高一绝对值函数(学生)

绝对值函数最值的求法

一、 利用函数图象研究这类函数的值域，从而达到求函数的最值：由于含绝对值函数可以等价化为分段函数，因此运用函数的图象求函数的最值。

例1求函数y=|2x-1|的最小值。

例2求函数y|2x1||2x2|的最小值。

例3、求函数y=|x+1|+|x-1|+|x-2|的最小值。

绝对值函数特点

⑴f(x)xa的图象关于直线xa对称，且函数的最小值为0；

ab2对称，且函数的最小值为ba⑵f(x)xaxb的图象关于直线

x；

⑶

ab，0f(x)xaxb2ab，ab． 对称，且函数的值域为的图象关于点

方法一：可以由函数图象的对称性获得．

a+b2bx=x=a+b2x=a

ab

a

f(x)xa

f(x)xaxb（ab）

f(x)xaxb（ab）

1.设函数f(x)x1xa的图象关于直线x1对称，则a的值为（ ）

A．3 B．2 C．1 D．1

2.设函数f(x)xaxb的图象关于点(1，0)对称，且函数的最大值为2，则a_______．

12对称，则

fxminx，xtb3.用mina，表示a，b两数中的最小值．若函数的图象关于直线

xt的值为（ ）

A．2 B．2 C．1 D．1

4.要使得函数yx1x2x3xa的图象有对称轴，a的值为_____．

5.已知函数

f(x)x1x2...x2018x1x2...x2018

(xR)且f(a23a2)f(a1)，则a的值有_______个

结论1：对于函数y|xx1||xx2|(x1x2)，当且仅当x1xx2时，函数y有最小值x2x1。

结论2：对于函数y|xx1||xx2||xx3|(x1x2x3)，当且仅当xx2时，函数y有最小值为

x3x1。

以上两个结论可推广到任意n个绝对值的和的最值问题。结论如下：

推论1：对于函数y|xx1||xx2||xx2n1||xx2n|(x1x2x3x2n1x2n)

当且仅当xnxxn1时，函数y有最小值为(x2nx1)(x2n1x2)(xn2xn1)(xn1xn)

（nN）。

推论2：对于函数y|xx1||xx2||xx2n1|（x1x2x3x2n1）当且仅当

 xxn时，函数y有最小值(x2n1x1)(x2n2x2)(xn1xn1)（nN）

1．系数piZ

相应习题：研究以下函数的图像和性质：

（1）f(x)x1x1x2

（2）f(x)x2x1x1

（3）f(x)x2x1x1

（4）f(x)x2x1

（5）f(x)x2x1x2x4的图像和性质．

(6)f(x)xx1x22x3x4x5

相应结论：当i1到；当i1pin0时，函数的开口方向向上；有最小值，最小值点是在中位数数据点ai处取

pi0n时，函数的开口方向向下；有最大值，最大值点是在数据点ai处取到；

当i1值 ．

pin0时，函数的两端射线为斜率为零的一组平行线；在左右两个数据点处取到最大（小）

二． 运用以上推论，达到求函数最值的目的：

下面我们来解以下高考试题：

例1：（2011年陕西省理科高考试题第14题）植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为

例2：（2009年上海高考数学试题）某地街道呈现东—西、南—北向的网络格状，相邻街距都为1。两街道相交的点称为格点。若以互相垂直一两条街道为轴建立直角坐标系，现有下述格点（-2，2），（3，1），（3，4），（-2，3），（4，5）（6，6）为报刊零售点，请确定一个格点（除零售点外） 为发行站，使6个零售点沿街道发行站之间路程的和最短。