一、选择题（本大题共6小题，共18.0分）
2𝑥−1≥3
1. 不等式组{的解集在数轴上表示正确的是( )
−3𝑥−2<7
A.
B.
C.
D.
2. 下列各命题的逆命题成立的是( )
A. 两直线平行，同旁内角互补
B. 若两个数相等，则这两个数的绝对值也相等 C. 对顶角相等
D. 如果𝑎=𝑏，那么𝑎2=𝑏2
3. 如图，函数𝑦1=−2𝑥与𝑦2=𝑎𝑥+3的图象相交于点𝐴(𝑚,2)，则
关于x的不等式−2𝑥>𝑎𝑥+3的解集是( )
A. 𝑥>2 B. 𝑥<2 C. 𝑥>−1 D. 𝑥<−1
4. 如果关于x的不等式(𝑎+2014)𝑥>𝑎+2014的解集为𝑥<1.那么a的取值范围是( )
A. 𝑎>−2014
3
2
B. 𝑎<−2014 C. 𝑎>2014 D. 𝑎<2014
4(𝑥−1)≤2(𝑥−𝑎)
5. 不等式组{𝑥−11有3个整数解，则a的取值范围是( )
−𝑥<−1
A. −6≤𝑎<−5 B. −6<𝑎≤−5 C. −6<𝑎<−5 D. −6≤𝑎≤−5
6. 如图，在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶=90°，∠𝐶𝐴𝐵的平分线交BC于点D，DE
是AB的垂直平分线，垂足为E，若𝐵𝐶=6，则DE的长为( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
7. m的3倍与n的和不大于5，列不等式为______．
8. 在平面直角坐标系中，将点𝐴(3,−5)向左平移1个单位得到点𝐴′，那么𝐴′的坐标为______． 9. 如果点𝑃(𝑎−1,𝑎+2)向右平移2个单位长度正好落在y轴上，那么点P的坐标为___________． 10. 如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶=90°，𝐴𝐶=𝐵𝐶，AD是∠𝐵𝐴𝐶的平分线，
𝐷𝐸⊥𝐴𝐵于点𝐸.若𝐴𝐶=𝑚，𝐵𝐸=𝑛，则△𝐵𝐷𝐸的周长为__________．
11. 如图，将一个直角三角形纸片𝐴𝐵𝐶(∠𝐴𝐶𝐵=90°)沿线段CD折叠，使点B落在𝐵′处，若∠𝐴𝐶𝐵′=
70°，则∠𝐴𝐶𝐷的度数为________°．
12. 如图，在长方形ABCD中，𝐴𝐷=4，点P是直线AD上一动点，若满足△𝑃𝐵𝐶是等腰三角形的
点P有且只有3个，则AB的长为 ．
三、解答题（本大题共11小题，共88.0分）
13. 解不等式1−(2−𝑥)>3(𝑥−2)，并把它的解集表示在数轴上．
14. 图1、图2均是3×3的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上，
4
(1)点C在格点上，且△𝐴𝐵𝐶为等腰三角形，在图1中用黑色实心圆点标出点C所有可能的位置， (2)如图2，点D、M、N均在格点上，请用无刻度的直尺在线段MN上找到一点E，使线段𝐷𝐸=
12
𝐴𝐵.(保留作图痕迹)
15. 在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶<90°，将△𝐴𝐵𝐶在平面内绕点B顺时针旋转(旋转角不超过180°)，得到△
𝐷𝐵𝐸，其中点A的对应点为点D，连接CE，𝐶𝐸//𝐴𝐵．
(1)如图1，试猜想∠𝐴𝐵𝐶与∠𝐵𝐸𝐶之间满足的等量关系，并给出证明； (2)如图2，若点D在边BC上，𝐷𝐶=4，𝐴𝐶=2√19，求AB的长．
16. 如图，平面直角坐标系中，函数𝑦=−3𝑥+𝑏的图象与y轴相交于点B，与函数𝑦=−3𝑥的图象
相交于点A，且𝑂𝐵=5．
4
(1)求点A的坐标；
(2)求函数𝑦=−3𝑥+𝑏、𝑦=−3𝑥的图象与x轴所围成的三角形的面积．
4
17. 如图，△𝐴𝐵𝐶三个顶点的坐标分别为𝐴(1,1)，𝐵(4,2)，𝐶(3,4)．
(1)请画出△𝐴𝐵𝐶向左平移5个单位长度后得到的△𝐴1𝐵1𝐶1；
(2)把△𝐴𝐵𝐶绕A点顺时针旋转90°得到△𝐴𝐵2𝐶2，请画出△𝐴𝐵2𝐶2，并写出𝐵2的坐标．
F分别在AB、AC上，∠𝐴𝐶𝐵=90°，𝐶𝐹=𝐶𝐵，在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，点D、18. 如图，
连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE，连接EF． (1)求证：△𝐵𝐶𝐷≌△𝐹𝐶𝐸； (2)若𝐸𝐹//𝐶𝐷，求∠𝐵𝐷𝐶的度数．
19. 如图，点B、C、D在同一直线上，𝐴𝐵=𝐴𝐷=𝐶𝐷，∠𝐶=36°.求∠𝐵𝐴𝐷的度数．
20. 今年植树节期间某校20名学生共植树52棵，其中男生每人植树3棵，女生每人植树2棵，参
加植树的男生和女生各有多少名？
21. 如图．在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵>𝐴𝐶，边BC的垂直平分线DE交△𝐴𝐵𝐶的
外角∠𝐵𝐴𝑀的平分线于点D，垂足为E，𝐷𝐹⊥𝐴𝐵，垂足为𝐹.求证：𝐵𝐹=𝐴𝐶+𝐴𝐹．
22. 如图，已知B，D在线段AC上，且𝐴𝐵=𝐶𝐷，𝐴𝐸=𝐶𝐹，∠𝐴=∠𝐶
求证：(1)△𝐴𝐸𝐷≌△𝐶𝐹𝐵；(2)𝐵𝐹//𝐷𝐸．
23. 如图，∠𝐴𝑂𝐵=90°，OC为∠𝐴𝑂𝐵的平分线，点P为OC上一个动点，过点P作射线PE交OA
于点𝐸.以点P为旋转中心，将射线PE沿逆时针方向旋转90°，交OB于点F． (1)根据题意补全图1，并证明𝑃𝐸=𝑃𝐹；
(2)如图1，如果点E在OA边上，用等式表示线段OE，OP和OF之间的数量关系，并证明； OP和OF之间的数量关系． (3)如图2，如果点E在OA边的反向延长线上，直接写出线段OE，
【答案与解析】
1.答案：C
解析：
本题考查了在数轴上表示不等式组的解集，解决本题的关键是解不等式组.根据一元一次不等式组的解法求出不等式的解集，即可解答． 解：{
2𝑥−1≥3①
，
−3𝑥−2<7②
由①得：𝑥≥2， 由②得：𝑥>−3，
∴不等式组的解集为：𝑥≥2， 在数轴上表示解集如下：
故选C．
2.答案：A
解析：
此题主要考查了命题与定理，正确写出各命题的逆命题是解题关键． 分别写出各命题的逆命题进而判断各命题是否正确．
解：𝐴.两直线平行，同旁内角互补，逆命题是：同旁内角互补，两直线平行，正确，符合题意； B.若两个数相等，则这两个数的绝对值也相等，逆命题是：如果两数的绝对值相等，则这两数相等，逆命题不成立，不符合题意；
C.对顶角相等，逆命题是：如果两个角相等，则这两个角是对顶角，逆命题不成立，不符合题意； D.如果𝑎=𝑏，那么𝑎2=𝑏2，逆命题是：如果𝑎2=𝑏2，则𝑎=𝑏，逆命题不成立，不符合题意． 故选A．
3.答案：D
解析：解：∵函数𝑦1=−2𝑥过点𝐴(𝑚,2)， ∴−2𝑚=2，
解得：𝑚=−1， ∴𝐴(−1,2)，
∴不等式−2𝑥>𝑎𝑥+3的解集为𝑥<−1． 故选：D．
首先利用待定系数法求出A点坐标，再以交点为分界，结合图象写出不等式−2𝑥>𝑎𝑥+3的解集即可．
此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，关键是求出A点坐标．
4.答案：B
解析：
本题考查了不等式的基本性质和不等式的解集，解答此题学生一定要注意不等式两边同乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
不等式两边同时除以𝑎+2014即可求解不等式，根据不等式的性质可以得到𝑎+2014一定小于0，据此即可求解．
解：根据题意得：𝑎+2014<0， 解得：𝑎<−2014． 故选B．
5.答案：B
4(𝑥−1)≤2(𝑥−𝑎)①解析：解：{𝑥−11
−𝑥<−1②32解不等式①得：𝑥≤2−𝑎， 解不等式②得：𝑥>4，
∴不等式组的解集是4<𝑥≤2−𝑎，
4(𝑥−1)≤2(𝑥−𝑎)
∵不等式组{𝑥−11有3个整数解，
−𝑥<−132∴3个整数解是5，6，7， ∴7≤2−𝑎<8， 解得：−6<𝑎≤−5， 故选：B．
先求出不等式组的解集，再根据不等式组有3个整数解得出关于a的不等式组，求出即可． 本题考查了解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解的应用，解此题的关键是能根据题意求出关于a的不等式组．
6.答案：A
解析：
本题主要考查线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．由角平分线和线段垂直平分线的性质可求得∠𝐵=∠𝐶𝐴𝐷=∠𝐷𝐴𝐵=30°． 解：∵𝐷𝐸垂直平分AB， ∴𝐷𝐴=𝐷𝐵， ∴∠𝐵=∠𝐷𝐴𝐵， ∵𝐴𝐷平分∠𝐶𝐴𝐵， ∴∠𝐶𝐴𝐷=∠𝐷𝐴𝐵， ∵∠𝐶=90°， ∴3∠𝐶𝐴𝐷=90°， ∴∠𝐶𝐴𝐷=30°， ∴∠𝐵=30°，
∵𝐴𝐷平分∠𝐶𝐴𝐵，𝐷𝐸⊥𝐴𝐵，𝐶𝐷⊥𝐴𝐶， ∴𝐶𝐷=𝐷𝐸=𝐵𝐷，
21
∵𝐵𝐶=6， ∴𝐶𝐷=𝐷𝐸=2， 故选A．
7.答案：3𝑚+𝑛≤5
解析：
此题主要考查了列不等式，关键是要抓住题目中的关键词，如“大于(小于)、不超过(不低于)、是正数(负数)”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号．
首先表示“m的3倍与n的和”为3𝑚+𝑛，再表示“不大于5”可得3𝑚+𝑛≤5． 解：由题意得：3𝑚+𝑛≤5，
故答案为：3𝑚+𝑛≤5
8.答案：(2,−5)
解析：解：将点𝐴(3,−5)向左平移1个单位得到点𝐴′的坐标为(3−1,−5)，即(2,−5)， 故答案为：(2,−5)．
根据向左平移，横坐标减，向下平移，纵坐标减进行计算即可得解．
本题考查了坐标与图形的变换−平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
9.答案：(−2,1)
解析：
本题考查了坐标与图形变化−平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
根据向右平移横坐标加，y轴上的点的横坐标为0列方程求解即可． 解：∵点𝑃(𝑎−1,𝑎+2)向右平移2个单位长度后，正好落在y轴上， ∴𝑎−1+2=0， 解得𝑎=−1， ∴𝑃(−2,1)， 故答案为(−2,1)．
10.答案：𝑚+𝑛
解析：
本题考查的是角平分线的性质有关知识，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得𝐶𝐷=𝐷𝐸，然后判断出△𝐴𝐵𝐶和△𝐵𝐷𝐸是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得𝐵𝐸=𝐷𝐸，再求出𝐷𝐸+𝐵𝐷=𝐵𝐶，从而得解．
解：∵∠𝐶=90°，AD是∠𝐵𝐴𝐶的平分线，𝐷𝐸⊥𝐴𝐵， ∴𝐶𝐷=𝐷𝐸，
∵∠𝐶=90°，𝐴𝐶=𝐵𝐶， ∴△𝐴𝐵𝐶是等腰直角三角形， ∴𝐴𝐶=𝐵𝐶=𝑚，
又∵𝐷𝐸⊥𝐴𝐵，
∴△𝐵𝐷𝐸是等腰直角三角形， ∴𝐵𝐸=𝐷𝐸=𝐶𝐷=𝑛，
∵𝐷𝐸+𝐵𝐷=𝐶𝐷+𝐵𝐷=𝐵𝐶=𝐴𝐶=𝑚， ∴△𝐵𝐷𝐸的周长=𝑚+𝑛． 故答案为𝑚+𝑛．
11.答案：10
解析：
本题考查翻折变换的知识，属于中档题．
根据翻折的性质可知：∠𝐵𝐶𝐷=∠𝐵′𝐶𝐷，进行求解即可． 解：∵△𝐵′𝐶𝐷是由△𝐵𝐶𝐷翻折得到的，
∴∠𝐵𝐶𝐷=∠𝐵′𝐶𝐷，
又∵∠𝐵𝐶𝐷+∠𝐵′𝐶𝐷=∠𝐵′𝐶𝐵=∠𝐴𝐶𝐵+∠𝐴𝐶𝐵′=90°+70°=160°， ∴∠𝐵𝐶𝐷=80°，
又∵∠𝐴𝐶𝐷+∠𝐵𝐶𝐷=∠𝐴𝐶𝐵=90°， ∴∠𝐴𝐶𝐷=10°． 故答案为10．
12.答案：4或2√3
解析：
本题考查矩形的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，属于中考常考题型． 要求直线AD上满足△𝑃𝐵𝐶是等腰三角形的点P有且只有3个时的AB长，则需要分类讨论：①当𝐴𝐵=𝐴𝐷时；②当𝐴𝐵<𝐴𝐷时，③当𝐴𝐵>𝐴𝐷时． 解：①如图，当𝐴𝐵=𝐴𝐷时
满足△𝑃𝐵𝐶是等腰三角形的点P有且只有3个，
△𝑃1𝐵𝐶，△𝑃2𝐵𝐶是等腰直角三角形，△𝑃3𝐵𝐶是等腰直角三角形(𝑃3𝐵=𝑃3𝐶)， 则𝐴𝐵=𝐴𝐷=4．
②当𝐴𝐵<𝐴𝐷，且满足△𝑃𝐵𝐶是等腰三角形的点P有且只有3个时，如图，
易知𝑃2是AD的中点，𝐵𝐶=𝐵𝑃1=𝐵𝑃2=𝐶𝑃2=𝐶𝑃3
∴𝐵𝑃2=√22+𝐴𝐵2=√4+𝐴𝐵2
又∵𝐵𝑃1=𝐵𝐶，
∴√4+𝐴𝐵2=4
∴𝐴𝐵=2√3．
③当𝐴𝐵>𝐴𝐷时，直线AD上只有一个点P满足△𝑃𝐵𝐶是等腰三角形． 故答案为：4或2√3．
13.答案：解：不等式去分母得：3−3(2−𝑥)>4(𝑥−2)，
去括号得：3−6+3𝑥>4𝑥−8， 移项合并得：𝑥<5，
解析：不等式去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解集，再在数轴上表示出来． 此题考查了解一元一次不等式，以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握运算法则是解本题的关
键．
14.答案：解：(1)如图1所示；
(2)如图2所示；
解析：(1)根据等腰三角形的性质即可得到结论； (2)根据平行双绞线的性质和三角形的中位线的性质即可得到结论．
此题主要考查了作图−应用与设计作图，以及勾股定理，关键是正确根据题目要求画出图形．
15.答案：解：(1)∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐵𝐸𝐶
理由如下：∵旋转
∴𝐵𝐸=𝐵𝐶 ∴∠𝐵𝐶𝐸=∠𝐵𝐸𝐶 ∵𝐶𝐸//𝐴𝐵 ∴∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐵𝐶𝐸 ∴∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐵𝐸𝐶
(2)如图，过点D作𝐷𝐹⊥𝐶𝐸于点E，
∵旋转
∴𝐴𝐶=𝐷𝐸=2√19，𝐵𝐶=𝐵𝐸，∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐷𝐵𝐸，𝐴𝐵=𝐵𝐷 ∴∠𝐵𝐸𝐶=∠𝐵𝐶𝐸，
∵𝐶𝐸//𝐴𝐵 ∴∠𝐵𝐶𝐸=∠𝐴𝐵𝐶 ∴∠𝐷𝐵𝐸=∠𝐵𝐸𝐶=∠𝐵𝐶𝐸
∴△𝐵𝐶𝐸是等边三角形
∴𝐵𝐶=𝐵𝐸=𝐸𝐶，∠𝐷𝐶𝐸=60°，且𝐷𝐹⊥𝐶𝐸，
∴∠𝐶𝐷𝐹=30°
∴𝐶𝐹=𝐶𝐷=2，𝐷𝐹=√3𝐶𝐹=2√3
21
在𝑅𝑡△𝐷𝐸𝐹中，𝐸𝐹=√𝐷𝐸2−𝐷𝐹2=√76−12=8
∴𝐶𝐸=𝐸𝐹+𝐶𝐹=10=𝐵𝐶 ∴𝐵𝐷=𝐵𝐶−𝐶𝐷=10−4=6=𝐴𝐵
解析：(1)由旋转的性质可得𝐵𝐶=𝐵𝐸，可得∠𝐵𝐶𝐸=∠𝐵𝐸𝐶，由平行线的性质可得∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐵𝐶𝐸=∠𝐵𝐸𝐶；
(2)过点D作𝐷𝐹⊥𝐶𝐸于点E，由旋转的性质可得𝐴𝐶=𝐷𝐸=2√19，𝐵𝐶=𝐵𝐸，∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐷𝐵𝐸，可证△𝐵𝐶𝐸是等边三角形，由直角三角形的性质可求CF的长，由勾股定理可求EF的长，可得𝐶𝐸=𝐵𝐶=10，即可得𝐵𝐷=𝐴𝐵的长．
本题考查了旋转的性质，平行线的性质，勾股定理，熟练运用旋转的性质解决问题是本题的关键．
16.答案：解：(1)由𝑂𝐵=5可得𝐵(0,−5)，
把(0,−5)代入𝑦=−3𝑥+𝑏，可得 𝑏=−5，
∴函数关系式为𝑦=−3𝑥−5， 解方程组{
𝑦=−3𝑥−5𝑦=−𝑥
34
𝑥=−3
，可得{，
𝑦=4
∴点A的坐标为(−3,4)；
(2)设直线AB与y轴交于点C，则点C的坐标为(−3,0)，𝐶𝑂=3， 所围成的三角形即为△𝐴𝐶𝑂， 如图，过A作𝐴𝐸⊥𝑥轴于E， 由𝐴(−3,4)可得𝐴𝐸=4，
∴𝑆△𝐴𝐶𝑂=2×𝐴𝐸×𝐶𝑂=2×4×3=
1
1
5
103
5
5
．
解析：(1)把𝐵(0,−5)代入𝑦=−3𝑥+𝑏，可得函数关系式为𝑦=−3𝑥−5，再根据方程组即可得到点A的坐标为(−3,4)；
(2)设直线AB与y轴交于点C，则𝐶𝑂=3，所围成的三角形即为△𝐴𝐶𝑂，过A作𝐴𝐸⊥𝑥轴于E，即
5
可利用三角形面积公式得出结论．
本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征以及三角形面积计算公式的运用，解决问题的关键是掌握：直线上任意一点的坐标都满足函数关系式𝑦=𝑘𝑥+𝑏．
17.答案：解：(1)如图所示：△𝐴1𝐵1𝐶1即为所求；
(2)如图所示：△𝐴𝐵2𝐶2即为所求， 𝐵2的坐标为：(2,−2)．
解析：此题主要考查了平移变换以及旋转变换，得出对应点位置是解题关键． (1)利用平移的性质得出平移后点的坐标进而得出答案； (2)利用旋转的性质得出旋转后点的坐标进而得出答案．
18.答案：(1)证明：∵将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE，
∴𝐶𝐷=𝐶𝐸，∠𝐷𝐶𝐸=90°， ∵∠𝐴𝐶𝐵=90°，
∴∠𝐵𝐶𝐷=90°−∠𝐴𝐶𝐷=∠𝐹𝐶𝐸， 在△𝐵𝐶𝐷和△𝐹𝐶𝐸中， 𝐶𝐵=𝐶𝐹
{∠𝐵𝐶𝐷=∠𝐹𝐶𝐸， 𝐶𝐷=𝐶𝐸
∴△𝐵𝐶𝐷≌△𝐹𝐶𝐸(𝑆𝐴𝑆)．
(2)解：由(1)可知△𝐵𝐶𝐷≌△𝐹𝐶𝐸， ∴∠𝐵𝐷𝐶=∠𝐸，∠𝐵𝐶𝐷=∠𝐹𝐶𝐸，
∴∠𝐷𝐶𝐸=∠𝐷𝐶𝐴+∠𝐹𝐶𝐸=∠𝐷𝐶𝐴+∠𝐵𝐶𝐷=∠𝐴𝐶𝐵=90°，
∵𝐸𝐹//𝐶𝐷，
∴∠𝐸=180°−∠𝐷𝐶𝐸=90°， ∴∠𝐵𝐷𝐶=90°．
解析：(1)由旋转的性质可得：𝐶𝐷=𝐶𝐸，再根据同角的余角相等可证明∠𝐵𝐶𝐷=∠𝐹𝐶𝐸，再根据全等三角形的判定方法即可证明△𝐵𝐶𝐷≌△𝐹𝐶𝐸；
(2)由(1)可知：△𝐵𝐶𝐷≌△𝐹𝐶𝐸，所以∠𝐵𝐷𝐶=∠𝐸，易求∠𝐸=90°，进而可求出∠𝐵𝐷𝐶的度数． 本题考查了全等三角形的判定和性质、同角的余角相等、旋转的性质、平行线的性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
19.答案：解：∵𝐴𝐷=𝐷𝐶
∴∠𝐷𝐴𝐶=∠𝐶， ∵∠𝐶=36°， ∴∠𝐷𝐴𝐶=36°，
∴∠𝐵𝐷𝐴=∠𝐶+∠𝐷𝐴𝐶═72°， ∵𝐴𝐵=𝐴𝐷
∴∠𝐵𝐷𝐴=∠𝐵=72°，
∴∠𝐵𝐴𝐷=180°−∠𝐵𝐷𝐴−∠𝐵=36°．
解析：首先利用等腰三角形的性质求得∠𝐷𝐴𝐶的度数，然后求得∠𝐵𝐷𝐴的度数，最后利用三角形的内角和求得∠𝐵𝐴𝐷的度数．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
20.答案：解：设参加植树的男生有x人，女生有y人，
𝑥+𝑦=20
根据题意，得：{，
3𝑥+2𝑦=52𝑥=12
解得：{，
𝑦=8
答：参加植树的男生有12名，女生有8人．
解析：设参加植树的男生有x人，女生有y人，根据：“男、女生共20人、植树共52棵”列方程组求解可得．
本题主要考查二元一次方程组的应用，挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组是关键．
21.答案：证明：过D作𝐷𝑁⊥𝐴𝐶，垂足为N，连接DB、DC，
则𝐷𝑁=𝐷𝐹(角平分线性质)，𝐷𝐵=𝐷𝐶(线段垂直平分线性质)， 又∵𝐷𝐹⊥𝐴𝐵，𝐷𝑁⊥𝐴𝐶， ∴∠𝐷𝐹𝐵=∠𝐷𝑁𝐶=90°， 在𝑅𝑡△𝐷𝐵𝐹和𝑅𝑡△𝐷𝐶𝑁中
𝐷𝐵=𝐷𝐶
∵{, 𝐷𝐹=𝐷𝑁
∴𝑅𝑡△𝐷𝐵𝐹≌𝑅𝑡△𝐷𝐶𝑁(𝐻𝐿) ∴𝐵𝐹=𝐶𝑁，
在𝑅𝑡△𝐷𝐹𝐴和𝑅𝑡△𝐷𝑁𝐴中
𝐴𝐷=𝐴𝐷∵{, 𝐷𝐹=𝐷𝑁
∴𝑅𝑡△𝐷𝐹𝐴≌𝑅𝑡△𝐷𝑁𝐴(𝐻𝐿) ∴𝐴𝑁=𝐴𝐹，
∴𝐵𝐹=𝐴𝐶+𝐴𝑁=𝐴𝐶+𝐴𝐹， 即𝐵𝐹=𝐴𝐹+𝐴𝐶．
解析：本题考查了全等三角形的性质和判定，线段的垂直平分线定理，角平分线性质等知识点，会添加适当的辅助线，会利用中垂线的性质找出全等的条件是解此题的关键．过D作𝐷𝑁⊥𝐴𝐶，垂足为N，连接DB、DC，推出𝐷𝑁=𝐷𝐹，𝐷𝐵=𝐷𝐶，根据HL证𝑅𝑡△𝐷𝐵𝐹≌𝑅𝑡△𝐷𝐶𝑁，推出𝐵𝐹=𝐶𝑁，根据HL证𝑅𝑡△𝐷𝐹𝐴≌𝑅𝑡△𝐷𝑁𝐴，推出𝐴𝑁=𝐴𝐹即可．
22.答案：证明：(1)∵𝐴𝐵=𝐶𝐷，
∴𝐴𝐵+𝐵𝐷=𝐶𝐷+𝐵𝐷，
即𝐴𝐷=𝐶𝐵， 在△𝐴𝐸𝐷和△𝐶𝐹𝐵中，
𝐴𝐸=𝐶𝐹{∠𝐴=∠𝐶 𝐴𝐷=𝐶𝐵
∴△𝐴𝐸𝐷≌△𝐶𝐹𝐵(𝑆𝐴𝑆)； (2)∵△𝐴𝐸𝐷≌△𝐶𝐹𝐵， ∴∠𝐵𝐷𝐸=∠𝐷𝐵𝐹， ∴𝐵𝐹//𝐷𝐸．
解析：(1)证出𝐴𝐷=𝐶𝐵，由SAS证明△𝐴𝐸𝐷≌△𝐶𝐹𝐵即可； (2)由全等三角形的性质得出∠𝐵𝐷𝐸=∠𝐷𝐵𝐹，即可得出结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定；熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键．
23.答案：解：(1)补全图形(如图1)；
理由：如图1中，作𝑃𝑄⊥𝑃𝑂交OB于Q
∴∠𝑂𝑃𝑄=∠𝐸𝑃𝐹=90°
∴∠𝐸𝑃𝑂=∠𝐹𝑃𝑄，
又∵𝑂𝐶平分∠𝐴𝑂𝐵，∠𝐴𝑂𝐵=90°， ∴∠𝐸𝑂𝑃=∠𝑃𝑂𝐵=45°， 又∵∠𝑃𝑂𝑄+∠𝑂𝑄𝑃=90°， ∴∠𝑃𝑄𝑂=45°，
∴∠𝑃𝑂𝐸=∠𝑃𝑄𝐹=∠𝑃𝑂𝑄， ∴𝑃𝑂=𝑃𝑄．
∴△𝐸𝑃𝑂≌△𝐹𝑃𝑄(𝐴𝑆𝐴)，
∴𝑃𝐸=𝑃𝐹，
(2)结论：线段OE，OP和OF之间的数量关系是𝑂𝐹+𝑂𝐸=√2𝑂𝑃． 理由：如图1中，∵△𝐸𝑃𝑂≌△𝐹𝑃𝑄， ∴𝑂𝐸=𝐹𝑄．
又∵𝑂𝑄=𝑂𝐹+𝐹𝑄=𝑂𝐹+𝑂𝐸， 又∵𝑂𝑄=√2𝑂𝑃， ∴𝑂𝐹+𝑂𝐸=√2𝑂𝑃．
(3)结论：线段OE，OP和OF之间的数量关系是𝑂𝐹−𝑂𝐸=√2𝑂𝑃．
理由：如图1中，作𝑃𝑄⊥𝑃𝑂交OB于Q
∴∠𝑂𝑃𝑄=∠𝐸𝑃𝐹=90°
∴∠𝐸𝑃𝑂=∠𝐹𝑃𝑄，
又∵𝑂𝐶平分∠𝐴𝑂𝐵，∠𝐴𝑂𝐵=90°， ∴∠𝐴𝑂𝑃=∠𝑃𝑂𝐵=45°， 又∵∠𝑃𝑂𝑄+∠𝑂𝑄𝑃=90°， ∴∠𝑃𝑄𝑂=45°，
∴∠𝑃𝑂𝐴=∠𝑃𝑄𝑂=∠𝑃𝑂𝑄=45°， ∴𝑃𝑂=𝑃𝑄，∠𝑃𝑂𝐸=∠𝑃𝑄𝐸=135°， ∴△𝐸𝑃𝑂≌△𝐹𝑃𝑄(𝐴𝑆𝐴)， ∴𝑃𝐸=𝑃𝐹，𝑂𝐸=𝐹𝑄． 又∵𝑂𝑄=𝑂𝐹−𝐹𝑄=𝑂𝐹−𝑂𝐸， 又∵𝑂𝑄=√2𝑂𝑃， ∴𝑂𝐹−𝑂𝐸=√2𝑂𝑃．
解析：(1)根据题意画出图形，证明△𝐸𝑃𝑂≌△𝐹𝑃𝑄(𝐴𝑆𝐴)即可．
(2)结论：线段OE，OP和OF之间的数量关系是𝑂𝐹+𝑂𝐸=√2𝑂𝑃.利用等腰直角三角形以及全等三角形的性质即可解决问题．
(3)结论；线段OE，OP和OF之间的数量关系是𝑂𝐹−𝑂𝐸=√2𝑂𝑃.证明方法类似．
本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
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