关于泰勒公式课堂教学的尝试与体会

Ｖｏｌ＿１３。ＮＯ．２　Ｍａｒ．，２ＯｌＯ　ＳＴＵＤＩＥＳ　ＩＮ　Ｃ０ＬＬＥＧＥ　ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳ　高等数学研究　５９　关于泰勒公式课堂教学的尝试与体会　陈丽　（四川大学数学学院，成都，６１００６４）　摘　要　对于“微积分”中泰勒公式一节的课堂教学，采取将理论与实际生活相联系的方式，组织幽默有趣的　语言和真实的实例，让学生在实际场景中体会理论知识的升华，在不知不觉中学习并掌握了理论知识，并会运用泰　勒公式解决相关问题．　关键词　大学数学教学；理论与实际相结合；泰勒公式．　中图分类号　Ｏ１３；Ｇ６４２．４２１　有中学教材的极限运算、导数运算作基础，大一　们把一些函数也当成明星，搞一场明星模仿秀，需要　新生初期的数学学习还算顺风顺水．但是到了“泰勒　找一些和明星函数相似的函数来进行模仿．怎么与函　公式”一节，却很容易出现困难．毕竟高等数学课程　数相似呢？是不是长得相像呢？对于函数来说，不可能　理论抽象且逻辑严密，学生在中学阶段的学习过程中　以长得像来作为评判规则．　如果没有培养出较强的逻辑思维能力，那么听课就如　正如明星模仿秀是从娱乐的角度来操作的．学习　同听“天书”．较为普遍的现象往往是，教师用了九牛　数学必须从数学专业的角度来看问题．对于一个函　二虎之力讲解泰勒公式，学生仍然弄不清楚教师讲的　数，（　）要找一个函数ｇ（ｚ）来与它在某个点Ｘ。附近　是什么东西，学习效果自然不会理想了．从认识论和　局部相似，也就是近似，目的还是要研究这个明星函　心理学的角度看教学活动过程很容易清楚：教师的授　数．为了便于研究明星函数，就不能找一个很复杂的　课只是传授知识，引导学生学习、接受知识，并培养能　函数来模仿它，要找就只能找简单的函数．从函数集　力．而在这教学活动过程中，活动主体是学生．如何充　合中来看，多项式函数只涉及变量的加法、乘法以及　分调动学生学习积极性，激发他们对数学的兴趣，最　数乘．因此多项式函数是最简单的一类．我们可以在　终创造性地学有所得是至为重要的问题．　多项式函数中找一个出来模仿明星函数．对于要找出　一其实，如果把这节的内容结合实际来讲，将会有　个与明星函数最逼真的函数，如同超级女声、超级　非常好的效果．将理论与实际生活相联系，组织幽默　男声、快乐男生的比赛，需要进行海选，然后是第一　有趣的语言和真实的实例，让学生在实际场景中体会　轮、第二轮、…，第７１．轮的淘汰塞．首先可以确定的是　理论知识的升华，在不知不觉中学习并掌握了理论知　只能是多项式才能参加报名．对于　次多项式函数　识，并会运用泰勒公式解决相关问题．　Ｐ　（ｚ）一口ｏ＋ａ１（ｚ—ｘ０）＋ｎ２（ｚ—Ｘ０）　＋　…我在三个不同层次（数学一、数学二、数学三）的　＋口　（ｚ—Ｘｏ）　，　班上都采用了理论与实际相结合的方法讲解．学生觉　其，ｚ＋１个系数ａ。，ｎ　”，口　变化，则多项式就会变　得数学也可以很生动，很有时代感．最重要的是理解　化．因此确定一个　次多项式只需要确定其，ｚ＋１个　起来没有什么困难和障碍．下面列出的是我对泰勒公　系数．而确定这７＂１＋１个系数的过程实质上就是模仿　式一节设计的讲义（部分）．　函数的海选、第一轮、第二轮、…，第　轮一共７１＂＋ｌ场　现在社会上流行的各种模仿秀、超级女声、超级　的淘汰赛．模仿一个明星，必须先确定明星本身所具　男声、快乐男生搞得如火如荼，举国注目．如果要举行　有的特征．　一场明星模仿秀，来参加的人肯定不是明星本人，而　对于明星函数，它能拥有的特征包括连续、可导、　是与明星长得很像的或者行为举止如唱歌唱得与明　二阶可导、三阶可导、…、一直到　＋１阶可导．模仿　星相似的人．相似的地方越多，逼真程度就越高．现在　函数能够参与模仿，那么它与明星函数具有很多共同　从微积分这门学科来说，研究的主体是函数，如果我　特征．我们只考虑在一个定点　。附近的相似，所以在　点Ｘ。附近，模仿函数与明星函数有共同的相似点：　收稿日期：２００７一ｌ２—２５，修改日期：２０１０—０２—０５．　基金项目：四川省教改项目（ＰＯ９Ｏ３２）．　第一，在定点ｚ。处函数值相同，也就是两函数图　象在Ｘ。处相交：　Ｐ　（ｚｏ）＝ｆ（ｚ０）．　（１）　作者筒介：陈丽（１９７２－－），女，四川资中人，博士，副教授，主要研究方　向为微分方程与动力系统，Ｅｍａｉｌ：ｓｃｕｃｈｅｎｌｉ＠１２６．ｔｏｍ　６０　高等数学研究　２０１０年３月　但是相交于该点的曲线无限多，所以必须进行第二轮　比赛：在ｚ。处的导数值相同，也就是模仿函数与明星　函数在３５＂０对应点的切线相同：　其中　尸　（　。）一ｆ　（　ｏ）．　（２）　ｃＸ－－３Ｃ０　符合这个条件的模仿函数也很多．我们只选择一个最　佳的模仿函数，那就继续下一轮比赛．第三轮：在该点　Ｒ　（ｚ）一手—　—　（ｚ—ｚｏ）　，　＿ｆ－』　！　这里　是ｚ。与ｚ之间的某个值．　我们把扎次泰勒多项式Ｐ　（ｚ）叫做函数　（　）在　二阶导数值相同，也就是两函数图象在ｚ。处弯曲方　向一致：　（ｚ。）一　（　。）．　（３）　点勘处的　阶近似．如果一个公司想请某个大牌明　星当代言人做广告，但是花不起那高昂的代言费，这　时公司老总就会想请个明星的“替身”，也就是山寨版　的，来完成广告，也可以达到预期效果．在近似计算或　理论分析中，可以用函数－厂（　）的　阶近似Ｐ　（ｚ）来　这样就可以淘汰掉一批参加模仿的．如此继续这样的　比赛，一直到把明星函数的　＋１个特征都模仿完：　Ｐ　Ｄ（ｚ０）＝＝＝　Ｄ（ｚ０），ｋ一０，１，２，…，　，　最终一定会产生冠军．　做．厂（ｚ）的替身，用比较简单的计算方法（因为多项式　只是关于变量进行加、减、乘运算）得到一定精度的　计算结果．必须强调的是，这个“替身”Ｐ　（ｚ）完全由　厂（ｚ）及点ｚ。决定，两者之间有ｎ个相同的“基因”：即　根据第一个共同特征（１）可以得到　ｎｏ＝ｆ（ｘｏ）；　再据第二个共同特征（２）得到第二个系数　口１一　（　０）；　在点　。处的函数值，一阶、二阶、直到　阶导数值都　相同．确定了这　＋１个值，就确定了函数厂（ｚ）在点　由第三个共同点（３）确定　。　一　，　ｚ。处的ｎ阶近似——“替身”Ｐ　（ｚ）．“真身”与“替身”　之间的差异就是一个“尾巴”：余项．根据描述尾巴的　精确情况，可以将尾巴分类为：　简洁型——佩亚诺（Ｐｅａｎｏ）型；　精确型——拉格朗日（Ｌａｇｒａｎｇｅ）型．　这样一次课下来，将深奥难懂的数学知识与时代　如此一直到第ｎ＋１个共同特征：　Ｐ：　（　ｏ）一　确定出　。　：　７ｌ！　．　（ｚｏ），　流行的实际东西结合起来，学生对于泰勒公式的理解　这样，根据一个个共同特征，逐层筛选，最后让隐藏　就相对深刻一些，对于泰勒公式的运用感觉也会轻松　很多．通过２００４—２００８年的五年本科教学对照统计，　在众多模仿函数中的最佳模仿者脱颖而出，　Ｐ　（ｚ）一ｎ０＋口１（ｚ—Ｘｏ）＋口２（ｚ—ｚｏ）。＋　…前两年没有采用这个实际例子进入课堂教学，我任课　班只有一半的学生对泰勒公式有深浅不一的理解，有　五分之一的学生是完全不理解．在采用这个实际例子　＋口　（　—　ｏ）　一　厂（．Ｔｏ）＋厂（．Ｔｏ）（　—ｚ。）＋　…（ｚ—ｚ。）ｚ＋　后，只要是在课堂上听课的同学都知道泰勒公式与模　＋掣！　（ｚ—ｚ。）　．　仿秀的结合，有超过８Ｏ　的学生能够流利阐述泰勒　公式的思想，并在学习中活学活用．如用等价无穷小　如上可找出函数厂（ｚ）的最佳模仿者Ｐ　（ｚ）．但　的代换求极限　是一个很明显的事实是它不是原型，因此一定有差　距．两者间的差距到底有多大？两者在ｚ。处的零阶，　一，　ｚ—’ｕ　ＪＬ　ａｎｘ—ｓｉｎｘ与无穷小９２。比较，分母是三　阶，二阶，一直到　阶的导数值相同，当　—ｚ。趋　这是无穷小ｔｎｘ的“替身”：两个　于零时，那误差就不应该超过（　—ｚ。）　．事实上，　次多项式，那就可以请出ｔａｎｘ与ｓｉ十七至十八世纪的英国数学家泰勒（Ｔａｙｌｏｒ）就发现　三次近似来作差，然后差与分母再作商，计算出极限　值．这样可以从泰勒公式的角度来理解等价无穷小的　了其中的规律：　定理（泰勒中值定理）　若函数厂（ｚ）在含有ｚ。　代换定理，加深对概念一无穷小的阶的理解．将泰　的某个开区间（口，６）内具有直到　＋１阶导数，则对　勒公式讲解清楚之后，对于后面级数知识的教学也是　任一ｚ∈（ｎ，６），有　很有帮助的．　参考文献　，（ｚ）一ｆ（ｘｏ）＋／（ｚ０）（ｚ—ｚｏ）＋　乓　（ｚ—ｚ。）ｚ十…＋　［１］同济大学数学教研室主编．高等数学（上册）［Ｍ］．北京：　高等教育出版社。２００２．