2017年广东省广州市天河区华南师大附中中考数学一模试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的．）
1．（3分）（﹣0.7）2的平方根是（ ） A．﹣0.7 B．0.7 C．±0.7 D．0.49
2．（3分）用科学记数法表示﹣5 670 000时，应为（ ） A．﹣567×104 B．﹣5.67×106 C．﹣5.67×107 D．﹣5.67×104
3．（3分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的形状可能是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，将Rt△ABC绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点C、A、B1在同一条直线上，那么旋转角最小为（ ）
A．115° B．125° C．120° D．145° 5．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．2a+3b=5ab B．a3•a2=a6 C．（a﹣b）2=a2﹣b2 D．（a2）4=a8 6．（3分）若x2﹣2x﹣1=0，则代数式2x2﹣4x+5的值为（ ） A．6
B．7
C．8
D．11
7．（3分）用圆心角为120°，半径为6 cm的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽（如图所示），则这个纸帽的底面周长是（ ）
A．2π cm B．3π cm C．4π cm D．5π cm
8．（3分）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB是直径，∠BCD=120°，∠APD=30°，则∠ADP的度数为（ ）
A．45° B．40° C．35° D．30°
9．（3分）如图，一次函数y=mx+n与正比例函数y=mnx（m，n为常数，且mn≠0，n＞0）的图象是（ ）
A． B． C．
D．
10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，D是AB上一动点，过点D作DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，连接EF，则线段EF的最小值是（ ）
A．5
B．4.8 C．4.6 D．4.4
二、填空题（共6道小题，每小题3分，共18分，请将答案填在答题卷上） 11．（3分）分式方程
的解是 ．
12．（3分）正三角形的外接圆半径、边心距之比为 ． 13．（3分）如图，在数轴上的解集可表示为 ．
14．（3分）若2，4，6，a，b的平均数为10，则a，b的平均数为 ． 15．（3分）如图，在等腰Rt△ABC中，∠A=90°，AC=6，D是AC上一点，过D作DE⊥BC于点E，若
，则CE的长为 ．
16．（3分）如图所示，已知：点A（0，0），B（，0），C（0，1）在△ABC内
依次作等边三角形，使一边在x轴上，另一个顶点在BC边上，作出的等边三角形分别是第1个△AA1B1，第2个△B1A2B2，第3个△B2A3B3，…，则第n个等边三角形的边长等于 ．
三、解答题（本大题共9题，共102分，请将答案写在答题卷上．） 17．（9分）解方程组：
．
18．（10分）如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC．求证：∠DBC=∠DCB．
19．（9分）计算：|1﹣|+（﹣1）2017+（8﹣）0﹣+（）﹣1．
20．（10分）在“阳光体育”活动时间，小英、小丽、小敏、小洁四位同学进行一次羽毛球单打比赛，要从中选出两位同学打第一场比赛．
（1）若已确定小英打第一场，再从其余三位同学中随机选取一位，求恰好选中小丽同学的概率；
（2）用画树状图或列表的方法，求恰好选中小敏、小洁两位同学进行比赛的概率．
21．（12分）如图，从水平地面看一山坡上的通讯铁塔PC，在点A处用测角仪测得塔顶端点P的仰角是45°，向前走9m到达B点，用测角仪测得塔顶端点P和塔底端点C的仰角分别是60°和30°． （1）求∠BPC的度数．
（2）求该铁塔PF的高度，（结果精确到0.1m，参考数据：
．）
22．（12分）如图，已知反比例函数的图象经过点（，8），直线y=
﹣x+b经过该反比例函数图象上的点Q（4，m）． （1）求上述反比例函数和直线的函数表达式；
（2）设该直线与x轴、y轴分别相交于A、B两点，与反比例函数图象的另一个交点为P，连接0P、OQ，求△OPQ的面积．
23．（12分）已知：如图，在△ABC中，AB=AC．
（1）尺规作图：作∠BAC的角平分线AD，交BC于点D．（不要求写作法，保留作图痕迹）
（2）延长AD至E点，使DE=AD，连接BE、CE．求证：四边形ABEC是菱形．
24．（14分）如图，已知抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）． （1）求抛物线的解析式．
（2）D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C、B不重合），过点D作DF⊥x轴于点F，交直线BC于点E，连结BD、CD设点D的横坐标为m，△BCD的面积为S．
①求S关于m的函数关系式及自变量m的取值范围． ②当m为何值时，S有最大值，并求这个最大值．
25．（14分）如图1，正方形ABCD的边长为2，点M是BC的中点，P是线段MC上的一个动点（不与M、C重合），以AB为直径作⊙O，过点P作⊙O的切线，交
AD于点F，切点为E． （1）求证：OF∥BE；
（2）设BP=x，AF=y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； （3）延长DC、FP交于点G，连接OE并延长交直线DC于H（图2），问是否存在点P，使△EFO∽△EHG（E、F、O与E、H、G为对应点）？如果存在，试求（2）中x和y的值；如果不存在，请说明理由．
2017年广东省广州市天河区华南师大附中中考数学一模
试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的．）
1．（3分）（﹣0.7）的平方根是（ ） A．﹣0.7 B．0.7 C．±0.7 D．0.49
【解答】解：（﹣0.7）2=0.49，0.49的平方根是±0.7， 故选C
2．（3分）用科学记数法表示﹣5 670 000时，应为（ ） A．﹣567×104 B．﹣5.67×106 C．﹣5.67×107 D．﹣5.67×104 【解答】解：﹣5 670 000=﹣5.67×106． 故选：B．
3．（3分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的形状可能是（ ）
2
A． B． C． D．
【解答】解：由主视图和左视图可得此几何体上面为台，下面为柱体， 由俯视图为圆环可得几何体为故选D．
．
4．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，将Rt△ABC绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点C、A、B1在同一条直线上，那么旋转角最小为（ ）
A．115° B．125° C．120° D．145°
【解答】解：∵Rt△ABC绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点C、A、B1在同一条直线上， ∴旋转角最小是∠CAC1， ∵∠C=90°∠B=30°， ∴∠BAC=60°，
由旋转得，∠B1AC1=∠BAC=60°，
∴∠CAC1=180°﹣∠B1AC1=180°﹣60°=120°， 故选C．
5．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．2a+3b=5ab B．a3•a2=a6 C．（a﹣b）2=a2﹣b2 D．（a2）4=a8 【解答】解：A、2a+3b无法计算，故此选项错误； B、a3•a2=a5，故此选项错误；
C、（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2，故此选项错误； D、（a2）4=a8，正确． 故选：D．
6．（3分）若x2﹣2x﹣1=0，则代数式2x2﹣4x+5的值为（ ） A．6
B．7
C．8
D．11
【解答】解：根据题意得：x2﹣2x﹣1=0，即x2﹣2x=1， 则原式=2（x2﹣2x）+5=2×1+5=7． 故选B．
7．（3分）用圆心角为120°，半径为6 cm的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽（如图所示），则这个纸帽的底面周长是（ ）
A．2π cm B．3π cm C．4π cm D．5π cm 【解答】解：这个纸帽的底面周长=故选C．
8．（3分）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB是直径，∠BCD=120°，∠APD=30°，则∠ADP的度数为（ ）
=4π（cm）．
A．45° B．40° C．35° D．30°
【解答】解：∵⊙O的内接四边形ABCD， ∴∠DAB+∠BCD=180°， ∵∠BCD=120°， ∴∠DAB=60°， ∴∠PAD=120°， 又∵∠APD=30°，
∴∠ADP=180°﹣120°﹣30°=30°． 故选：D．
9．（3分）如图，一次函数y=mx+n与正比例函数y=mnx（m，n为常数，且mn≠0，n＞0）的图象是（ ）
A． B． C．
D．
【解答】解：①当mn＞0，m，n同号，同正时y=mx+n过1，3，2象限，同负时过2，4，3象限；
②当mn＜0时，m，n异号，则y=mx+n过1，3，4象限或2，4，1象限． 故选A．
10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，D是AB上一动点，过点D作DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，连接EF，则线段EF的最小值是（ ）
A．5 B．4.8 C．4.6 D．4.4
【解答】解：如图，连接CD． ∵∠ACB=90°，AC=6，BC=8， ∴AB=
=10，
∵DE⊥AC，DF⊥BC，∠C=90°， ∴四边形CFDE是矩形， ∴EF=CD，
由垂线段最短可得CD⊥AB时，线段EF的值最小， 此时，S△ABC=BC•AC=AB•CD，
即×8×6=×10•CD， 解得CD=4.8， ∴EF=4.8． 故选B．
二、填空题（共6道小题，每小题3分，共18分，请将答案填在答题卷上） 11．（3分）分式方程
的解是 x=2 ．
【解答】解：方程的两边同乘x（x﹣1），得： 2（x﹣1）=x， 解得x=2．
检验：把x=2代入x（x﹣1）=2≠0，即x=2是原分式方程的解． 则原方程的解为：x=2． 故答案为：x=2．
12．（3分）正三角形的外接圆半径、边心距之比为 2 ． 【解答】解：连接OB，AO，延长AO交BC于D， ∵⊙O是等边三角形ABC的外接圆， ∴AD⊥BC，∠OBC=∠ABC=×60°=30°， ∴BD=2OD， ∴
=2．
13．（3分）如图，在数轴上的解集可表示为 ﹣1＜x≤3 ．
【解答】解：由图示可看出，从﹣1出发向右画出的线且﹣1处是空心圆，表示x＞﹣1；
从3出发向左画出的线且3处是实心圆，表示x≤3，所以这个不等式组为﹣1＜x≤3；
故答案为：﹣1＜x≤3．
14．（3分）若2，4，6，a，b的平均数为10，则a，b的平均数为 19 ． 【解答】解：因为a+b=10×5﹣2﹣4﹣6=38， 所以a，b的平均数为（a+b）÷2=19． 故答案为：19．
15．（3分）如图，在等腰Rt△ABC中，∠A=90°，AC=6，D是AC上一点，过D作DE⊥BC于点E，若
，则CE的长为
．
【解答】解：在等腰Rt△ABC中，∠A=90°，AC=6， ∴AB=AC=6，∠C=∠B=45°， ∵∴AD=， ∴CD=
，
，
∵DE⊥BC，
∴CE=CD=， ．
故答案为：
16．（3分）如图所示，已知：点A（0，0），B（，0），C（0，1）在△ABC内
依次作等边三角形，使一边在x轴上，另一个顶点在BC边上，作出的等边三角形分别是第1个△AA1B1，第2个△B1A2B2，第3个△B2A3B3，…，则第n个等边三角形的边长等于
．
【解答】解：∵OB=∴BC=2，
，OC=1，
∴∠OBC=30°，∠OCB=60°．
而△AA1B1为等边三角形，∠A1AB1=60°， ∴∠COA1=30°，则∠CA1O=90°． 在Rt△CAA1中，AA1=同理得：B1A2=A1B1=
OC=，
，
依此类推，第n个等边三角形的边长等于
．
三、解答题（本大题共9题，共102分，请将答案写在答题卷上．） 17．（9分）解方程组：【解答】解：
，
．
①+②得：3x=15， 解得：x=5，
把x=5代入②得：y=﹣1， 则方程组的解为
18．（10分）如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC．求证：∠DBC=∠DCB．
．
【解答】证明：∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD=∠CAD． ∴在△ABD和△ACD中
，
∴△ABD≌△ACD， ∴BD=CD， ∴∠DBC=∠DCB．
19．（9分）计算：|1﹣【解答】解：|1﹣4+3=
20．（10分）在“阳光体育”活动时间，小英、小丽、小敏、小洁四位同学进行一次羽毛球单打比赛，要从中选出两位同学打第一场比赛．
（1）若已确定小英打第一场，再从其余三位同学中随机选取一位，求恰好选中小丽同学的概率；
﹣2．
|+（﹣1）2017+（8﹣
）0﹣
+（）﹣1． +（）﹣1=
﹣1﹣1+1﹣
|+（﹣1）2017+（8﹣）0﹣
（2）用画树状图或列表的方法，求恰好选中小敏、小洁两位同学进行比赛的概率．
【解答】解：（1）若已确定小英打第一场，再从其余三位同学中随机选取一位，共有3种情况，
而选中小丽的情况只有一种，所以P（恰好选中小丽）=； （2）列表如下：
小英
小丽 小敏 小洁
小英 小丽 小敏 小洁
（小英，小丽） （小英，小敏） （小英，小洁）
（小丽，小英） （小丽，小敏） （小丽，小洁）
（小敏，小英） （小敏，小丽） （小敏，小洁）
（小洁，小英） （小洁，小丽） （小洁，小敏）
所有可能出现的情况有12种，其中恰好选中小敏、小洁两位同学组合的情况有两种，所以P（小敏，小洁）=
21．（12分）如图，从水平地面看一山坡上的通讯铁塔PC，在点A处用测角仪测得塔顶端点P的仰角是45°，向前走9m到达B点，用测角仪测得塔顶端点P和塔底端点C的仰角分别是60°和30°． （1）求∠BPC的度数．
（2）求该铁塔PF的高度，（结果精确到0.1m，参考数据：
．）
=．
【解答】解：（1）延长PC交直线AB于点F，交直线DE于点G，则PF⊥AF， 依题意得：∠PAF=45°，∠PBF=60°，∠CBF=30° ∴∠BPC=90°﹣60°=30°；
（2）根据题意得：AB=DE=9，FG=AD=1.3， 设PC=x m，则CB=CP=x， 在Rt△CBF中，BF=x•cos30°=在Rt△APF中，FA=FP， ∴9+
x=x+x，x=9+3
≈14.2，
，
x，CF=x，
∴PC=9+3
∴PF=x+x=21.3．
即该铁塔PF的高度约为21.3 m
22．（12分）如图，已知反比例函数
的图象经过点（，8），直线y=
﹣x+b经过该反比例函数图象上的点Q（4，m）． （1）求上述反比例函数和直线的函数表达式；
（2）设该直线与x轴、y轴分别相交于A、B两点，与反比例函数图象的另一个交点为P，连接0P、OQ，求△OPQ的面积．
【解答】解：（1）把点（，8）代入反比例函数∴反比例函数的解析式为y=；
，得k=×8=4，
又∵点Q（4，m）在该反比例函数图象上， ∴4•m=4，
解得m=1，即Q点的坐标为（4，1）， 而直线y=﹣x+b经过点Q（4，1）， ∴1=﹣4+b， 解得b=5，
∴直线的函数表达式为y=﹣x+5；
（2）联立解得
或
， ，
∴P点坐标为（1，4），
对于y=﹣x+5，令y=0，得x=5， ∴A点坐标为（5，0）， ∴S△OPQ=S△AOB﹣S△OBP﹣S△OAQ =×5×5﹣×5×1﹣×5×1 =
23．（12分）已知：如图，在△ABC中，AB=AC．
（1）尺规作图：作∠BAC的角平分线AD，交BC于点D．（不要求写作法，保留作图痕迹）
（2）延长AD至E点，使DE=AD，连接BE、CE．求证：四边形ABEC是菱形．
．
【解答】（1）解：如图，AD为所求作的∠BAC的平分线； （2）证明：如图， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD=∠CAD，
又∵AB=AC， ∴BD=CD， 又∵AD=DE，
∴四边形ABEC是平行四边形． 又∵AB=AC，
∴四边形ABEC是菱形．
24．（14分）如图，已知抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）． （1）求抛物线的解析式．
（2）D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C、B不重合），过点D作DF⊥x轴于点F，交直线BC于点E，连结BD、CD设点D的横坐标为m，△BCD的面积为S．
①求S关于m的函数关系式及自变量m的取值范围． ②当m为何值时，S有最大值，并求这个最大值．
【解答】解：（1）∵抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点， ∴设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣3）， 又∵点C（0，3）在抛物线图象上，
∴3=a×（0+1）×（0﹣3），解得：a=﹣1．
∴抛物线解析式为y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+2x+3． 故答案为：y=﹣x2+2x+3．
（2）①设直线BC的函数解析式为y=kx+b． ∵直线BC过点B（3，0），C（0，3）， ∴
，解得：
，
∴y=﹣x+3．
设D（m，﹣m2+2m+3），E（m，﹣m+3）， ∴DE=（﹣m2+2m+3）﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m．
∴S=OB•DE=（﹣m2+3m）=﹣m2+m，（0＜m＜3）． ②S=﹣m2+m=﹣（m﹣）2+∵﹣＜0，
∴当m=时，S有最大值，最大值S=
25．（14分）如图1，正方形ABCD的边长为2，点M是BC的中点，P是线段MC上的一个动点（不与M、C重合），以AB为直径作⊙O，过点P作⊙O的切线，交AD于点F，切点为E． （1）求证：OF∥BE；
（2）设BP=x，AF=y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； （3）延长DC、FP交于点G，连接OE并延长交直线DC于H（图2），问是否存在点P，使△EFO∽△EHG（E、F、O与E、H、G为对应点）？如果存在，试求（2）中x和y的值；如果不存在，请说明理由．
． ，
【解答】（1）证明：连接OE FE、FA是⊙O的两条切线 ∴∠FAO=∠FEO=90° 在Rt△OAF和Rt△OEF中，
∴Rt△FAO≌Rt△FEO（HL）， ∴∠AOF=∠EOF=∠AOE， ∴∠AOF=∠ABE， ∴OF∥BE，
（2）解：过F作FQ⊥BC于Q∴PQ=BP﹣BQ=x﹣y PF=EF+EP=FA+BP=x+y ∵在Rt△PFQ中 ∴FQ2+QP2=PF2
∴22
+（x﹣y）2
=（x+y）2
化简得：
，（1＜x＜2）；
（3）存在这样的P点， 理由：∵∠EOF=∠AOF， ∴∠EHG=∠EOA=2∠EOF，
当∠EFO=∠EHG=2∠EOF时，
即∠EOF=30°时，Rt△EFO∽Rt△EHG， 此时Rt△AFO中， y=AF=OA•tan30°=∴∴当
，
时，△EFO∽△EHG．
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