可测函数列常见的几种收敛

摘 要：本文介绍了可测函数列常见的几种收敛：一致收敛、几乎一致收敛、几乎处处收敛、依测度收敛等以及它们之间的关系．

关键字：可测函数列；一致收敛；几乎一致收敛；几乎处处收敛；依测度收敛

前言

在数学分析中我们知道一致收敛是函数列很重要的性质，比方它能保证函数列的极限过程和(R)积分过程可交换次序等．可是一般而言函数列的一致收敛性是不方便证明的，而且有些函数列在其收敛域内也不一定是一致收敛的，如文中所给的例2函数f(x)在收敛域[0,1]内不一致收敛，但对于一个0当0时在[0,]内一致收敛，这不见说明了一致收敛的特殊性，也验证了我们平时常说的“矛盾的同一性和矛盾的斗争性是相联系的、相辅相成的”[1]

1 可测函数列几种收敛的定义

1.1 一致收敛[3]

设f(x),f1(x),f2(x),,fk(x),是定义在点集E上的实值函数．假设对于0,存在KN,使得对于kK,xE都有

fk(x)f(x)

u则称fk(x)在E上一致收敛到f(x)．记作： fkf(其中u表示一致uniform)．

1.2 点点收敛

假设函数列f(x),f1(x),f2(x),D上点点收敛．

,fk(x),在点集DE上每一点都收敛，则称它在

例1 定义在E[0,1]上的函数列fk(x)1,则fk(x)在E上点点收敛到函数 1kx1,x0, f(x)0,0x1.而且还能看出{fk(x)}在0,1上不一致收敛到f(x)，但对于0,{fk(x)}在[,1]上

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一致收敛到f(x)． 1.3 几乎一致收敛[3]

u设E是可测集，假设0,EE,使得m(E\\E),在E上有fkf则a.u.称{fk(x)}在E上几乎一致收敛与f(x)，并记作fkf.(其中a.u．表示几乎一致

almost uniform) ．

例2 定义在E0,1上的函数

fk(x)xk

在0,1上收敛却不一致收敛．但是只要从0,1的右端点去掉任一小的一段使之成为

0,10,0则{fk(x)}在此区间上就一致收敛，像这样的收敛我们就可以

称之为在E0,1上几乎一致收敛与0． 1.4 几乎处处收敛[3]

设f(x),f1(x),f2(x),,fk(x),是定义在点集ERn上的广义实值函数．假设存

在E中点集Z，有m(Z)0,及对于每一个元素xE\\Z，有

limfk(x)f(x)

xa.e则称{fk(x)}在E上几乎处处收敛与f(x)，并简记为fkf,a.e[E]或fkf.

假设上文的例1也可以称之为在0,1上几乎处处收敛与f(x)． 1.5 依测度收敛

例3在[0,1)上构造函数列{fk(x)}如下：对于kN，存在唯一的自然数i和j，使得k2ij,其中0j2i,令

fk(x)[jj1,)2i2i(x),k1,2,,x[0,1).

jj1,i)．数i22任意给定的x0[0,1),对于每一个自然数i，有且仅有一个j，使得x0[列{f(x0)}中有无穷多项为1，有无穷多项为0．由此可知，函数列{fk(x)}在[0,1)上点点不收敛．因此仅考虑点收敛将得不到任何信息．然而仔细观察数列{fk(x0)}虽然

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有无穷多个1出现，但是在“频率”意义下，0却也大量出现．这一事实可以用点集测度语言来刻画．只要k足够大，对于01,点集

{x[0,1)fk(x)0}{x[0,1)fk(x)1}[jj1,i)i221． 2i

的测度非常小．事实上

m({x[0,1)fk(x)0})这样对于任给的0,总可以取到k0,也就是取到i0,使得当kk0时，有

m({x[0,1)fk(x)0})1

其中2i0．这个不等式说明，对于充分大的h，出现0的“频率”接近1．我们将把这样一种现象称为函数列{fk(x)}在区间[0,1)上依测度收敛到零函数，并将抽象出以下定义[3]：

设f(x),f1(x),f2(x),于任意给定的0,有

limm(E(fkf))0,

x,fk(x),是可测集E上几乎处处有限的可测函数．假设对

m则称{fk(x)}在E上依测度收敛到函数f(x)，记为fkf.

2 可测函数列几种收敛的关系

2.1 点点收敛与一致收敛的关系

u由上述定义我们可以知道fkf，必有{fk(x)}点点收敛于f(x)．如例1．

反之则不一定成立，如例2．而且还可以得到假设{fk(x)}是可测集E上的可测函数列，则f(x)也是可测函数．

2.2 几乎处处收敛与一致收敛的关系

a.u.a.e.由定义可知有一致收敛必几乎处处收敛(fkffkf)．反之则不

然，如例2．而且还可以得到假设{fk(x)}是可测集E上的可测函数列，则极限函数

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f(x)也是可测函数．应用：从数学分析我们知道一致收敛的函数列对于求极限运算

和(R)积分运算、微分运算与(R)积分运算等可以交换次序． 2.3 几乎处处收敛与一致收敛的关系

叶果洛夫(EopoB)定理[5]：设m(E),{fn}是E上一列a.e．收敛于一个a.e．有限的函数f的可测函数，则对于任意的0，存在子集EE，使{fn}在E上一致收敛，且m(E\\E)．

注 定理中“m(E)”不可去掉如：例4定义在E(0,)的函数列

fm(x)1,x(0,m](m1,2,).

0,x(m,)则fm在(0,)上处处收敛于1，但对于任何正数及任何可测集E，当时这是因为，当时m(E\\E)时，Em(E\\E)时，fm在E上不一致收敛于1．不能全部含于(0,m]中，必有xmExE(m,)，于是有fm(xm)0．

supfm(x)1fm(xm)11

所以fm(x)在E上不一致收敛与1，也即定理中“m(E)”不可去掉[4]．

由定义我们知道一致收敛必是几乎处处收敛的，反之则不成立．但它们又有密切的关系，即使上述定理告诉我们几乎处处收敛“基本上”是一致收敛的(在除去一个测度为任意小集合的子集上)．

应用 由上述定理我们还可以得到“鲁津定理”：

设f(x)是E上a.e．有限的可测函数，则对于任意的0，存在闭子集FE，使f(x)在F上是连续函数，且m(E\\F)．

也就是说：在E上a.e．有限的可测函数“基本上”是连续的(在除去一个测度为任意小集合的子集上)．也即我们可以用连续函数来逼近a.e．有限的可测函数． 2.4几乎处处收敛与依测度收敛的关系

例5 取E(0,1]，将E等分，定义两个函数：

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11,x(0,]2f1(1)(x)，

10,x(,1]210,x(0,]2f2(1)(x)．

11,x(,1]2然后将(0,1]四等分、八等分等等．一般的，对于每个n，作2n个函数：

j1j1,x(,n]n22fj(n)(x)0,x(j1,j]22nj1,2,,2n.．

我们把{fj(x),j1,2,,2n}，先n按后按j的顺序逐个的排成一列：

nf1(1)(x),f2(1)(x),,f1(n)(x),f2(n)(x),,f2(n)(x),

(1)

fj(n)(x)在这个序列中是第N2n2j个函数．可以证明这个函数列是依测度收敛

于零的．这是因为对于任何的0，

E[fj(n)0]

或是空集(当1)，或是(j1j,n] (当01)，所以 n221m(E[fj(n)0])n

2(当时1时，左端为0)．

由于当N2n2j(j1,2,,2n.)趋于时n，由此可见

limm(E[fj(n)0])0， N也即

mfj(n)(x)0．

但是函数列(1)在上的任何一点都不收敛．事实上，对于任何点x0(0,1]，无论n多么大，总存在j，使x0(j1j,]，因而2n2n然而fj1(n)(x0)0或fj1(n)(x0)0，fj(n)(x0)1，

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换言之，对于任何x0(0,1]，在{fj(n)(x0)}中必有两子列，一个恒为1，另一个恒为0．所以序列(1)在(0,1]上任何点都是发散的．

这也就说明依测度收敛的函数列不一定处处收敛，也就是说依测度收敛不能包含几乎处处收敛，但仍有：

黎斯(F．Riesz) [5] 设在E上{fn}测度收敛于f，则存在子列{fni}在E上a.e．收敛于f．

例6 如例4，当fm(x)1(n)当xE．但是当01时，

E[fm1](m,)

且m(m,)．这说明{fn}不依测度收敛于1．

这个例子又说明了几乎处处收敛也不包含依测度收敛，但是有下述关系： 勒贝格(Lebesgue) [5] 设mE，{fn}是E上a.e．有限的可测函数列， {fn}在

E上a.e．收敛于a.e．有限的函数f，则

mfn(x)f(x)．

此定理中的“mE”不可去掉，原因参看例1．定理也说明在的在的条件

mE下，依测度收敛弱于几乎处处收敛．

有以上定理黎斯又给出了一个用几乎处处收敛来判断依测度收敛的充要条件： 设mE，{fn}是E上的可测函数列，那么{fn}依测度收敛于f的充要条件是：{fn}的任何子列{fnk}中必可找到一个几乎处处收敛于f的子序列．

证明〔必要性〕 由于{fn}依测度收敛于f，由定义知道这时{fn}的的任何子序列{fnk}必也依测度收敛于f，由黎斯定理可知{fnk}中必存在几乎处处收敛于f的子序列．

〔充分性〕 如果{fn}不依测度收敛于f，即存在一个0，使得

m(Efnf)

不趋于0．因此必有子序列{fnk}，使得

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klimm(E(fnf))a0.

k这样{fnk}就不可能再有子序列几乎处处收敛于f了，否则由勒贝格定理知将有{fnk}依测度收敛于f，即

klimm(E(fnf))0.

k这与上式矛盾，所以{fn}依测度收敛于f．

应用 依测度收敛在概率统计中有重要的意义，如例3；它也是证明中心极限定理的重要依据，由中心极限定理我们可以知道用一个正态分布来模拟一个样本容量较大的样本的概率分布， 从而简化了大样本概率分布的处理和计算[7]．

结束语：

上述定义中的各种收敛的极限函数都是唯一的，而且从本文还可以知道一致收敛是最强的收敛，它蕴含了点点收敛、几乎处处收敛、依测度收敛等上述几种收敛．各种收敛都有不同的意义，在各种实践中作用也各不同．

参考文献：

[1]马克思主义基本原理概论教材编写课题组．马克思主义基本原理概论[M]．高等教育出版社，2009,7

[2] 华东师范大学数学系．数学分析(第三版)[M]．高等教育出版社，2001,6． [3] 郭懋正．实变函数与泛函分析[M]．北京大学出版社，2005,2

[4] 柳藩，钱佩玲．实变函数论与泛函分析[M]．北京师范大学出版社，1987．

[5] 程其襄，张奠宙，魏国强等．实变函数与泛函分析既基础[M]．高等教育出版社，2003,7． [6] 夏道行，严绍宗等复旦大学数学系主编．实变函数与应用泛函分析基础[M]．上海科学技术出版社．1987．

[7] 茆诗松，程依明，濮晓龙．概率论与数理统计教程[M]．高等教育出版社，2004,7．

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