数学模型狼追击兔子的问题

一、 问题重述与分析 （一）问题描述

神秘的大自然里，处处暗藏杀机，捕猎和逃生对动物的生存起着至关重要的作用，而奔跑速度和路线是能否追上和逃生的关键因素。 狼追击兔子问题是欧洲文艺复兴时代的着名人物达.芬奇提出的一个数学问题。当一个兔子正在它的洞穴南面60码处觅食时，一只恶狼出现在兔子正东的100码处。当两只动物同时发现对方以后，兔子奔向自己的洞穴，狼以快于兔子一倍的速度紧追兔子不放。狼在追赶过程中所形成的轨迹就是追击曲线。狼是否会在兔子跑回洞穴之前追赶上兔子？

为了研究狼是否能够追上兔子，可以先考虑求出狼追兔子形成的追击曲线，然后根据曲线来确定狼是否能够追上兔子。 （二）问题分析

1、本题目是在限定条件下求极值的问题,可以通过建立有约束条件的微分方程加以模拟。

2、通过运用欧拉公式及改进欧拉公式的原理,结合高等数学的有关知识,对微分方程进行求解。

3、将数学求解用Matlab程序语言进行实现

得出方程的近似解。

4、最后解方程的解结合实际问题转化为具体问题的实际结果。 二、变量说明

v1：兔子的速度（单位：码/秒） r：狼与兔子速度的倍数；

v2：狼的速度（单位：码/秒），显然有v2rv1

t：狼追击兔子的时刻（t=0时，表示狼开始追兔子的时刻）

s1：在时刻t，兔子跑过的路程（单位：码），s1s1(t) s2：在时刻t，狼跑过的路程（单位：码），s2s2(t)

Q(x1,y1)：表示在时刻t时，兔子的坐标 P(x,y)：表示在时刻t时，狼子的坐标

三、模型假设

1、狼在追击过程中始终朝向兔子；

2、狼追击兔子的轨迹看作是一条光滑的曲线，即将动点P(x,y)的轨迹

看作一条曲线，曲线方程表示为yy(x)。

3、当猎狗与兔子之间的距离相当小时

认为猎狗已经追上了兔子。

四、模型建立 （一）建模准备

以t＝0时，兔子的位置作为直角坐标原点，兔子朝向狼的方向为x轴正向；

则显然有兔子位置的横坐标x10。

对狼来说，当x＝100，y＝0，即yx1000

在t＝0刚开始追击时，狼的奔跑方向朝向兔子，此时即x轴负方向， 则有yx1000

（二）建立模型 1、追击方向的讨论

由于狼始终朝向兔子，则在狼所在位置P(x,y)点过狼的轨迹处的切线方向在y轴上的截距为y1。

设切线上的动点坐标为（X，Y），则切线方程为

Yyy(Xx)（1）

在（1）中，令X＝0，则截距Yyyx。 此时y1v1t。

则此时截距等于兔子所跑过的路程，即：

Yy1，

从而可得

Yy1yyx（2）

2、狼与兔子速度关系的建模 在t时刻，兔子跑过的路程为

s1y1v1t（3）

由于狼的速度是兔子的r倍，则狼跑的路程为

s2rs1ry1（4）

狼跑过的路程可以用对弧长的曲线积分知识得到，如下。

s2100x1y2dx（5）

联立（2）、（4）、（5）得

对（6）两边求对x的导数，化简得

100x1y2dxry1r(yyx)（6）

1y2（7） yrx微分方程（7）式的初始条件有： 3、是否追上的判断 要判定狼是否追上兔子， 可以通过（7）式判定。 对（7）式，

当x＝0，如果计算求解得到y60，则视为没有追上； 当x＝0，如果计算求解得到y60，则视为兔子被追上； 五、模型求解

由微分方程得到其Matlab函数 functionyy=odefunlt(x,y)

%以狼在追击过程中的横坐标为自变量 yy(1,1)=y(2);

yy(2,1)=sqrt(1+y(2).^2)./(2.*x); 主程序：

tspan=100:-0.1:0.1;%以狼的x坐标为自变量 y0=[00];

%下面只知道狼是否追上兔子，但是不易推得兔子刚刚到达窝边时，狼与兔之间的距离

[T,Y]=ode45('odefunlt',tspan,y0); n=size(Y,1);

disp('狼的坐标(x=0.1)')

disp(Y(n,1))%通过追击曲线计算当狼的横坐标为0.1(即tspan=0.1)时，狼的纵坐标 六、模型结果与分析 运行结果：

狼的坐标(x=0.1) 62.1932 通过上面运行结果可知，狼并没有追上兔子。 七、思考题

通过上面的结果已经知道狼并没有追上兔子。那么兔子跑回窝边时，狼与兔子之间的距离是多少？上面的程序不能解决此问题，那么用什么办法解决呢？ （一）解决思路

可以对狼与兔子的追击过程通过计算机进行模拟，然后从模拟结果获取。

模拟程序如下，程序文件名sim_langtu.m： functionsim_langtu %《狼兔追击问题》 %（离散模拟）

%这里没有具体考虑狼、兔的具体速度

%主要通过二者的速度倍速关系及方向向量奔跑过程

Q=[00];%兔子坐标 P=[1000];%狼坐标 PQ=Q-P;%狼兔方向向量

step=1;%模拟步长：兔子奔跑的距离，step越小就越精确 count=60/step;%以兔子的奔跑距离划分 PQ=PQ/norm(PQ)*step;%归一化，单位向量 trackP=P; trackQ=Q; fork=1:count; P=P+2*PQ;%2倍速度

Q=Q+step*[01];%[01]为兔子奔跑方向的单位方向向量 PQ=Q-P;

trackP(1+k,:)=P; trackQ(1+k,:)=Q;

PQ=PQ/norm(PQ)*step;%归一化，单位向量 dis=sqrt(sum((P-Q).^2));

plot(trackP(:,1),trackP(:,2),'*',Q(1),Q(2),'rp',0,60,'r+'); pause(0.5) end%for

dis%兔子到达窝边时，狼兔之间的距离 P%兔子到达窝边时，狼的坐标 Q%兔子到达窝边时，兔子的坐标

（二）模拟程序运行结果

dis= 7.0619 P= 1.680553.1410 Q= 060 注：如果修改程序中的step赋值，则结果稍有不同。

程序结束后，输出狼兔的位置图如下。通过下图可以直观的看到，当兔子回到窝边时，狼还与兔子有一段距离，这表示兔子成功逃脱。 八、模型评价 1、优点

可以熟练的运用Matlab解决一些问题，对用Matlab编程有了更加深刻的了解。懂得了使用数学软件求解极限,积分等问题的方法。对于追击问题的数学模型有了一定的了解，并能简单的运用。对遇到的一些编程问题有了切身的解决办法提高了自己的编程能力。 2、缺点

许多数学公式的符号十分难输入，致使数学理论表述十分困难。需要输入的数据太多，容易出现输入错误，特别是容易遗漏标点符号。 3、改进方向

应考虑向简单模型优化，现有的模型还是很复杂，尤其是一些数学的计算要能非常熟练的运用微积分知识。所以应考虑更加简便易懂的模

型。