复数、框图教材分析

第三章 数系的扩充与复数的引入（约4课时+1课时） 一．内容与要求

数系扩充的过程体现了数学的发现和创造过程，同时体现了数学发生、发展的客观需求，复数的引入是中学阶段数系的又一次扩充。在本章中，学生将在问题情境中了解数系扩充的过程以及引入复数的必要性，学习复数的一些基本知识，体会人类理性思维在数系扩充中的作用

（一）、课程目标

1、主要内容：数系的扩充和复数的概念，复数代数形式的四则运算。

2、主要目标： ①数系的扩充，不仅使学生对于数的概念有一个初步的、完整的认识，也为学生进一步的数学学习打下了基础。 ②通过本章的学习，要使学生在问题情境中了解数系扩充的过程以及复数引入的必要性，通过学习复数的一些基本知识，体会人类理性思维在数系扩充中的作用。

（二）、学习目标

1、在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾在数系扩充中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系。

2、理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件。 3、了解复数的代数表示法及其几何意义。

4、能进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加、减运算的几何意义。 二、内容安排及说明

1. 本章教学时间约需4课时，具体分配如下（仅供参考）： 3.1 数系的扩充和复数的概念 2课时

3.2 复数代数形式的四则运算 2课时

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2.本章知识结构框图 数系的扩充 复数相等的条件 复数的基本概念 实数与虚数，纯虚数 复数 复数的几何意义 复数的加减法及其几何意义

复数的四则运算算

复数的乘法 复数的除法 三、本章的重点与难点

重点:复数的概念（代数形式、向量表示）以及代数形式的加、减、乘、除的运算法则，加减法的几何意义。

难点:实数系到复数系的扩充，复数的概念，复数除法的运算法则。

四、教学内容分析

3.1 数系的扩充与复数的概念

本节从一个思考问题开始，在问题情境中简单介绍了由实数系扩充到复数系的过程，并在此基础上介绍了复数的相关概念及复数相等的充要条件；类比实数的几何意义说明了复数的几何意义．

3.2复数代数形式的四则运算

本节研究了复数代数形式的四则运算问题，分别规定了加减乘除运算的运算法则，讨论了加减法的几何意义；对复数代数形式的除法运算，说明了一般的运算过程．

2.教学建议：

（1）数系的每一次扩充的主要原因都是满足实际问题的需要，复数概念教学可以引导学生回顾从自然数系扩充到实数系的过程，由此使学生体会引入复数的必要性，使学生感受数的发展是为了满足人们生产生活的实际需要，从而激发学生对复数的学习兴趣。可参加下图.

（2）在教学中应重视学生对概念的理解，学生应熟练掌握实部、虚部等这些基本概念，避免一些错误认识。如复数abi(a,bR)的虚部为b，而非bi等。

（3）重视两个复数相等的充要条件，两个复数相等的充要条件实际上就是两个复数相等

的定义，它不仅给出了判断两个复数是否相等的依据，也给出了求复数值的依据，即利用复数相等的条件，可以把复数问题转化为实数问题去解决，这也是研究复数的一条基本途径。如复数减法及除法法则的探求正是分别在加法法则和乘法法则的基础上借助了复数相等的充要条件得以实现的。

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（4）在引入复数的几何意义时，应注意类比思想的渗透，用类比实数的几何意义来理解复数的几何意义。当然，在复数的加法、减法、乘法运算中可以与多项式的加法、减法及乘法相类比，而除法法则（分母实数化）可与根式的除法（分母有理化）相类比。

（5）注重知识叙述严谨性,如两个复数都是实数，则可以比较大小；否则，不能比较大小。教学中不必予以展开。因为中学生很难理解一下的原则：

（6）复数的模是通过向量的模来定义的，教材中对复数模的概念介绍没有出现在正文中，而在边空中，教参建议学生只做了解即可。但模考及外省高考试题中，涉及复数模的运算问题也时有出现，建议学生应掌握这个概念及运算公式，其他可不作扩展。

（7）复数 z 的共轭复数z的概念及zzz2了解即可，会在复数的除法运算中运用即可，但不要求利用进行因式分解及其他计算等。

五、本章在高考中的要求及考题

1.考纲要求 要求层次 考试内容 A B C 数系的复数的基本概念，复数相等的条件 √ 扩充与复数的概念 复数的代数表示法及几何意义 √ 复数的与运算 复数代数形式的四则运算 √ 引入 复数代数形式加减法的几何意义 √ 2.常见题型

类型一.复数的概念及代数运算 （1）复数

43i12i的实部是____________；（2）复数12i112i的虚部是____________.

（3）若复数(ai)2i为正实数，则实数a的值为____________.

（4）若复数(a23a2)(a1)i是纯虚数，则实数a的值为____________. （5）设z的共轭复数是z，若zz4,zz8,，则

zz=____________. （6）已知0a2，复数z的实部为a，虚部为1，则z的取值范围是

（7）实数m取何值时，复数z(m23m)(2m25m3)i是①实数？②虚数？③纯虚数？

（8）已知z=3-4i，1111=5+10i，z2z=z+，求z

1z2（9）复数z满足z+4z为实数，且z-2=2，求z

类型二、复数的几何意义

（1）在复平面内，复数2i1i对应的点的坐标为 。

（2）若i为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数z，则表示复数z1i的点是

A．E B.F C.G D.H

（3）复数z2i2i（i为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 高考链接

（2010年北京卷文）⑵在复平面内，复数6+5i, -2+3i 对应的点分别为A,B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是

（A）4+8i (B)8+2i （C）2+4i (D)4+i

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知识点 等级 复数代数形式的四则运算 B级

【答案】C

复数的代数表示法及几何意义 A级 （2011年北京卷文）⑵复数

i212i( ) (A)i (B )i (C)434355i (D)55i

【答案】A 知识点 等级

复数代数形式的四则运算 B级

（2012年北京卷文）（2）在复平面内，知识点 等级 复数10i复数代数形式的四则运算 B级 3i对应的点的坐标为 复数的几何意义 A级

（A）(1,3) （B）(3,1) （C）(1,3) （D）(3,1)

【答案】A

（2013年北京卷文）（4）在复平面内，知识点 等级 复数i2i对应的点位于 复数代数形式的四则运算 B级 （A）第一象限 （B）第二象限 复数的几何意义 A级 （C）第三象限 （D）第四象限

【答案】A

（2013年高考辽宁卷（文））复数的Z1i1模为（ ）

A．

12 B．

22 C．2 D．2

【答案】B

知识点 等级 复数代数形式的四则运算 B级 复数的概念 B级

（2013年高考课标Ⅱ卷（文））|

|=（ ）

A．2 B．2 C． D．1

【答案】C

知识点 等级 复数代数形式的四则运算 B级

复数的概念 B级 （2013年高考课标Ⅰ卷（文））12i(1i)2（ ）

A．11i 112B．112i C．12i D．12i 【答案】B

知识点 等级 复数代数形式的四则运算 B级

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（2013 年高考湖南（文））复数z=i·(1+i)(i为虚数单位)在复平面上对应的点位于___ ____ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】

B 知识点 等级

复数代数形式的四则运算 B级

复数的几何意义 A级

（2013年高考四川卷（文））如图,在复平面内,点A表示复数z,则图中表示z的共轭复数的

点是

知识点 等级 复数的概念 B级 复数的几何意义 A级 （ A．A

B．B

C．C D．D 【答案】B

（2013年高考山东卷（文））复数z(2i)2i(i为虚数单位),则|z|

（ ） A．25

B．41

C．5

D．5

【答案】C

知识点 等级

复数代数形式的四则运算 B级 复数的概念 B级 ）

（2013年高考江西卷（文））复数z=i(-2-i)(i为虚数单位)在复平面内所对应的点在

（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D

知识点 等级 复数代数形式的四则运算 B级

复数的几何意义 A级

（2013年高考浙江卷（文））已知i是虚数单位,则(2+i)(3+i)=

（ ） A．5-5i B．7-5i C．5+5i D．7+5i 【答案】C

知识点 等级

复数代数形式的四则运算 B级

（2013年高考安徽（文））设i是虚数单位,若复数a103i(aR)是纯虚数,则a的值为

（ ） A．-3

B．-1 C．1 D．3

【答案】D 知识点 等级 复数代数形式的四则运算 B级 复数的概念 B级

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（2013年高考福建卷（文））复数z12i(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于

（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】C

知识点 等级 复数的几何意义 A级

（2013年高考广东卷（文））若i(xyi)34i,x,yR,则复数xyi的模是

（ ） A．2

B．3 C．4

D．5

【答案】D 知识点 等级 复数代数形式的四则运算 B级 复数的概念 B级

（2013年高考天津卷（文））i是虚数单位. 复数(3 + i)(1-2i) = ______.

【答案】55i

知识点 等级 复数代数形式的死则运算 B级

（2013年高考重庆卷（文））已知复数z12i(i是虚数单位),则z____________.

【答案】5 知识点 等级

复数代数形式的四则运算 B级 复数的概念 B级

（2013年上海高考数学试题（文科））设mR,m2m2m21i是纯虚数,其中i是虚

数单位,则m________.

【答案】m2 知识点 等级 复数的概念 B级

（2013年高考湖北卷（文））i为虚数单位,设复数z1,z2在复平面内对应的点关于原点对称,

若z123i,则z2__________.

【答案】23i

知识点 等级 复数的概念 B级 复数的几何意义 A级

第四章 框图（约6课时） 一、内容与要求

框图是表示一个系统各部分和各环节之间关系的图示，它的作用在于能够清晰地表达比较复杂的系统各部分之间的关系．框图已经广泛应用于算法、计算机程序设计、工序流程的表述、设计方案的比较等方面，也是表示数学计算与证明过程中主要逻辑步骤的工具，并将成为日常生活和各门学科中进行交流的一种常用表达方式．在本章中，学生将学习用“流程图” “结构图”等刻画数学问题以及其他问题的解决过程；并在学习过程中，体验用框图表示数学问题以及事物发生发展过程的优越性，提高抽象概括能力和逻辑思维能力，能清晰地表达和交流思想.

（一）、课程目标

1、在知识内容上，让学生理解流程图和结构图的特征，掌握框图的用法.

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2、在思想方法上，帮助学生体验用框图表示数学问题解决过程以及事物发生、发展过程的优越性，提高抽象概括能力、清楚地表达和交流的能力.

（二）、学习目标

1、通过具体实例，认识程序框图，了解工序流程图.

2、能绘制简单问题的流程图，体会流程图在解决实际问题中的作用.

3、通过实例了解结构图；运用结构图梳理已学过的知识、整理收集到的资料信息. 4、结合作出的结构图与他人进行交流，体会结构图在揭示事物联系中的作用. 二、内容安排

1. 本章教学时间约需6课时，具体分配如下（仅供参考）：

4.1 流程图 3课时

4.2 结构图 2课时 小结 1课时

2.本章知识结构框图 程序框图 工序流程图 流程图 数学中的流程图 框图 其他流程图 知识结构图 结构图 组织机构图 其他结构图

三、本章的重点与难点

重点:认识流程图的一般形式、特征，学会绘制简单实际问题的流程图，体会流程图在解决实际问题中的作用；运用结构图梳理已学过的知识、整理收集到的资料信息，体会结构图在揭示事物联系中的作用.

难点:绘制简单实际问题的流程图，用流程图表达解决数学问题的过程；运用结构图梳理已学过的知识、整理收集到的资料信息.

四、教学内容分析

4.1 流程图

1. 流程图是一种动态图示，通常用来描述一种过程性的活动．在《数学3（必修）》“算法初步”一章中，学生已经了解了程序框图的常用符号，并用程序框图表达了一些问题的算法。本节教材在回顾和进一步认识程序框图，以及介绍生活中其他形式的流程图（如图书借阅流程图、诊病流程图）的基础上，描述了流程图的一般形式、特征和作用；然后结合生活、生产中的具体例子，说明了画流程图和读流程图的一般方法；最后，教材说明了流程图在表示数学计算或证明过程中的主要思路与步骤中的应用．

2.教学建议：

（1）在复习回顾程序框图时，教材是以画用二分法求方程x220的近似根的程序框图来回顾制作程序框图的一般步骤。用二分法求方程近似根的知识虽然在必修一中学生已经学过，但相对学生来说比较陌生，以此引入，可能需要花费时间较长的时间复习二分法的相关知识才能完成这个程序框图的制作。建议可参照B版教材中的例1来引入.

例1 两个形状一样的杯子里分别装有红葡萄酒和白葡萄酒。现在要将这两个杯子里所装的酒对调，试画出流程图。

解：设装红葡萄酒的杯子为A，装白葡萄酒的杯子为B，为使两种酒能够对调，需要一个空杯子，设为C.将A中所盛之物注入C内，记为A→C，于是有如下的流程图：

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这个实例可能更生活化一些，学生更容易入手，更容易总结出制作程序框图的一般步骤. （2）在介绍流程图时，教材列举了图书馆中的“图书借阅流程图”和医院中的“诊病流程图”，教学中可以让学生来描述这两个流程图表示的流程，也可把这个任务提前布置下去，让学生在课下可提前收集一些流程图，然后在课上用以交流。在此基础上，教师可以引导学生对流程图作出总结.

（3）.在进行绘制流程图的教学时,可先引导学生回忆制作程序框图的一般步骤，再类比上述步骤，来绘制流程图。以书中例2为例。

例2考生参加培训中心考试需要遵循的程序如下：

在考试之前咨询考试事宜.如果是新考生,需要填写考生注册表,领取考生编号,明确考试科目和时间,然后缴纳考试费,按规定时间参加考试,领取成绩单,领取证书；如果不是新考生，则需出示考生编号，明确考试科目和时间,然后缴纳考试费,按规定时间参加考试,领取成绩单,

领取证书。设计一个流程图，表示这个考试流程.

在教学中，首先引导学生分析上述自然语言描述的考试流程，并将其分解为若干比较明确的步骤.这里的步骤包括： 第一步，咨询考试事宜；

第二步，新考生填写注册表并领取考生编号，老考生出示考：生编号； 第三步，明确考试科目和时间；第四步，缴纳考试费； 第五步，按规定时间参加考试；第六步，领取成绩单； 第七步，领取证书.

其次，再分析每一个步骤是否可以直接表达，或需要借助什么样的逻辑结构来表达，如第二步就需要用条件结构来表达，而其他步骤则可直接表达.

再次，分析每一个步骤之间的关系.显然，这里的各步骤间是顺序执行的关系. 最后，画出流程图表示整个流程.流程图如下

（4）在引导学生认识流程图在数学中的应用时,可多列举几个数学问题,教学时先引导学生分析这几个问题的解决过程,然后总结规律,将其中类似的步骤明确地标书出来,并分析各步骤之间的关系,最后画出流程图表示解决一般数学问题的过程.这对于学生虽有一定的难度,但有利于培养他们的抽象概括能力.教材给出了如下的一个解决数学问题的流程图:

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4.2 结构图

1. 结构图是一种静态图示，通常用来描述一个系统各部分和各环节之间的关系．例如，本套教科书各章之后的知识结构图就是结构图的一种．本节首先通过对知识结构图的回顾和进一步认识，说明了结构图的一般形式，以及读知识结构图和画知识结构图的一般方法和需要注意的问题（即在梳理知识内容的基础上，正确描述要素间的“从属关系”和“逻辑先后关系”）；接着通过具体实例介绍了组织结构图的特征和作用；最后，教科书说明了结构图在梳理已学过的知识方面的应用． 2.教学建议：

⑴教学中在认识结构图时,可以知识结构图为例,让学生阅读结构图并说明个部分之间的关系.例如可以用以数学1（必修）》第二章“基本初等函数”的知识结构图为例

整数指数幂 定义 有理数指数幂 指数 对数 运算性质 无理数指数幂 定义 定义 指数函数 对数函数 图像与性质 图像与性质

从知识结构图中不仅可以看出本章的主要内容，还能看出各主要内容之间的关系.除此之外,还能看出与主要内容相关联的内容,以及这些内容与主要内容之间的关系和它们彼此之间的关系。

（2）在绘制结构图的教学中,可让学生以熟悉的内容为载体,通过重新梳理某章知识结构,然后

再绘制知识结构图，并在此过程中进一步体会结构图在梳理已学过知识方面的重要作用; 例1试画出数学I中“集合”一章的知识结构图。

在此基础上，继续细化，可以完善得到如下的结构图：

例2 试写出我们认识数的过程的知识结构图。

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（3）在引导学生认识组织结构时,可以先让学生描述一些自己所熟悉的组织结构,如本班班委或是学校学生会的组织构成,然后再绘制出相应的组织结构图,并在此过程中让学生体会组织结构图在直观、清晰地表示组织的部门构成时的优越性.

五、本章在高考中的要求

1.考纲要求

要求层次 考试内容 A B C 流程图 流程图 √ 框图 结构图 结构图 √ 2.框图这一章的知识的学习不同于其他章节可以暂告一段落，而且可能从应试角度来说除程序框图并没有涉及任何考题，然而这一章的学习是方法论知识的学习，是一种学习技能的获得过程，是一种处理问题角度的变化过程。如果我们能在学习过程中，对问题的分析采取流程图的形式，处理手法、过程及应用的相关知识之间的关系，可能会取得良好的教学效果；如果能在章节复习的时候用结构图的方法，可能也会有助于学生对知识框架的建构。正因为此，“把这章学习视为可有可无”的观点是不恰当的，如果在今后教学中能使学生们自觉使用本章的知识分析解决问题，这也许是我们愿意看到的！这可能也是课标精神的一种体现！