具有连续变量的脉冲偏差分方程解的振动性

第２８卷第２期　２０１０年３月　北京工商大学学报（自然科学版）　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｂｅｉｊｉｎｇ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ　ａｎｄ　Ｂｕｓｉｎｅｓｓ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　Ｅｄｉｔｉｏｎ）　Ｖ０１．２８　ＮＯ．２　Ｍａｒ．２０１０　７９　文章编号：１６７１—１５１３（２０１０）０２—００７９—０４　具有连续变量的脉冲偏差分方程解的振动性　司文艺，　侯成敏　（延边大学数学系，吉林延吉　１３３００２）　摘　要：考虑一类具有连续变量的脉冲偏差分方程　ｆＡ（　＋７－，Ｙ）＋Ａ（　，Ｙ＋　『）一Ａ（　，Ｙ）＋ｐ（　，Ｙ）Ａ（　一玎，Ｙ—ｌｒ）＝０，　≥　ｏ；ｙ≥），０一　，　≠　＾，　【Ａ（　＋　，Ｙ）＋Ａ（　，Ｙ＋ｒ）一Ａ（ｘ　，Ｙ）＝ｂｋＡ（　，Ｙ），Ｖ　Ｙ∈［Ｙ０—７Ｉ，∞），ｋ∈Ｎ（１）．　其中ｐ（　，），）／＞０是［　。，∞）×［Ｙ。一ｒ，∞）上的非负连续函数，　＞０，ｂ　是常数，ｒ和ｚ是正整数，０≤　。＜　＜…＜　＜…，且　。。・获得了此类方程所有解是振动的充分条件・　关键词：具有连续变量的偏差分方程；脉冲；振动　中图分类号：０１７５．７　文献标志码：Ａ　（Ｚ＋１）ｒ｝＼｛（　，Ｙ）ｌ　≥　。，Ｙ≥Ｙ０｝．　１　问题的提出　定义Ｒ为所有实数的集合，Ⅳ为所有整数的集　合．对任意ａ∈Ｒ，令Ｎ（ａ）＝｛ａ，ａ＋１，…，｝．对任　意　，７－Ｅ　Ｒ，，∈Ｒ（１），令Ｎ（　一玎，　）＝｛　—ｒ７－，　一　（ｒ一１）ｒ，…，　｝．　（　定义１．对于给定的‰≥０，Ｙ。≥０和　∈　。），如果实值函数ａ（ｘ，），）定义在［　。一ｒ丁，∞）×　［Ｙ　一（Ｚ＋１）ｒ，∞）上，并且满足方程（１）和初值条　件　Ａ（　，Ｙ）＝　（　，Ｙ），（　，Ｙ）∈　）０，　（２）　考虑具有连续变量的脉冲偏差分方程　Ａ（　＋Ｊｒ，Ｙ）＋Ａ（　，Ｙ＋　）一Ａ（　，Ｙ）＋　Ｐ　ｘ，Ｙ）Ａ（　一玎，Ｙ—Ｊｒ）＝０，　≥　０；），≥Ｙｏ—ｒ，　≠　，　（１）　则称Ａ（　，Ｙ）是方程（１）的一个解．　对给定的　。Ｉ＞０，Ｙ。＞１０和　∈　（　。），通过递推　方法可知，方程（１）的解存在且唯一．　定义２．如果方程（１）的解既不是最终正解也　不是最终负解，则称它是振动的；否则，称它是非振　动的．　Ａ（　＋　，Ｙ）＋Ａ（　，Ｙ＋７＿）一Ａ（　，Ｙ）＝　６　ａ（ｘ　，Ｙ），ＶＹ∈［Ｙｏ—ｒ，　），ｋ∈Ｎ（１）．　其中Ｐ（　，Ｙ）＞１０在［　ｏ，∞）×［），０一　『，　）上连续，　＞　当｛　｝＝　，即｛　ｆ是空集时，方程（１）可以化　简为偏差分方程　０，ｂ　是常数，ｒ和ｚ是正整数，０≤　０＜　＜…＜　＜　…Ａ（　＋　，Ｙ）＋　（　，Ｙ＋Ｊ『）一　（　，Ｙ）＋Ｐ（　，Ｙ）・　Ａ（　一ｒ下，Ｙ～Ｚ丁）＝０，　≥　０，Ｙ≥Ｙ０一丁．　（３）　，且　ｉｍ　＝　．对任意　。，Ｙ０≥０，令　（　。）＝　｛咖：　一　Ｉ对任意　∈［　。一ｒ　，　。］，咖（　，Ｙ）关于Ｙ　连续．对任意（　，），）∈　，　（　，Ｙ）是有限的．对任意　Ｙ　Ｅ［Ｙ一（Ｚ＋１）　，Ｙ０一ｒ］和　∈［　０一仃，　０］，　（　，　具有连续变量的非脉冲偏差分方程的振动性已经被　很多学者所研究，例如，参看文献［１—４］．然而，目　前，对具有连续变量的脉冲时滞差分方程的研究却　很少．如果存在正整数序列｛ｍ　｝，使得当　一∞时，　ｍ　一。。，ｂ　≤一１，那么方程（１）的所有解都是振动　ｙ）的右极限西（　，Ｙ）和左极限咖（　一，　）存在，且西　（（　。一，１＿）　，Ｙ）和　（ｘｏ，Ｙ）也存在｝．其中　，　＝｛（　，Ｙ）ｌ　≥　０一ｒ，ｒ，Ｙ≥Ｙ０一　的．因此，我们总假设对任意ｋ∈Ｎ（１），有ｂ　＞一１．　收稿１３期：２００９—０５—１０　基金项目：国家自然科学基金资助项目（１０６６１０１１）．　作者简介：司文艺（１９８４一），女，吉林长春人，硕士研究生，研究方向为泛函微分方程　８０　北京工商大学学报（自然科学版）　２０１０年３月　２　主要结果　在本文，为了方便我们令　Ａ（　，Ｙ一・　）　Ａ（　，　一（Ｚ一１）．ｒ）　Ａ（　，Ｙ一（１—１）Ｊｒ）Ａ（　，Ｙ一（１—２）　）　＝　卫一　（　等　－１　（　）～＝　一兀　（１＋６　）～　１，（１＋ｂ．－１　Ｉ　ｘｋ｝－＝Ｉ．　下面的定理给出了方程（１）的解是振动的充分　√　条件．　定理１．假设　（ｉ）　Ｌ　，，，一　ｓ　［（１＋ｂ　）　“　Ｅ　（：　ｎ　，Ｈ）　（１＋　ｂ　）　］＜ｏ。，　（４）　ｒ　（ｉｉ）　（¨）一　ｌ　ｉ　ＥⅣ（￣　∑　ｐ（－ｒＴ　ｒ）‘　　，Ｙ—ｚｒ）＋　］　，　』Ｅ　ｔＹ　∑　ｐ（，ｙ—Ｔ　Ｊ　　，　）ｌ×ｆ　ｌ一　（１＋ｂ）　ｊ・　∈ｒ　　ｃ…Ｅ　　（…ｒ，Ｈ…）、　　］＞古　＼，十　－ｒ　／　．㈩　则方程（１）的所有解都是振动的．　证明．如若不然，不妨假设存在方程（１）的最终　正解Ａ（　，），）．不失一般性，假设对　≥　。一ｒ　，ｙ≥　Ｙ。一（Ｚ＋１）ｆ，有Ａ（　，Ｙ）＞０．令　（　，ｙ）：　，　≥　。，ｙ≥ｙ。一ｒ，（６）　由方程（１）得，　！　±！！　２±　！兰！　±　２＝　Ａ（　，Ｙ）　１一Ｐ（　，Ｙ）　（　，ｙ），　≠　，　且　且———　—～　：ｌ　．　因此　≥［１一ｐ（　，ｙ）　（　，ｙ）］一ｌ，　≠　，　（７）　≥［１一ｐ（　，ｙ）　（　，），）］一ｌ，　≠　，　（８）　（　＋　ｒ，），）　‘　）　≥（１＋ｂ　）１．　（９）　根据方程（７）、（８）、（９），可得　＝　＝　Ａ（　一阿，　—Ｚｒ）　Ａ（　一（ｒ一１）７．，　—ｌｚ）　（１一ｐ（　，ｙ一打）　（　，Ｙ—ｆｒ））～×　兀　・　Ｊ　Ｅ　Ｖｔｙ一　，ｙ—　Ｊ　Ｅｆ　ｆ　（１一ｐ（　，　）Ｗ（　，Ｊ．））一　×（１＋ｂ　）…－ｌ　｛　｝・　Ｈ　（１＋６　）－Ｉ．　利用算数平均值和几何平均值的不等式，可以得到　≥｛卜　∽‘　］一　），一　ｒ　＋批ＪＥ　Ｎ（ｙ　．　一　，—ｆ　．ｙ—Ｔ）　ｐ　√　‘　√’ＪＩ　ｊ　Ｉ　’　（１　）…－ｌ　｝　兀　（１＋ｂｋ）－１．　由方程（１）知，　０≤　∑　ｐ（　，Ｙ—ｚｒ）　（　，），一ｚ　ｒ）＋　ｌ￡／ｖ（　一　ｒ，　—ｆ　Ｊ　∈１　ｘｋ｝　∑ｐ（ｘ，　）加（　，　）＜ｒ＋１．　Ｅ　Ｖ（ｙＺｔ￣＂，ｙ　ｒ　Ｊ　∈｛　　『运用不等式　１一　）一　≥　一　，，　我们得到　．　（　，ｙ）≥　Ｊ　…Ｚ　，…，ｐ（　，ｙ—　ｌｚ）ｗ（　，ｙ—ｚ　）＋　∑　ｐ（Ｎ　（ｙ　，Ｊ．ｌ　ｒ　Ｑ，　）　）　（　，　）ＩＪ　‘　∈∈｛　　『（１＋ｂ　）ｊｌ　｝　ｎ　（１＋６　）　≥　！　（１　６　）　Ｈ　（１　，　，　一　ｂ　）一　｛ｍｉｎ（Ｗ（ｉ，　）Ｉ（ｉ，　）∈Ⅳ（　～ｒｒ，　）Ⅳ（Ｙ～　Ｉｚ，Ｙ—ｒ）｝｝．　由方程（５），选取常数０＞１和Ｘ。，ｙｎ＞０，使得　（ｒ＋ｆ）　…ＩＩ∑ｐ　（　一　）　（ｉ，ｙ－∽＋“　　］　∑　ｐ（　，　）Ｉ（１＋ｂ　一－ｌ　Ｈ　‘　，∈　Ｖ　Ｌ　ｙ－Ｉｔ　，　—ｒ　Ｊ　Ｅ　【　一ｒｔ，　，，Ｅ｛　‘『　第２８卷第２期　司文艺等：具有连续变量的脉冲偏差分方程解的振动性　８ｌ　（１＋ｂ＾）一　＞　＞１，　＞Ｘｏ，Ｙ＞ｙ　．　因此　ｗ（　，Ｙ）≥０ｍｉｎ｛ｗ（ｉ，　）ｌ（ｉ，　）∈　Ｎ（　—ｒｒ，　）Ｎ（Ｙ—ｌｒ，Ｙ—　）｝，　＞Ｘ０，Ｙ＞ｙ０．　（１０）　令ｌｉｍ　ｉｎｆｗ（　，Ｙ）＝Ａ。．由方程（４）和（５），可得　厂　，Ｙ－－ｌｒ）十　一　｝∈｛　　｝］　Ｅ　（ｙ∑　ｐ（　，Ｊ．）Ｉ＞０．　ｌｒ，　一ｒ）　Ｊ　Ｅｆ　｝　故可以选取常数ａ＞０和　。，Ｙ　＞０，使得对　＞Ｘ　，Ｙ　＞Ｙ．，有　∑　ｐ（　，Ｙ—ｚ　）＋　∑　ｐ（（ｘ－ｆ　ｒｒ　　’　一　Ｎ　（ｙ　√）≥。＞０．　∈｛ｒ　ｒ　．｝ｙ一　｝｛因此，对任意　＞Ｘ。，Ｙ＞Ｙ。存在实数　，Ｙ　，使得　ｐ（　，Ｙ—ｌｚ）≥南，　∈Ｎ（　一玎，　一　），　芭｛　｝，　或　ｐ（　）≥南，　∈Ⅳ（ｙ—ＩＴ，　一７＿），　芒　所以　ａ≤ｐ（　　。，一２，Ｙ—Ｚ　）ｒ）：　　Ａ（　＋Ｊ『，Ｙ—Ｉｒ）＋Ａ（　，Ｙ一（１—１）　）　Ａ（　一ｒ　，Ｙ一２ｌｒ）　Ａ　（　一玎，一　Ｙ　２／ｒ）　≤Ａ　＝　（　一　，一２Ｚｒｑ＂Ｙ　　）　ｗ　（　，Ｙ—ｌｒ），　（　，ｙ—ｌｒ）≤　，　＞Ｘ１，ｙ＞Ｙｌ，　或　ａ≤ｐ（ｘ，≤ｐ（ｙ　）＝一。）　一　　！　±！！　：２±　！　！　：±　Ａ（　一１＂，ｉ－，Ｙ　一Ｚ７．）　Ａ（　一仃，！　！　Ｙ　一Ｚ：２　　）　≤　由上面的形式可知Ａ。＜ｏｏ．下面证明Ａ。＞０．如若　不然，假设ｌｉｍ　响（　，Ｙ）＝０，存在正的实数序列　．ｙ　Ｊ—＋∞　｛ｓ　｝和｛ｔ　｝，ｓ　＜５　，ｔ　＜ｔ…，　＾，ｔｋ　∞，｜ｉ｝　ｏ。，并且　ｗ（ｓ　，ｔ　）＝ｍｉｎ｛加（　，Ｙ）ｌ（　，Ｙ）∈　Ｎ（　０，　）Ｎ（Ｙｏ—ｒ，ｔ　）｝．　注意方程（１０），可以看到ｗ（ｓ　，ｔ　）≥Ｏｗ（ｓ　，　ｔ　）．这与０＜Ａ　０＜ｏｏ矛盾．由１ｉｍ＿均　（　，Ｙ）＝Ａ０　可知，对于每个实数叼（０＜叼＜１），存在　，Ｙ＞０，使　得ｗ（　，Ｙ）≥７／Ａ。，　＞Ｘ，Ｙ＞ｙ．由（１０）可得ｗ（　，Ｙ）　≥０ｒ／Ａ０，　＞ｍａｘ｛　０，　＋仃｝，Ｙ＞ｍａｘ｛ｙ０，ｌ，＋Ｚ　『｝．　因此，可以得到ｌｉｍ　咖（　，Ｙ）≥０ｒ／Ａ。．令叼一　１，则可以得到Ａ。≥０Ａ。，矛盾．故定理１的证明完　成．　推论１．假设　（ｉ）　＋ｌ—　≥Ｔ，玎＜Ｔ，Ｏ≤６　≤　，ｋ＝１，２，…，　（　ｌｉ　　ｍ　ｉ　ｙ）＞１＋　则方程（１）的所有解都是振动的．　推论２．假设　（ｉ）　＋ｌ—　≥Ｔ，玎＜Ｔ，ｂ　１＞０，ｋ＝１，２，…，　ｌｉｍｂ　＝０，Ｐ（　，Ｙ）；ｐ，　ｐ　（ｒ等＋　ｌ　）’。’。‘　则方程（１）的所有解都是振动的．　推论３．假设　【　ｐ（　，Ｙ－－ｌｒ）＋　￣Ｘ－－Ｔ　∈Ｊｖ（，一ｒｆ，ｙ—ｆ）　川＞尚Ｆ　１－　卞１，　．　则方程（３）的所有解都是振动的．　例子．考虑方程　Ａ（　＋Ｉ’ｙ）＋Ａ（　＋１）一　，　）＋　（　一　２，Ｙ一２）＝０，　≥　０，Ｙ≥Ｙ０—７．，　≠３ｋ，　Ａ（３ｋ＋１，Ｙ）＋Ａ（３ｋ，Ｙ＋１）一Ａ（３ｋ，Ｙ）＝　１２　Ａ（３　，），），Ｖ　ｙ∈［　。一ｒ，∞），五∈Ⅳ（１）．　根据推论１可知，此方程的所有解都是振动的．　参考文献　［１］　Ａｇａｒｗａｌ　Ｒ　Ｐ，Ｚｈｏｕ　Ｙｏｎｇ．Ｏｓｃｉｌｌａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｐａｒｔｉａｌ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　ｗｉｔｈ　ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ　ｖａｒｉａｂｌｅｓ『Ｊ］．Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ　ａｎｄ　Ｃｏｍｐｕｔｅｒ　Ｍｏｄｅｌｉｎｇ，２０００，３１：１７—２９．　［２］　Ｚｈａｎｇ　Ｂｉｎｇ—ｇｅｎ，Ｌｉｕ　Ｂ　Ｍ．Ｏｓｃｉｌｌａｔｉｏｎ　ｃｒｉｔｅｒｉａ　ｏｆ　ｃｅｒｔａｉｎ　ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｐａｒｔｉａｌ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ［Ｊ］．Ｃｏｍｐ　ａｎｄ　Ｍａｔｈ　Ｗｉｔｈ　Ａｐｐｌｉｃ，１９９９，３８：１０７—１１２．　［３］　Ｚｈａｎｇ　Ｂｉｎｇ—ｇｅｎ．Ｏｓｃｉｌｌａｔｉｏｎ　ｃｒｉｔｅｒｉａ　ｏｆ　ｐａｒｔｉａｌ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　ｗｉｔｈ　ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ　ｖａｒｉａｂｌｅ［Ｊ］．Ａｃｔａ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａ　８２　Ｓｉｎｉｃａ，１９９９，４２（３）：４８７—４９４．　北京工商大学学报（自然科学版）　２０１０年３月　ｉｍｐｕｌｓｉｖｅ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　ｗｉｔｈ　ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ　ｖａｒｉａｂｌｅ　Ｗｅｉ　Ｇｅｎｇ—ｐｉｎｇ，Ｓｈｅｎ　Ｊｉａｎ—ｈｕａ．Ｏｓｃｉｌｌａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ｏｆ　［Ｊ］．Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａ　Ａｐｐｌｉｃａｔａ，２００５，１８（２）：２９３—２９６　ｏＳＣＩＬＬＡＴＩｏＮ　ｏＦ　ＳｏＬＵＴＩｏＮＳ　ｏＦ　ＩＭＰＵＬＳⅣＥ　ＰＡＲＴＩＡＬ　ＤＩＦＦＥＲＥＮＣＥ　ＥＱＵＡＴＩＯＮ　ＷＩＴＨ　ＣＯＮＴＩＮＵＯＵＳ　ＶＡＲＩＡＢＬＥ　ＳＩ　Ｗｅｎ—ｙｉ，ＨＯＵ　Ｃｈｅｎｇ—ｒａｉｎ　（Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ　ｏｆ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，Ｙａｎｂｉａｎ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｙａｎｊｉ　１　３３００２，Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｗｅ　ｏｂｔａｉｎ　ｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔ　ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ　ｆｏｒ　ｏｓｃｉｌｌａｔｉｏｎ　ｏｆ　ａｌｌ　ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｉｍｐｕｌｓｉｖｅ　ｐａｒｔｉａｌ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ　ｅｑｕａｔｉｏｎ　ｗｉｔｈ　ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ　ｖａｒｉａｂｌｅ　ｆＡ（　＋７－，Ｙ）＋Ａ（　，Ｙ＋　）一Ａ（　，Ｙ）＋ｐ（　，ｙ）Ａ（　一ｒ　，Ｙ—ｌｒ）：０，　≥　０；），≥　一丁，　≠　，　ＩＡ（　＋　，Ｙ）＋Ａ（　，Ｙ＋　『）一Ａ（　，Ｙ）＝ｂｋａ（ｘ　，Ｙ），Ｖ　Ｙ∈［Ｙ０一ｒ，∞），ｋ∈Ｎ（１）．　Ｗｈｅｒｅ　Ｐ（　，Ｙ）≥０　ｉｓ　ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ　ｏｎ［　ｏ，∞）×［Ｙｏ一　，。。），ｒ＞０，ｂ　ａｒｅ　ｃｏｎｓｔａｎｔｓ，ｒ　ａｎｄ　ｌ　ａｒｅ　ｐｏｓｉｔｉｖｅ　ｉｎｔｅｇｅｒｓ，０≤　０＜　ｌ＜…＜　＜…ｗｉｔｈ　ｌｉｍ　＝∞．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｐａｒｔｉａｌ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ　ｅｑｕａｔｉｏｎ　ｗｉｔｈ　ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ　ｖａｒｉａｂｌｅ；ｉｍｐｕｌｓｅ；ｏｓｃｉｌｌａｔｉｏｎ　（责任编辑：王宽）　（上接第７８页）　ＴＲＡＦＦＩＣ　ＶｏＬＵＭＥ　ＦＯＲＥＣＡＳＴ　ＢＡＳＥＤ　ｏＮ　ＣＯＭＢＩＮＥＤ　ＭＯＤＥＬＳ　ＯＦ　ＧＲＡＹ　ＳＹＳＴＥＭＳ　ＡＮＤ　ＡＲＴＩＦＩＣＩＡＬ　ＮＥＵＲＡＬ　ＮＥＴＷＯＲＫＳ　ＹＡＮ　Ｌｅｉ　（Ｃｏｌｌｅｇｅ　ｏｆ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ　ａｎｄ　Ｐｈｙｓｉｃｓ，Ｃｈｏｎｇｑｉｎｇ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｃｈｏｎｇｑｉｎｇ　４０００４４，Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎ　ｔｈｅ　ｌｏｎｇ—ｔｅｒｍ　ｆｏｒｅｃａｓｔｉｎｇ　ｗｏｒｋ，ｔｈｅ　ｏｒｉｇｉｎａｌ　ｄａｔａ　ｈａｓ　ｔｈｅ　ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓ　ｏｆ　ｒａｎｄｏｍｉｃｉｔｙ　ａｎｄ　ｎ０ｎ—ｌｉｎｅａｒ　ｍｏｖｅｍｅｎｔ，ａｎｄ　ａｌｓｏ　ｔｈｅ　ｃａｐａｃｉｔｙ　ｏｆ　ａｖａｉｌａｂｌｅ　ｓｔｕｄｙ　ｓａｍｐｌｅｓ　ｉｓ　ｓｍａｌｌ　ａｎｄ　ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ　ｉｓ　ｉｎｓｕｆｉ—ｆ　ｃｉｅｎｔ．Ｔｈｅ　ｂａｙｅｓｉａｎ－ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ　ｎｅｕｒａｌ　ｎｅｔｗｏｒｋ　ｐｏｓｓｅｓｓｅｓ　ｔｈｅ　ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓ　ｏｆ　ｓｔｒｏｎｇ　ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｆｉｔｔｉｎｇ　ａｎｄ　ｔｈｅ　ｃａＤａｂｉｌｉｔｉｅｓ　ｏｆ　ｅｘｃｅｌｌｅｎｔ　ｇｅｎｅｒａｌｉｚａｔｉｏｎ．　Ｕｎｂｉａｓｅｄ　ＧＭ（１，１）　ｃａｎ　ｕｓｅ　ｆｅｗ　ｄａｔａ　ｔｏ　ｃｏｎｓｔｒｕｃｔ　ｍｏｄ。　ｅ１ｓ．ｉｔ　ｃａｎ　ｗｅａｋｅｎ　ｔｈｅ　ｒａｎｄｏｍｉｃｉｔｙ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｏｒｉｇｉｎａｌ　ｄａｔａ　ａｎｄ　ｓｔｒｅｎｇｔｈｅｎ　ｒｅｇｕｌａｒｉｔｙ，ａｎｄ　ａｌｓｏ　ｃａｎ　ｅｌｉｍｉｎａｔｅ　ｔｈｅ　ｉｎｈｅｒｅｎｔ　ｄｅｖｉａｔｉ０ｎ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｃｏｎｖｅｎｔｉｏｎａｌ　ＧＭ（１，１）ｍｏｄｅ１．Ｍａｋｉｎｇ　ｔｈｅ　ｂｅｓｔ　ｕｓｅ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｍｅｒｉｔｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｔｗｏ，　ｔｈｅ　ｃ０ｍｂｉｎｅｄ　ｍｏｄｅｌ　ｏｆ　ｕｎｂｉａｓｅｄ　ＧＭ（１，１）ａｎｄ　ｂａｙｅｓｉａｎ－ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ　ｎｅｕｒａｌ　ｎｅｔｗｏｒｋ　ａｒｅ　ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｅｄ　ａｎｄ　Ｄｕｔ　ｉｎｔｏ　ｒｅａ１　ｔｒａｆｉｃ　ｆｏｒｅｃａｓｔｉｎｇ　ｗｏｒｋ．ｆ　Ｂｙ　ｃｏｎｔｒａｓｔｉｎｇ　ｗｉｔｈ　ＢＰ　ｎｅｔｗｏｒｋ，ｔｈｅ　ｒｅｓｕｌｔ　ｓｈｏｗｓ　ｔｈａｔ　ｔｈｉｓ　ｍｏｄｅｌ　ｉｓ　ｆｅａｓｉｂｌｅ　ａｎｄ　ｅｆｆｉｃｉｅｎｔ．ｔｈｅ　ａｃｃｕｒａｃｙ　ｏｆ　ｆｏｒｅｃａｓｔｉｎｇ　ｉｓ　ａｌｓｏ　ｉｎｃｒｅａｓｅｄ．　ＫｅＹ　ｗｏｒｄｓ：ｕｎｂｉａｓｅｄ　ＧＭ（１，１）ｍｏｄｅｌ；ｂａｙｅｓｉａｎ－ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ；ｎｅｕｒａｌ　ｎｅｔｗｏｒｋｓ；ｔｒａｆｉｃ　ｖｏｌｆｕｍｅ　ｆｏｒｅ。　ｃａｓｔｉｎｇ　（责任编辑：邓清燕）