自主招生重心的求解方法

在地面附近的物体都受到地球重力的作用，重力是由于地球对物体的吸引而产生的力，

重力的方向竖直向下，作用点是物体的重心。重力实际上是万有引力的一个分力。

物体受到地球的万有引力作用，按照力的作用效果将它进行分解，一个分力是使物体随地球自转做匀速圆周运动的向心力，另一个分力就是物体受到的重力，因此物体所受重力在地球上的维度不同而略有差异，物体受到的重力在赤道处最小，在两极处最大，两者相差约千分之三。

由于物体随地球的自转做匀速圆周运动的向心力远远小于万有引力，因此粗略计算时可以认为物体所受的重力就等于它受到的万有引力。

重心：重力的等效作用点； 、悬挂法可确定薄板的重心 、质心公式法： mixim1x1m2x2m3x3xC

m1m2m3m miyim1y1m2y2m3y3yC m1m2m3m mizim1z1m2z2m3z3zC m1m2m3m 、力矩平衡法也可求物体系的重心

 .

.

1、力矩

中学物理只讲力对转动轴的力矩，如果力的作用线在与转动垂直的平面，力臂就是轴到力作用线的垂直距离，力矩的大小等于力和力臂的乘积；如果力的作用线和转轴平行，力矩的大小为零；如果力F既不在垂直于转轴的平面，又不平行于转轴，则可以将力分解，其中一个分力F//的方向和转轴平行，它对转轴的力矩为零；另一个分力F1在和转轴垂直的平面，它对转轴的力矩等于力臂L和F1的乘积，这个力矩也就是力F对转轴的力矩。

具有固定转轴的物体所受各力使物体转动的效应，决定于力矩和。

力矩为矢量，方向由右手螺旋定则确定。通常规定物体绕轴逆时针转动的力矩为正值，瞬时间转动的力矩为负值。

2、固定转动轴物体的平衡条件

对于有固定转动轴的物体，如果作用于物体上的所有力对于转轴的力矩的代数和为零，则该物体处于平衡状态。 例1、（2009同济）一根细长的硬棒上有三个小球，每个球相距a, 小球质量为m、2m、3m，棒的质量分布均匀，总长为4a，质量为4m，

求整个体系的重心位置。

解法一：质心方程法

以棒的左端为原点，沿棒向右建立坐标轴，由公式： mxm2x2m3x3mixixC11aaaa m1m2m3m m2m3mma2m2a3m3a4m2a22ma xC2.2am2m3m4m10m

即物体系的重心在距棒左端2.2a处

解法二：力矩平衡法

设重心在距棒的左端xC处，

设在重心处施加一竖直向上的力F使棒平衡 .

aaaFam2m3m .

由：F0得：

Fmg2mg3mg4mg10mg

取左侧为转动轴，物体平衡，由：M0得： FxCmga2mg2a3mg3a4mg2a

xC2.2a

例2、（2002交大）边长为a的均匀正方形木板，被挖去一个半径

a 为的圆孔，圆孔的边缘和正方形的右边缘相切，圆心在对称轴4

PQ上，求该木板剩余部分的重心的位置。

解法一：填补法 a在图中补上半径为的圆板， 4设圆板和剩余木板的重力分别为G1、G2，重心分别为O1、O2

设单位面积的重力为G0C点，距O2距离为x，设完整方木板的重心在

C• OP则有：G1a2G0 16

 G2(a2a2)G0(1)a2G01616

x

取C处为转动轴，木板平衡，根据力矩平衡条件有：O2

aG 2xG1C4 G2 xa

2•O1Qa4O1G14(16) .

.

解法二：挖空法C ••OOPa 在方木板的左边对称的挖去一半径为的圆，4

设重心为O3，重力为G3，剩余部分重心仍为C点，设重力为G4

2G4(a22a2)G0(1)a2G0 则有：G3aG016816

aG(x)G4x 3取O2处为转动轴，木板平衡，有：4



xa4(16)

即剩余部分的重心在对称轴PQ上

偏P一侧，距C为x处

练习：1、（2011华约）一个有底无盖的圆柱形桶，底面质量

不计，桶侧面质量为a（g），桶的重心在中轴线的正中间 位置，装满水后水的质量为b（g），

（1）若b3a，水装到一半时，求系统合重心到桶底面的 分析：本题中的桶的重心给定为桶的中心，桶内水的重心距离与桶的高度之比； 也容易判断为水的重心，两者的合重心位置的确定，是典型x （2）装入水的质量m为多少时，水和桶的合重心最低。的质心公式法的应用：

miximxm2x2m3x3 xC11m1m2m3m •h ag

bg• 解析：1、以桶底中心为原点，竖直向上为x轴正方向：O2

为x，则由质心公式： 设合重心到桶底的高度

hbh a2247h xb20a

2 x7

32•O1Qh20 .

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解析：2、当水和桶的合重心在水面上时系统的合重心最低，因为：若此时再加水，相当于在合重心上面再添加物体，合重心会升高；若此时去掉水，相当于在合重心下方抽掉水，合重心也会升高。设此时水的质量为m，水面到桶底的高度为x则：xmhhbxbm由于此时合重心在水面上，则：ahmxx22amma2aba .

xh•agbg•2O

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