圆锥曲线讲义(带答案)

学员姓名 ： 辅导类型（1对1、小班）： 年 级： 辅 导 科 目 ： 学 科 教 师 ： 课 题 课 型 授课日期及时段 圆锥曲线专题 □ 预习课 □ 同步课 □ 复习课 □ 习题课 年 月 日 时间段 教 学 内 容 圆锥曲线知识点总结 1、平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数（大于F）的点的轨迹称为椭圆． 1F2即：|MF1||MF2|2a,(2a|F1F2|)。 这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距． 2、椭圆的几何性质： 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 x2y221ab0 2aby2x221ab0 2ab范围 axa且byb bxb且aya 10,a、20,a 1b,0、2b,0 F10,c、F20,c 1a,0、2a,0 顶点 10,b、20,b 轴长 焦点 焦距 对称性 离心率 短轴的长2b 长轴的长2a F1c,0、F2c,0 F1F22cc2a2b2 关于x轴、y轴、原点对称 cb2e120e1 aa3、平面内与两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数（小于F）的点的轨迹称为双曲线．即：1F2||MF1||MF2||2a,(2a|F1F2|)。 这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距． 4、双曲线的几何性质： 焦点在y轴上 焦点的位置 焦点在x轴上 图形 标准方程 x2y221a0,b0 2aby2x221a0,b0 2ab范围 顶点 轴长 焦点 焦距 对称性 离心率 xa或xa，yR ya或ya，xR 1a,0、2a,0 F1c,0、F2c,0 10,a、20,a F10,c、F20,c 虚轴的长2b 实轴的长2a F1F22cc2a2b2 关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称 cb2e12e1 aaybx ayax b渐近线方程 5、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线． 6、平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹称为抛物线．定点F称为抛物线的焦点，定直线l称为抛物线的准线． 7、抛物线的几何性质： y22px 标准方程 y22px x22py x22py p0 p0 p0 p0 图形 顶点 0,0 x轴 对称轴 y轴 pF0, 2pF0, 2焦点 pF,0 2pF,0 2准线方程 xp 2xp 2yp 2yp 2离心率 e1 范围 x0 x0 y0 y0 8、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于、两点的线段，称为抛物线的“通径”，即2p． 9、焦半径公式： p； 2p2若点x0,y0在抛物线x2pyp0上，焦点为F，则Fy0 2若点x0,y0在抛物线y2pxp0上，焦点为F，则Fx021. 值范围。 圆锥曲线的方程与性质 常用结论 A．常见结论： x2y2x2y221 1.与椭圆221（a>b>0）共焦点的椭圆方程可设为：2akbkab中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为（m>0,n>0） x2y2y2x22.与221共渐近线的双曲线方程2－2（0）． babax2x2y2y21（ka2且kb2） 与221有相同焦点的双曲线方程2－2akbkab3.抛物线：抛物线的通径为2P，焦准距为P,径是所有焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦 若抛物线的焦点弦为AB，，则①， 若OA、OB是过抛物线 B．直线与曲线方程的位置关系： 1.方法一是方程的观点，即把曲线方程和直线的方程联立成方程组，利用判别式Δ来讨论位置关系. (1)相交：直线与椭圆相交； 直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有直线与双曲线相交且只有一个交点，故件； 直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有直线与抛物线相交且只有一个交点，故要条件 (2)相切：(3)相离：直线与椭圆相切；直线与椭圆相离；直线与双曲线相切；直线与双曲线相离；直线与抛物线相切； 直线与抛物线相离。 ，当直线与抛物线的对称轴平行时，，当直线与双曲线的渐近线平行时，顶点O的两条互相垂直的弦，则直线AB恒经过定点 是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必【注：a.直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点；如果直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,也只有一个交点； b.过双曲线＝1外一点的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下： ①P点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线共四条； ②P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条； ③P在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线； ④P为原点时不存在这样的直线； c.过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线。】 2．方法二是几何的观点 a.遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。 在椭圆中，以为中点的弦所在直线的斜率k=－；在双曲线中，以为中点的弦所在直线的斜率k=；在抛物线中，以为中点的弦所在直线的斜率k= b.在求直线与曲线的相交弦的弦长时，要分开讨论：直线与圆相交充分运用垂径定理，即先求出圆心到直线的距离d和半径R解出弦长；而直线与其他曲线方程相交通过联立方程应用韦达定理来求解AB1k2x1x2 若y1,y2分别为A、B的纵坐标，则AB1() 四、常规题型及解题的技巧方法 A:常规题型方面 （1）中点弦问题 具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式，消去四个参数。 典型例题 给定双曲线点P的轨迹方程。 分析：设 两式相减得 又设中点P（x,y），将，。 代入，当时得 ，代入方程得，。 。过A（2，1）的直线与双曲线交于两点 及，求线段的中，，代入方程，1k2y1y2 。 又， 代入得当弦。 斜率不存在时，其中点P（2，0）的坐标也满足上述方程。 因此所求轨迹方程是 说明：本题要注意思维的严密性，必须单独考虑斜率不存在时的情况。 （2）焦点三角形问题 椭圆或双曲线上一点P，与两个焦点、构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。 典型例题 设P(x,y)为椭圆上任一点，，为焦点，，。 （1）求证离心率esin()； sinsin的最值。 （2）求 分析：（1）设，，由正弦定理得。 得 ， ecsin() asinsin。 时，最小值是； 。 （2） 当 当xa时，最大值是 （3）直线与圆锥曲线位置关系问题 直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式，应特别注意数形结合的办法 典型例题 （1）求证：直线与抛物线总有两个不同交点 （2）设直线与抛物线的交点为A、B，且OA⊥OB，求p关于t的函数f(t)的表达式。 （1）证明：抛物线的准线为 由直线x+y=t与x轴的交点（t，0）在准线右边，得 故直线与抛物线总有两个交点。 （2）解：设点A(x1，y1)，点B(x2，y2) （4）圆锥曲线的有关最值（范围）问题 圆锥曲线中的有关最值（范围）问题，常用代数法和几何法解决。 <1>若命题的条件和结论具有明显的几何意义，一般可用图形性质来解决。 <2>若命题的条件和结论体现明确的函数关系式，则可建立目标函数（通常利用二次函数，三角函数，均值不等式）求最值。 典型例题 2已知抛物线y=2px(p>0)，过M（a,0）且斜率为1的直线L与抛物线交于不同的两点A、B，|AB|≤2p （1）求a的取值范围；（2）若线段AB的垂直平分线交x轴于点N，求△NAB面积的最大值。 分析：这是一道直线与圆锥曲线位置关系的问题，对于（1），可以设法得到关于a的不等式，通过解不等式求出a的范围，即：“求范围，找不等式”。或者将a表示为另一个变量的函数，利用求函数的值域求出a的范围；对于（2）首先要把△NAB的面积表示为一个变量的函数，然后再求它的最大值,即：“最值问题，函数思想”。 解：(1)直线L的方程为：y=x-a,将y=x-a 代入抛物线方程y=2px,得：设直线L与抛物线两交点的坐标分别为A24(ap)4a20（x1,y1）,B(x2,y2)，则x1x22(ap),又y1=x1-a,y2=x2-a, 2x1x2a|AB|(x1x2)2(y1y2)22[(x1x2)24x1x2]8p(p2a)0|AB|2p,8p(p2a)0,08p(p2a)2p, 解得: ppa. 24(2)设AB的垂直平分线交AB与点Q，令其坐标为（x3,y3），则由中点坐标公式得： x32x1x22ap, y3222y1y2(x1a)(x2a)p. 222P，所以S△所以|QM|=(a+p-a)+(p-0)=2p.又△MNQ为等腰直角三角形，所以|QM|=|QN|=NAB=122|AB||QN|p|AB|p2p2p2,即△NAB面积的最大值为2P2。 222 （5）求曲线的方程问题 1．曲线的形状已知--------这类问题一般可用待定系数法解决。 典型例题 已知直线L过原点，抛物线C 的顶点在原点，焦点在x轴正半轴上。若点A（-1，0）和点B（0，8）关于L的对称点都在C上，求直线L和抛物线C的方程。 分析：曲线的形状已知，可以用待定系数法。 设出它们的方程，L：y=kx(k≠0),C:y=2px(p>0) 设A、B关于L的对称点分别为A、B，则利用对称性可求得它们的坐标分别为： //2k212k16k8(k21)2,2,2A（2），B（2）。因为A、B均在抛物线上，代入，消去p，得：k-k-1=0.解得：k1k1k1k1/k=1525,p=. 2515245x,抛物线C的方程为y=x. 25所以直线L的方程为：y= 2．曲线的形状未知-----求轨迹方程 典型例题 已知直角坐标平面上点Q（2，0）和圆C：x+y=1, 动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数（>0）,求动点M的轨迹方程，并说明它是什么曲线。 分析：如图，设MN切圆C于点N，则动点M组成的集合是：P={M||MN|=|MQ|}，由平面几何知识可知：|MN|=|MO|-|ON|=|MO|-1，将M点坐标代入，可得：(-1)(x+y)-4x+(1+4)=0. 22222222222M N O Q 当=1时它表示一条直线；当≠1时，它表示圆。这种方法叫做直接法。 （6） 存在两点关于直线对称问题 在曲线上两点关于某直线对称问题，可以按如下方式分三步解决：求两点所在的直线，求这两直线的交点，使这交点在圆锥曲线形内。（当然也可以利用韦达定理并结合判别式来解决） 典型例题 已知椭圆C的方程同两点关于直线对称。 分析：椭圆上两点，，代入方程，相减得 ，试确定m的取值范围，使得对于直线，椭圆C上有不。 又，，，代入得。 又由解得交点。 交点在椭圆内，则有（7）两线段垂直问题 圆锥曲线两焦半径互相垂直问题，常用，得。 来处理或用向量的坐标运算来处理。 典型例题 已知直线的斜率为，且过点，抛物线，直线与抛物线C有两个不同的交点（如图）。 （1）求的取值范围； （2）直线的倾斜角为何值时，A、B与抛物线C的焦点连线互相垂直。 分析：（1）直线 由 （2）由上面方程得， ，得代入抛物线方程得。 ， y B A P (-2,0) O x ，焦点为。 由，得，arctan22或arctan 22 B:解题的技巧方面 在教学中，学生普遍觉得解析几何问题的计算量较大。事实上，如果我们能够充分利用几何图形、韦达定理、曲线系方程，以及运用“设而不求”的策略，往往能够减少计算量。下面举例说明： （1）充分利用几何图形 解析几何的研究对象就是几何图形及其性质，所以在处理解析几何问题时，除了运用代数方程外，充分挖掘几何条件，并结合平面几何知识，这往往能减少计算量。 典型例题 设直线求的值。 圆与圆相交于P、Q两点，O为坐标原点，若， 解： 又 过原点，并且 上， 即为所求。 ， 是圆的直径，圆心的坐标为在直线 评注：此题若不充分利用一系列几何条件：该圆过原点并且上，而是设再由，PQ是圆的直径，圆心在直线和韦达定理求，将会增大运算量。 评注：此题若不能挖掘利用几何条件，点M是在以OP为直径的圆周上，而利用参数方程等方法，计算量将很大，并且比较麻烦。 二. 充分利用韦达定理及“设而不求”的策略 我们经常设出弦的端点坐标而不求它，而是结合韦达定理求解，这种方法在有关斜率、中点等问题中常常用到。 典型例题 已知中心在原点O，焦点在轴上的椭圆与直线相交于P、Q两点，且，，求此椭圆方程。 解：设椭圆方程为，直线与椭圆相交于P、两点。 由方程组消去后得 由 又P、Q在直线，得上， （1） 把（1）代入，得 即 化简后，得 （4） ， 由，得 把（2）代入，得 代入（4）后，解得 由，得或，解得 。 或 所求椭圆方程为 评注：此题充分利用了韦达定理及“设而不求”的策略，简化了计算。 三. 充分利用曲线系方程 利用曲线系方程可以避免求曲线的交点，因此也可以减少计算。 典型例题 求经过两已知圆上的圆的方程。 解：设所求圆的方程为： 即 其圆心为C（ 又C在直线上，） ，解得，代入所设圆的方程得， 和0的交点，且圆心在直线：为所求。 评注：此题因利用曲线系方程而避免求曲线的交点，故简化了计算。 四、充分利用椭圆的参数方程 椭圆的参数方程涉及到正、余弦，利用正、余弦的有界性，可以解决相关的求最值的问题．这也是我们常说的三角代换法。 x2y2典型例题 P为椭圆221上一动点，A为长轴的右端点，B为短轴的上端点，求四边形OAPB面积的最ab大值及此时点P的坐标。 五、线段长的几种简便计算方法 ① 充分利用现成结果，减少运算过程 一般地，求直线与圆锥曲线相交的弦AB长的方法是：把直线方程如的方程，方程的两根设为，代入圆锥曲线方程中，得到型，判别式为△，则△，若直接用结论，能减少配方、开方等运算过程。 1k2·|a| 例 求直线被椭圆所截得的线段AB的长。 ② 结合图形的特殊位置关系，减少运算 在求过圆锥曲线焦点的弦长时，由于圆锥曲线的定义都涉及焦点，结合图形运用圆锥曲线的定义，可回避复杂运算。 例 、是椭圆的两个焦点，AB是经过的弦，若，求值|F2A||F2B| ③ 利用圆锥曲线的定义，把到焦点的距离转化为到准线的距离 例 点A（3，2）为定点，点F是抛物线取得最小值，求点P的坐标。 的焦点，点P在抛物线上移动，若