形ABC的边AB、BC为边向 三角形外作正方形ABDE、BCFG，N为AC _ D中点，求证：DG=2BN，BMDG。

_ M

_ G _B _ E_ FE

C

_ A_ N_ C

9求证三角形的中位线平行于底边并且等于底边的一半

第二节长方形，菱形，正方形 知识要点：特殊平行四边形： 一、矩形

（1）有一角是直角的平行四边形是矩形 （2）矩形的四个角都是直角； （3）矩形的对角线相等。

（4）矩形判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形 （5）矩形判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形 二、菱形

（1）把一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. （2）定理1:菱形的四条边都相等

（3）菱形的对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角. （4）菱形的面积等于菱形的对角线相乘除以2 （5）菱形判定定理1：四边都相等的四边形是菱形

（6）菱形判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

三、正方形

（1）有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形 （2）性质：①四个角都是直角，四条边相等

②对角线相等，并且互相垂直平分，每条对

分一组对角

（3）判定：①一组邻边相等的矩形是正方形

②有一个角是直角的菱形是正方形

1在正方形ABCD的对角线BD上，取BE=AB，

若过E作BD的垂线EF交CD于F， 求证：CF=ED。

2在四边形ABCD中，AB=CD，P、Q

分别是AD、BC中点，M、N分别是对角线 AC、BD的中点，求证：PQMN。

3在直角三角形ABC中，CD是斜边AB 的高，∠A的平分线AE交CD于F，交BC 于E，EGAB于G，求证：CFGE是菱形。

4正方形ABCD的边AD上有一点E， 满足BE=ED+DC，如果M是AD的中点， 求证：∠EBC=2∠ABM，

角线平

_A _D

_E _F _B

_C

_A _P _D _N _M _B _Q

_C

_C _F _E _A

_D

_G

_B

_A _M _E _D _B

_C

_ D5正方形ABCD中，点P与B、C的

连线和BC的夹角为15 求证：PA=PD=AD。

_ P_ C_ A_ B

6如图①，四边形ABCD是正方形， 点G是BC上任意一点，DE⊥AG于点E，BF⊥AG于点F.

(1) 求证：DE－BF ＝ EF．

(2) 当点G为BC边中点时， 试探究线段EF与GF之间的数量关系， 并说明理由． (3) 若点G为CB延长线上一点，其余条件不变．请你在图②中画出图形，写出此时DE、BF、EF之间的数量关系（不需要证明）．

7如图2-41所示．矩形ABCD中，F在CB延长线上，AE=EF，CF=CA．求证：BE⊥DE．

8如图，在矩形ABCD中，已知AD＝12，AB＝5，P是AD边上任意一点，PE⊥BD于E，PF⊥AC于F，求PE＋PF的值。

9矩形ABCD中，CE⊥BD于E，AF平分∠BAD交EC延长线于F．求证：CA=CF．

第三节梯形 【知识梳理】

与平行四边形一样，梯形也是一种特殊的四边形，其中等腰梯形与直角梯形占有重要地位，本讲就来研究它们的有关性质的应用。

一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫梯形，等腰梯形是一类特殊的梯形，其判定和性质定理与等腰三角形的判定和性质类似。

通过作辅助线，把梯形转化为三角形、平行四边形，这是解梯形问题的基本思路，常用的辅助线的作法是：

1、 平移腰：过一顶点作一腰的平行线；

2、 平移对角线：过一顶点作一条对角线的平行线； 3、 过底的顶点作另一底的垂线。

熟悉以下基本图形、基本结论：

【例题精讲】

中位线概念：

(1)三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． (2)梯形中位线定义：连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线．

三角形的中位线性质：三角形的中位线平行于第三边，并等于第三边的一半。 梯形的中位线性质：梯形的中位线平行于两底，并等于两底和的一半。

1已知：直角梯形ABCD中，BC=CD=a

且∠BCD=60，E、F分别为梯形的腰AB、 DC的中点，求：EF的长

_ A_ D_ E_ F

_ C_ B

2已知：梯形ABCD中，AB∥CD，ACCB，AC平分∠A，又∠B=60，梯形的周长是20cm, 求：AB的长。

_ D_ C

_ A

_ B

3在梯形ABCD中，二底AD、BC

的中点是E、F，在EF上任取一点O， 求证：SOAB=SOCD

_ A_ E_ D_ O_ B_ F_ C

4如图所示，四边形ABCD中，AD不平行于BC，AC＝BD，AD＝BC. 判断四边形ABCD

的形状，并证明你的结论.

ADDCAB5如图所示，已知等腰梯形的锐角等于60°，它的两底分别为15cm和49cm，求它的腰长.

BC6已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E是CD的中点，且AE⊥BE. 求证：AD＋BC＝AB

7已知一个梯形的四条边的长分别是1、2、3、4，求此梯形的面积。

BCEAD

8如图，在梯形ABCD 中，AD∥BC ， E、F 分别是AD 、BC 的中点，若∠B＋∠C＝90°.AD ＝ 7 ，BC ＝ 15 ，求EF ．

AEDBFC9如图2-44所示．ABCD是梯形， AD∥BC， AD＜BC，AB=AC且AB⊥AC，BD=BC，AC，BD交于O.求∠BCD的度数．

第四章综合应用

知识要点：1对中点的认识与处理2三种变换

1已知在△ABC中，∠B=2∠C，AD⊥BC于D，M为BC的中点. 求证：DM1AB 2A

BDMC2梯形ABCD中，AB∥CD，M、N分别是AC、BD的中点。求证：MN＝

1（AB－CD） 2DCMNAB

3四边形ABCD中，G、H分别是AD、BC的中点，AB=CD.BA、CD的延长线交HG的延长线于E、F。求证：∠BEH=∠CFH.

4已知：△ABC中，分别以AB、AC为斜边作等腰直角三角形ABM和CAN，P是BC的中点。求证：PM＝PN A 12 EANFM 3P4 N BDMC

BEF的中点C P5如图已知：△ABC中，AD是角平分线，BE＝CF，M、N分别是BC和

求证：MN∥AD

6已知如图：正方形ABCD，BE＝BD，CE平行于BD，BE交CD于F，求证：DE＝DF．

AD

B

7已知正方形ABCD，直线AG分别交BD，CD于点E，F，交BC的延长线于点G，点H是线段HG上的点，且HC⊥CE，求证：点H是GF的中点.

DA

FCEEFHBCG

8在等腰梯形ABCD中，CD∥AB，对角线AC、BD相交于O，∠ACD＝600，点S、P、Q分别是OD、OA、BC的中点。

（1） 求证：△PQS是等边三角形。

（2） 若AB＝5，CD＝3，求△PQS的面积 。 （3） 若△PQS的面积与△AOD的面积比是7：8，

求梯形上下底的比CD：AB＝？

9分别以△ABC的边AC、BC为一边，在△ABC外作正方形ACDE、CBFG，点P是EF的中点，求证点P到边AB的距离是AB的一半。

第五章面积法的综合应用 例1求证平行四边形的性质定理

例2在梯形ABCD中，二底AD、BC 的中点是E、F，在EF上任取一点O，

_ D_ A_ E求证：SOAB=SOCD

_ O_ B_ F_ C

例3平行四边形ABCD中，E为AB上的任一点， 若CE的延长线交DA于F，连结DE， 求证：SADE=SBEF _ C_ B_ E_ D

_ A

_ F

例4已知平行四边形ABCD，EF//AD交AC于点G，求证：

例5 请证明勾股定理

例6已知SAODSBOC，求证AB//CD

A B O D C SABGSADF。

例7设AD、BE和CF是△ABC的三条高，求证：AD·BC＝BE·AC＝CF·AB

A F E B D C

例8在等腰直角三角形ABC中，AB=1，∠A=90º，点E为腰AC的中点，点F

在底边BC上，且EF⊥BE，求△CEF的面积。