三角形全等证明常用辅助线作法(倍长中线、截长补短)

初中阶段三角形有三条重要的、也是最基本的线段：三角形的高线、中线、角平分线。三种线段各有其重要信息反馈，就中线而言，它具有的功能：

①必有相等的线段 ②必有相等的面积

③必有倍长中线构成全等。本专题只讨论倍长中线的问题。

【基本原理】：如图所示，AD是△ABC的中线，延长AD至E点，使DE＝AD，得到△ADC≌△EDB。

口诀：图形有中线，倍长延中线，连接另一端，全等尽呈现。

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【模型实例】：如图，在△ABC中，AD是BC边的中线，E是AD上一点，连接BE并延长交AC于F点，AF=EF，求证：AC=BE

证明： 如图所示。延长AD至G点，使DG=AD，连接BG。

ADGD在△ADC与△GDB中，ADCGDB BDCD①作倍长中线 ②证全等 ∴△ADC≌△GDB

∴BG=AC，∠ 1=∠G ③列出需要用的结果 又因为AF=EF ∴∠1=∠2=∠3 ④转化替代 ∴∠3=∠G ∴BG=BE（等角对等边）

⑤得出结果

∴AC=BE 2

【练习1】 ：如图，在在△ABC中，D为BC的中点，求证：ABAC2AD

【练习2】

：如图，在△ABC中，D为BC的中点,且AD是角平分线。 求证：AB=AC

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【练习3】 ：AD是△ABC的中线，分别以AB边、AC边为直角边向外作等腰直角三角形，求证：EF=2AD

【练习4】 ：在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF与DC的延长线相交于F点。试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论。

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截长补短专题

要证明两条线段之和等于第三条线段，可以采用“截长补短”法。 ①截长法：把较长的线段截取一段等于两较短线中的一条； ②补短法：把两条较短的线段补成一条，再证与长线段相等。 【模型实例】：如图，△ABC中，∠1=∠2，∠B=2∠C。求证：AC=AB+BD

方法一：截长(利用角平分线构建全等三角形)

分析：如图，在AC上截AE=AB，连接DE。易得△ABD≌AED（边角边SAS），BD=DE，∠B=∠3=2∠C，∴∠4=∠C，得出DE=EC。∴AC=AE+EC=AB+BD

方法二：补短(利用角平分线构建全等三角形)

分析：如图，延长AB至点E，使BE=BD，连接DE。∠E=∠BDE，所以 ∠ABD=2∠E，∠E=∠C；△AED≌ACD（AAS），所以AC=AE=AB+BD

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【练习1】 ：如图，AD∥BC，AE、BE分别平分∠BAD和∠ABC，CD过E点。6

求证：AB=AD+BC

(利用角平分线构建全等三角形)

【练习2】 ：如图，已知△ABC中，AB=AC，BE平分∠ABC交边AC于E。 （1）如图1，当∠BAC=1080时，证明BC=AB+CE

（2）如图2，当∠BAC=1000时，证明BC=BE+AE。（提示：在BC上截BF=BE，连接EF；延长BA至点D，使BD=BE，连接ED） (利用角平分线构建全等三角形)

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【练习3】 ：在正方形ABCD中，E、F分别是DC、BC上的点，∠EAF=450； 求证：EF=BF+DE

(提示：延长FB至E'点，使BE'=DE，连接AE'。先证△ADE≌△ABE'，再证△AEF≌△AE'F。也可能想像成把△ADE绕A点顺时针旋转900至△ABE'处)

【练习4】：如图，AB=AC，∠A=900，BD平分∠ABC，CE⊥BE，求证：CE(补短，利用角平分线构建全等三角形)

1BD 2

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