误差理论与数据处理第三章复习

误差合成与分配

第三章

主要内容

第一节第二节第三节第四节第五节第六节

函数误差

随机误差的合成

未定系统误差与随机误差合成误差分配

微小误差取舍准则最佳测量方案的确定

一、函数系统误差

间接测量数学模型

yf(x1,x2,...,xn)函数系统误差y公式

fffyx1x2...xnx1x2xn二、函数随机误差

、函数标准差计算

1则可得

f22f22f22y()x1()x2()xnx1x2xn2ff2(ijxixj)1ijxixjn相互独立的函数标准差计算

若各测量值的随机误差是相互独立的，相关项Dijij0fff222yx1xnx2x1x2xn令

222faixiya212x1a2x2anxn2222函数的极限误差公式

yaa2an212x122x222xn2、相关系数估计

相关系数的确定－直接判断法

0ij可判断的情形

断定xi与xj两分量之间无相互依赖关系

当一个分量依次增大时，引起另一个分量呈

正负交替变化，反之亦然

当xi与xj属于完全不相干的两类体系分量当xi与xj虽相互有影响，但影响甚微，视为可忽略不计的弱相关

相关系数的确定－直接判断法

可判断ij1或ij1的情形

断定xi与xj两分量间近似呈现正、负线性关系当一个分量依次增大时，引起另一个分量依次增大或减小，反之亦然

当xi与xj属于同一体系的分量，如用1m基准尺测2m尺，则各米分量间完全正相关

相关系数的统计计算公式

由(i)的多组测量对应值(jik下统计公式计算相关系数

x,xx,xjk)按如

(xi,xj)(xkikxi)(xjkxj)2(xkikxi)(xkjkxj)2第三章

主要内容

第一节第二节第三节第四节第五节第六节

函数误差

随机误差的合成

未定系统误差与随机误差合成误差分配

微小误差取舍准则最佳测量方案的确定

第二节随机误差的合成一、按标准差合成二、按极限误差合成

一、按标准差合成

qq(a)2aaiiijijij2i11ij合成标准差的特殊情形

ij0ai1→

q(a2ii)i1q2ii1→二、按极限误差合成

单项极限误差ikikii1,2,...,qii合成极限误差k合成极限误差计算公式

aii2ijk()2ijaiajkikikji11ijqq合成极限误差特殊情形

k1k2kqkqq(a)2aaiiijijij2i11ijij0ai1→

i1q2i第三章

主要内容

第一节第二节第三节第四节第五节第六节

函数误差

随机误差的合成

未定系统误差与随机误差合成误差分配

微小误差取舍准则最佳测量方案的确定

按标准差合成

1,2,,q2→s1,s2,,sri1q2isR2jj1r2当各个误差之间互不相关

→s2ii1j1qr22jN 次重复测量情形

单次测量

n次重复测量

最后结果的总标准差

qr22iji12sj1测量结果平均值的标准差公式

qr21n22ii1sjj1按极限误差合成

1,2,,q1,e2,,er2当各个误差之间互不相关

2qr22总总kkjej1hkjh1kRh总总qr222jehj1h1→e→

N 次重复测量情形

单次测量

n次重复测量

最后结果的总误差

qr222总总jhj1eh1总极限误差

qr2总总122njj1ehh1第三章

主要内容

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函数误差

随机误差的合成

未定系统误差与随机误差合成误差分配

微小误差取舍准则最佳测量方案的确定

第四节误差分配

基本思想

一、按等影响原则分配误差二、按可能性调整误差三、验算调整后的总误差

第四节误差分配

基本思想

一、按等影响原则分配误差二、按可能性调整误差三、验算调整后的总误差

一、按等影响原则分配误差

y1y2ynyifiaiixiyn↓

→

y11inf/xinai11inf/xinaiy二、按可能性调整误差

按等影响原则分配误差的不合理性

(1) 对各分项误差平均分配的结果，会造成对部分测量误差的需求实现颇感容易，而对令一些测量误差的要求难以达到。这样，势必需要用昂贵的高准确度等级的仪器，或者以增加测量次数及测量成本为代价。

(2) 当各个部分误差一定时，则相应测量值的误差与其传播系数成反比。所以各个部分误差相等，相应测量值的误差并不相等，有时可能相差较大。

在等影响原则分配误差的基础上，根据具体情况进行适当调整。对难以实现测量的误差项适当扩大，对容易实现的误差项尽可能缩小，其余误差项不予调整。

三、验算调整后的总误差

误差按等影响原理确定后，应按照误差合成公式计算实际总误差，若超出给定的允许误差范围，应选择可能缩小的误差项再进行缩小。若实际总误差较小，可适当扩大难以实现的误差项的误差，合成后与要求的总误差进行比较，直到满足要求为止。

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函数误差

随机误差的合成

未定系统误差与随机误差合成误差分配

微小误差取舍准则最佳测量方案的确定

基本概念

微小误差

测量过程包含有多种误差时，当某个误差对测量结果总误差的影响，可以忽略不计的误差

测量结果的标准差：

y2y12y22y(k1)2yk2y(k1)2yn将其中的部分误差若有

yk取出后，则得：

22222yy1y2y(k1)y(k1)ynyy则称yk为微小误差

基本取舍准则

测量误差的有效数字取一位

某项部分误差舍去后，满足

yk(0.4~0.3)y或测量误差的有效数字取二位

yk(0.14~0.1)y或

ykyk1y3则对测量结果的误差计算没有影响。

1y10对于随机误差和未定系统误差，微小误差舍区准则是被舍去的误差必须小于或等于测量结果的十分之一到三分之一。

对于已定系统误差，按百分之一到十分之一原则取舍。

第三章主要内容

第一节第二节第三节第四节第五节第六节

函数误差

随机误差的合成

未定系统误差与随机误差合成误差分配

微小误差取舍准则最佳测量方案的确定

基本概念

最佳测量方案的确定

当测量结果与多个测量因素有关时，采用什么方法确定各个因素，才能使测量结果的误差最小。函数的标准差

fff222yx1xnx2x1x2xn222欲使y为最小，可从哪几方面来考虑？

一、选择最佳函数误差公式

间接测量中如果可由不同的函数公式来表示，则应选取包含直接测量值最小的函数公式。

不同的数学公式所包含的直接测量值数目相同，则应选取误差误差较小的直接测量值的函数公式。

二、使误差传播系数尽量小

若使各个测量值对函数的误差传播系数f/xi0或为最小，则函数误差可相应减少。

根据这个原则，对某些测量实践，尽管有时不可能达到使f/xi等于零的测量条件，但却指出了达到最佳测量方案的趋向。